Matematika je nastala iz opće filozofije oko šestog stoljeća pr. e., i od tog trenutka je započeo njen pobjednički hod svijetom. Svaka faza razvoja donosila je nešto novo - elementarno brojanje se razvijalo, transformiralo u diferencijalni i integralni račun, stoljeća su prolazila, formule su postajale sve zbunjujuće i došao je trenutak kada je "počela najsloženija matematika - iz nje su nestali svi brojevi." Ali što je bila osnova?

Početak vremena

Zajedno s prvima pojavili su se i prirodni brojevi matematičke operacije. Jedna bodlja, dvije bodlje, tri bodlje... Pojavile su se zahvaljujući indijskim znanstvenicima koji su razvili prvi položajni

Riječ "pozicionalnost" znači da je mjesto svake znamenke u broju strogo definirano i odgovara njegovom rangu. Na primjer, brojevi 784 i 487 su isti brojevi, ali brojevi nisu ekvivalentni, jer prvi uključuje 7 stotica, a drugi samo 4. Indijsku su inovaciju preuzeli Arapi, koji su brojeve doveli u oblik koje sada znamo.

U antičko doba brojevima se pridavalo mistično značenje; Pitagora je vjerovao da je broj u osnovi stvaranja svijeta uz osnovne elemente - vatru, vodu, zemlju, zrak. Ako sve promatramo samo s matematičke strane, što je onda prirodni broj? Polje prirodnih brojeva označava se s N i beskonačan je niz brojeva koji su cijeli i pozitivni: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je isključena. Koristi se prvenstveno za brojanje stavki i označavanje redoslijeda.

Što je to u matematici? Peanovi aksiomi

Polje N je osnovno na kojem se temelji elementarna matematika. Tijekom vremena, polja cijelih brojeva, racionalnih,

Djelo talijanskog matematičara Giuseppea Peana omogućilo je daljnje strukturiranje aritmetike, postiglo njezinu formalnost i pripremilo put za daljnje zaključke koji su nadilazili terensko područje N.

Što je prirodni broj razjašnjeno je ranije jednostavnim jezikom, u nastavku ćemo razmotriti matematičku definiciju temeljenu na Peanovim aksiomima.

• Jedinica se smatra prirodni broj.
• Broj koji slijedi iza prirodnog broja je prirodan broj.
• Prije jedan nema prirodnog broja.
• Ako broj b slijedi i iza broja c i iza broja d, tada je c=d.
• Aksiom indukcije, koji pak pokazuje što je prirodni broj: ako je neka tvrdnja koja ovisi o parametru istinita za broj 1, tada pretpostavljamo da vrijedi i za broj n iz polja prirodnih brojeva N. Tada tvrdnja vrijedi i za n =1 iz polja prirodnih brojeva N.

Osnovne operacije za polje prirodnih brojeva

Budući da je polje N bilo prvo za matematičke izračune, njemu pripadaju i domene definicije i rasponi vrijednosti niza operacija u nastavku. Zatvoreni su i nisu. Glavna razlika je u tome što zatvorene operacije zajamčeno ostavljaju rezultat unutar skupa N, bez obzira o kojim se brojevima radi. Dovoljno je da su prirodni. Ishod drugih numeričkih interakcija više nije tako jasan i izravno ovisi o vrsti brojeva koji su uključeni u izraz, budući da može proturječiti glavnoj definiciji. Dakle, zatvorene operacije:

• zbrajanje - x + y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
• množenje - x * y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
• stepenovanje - x y, gdje su x, y uključeni u polje N.

Preostale operacije, čiji rezultat možda ne postoji u kontekstu definicije "što je prirodni broj", su sljedeće:

Svojstva brojeva koji pripadaju polju N

Sva daljnja matematička razmišljanja temeljit će se na sljedećim svojstvima, najtrivijalnijim, ali ne manje važnim.

• Komutativno svojstvo zbrajanja je x + y = y + x, gdje su brojevi x, y uključeni u polje N. Ili dobro poznata "zbroj se ne mijenja promjenom mjesta članova."
• Komutativno svojstvo množenja je x * y = y * x, gdje su brojevi x, y uključeni u polje N.
• Kombinacijsko svojstvo zbrajanja je (x + y) + z = x + (y + z), gdje su x, y, z uključeni u polje N.
• Svojstvo podudaranja množenja je (x * y) * z = x * (y * z), gdje su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
• distributivno svojstvo - x (y + z) = x * y + x * z, gdje su brojevi x, y, z uključeni u polje N.

Pitagorina tablica

Jedan od prvih koraka u poznavanju cijele strukture učenika elementarna matematika nakon što su sami zaključili koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima pojavljuje se Pitagorina tablica. Može se smatrati ne samo sa stajališta znanosti, već i najvrjednijim znanstvenim spomenikom.

Ova tablica množenja je tijekom vremena doživjela niz promjena: iz nje je uklonjena nula, a brojevi od 1 do 10 predstavljaju sami sebe, ne vodeći računa o redoslijedu (stotice, tisuće...). To je tablica u kojoj su naslovi redaka i stupaca brojevi, a sadržaj ćelija u kojima se sijeku jednak je njihovom umnošku.

U praksi poučavanja posljednjih desetljeća javlja se potreba za učenjem Pitagorine tablice napamet “po redu”, odnosno učenje napamet dolazi na prvo mjesto. Množenje s 1 bilo je isključeno jer je rezultat bio množitelj 1 ili veći. U međuvremenu, u tablici golim okom možete primijetiti uzorak: umnožak brojeva povećava se za jedan korak, što je jednako naslovu retka. Dakle, drugi faktor nam pokazuje koliko puta trebamo uzeti prvi da bismo dobili željeni proizvod. Ovaj sustav mnogo praktičniji od onog koji se prakticirao u srednjem vijeku: čak i shvaćajući što je prirodni broj i koliko je trivijalan, ljudi su uspjeli zakomplicirati svoje svakodnevno brojanje korištenjem sustava koji se temeljio na potencijama dvojke.

Podskup kao kolijevka matematike

Trenutno se polje prirodnih brojeva N smatra samo jednim od podskupova kompleksni brojevi, no to ih ne čini manje vrijednima u znanosti. Prirodni broj je prva stvar koju dijete nauči proučavajući sebe i svijet oko sebe. Jedan prst, dva prsta... Zahvaljujući njemu čovjek se razvija logično mišljenje, kao i sposobnost utvrđivanja uzroka i izvođenja posljedica, utirući put velikim otkrićima.

Prirodni brojevi jedan su od najstarijih matematičkih pojmova.

U dalekoj prošlosti ljudi nisu poznavali brojeve i kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe i sl.), radili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta uspoređivali su s dijelovima tijela, na primjer, s prstima na ruci i govorili: "Imam onoliko oraha koliko ima prstiju na ruci."

S vremenom su ljudi shvatili da pet oraha, pet koza i pet zečeva imaju zajedničko svojstvo - njihov broj je jednak pet.

Zapamtiti!

Cijeli brojevi- to su brojevi, počevši od 1, dobiveni prebrojavanjem predmeta.

1, 2, 3, 4, 5…

Najmanji prirodni broj — 1 .

Najveći prirodni broj ne postoji.

Pri brojanju se ne koristi broj nula. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su prikazivati ​​jedan s jednim štapom, zatim s dva štapa - broj 2, s tri - broj 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Zatim su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - prethodnika modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva potječu iz Indije prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Europu, po čemu se i zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pomoću ovih brojeva možete napisati bilo koji prirodni broj.

Zapamtiti!

Prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu ne postoji najveći prirodni broj.

Sustav brojanja koji koristimo zove se decimalni pozicijski.

Decimala jer 10 jedinica svake znamenke čini 1 jedinicu najznačajnije znamenke. Pozicijski jer značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja, odnosno o znamenki kojom je zapisana.

Važno!

Klase iza milijarde nazvane su prema latinskim nazivima brojeva. Svaka sljedeća jedinica sadrži tisuću prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilijun ("tri" je latinski za "tri")
• 1.000 trilijuna = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijun ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadrilijuna = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijun ("kvinta" je latinski za "pet")

Međutim, fizičari su pronašli brojku koja premašuje broj svih atoma (najsitnijih čestica materije) u cijelom Svemiru.

Ovaj broj je dobio posebno ime - googol. Googol je broj sa 100 nula.

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave traju do danas; znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa...su bili uključeni u proučavanje problematike matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu se prijevara sastoji.

S matematičkog gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s količine na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.

Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Za određivanje udaljenosti do automobila potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim istaknuti Posebna pažnja, je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo.

Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

Ma koliko se matematičari krili iza fraze “jebi me, ja sam u kući”, odnosno “matematika studira apstraktni pojmovi", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ta pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje počinje zabava.

Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji različite količine prljavština, kristalna struktura i raspored atoma svakog novčića je jedinstven...

A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali zato su šamani, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite dobivene brojeve. Ovo je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" koje podučavaju šamani a kojima se služe matematičari. Ali to nije sve.

S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavaravati glavu, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različite rezultate nakon što ih usporediš, znači da to nema nikakve veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.

Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova cura budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Cijeli brojevi

Definicija prirodnih brojeva su prirodni brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Ovo su brojevi:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Je li nula prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko ima prirodnih brojeva? Postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodni broj? Jedan je najmanji prirodni broj.
Koji je najveći prirodni broj? Nemoguće ga je specificirati, jer postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.

Zbroj prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, zbrajanje prirodnih brojeva a i b:

Umnožak prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, umnožak prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je umanjenik veći od umanjenika, tada je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Kvocijent prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodni broj, to znači da je a djeljiv s b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je kvocijent.

Djelitelj prirodnog broja je prirodni broj s kojim je prvi broj djeljiv cjelinom.

Svaki prirodni broj djeljiv je s jedinicom i samim sobom.

Prosti prirodni brojevi djeljivi su samo s jedinicom i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je djeljiv samo s jedinicom i samim sobom. To su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva sastoji se od jedinice, prostih brojeva i složenih brojeva.

Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N.

Svojstva zbrajanja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo zbrajanja

asocijativno svojstvo sabiranja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab) c = a (bc);

svojstvo razdiobe množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotnosti prirodnim brojevima.

Suprotnost prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva označava se latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Bilo koji racionalni broj može se prikazati kao periodični razlomak. Primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera je jasno da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Bilo koji racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj broj,n prirodan broj. Zamislimo kao takav razlomak broj 3,(6) iz prethodnog primjera.

Gdje počinje učenje matematike? Da, tako je, iz proučavanja prirodnih brojeva i operacija s njima.Cijeli brojevi (izlat. naturalis- prirodno; prirodni brojevi) -brojevima koji se prirodno javljaju pri brojanju (npr. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Niz svih prirodnih brojeva poredanih rastućim redoslijedom nazivamo prirodnim nizom.

Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva:

1. brojanje (numeriranje) stavke ( prvi, drugi, treći, Četvrta, peti"…);
2. prirodni brojevi su brojevi koji nastaju kada oznaka količine stavke ( 0 stavki, 1 stavka, 2 stavke, 3 predmeta, 4 predmeta, 5 predmeta ).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje s jedinicom, u drugom - s nulom. Ne postoji konsenzus među većinom matematičara o tome je li prvi ili drugi pristup bolji (odnosno, treba li nulu smatrati prirodnim brojem ili ne). Ogromna većina ruskih izvora tradicionalno prihvaća prvi pristup. Drugi pristup, na primjer, koristi se u radovimaNicolas Bourbaki , gdje su prirodni brojevi definirani kaovlast konačni skupovi .

Negativan i cijeli broj (racionalan , stvaran ,...) brojevi se ne smatraju prirodnim brojevima.

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N (odlat. naturalis- prirodno). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodni broj n postoji prirodni broj veći od n.

Prisutnost nule olakšava formuliranje i dokazivanje mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan koncept prošireni prirodni raspon , uključujući nulu. Proširena serija označena je N 0 ili Z 0 .

DOzatvorene operacije (operacije koje ne izvode rezultat iz skupa prirodnih brojeva) nad prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

• dodatak: pojam + pojam = zbroj;
• množenje: faktor × faktor = proizvod;
• potenciranje: a b , gdje je a baza stupnja, b je eksponent. Ako su a i b prirodni brojevi, tada će rezultat biti prirodan broj.

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (s formalnog gledišta, one nisu operacije nad prirodnim brojevima, jer nisu definirane za sveparovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

• oduzimanje: minuend - subtrahend = razlika. U tom slučaju umanjenik mora biti veći od oduzetika (ili mu jednak ako nulu smatramo prirodnim brojem)
• dijeljenje s ostatkom: dividenda / djelitelj = (količnik, ostatak). Kvocijent p i ostatak r od dijeljenja a s b definirani su na sljedeći način: a=p*r+b, s 0<=r

Treba napomenuti da su operacije zbrajanja i množenja temeljne. Posebno,