Як розкласти буквене вираз на множники. Багаточлени

У випадку це завдання передбачає творчий підхід, оскільки немає універсального методу її вирішення. Але все ж таки спробуємо дати кілька наведень.

У переважній кількості випадків, розкладання многочлена на множники грунтується на слідстві з теореми Безу, тобто перебуває чи підбирається корінь і знижується ступінь многочлена на одиницю поділом на . У отриманого многочлена шукається корінь і повторюється до повного розкладання.

Якщо ж корінь знайти не вдається, то використовуються специфічні способи розкладання: від угруповання до введення додаткових взаємовиключних доданків.

Подальший виклад базується на навичках розв'язання рівнянь вищих ступенівіз цілими коефіцієнтами.

Винесення за дужки загального множника.

Почнемо з найпростішого випадку, коли вільний член дорівнює нулю, тобто багаточлен має вигляд .

Вочевидь, що коренем такого многочлена є , тобто багаточлен представимо як .

Цей спосіб є ні що інше як винесення загального множника за дужки.

приклад.

Розкласти багаточлен третього ступеня на множники.

Рішення.

Очевидно, що коріння багаточлена, тобто хможна винести за дужки:

Знайдемо коріння квадратного тричлена

Таким чином,

На початок сторінки

Розкладання на множники многочлена з раціональним корінням.

Спочатку розглянемо спосіб розкладання многочлена з цілими коефіцієнтами виду, коефіцієнт при старшому ступені дорівнює одиниці.

І тут, якщо многочлен має ціле коріння, вони є дільниками вільного члена.

приклад.

Рішення.

Перевіримо, чи є ціле коріння. Для цього виписуємо дільники числа -18 : . Тобто, якщо багаточлен має ціле коріння, то воно знаходиться серед виписаних чисел. Послідовно перевіримо ці числа за схемою Горнера. Її зручність ще й у тому, що в результаті отримаємо коефіцієнти розкладання багаточлена:

Тобто, х = 2і х=-3є корінням вихідного многочлена і він представимо у вигляді твору:

Залишилося розкласти квадратний тричлен.

Дискримінант цього тричлена негативний, отже, він не має дійсних коренів.

Відповідь:

Примітка:

замість схеми Горнера можна було скористатися підбором кореня та наступним розподілом багаточлена на багаточлен.

Тепер розглянемо розкладання многочлена з цілими коефіцієнтами виду , причому коефіцієнт за старшого ступеня не дорівнює одиниці.

У цьому випадку многочлен може мати дрібно раціональне коріння.

приклад.

Розкласти на множники вираз.

Рішення.

Виконавши заміну змінної y=2x, перейдемо до многочлена з коефіцієнтом рівним одиниці за старшого ступеня. Для цього спочатку домножимо вираз на 4 .

Якщо отримана функція має ціле коріння, вони знаходяться серед дільників вільного члена. Запишемо їх:

Обчислимо послідовно значення функції g(y)у цих точках до отримання нуля.

Дуже часто чисельник і знаменник дробу є алгебраїчними виразами, які спочатку потрібно розкласти на множники, а потім, виявивши серед них однакові, розділити на них і чисельник, і знаменник, тобто скоротити дріб. Завданням розкласти багаточлен на множники присвячений цілий розділ підручника з алгебри в 7-му класі. Розкладання на множники можна здійснити 3 способами, і навіть комбінацією цих способів.

1. Застосування формул скороченого множення

Як відомо, щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожне доданок одного многочлена помножити на кожне доданок іншого багаточлена та отримані твори скласти. Є, як мінімум, 7 (сім) часто трапляються випадків множення многочленів, які увійшли до поняття . Наприклад,

Таблиця 1. Розкладання на множники 1-м способом

2. Винесення загального множника за дужку

Цей спосіб ґрунтується на застосуванні розподільчого закону множення. Наприклад,

Кожен доданок вихідного виразу ми ділимо на множник, який виносимо, і отримуємо при цьому вираз у дужках (тобто у дужках залишається результат поділу того, що було, на те, що виносимо). Насамперед потрібно правильно визначити множник, який треба винести за дужку

Спільним множником може бути і багаточлен у дужках:

Під час виконання завдання «розкладіть на множники» треба бути особливо уважним зі знаками при винесенні загального множника за дужки. Щоб змінити знак у кожного доданка у дужці (b - a), винесемо за дужку спільний множник -1 , при цьому кожен доданок у дужці розділиться на -1: (b - a) = - (a - b) .

Якщо вираз у дужках зводиться в квадрат (або в будь-який парний ступінь), то числа всередині дужок можна міняти місцями абсолютно вільно, тому що винесені за дужки мінуси при множенні все одно перетворяться на плюс: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 і так далі…

3. Спосіб угруповання

Іноді загальний множник є не у всіх доданків у виразі, а лише в деяких. Тоді можна спробувати згрупувати доданки у дужки так, щоб із кожної можна було якийсь множник винести. Спосіб угруповання- це подвійне винесення спільних множників за дужки.

4. Використання відразу кількох способів

Іноді потрібно застосувати не один, а кілька способів розкладання багаточлена на множники одночасно.

Це конспект на тему «Розкладання на множники». Виберіть подальші дії:

Перейти до наступного конспекту:

Будь-який алгебраїчний багаточлен ступеня n може бути представлений у вигляді добутку n-лінійних множників виду та постійного числа, яке є коефіцієнтом багаточлена при старшому ступеню х, тобто.

де - є корінням багаточлена.

Коренем багаточлена називають число (дійсне чи комплексне), що обертає багаточлен на нуль. Корінням багаточлена можуть бути як дійсне коріння, так і комплексно-сполучене коріння, тоді багаточлен може бути представлений у наступному вигляді:

Розглянемо методи розкладання багаточленів ступеня «n» у добуток множників першого та другого ступеня.

Спосіб №1.Метод невизначених коефіцієнтів.

Коефіцієнти такого перетвореного виразу визначаються методом невизначених коефіцієнтів. Суть методу зводиться до того що, що відомий вид множників, куди розкладається даний многочлен. З використанням методу невизначених коефіцієнтів справедливі такі твердження:

П.1. Два багаточлени тотожно рівні у разі, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях х.

П.2. Будь-який многочлен третього ступеня розкладається на твір лінійного та квадратного множників.

П.3. Будь-який багаточлен четвертого ступеня розкладається на твір двох багаточленів другого ступеня.

приклад 1.1.Необхідно розкласти на множники кубічний вираз:

П.1. Відповідно до прийнятих тверджень для кубічного виразу справедлива тотожна рівність:

П.2. Права частина виразу може бути представлена у вигляді доданків таким чином:

П.3. Складаємо систему рівнянь з умови рівності коефіцієнтів за відповідних ступенів кубічного виразу.

Ця система рівнянь може бути вирішена методом підбору коефіцієнтів (якщо просте академічне завдання) або використані методи розв'язання нелінійних систем рівнянь. Вирішуючи цю системурівнянь, отримаємо, що невизначені коефіцієнти визначаються так:

Таким чином, вихідний вираз розкладається на множники у такому вигляді:

Даний метод може використовуватися як при аналітичних викладках, так і при комп'ютерному програмуванні для автоматизації пошуку кореня рівняння.

Спосіб №2.Формули Вієта

Формули Вієта - це формули, що зв'язують коефіцієнти рівнянь алгебри ступеня n і його коріння. Дані формули були неявно представлені у роботах французького математика Франсуа Вієта (1540 – 1603). У зв'язку з тим, що Вієт розглядав лише позитивне речове коріння, тому у нього не було можливості записати ці формули в загальному явному вигляді.

Для будь-якого алгебраїчного багаточлена ступеня n, який має n-дійсних коренів,

справедливі такі співвідношення, які пов'язують коріння многочлена з його коефіцієнтами:

Формулами Вієта зручно користуватися для перевірки правильності знаходження коріння багаточлена, а також для складання багаточлена за заданим корінням.

приклад 2.1.Розглянемо, як пов'язані корені многочлена з його коефіцієнтами з прикладу кубічного рівняння

Відповідно до формул Вієта взаємозв'язок коренів многочлена з його коефіцієнтами має такий вигляд:

Аналогічні співвідношення можна скласти будь-якого полінома ступеня n.

Спосіб №3. Розкладання квадратного рівнянняна множники з раціональним корінням

З останньої формули Вієта випливає, що коріння багаточлена є дільниками його вільного члена та старшого коефіцієнта. У зв'язку з цим, якщо в задачі заданий багаточлен ступеня n c цілими коефіцієнтами

то даний многочлен має раціональний корінь (нескоротний дріб), де p - дільник вільного члена, а q - дільник старшого коефіцієнта. У такому випадку багаточлен ступеня n можна подати у вигляді (теорема Безу):

Багаточлен , ступінь якого на 1 менший за ступінь початкового багаточлена, визначається розподілом багаточлена ступеня n двочлен , наприклад, за допомогою схеми Горнера або самим простим способом- «Стовпчиком».

Приклад 3.1.Необхідно розкласти багаточлен на множники

П.1. У зв'язку з тим, що коефіцієнт при старшому доданку дорівнює одиниці, то раціональне коріння даного многочлена є дільниками вільного висловлювання, тобто. можуть бути цілими числами . Підставляємо кожне з поданих чисел у вихідний вираз знайдемо, що корінь представленого багаточлена дорівнює .

Виконаємо поділ вихідного багаточлена на двочлен:

Скористайтеся схемою Горнера

У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена, при цьому перший осередок верхнього рядка залишається порожнім.

У першому осередку другого рядка записується знайдений корінь (в прикладі записується число «2»), а наступні значення в осередках обчислюються певним чином і вони є коефіцієнтами многочлена, який вийде в результаті розподілу многочлена на двочлен. Невідомі коефіцієнти визначаються таким чином:

У другий осередок другого рядка переноситься значення з відповідного осередку першого рядка (у прикладі записується число «1»).

У третій осередок другого рядка записується значення добутку першого осередку на другий осередок другого рядка плюс значення з третього осередку першого рядка (у прикладі 2 ∙1 -5 = -3).

У четвертий осередок другого рядка записується значення добутку першого осередку на третій осередок другого рядка плюс значення з четвертого осередку першого рядка (у прикладі 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Таким чином, вихідний многочлен розкладається на множники:

Спосіб №4.Використання формул скороченого множення

Формули скороченого множення застосовують для спрощення обчислень, і навіть розкладання многочленів на множники. Формули скороченого множення дозволяють спростити розв'язання окремих завдань.

Формули, що використовуються для розкладання на множники

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Розкладання многочленів на множники – це тотожне перетворення, у результаті якого многочлен перетворюється на твір кількох співмножників – багаточленів чи одночленів.

Існує кілька способів розкладання багаточленів на множники.

Спосіб 1. Винесення загального множника за дужку.

Це перетворення ґрунтується на розподільчому законі множення: ac + bc = c(a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити у двох компонентах, що розглядаються, загальний множник і «винести» його за дужки.

Розкладемо на множники многочленів 28х3 – 35х4.

Рішення.

1. Знаходимо у елементів 28х3 і 35х4 спільний дільник. Для 28 та 35 це буде 7; для х 3 та х 4 – х 3 . Іншими словами, наш спільний множник 7х3.

2. Кожен із елементів подаємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. "Майстерність" володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити у виразі одну з формул скороченого множення.

Розкладемо на множники многочлен х 6 – 1.

Рішення.

1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. І тому представимо х 6 як (х 3) 2 , а 1 як 1 2 , тобто. 1. Вираз набуде вигляду:
(х 3) 2 - 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).

2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми та різниці кубів:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Отже,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2+х+1).

Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднанні компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (складання, віднімання, винесення загального множника).

Розкладемо на множники многочленів х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Рішення.

1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-им, а 3-ий з 4-им
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).

2. У виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - в другому.
(х 3 - 3х 2) + (5х - 15) = х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).

3. Виносимо за дужки загальний множник х – 3 та отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) = (х - 3) (х 2 + 5).

Отже,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5) ).

Закріпимо матеріал.

Розкласти на множники многочленів a 2 – 7ab + 12b 2 .

Рішення.

1. Представимо одночлен 7ab як суми 3ab + 4ab. Вираз набуде вигляду:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Розкриємо дужки та отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-им і 3-ий з 4-им. Отримаємо:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Винесемо за дужки спільні множники:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Винесемо за дужки загальний множник (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= а (а - 3b) - 4b (а - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.