Заміна змінної у квадратному рівнянні. Розв'язання рівнянь за допомогою заміни
Урок та презентація на тему: "Метод заміни змінної. Приклади"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
1С: Школа. Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10–11 класів
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
Цей метод досить часто зустрічається при розв'язанні рівнянь, і ми з вами ним не раз користувалися. Його можна використовувати у таких випадках:
- Якщо вихідне рівняння $f(x)=0$ має складний вигляд, але його вдалося перетворити на рівняння виду $h(g(x))=0$.
- Потрібно зробити заміну змінних $u=g(x)$.
- Вирішити рівняння $h(u)=0$, знайти коріння $u_1$, $u_2$, $u_n$.
- Ввести зворотну заміну $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Вирішити кожне із рівнянь $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Коріння кожного із рівнянь і будуть рішеннями вихідного рівняння.
приклад.
Розв'язати рівняння: $8x^6+7x^3-1=0$.
Рішення.
Введемо заміну $y=x^3$. Тоді наше рівняння зводиться до квадратного рівняння:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ і $y_2=-1$.
На даному етапі при вирішенні складніших рівнянь слід перевірити отримані корені.
Введемо зворотну заміну: $x^3=\frac(1)(8)$ і $x^3=-1$.
Коріння даних рівнянь знайти легко: $x_1=\frac(1)(2)$ і $x_2=-1$.
Відповідь: $ х = 0,5 $ і $ х = -1 $.
приклад.
Вирішити рівняння: $ sqrt (frac (2x + 3) (2x-1)) + 4 sqrt (frac (2x-1) (2x +3)) = 4 $.
Рішення.
Проведемо рівносильні перетворення:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3)(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( -1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Введемо заміну: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, тоді наше рівняння зводиться до $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, звідки $u=2$.
Введемо зворотну заміну: $ sqrt (frac (2x + 3) (2x-1)) = 2 $.
$2x+3=4(2x-1)$, вирішивши лінійне рівняння $х=1\frac(1)(6)$.
приклад.
Розв'язати рівняння: $2^x+2^(1-x)=3$.
Рішення.
Наше рівняння зводиться до рівносильному рівнянню: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Введемо заміну: $ t = 2 ^ x $.
$ t + \ frac (2) (t) = 3 $,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ і $t_2=1$.
Введемо зворотну заміну: $2^x=2$ і $2^x=1$. Звідки: $ х = 1 $ і $ х = 0 $.
Відповідь: $ х = 1 $ і $ х = 0 $.
приклад.
Розв'язати рівняння: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Рішення.
Перетворимо наше рівняння.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Вихідне рівняння дорівнює рівнянню: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Введемо заміну: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$ (4u + 5) (u-1) = 0 $.
Введемо зворотну заміну: $lgx=-1,25$ і $lgx=1$.
Відповідь: $x=10^(-\frac(5)(4))$ і $x=10$.
приклад.
Розв'язати рівняння: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Рішення.
Введемо заміну: $ cos (x) - sin (x) = y $.
Тоді: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
Вихідне рівняння рівносильне:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Введемо зворотну заміну: $cos(x)-sin(x)=13$ - зрозуміло, що рішень немає, оскільки косинус і синус обмежені по модулю одиницею.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - помножимо обидві частини рівняння на $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (cases) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end (cases)$
$\begin (cases) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end (cases)$
Відповідь: $x=\frac(π)(2)+2πn$ і $π+2πn$.
Завдання для самостійного вирішення
Розв'язати наступні рівняння:1. $ x ^ 8 +3 x ^ 4-4 = 0 $.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Заміна змінної у невизначеному інтегралі. Формула перетворення диференціалів. Приклади інтегрування. Приклади лінійних підстановок.
Метод заміни змінної
За допомогою заміни змінної можна обчислити прості інтеграли і, у деяких випадках, спростити обчислення складніших.
Метод заміни змінної у тому, що ми від вихідної змінної інтегрування, Нехай це буде x, переходимо до іншої змінної, яку позначимо як t. При цьому ми вважаємо, що змінні x та t пов'язані деяким співвідношенням x = x (t), або t = t (x). Наприклад, x = ln t, x = sin t, t = 2 x + 1, і т.п. Нашим завданням є підібрати таку залежність між x і t, щоб вихідний інтеграл або звівся до табличного, або став більш простим.
Основна формула заміни змінної
Розглянемо вираз, що стоїть під знаком інтеграла. Воно складається з твору підінтегральної функції, яку ми позначимо як f (x)та диференціала dx: . Нехай ми переходимо до нової змінної t, вибравши деяке співвідношення x = x (t). Тоді ми маємо висловити функцію f (x)і диференціал dx через змінну t.
Щоб виразити підінтегральну функцію f (x)через змінну t потрібно просто підставити замість змінної x вибране співвідношення x = x (t).
Перетворення диференціала виконується так:
.
Тобто диференціал dx дорівнює добутку похідної x по t на диференціал dt.
Тоді
.
Насправді, найчастіше зустрічається випадок, у якому виконуємо заміну, вибираючи нову змінну як функцію від старої: t = t (x). Якщо ми здогадалися, що підінтегральну функцію можна у вигляді
,
де t′ (x)- це похідна t x , то
.
Отже, основну формулу заміни змінної можна у двох видах.
(1)
,
де x - це функція від t.
(2)
,
де t - це функція від x.
Важливе зауваження
У таблицях інтегралів змінна інтегрування найчастіше позначається як x . Проте варто врахувати, що змінна інтегрування може бути позначена будь-якою літерою. І більше, як змінної інтегрування може бути якесь вираз.
Як приклад розглянемо табличний інтеграл
.
Тут x можна замінити будь-якою іншою змінною або функцією від змінної. Ось приклади можливих варіантів:
;
;
.
В останньому прикладі слід враховувати, що при переході до змінної інтегрування x , диференціал перетворюється так:
.
Тоді
.
У цьому прикладі полягає суть інтегрування підстановкою. Тобто ми маємо здогадатися, що
.
Після цього інтеграл зводиться до табличного.
.
Можна обчислити цей інтеграл за допомогою заміни змінної, застосовуючи формулу (2)
. Покладемо t = x 2+x. Тоді
;
;
.
Приклади інтегрування заміною змінної
1)
Обчислимо інтеграл
.
Помічаємо, що (sin x)′ = cos x. Тоді
.
Тут ми застосували підстановку t = sin x.
2)
Обчислимо інтеграл
.
Помічаємо, що . Тоді
.
Тут ми виконали інтегрування заміною змінної t = arctg x.
3)
Проінтегруємо
.
Помічаємо, що . Тоді
. Тут, при інтегруванні, здійснено заміну змінної t = x 2 + 1
.
Лінійні підстановки
Мабуть, найпоширенішими є лінійні підстановки. Це заміна змінного вигляду
t = ax + b,
де a та b - постійні. За такої заміни диференціали пов'язані співвідношенням
.
Приклади інтегрування лінійними підстановками
A)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
.
B)Знайти інтеграл
.
Рішення.
Скористаємося властивостями показової функції.
.
ln 2– це постійна. Обчислюємо інтеграл.
.
C)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
Наведемо квадратний багаточлен у знаменнику дробу до суми квадратів.
.
Обчислюємо інтеграл.
.
D)Знайти інтеграл
.
Рішення.
Перетворимо багаточлен під коренем.
.
Інтегруємо, застосовуючи метод заміни змінної. 
.
Раніше ми отримали формулу
.
Звідси
.
Підставивши цей вислів, отримаємо остаточну відповідь.
Математика – це свердловина, якою логічний розум може підглядати за ідеальним світом.
Кротов Віктор
У школі чільне місце у курсі алгебри займають раціональні рівняння. Саме на їх вивчення часу приділяється більше, ніж на будь-які інші теми. Пов'язано це насамперед із тим, що рівняння мають як важливе теоретичне значення, а й служать багатьом практичним цілям. Величезна кількість завдань реального світузводяться саме до розв'язання різних рівнянь, і тільки після того, як ви опануєте способи їх вирішення, ви знайдете відповіді на різні питання науки і техніки.
Для формування вміння вирішувати раціональні рівняння самостійна робота учня має величезне значення. Однак перед тим як переходити саме до самостійної роботи, необхідно чітко знати та вміти застосовувати на практиці все можливі методирозв'язання раціональних рівнянь.
Розглянемо докладно на прикладах метод заміни зміннихдля розв'язання раціональних рівнянь.
приклад 1.
Розв'язати рівняння (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Рішення.
Перепишемо рівняння у вигляді
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Зробимо заміну. Нехай 2x 2 – 3x = t, тоді рівняння набуде вигляду:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Тепер розкриємо дужки та наведемо подібні, отримаємо:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
У неповному, що вийшов квадратному рівняннівинесемо спільний множник за дужки, матимемо:
t = 0 чи t = 9.
Тепер необхідно зробити зворотну заміну та вирішити кожне з отриманих рівнянь:
2x 2 – 3x = 0 або 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 або x = 3/2 x = 3 або x = -3/2
Відповідь: -1,5; 0; 1,5; 3.
приклад 2.
Розв'язати рівняння (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Рішення.
Застосуємо формулу квадрата різниці (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Запишемо вихідне рівняння у вигляді
(x 2 - 6x) 2 - 2 (x 2 - 6x + 9) = 81. Тепер можна зробити заміну.
Нехай x 2 – 6x = t, тоді рівняння матиме вигляд:
t 2 - 2 (t + 9) = 81.
t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t 2 - 2t - 99 = 0.
По теоремі Вієта корінням отриманого рівняння будуть числа -9 та 11.
Зробимо зворотну заміну:
x 2 - 6x = -9 або x 2 - 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 - 2√5.
Відповідь: 3 – 2√5; 3; 3+2√5.
приклад 3.
Розв'язати рівняння (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 і знайти добуток його коріння.
Рішення.
Знайдемо «вигідний» спосіб угруповання множників і розкриємо пари дужок:
((x - 1) (x + 5)) ((x - 3) (x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Зробимо заміну x 2 + 4x = t, тоді рівняння виглядатиме так:
(t - 5) (t - 21) = 297.
Розкриємо дужки, наведемо такі складові:
t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t 2 - 26t - 192 = 0.
За теоремою Вієта визначаємо, що корінням отриманого рівняння будуть числа -6 та 32.
Після зворотної заміни матимемо:
x 2 + 4x = -6 або x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Немає коріння x 1 = -8; x 2 = 4
Знайдемо добуток коріння: -8 · 4 = -32.
Відповідь: -32.
приклад 4.
Знайти суму коренів рівняння (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x2.
Рішення.
Нехай x 2 – 2x + 2 = t, тоді рівняння набуде вигляду:
t 2 + 3xt - 10x 2 = 0.
Розглянемо отримане рівняння як квадратне щодо t.
D = (3x) 2 - 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2; ≥≤
t 1 = (-3x - 7x) / 2 і t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x та t 2 = 2x.
Так як t = x 2 - 2x + 2, то
x 2 - 2x + 2 = -5x або x 2 - 2x + 2 = 2x. Вирішимо кожне з отриманих рівнянь.
x 2 + 3x + 2 = 0 або x 2 - 4x + 2 = 0.
Обидва рівняння мають коріння, т.к. D> 0.
За допомогою теореми Вієта можна дійти невтішного висновку, що сума коренів першого рівняння дорівнює -3, а другого рівняння 4. Отримуємо, що сума коренів вихідного рівняння дорівнює -3 + 4 = 1
Відповідь: 1.
Приклад 5.
Знайти корінь рівняння (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, що належить проміжку [-5; 10].
Рішення.
Нехай x = t - 3, тоді x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 і вихідне рівняння набуває вигляду:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Для зведення виразів у четвертий ступінь можна скористатися трикутником Паскаля (рис. 1); 
(t - 2) 4 = t 4 - 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 - 4t · 2 3 + 2 4;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 + 4t · 2 3 + 2 4 .
Після приведення подібних доданків отримаємо:
2t 4 - 2 · 6t 2 · 2 2 + 2 · 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 або t 2 = -24.
Друге рівняння немає коренів, отже t = 0 і після зворотної заміни
x = t - 3 = 0 - 3 = -3. Корінь рівняння -3 належить проміжку [-5; 10].
Відповідь: -3.
Як бачимо, при вирішенні раціональних рівнянь необхідно знати наведені вище формули та вміти правильно рахувати. Помилки ж найчастіше виникають при виборі заміни та при зворотній підстановці. Щоб цього уникнути, потрібно докладно розписувати кожну дію, тоді помилок у ваших рішеннях не буде.
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.