Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe? Eksponencijalne jednadžbe. Rješenja
Eksponencijalne jednadžbe. Kao što znate, Jedinstveni državni ispit uključuje jednostavne jednadžbe. Neke smo već razmotrili - to su logaritamski, trigonometrijski, racionalni. Ovdje su eksponencijalne jednadžbe.
U nedavnom smo članku radili s eksponencijalnim izrazima, bit će korisno. Same jednadžbe se rješavaju jednostavno i brzo. Samo trebate znati svojstva eksponenata i... O ovomeUnaprijediti.
Nabrojimo svojstva eksponenata:
Nulta potencija bilo kojeg broja jednaka je jedinici.
Posljedica iz ovog svojstva:
Još malo teorije.
Eksponencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži varijablu u eksponentu, odnosno jednadžba je oblika:
f(x) izraz koji sadrži varijablu
Metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi
1. Kao rezultat transformacija, jednadžba se može svesti na oblik:
Zatim primjenjujemo svojstvo:
2. Po dobivanju jednadžbe oblika a f (x) = b koristeći definiciju logaritma, dobivamo:
3. Kao rezultat transformacija, možete dobiti jednadžbu oblika:
Primijenjeni logaritam:
Izrazi i pronađi x.
U zadacima Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita Bit će dovoljno koristiti prvu metodu.
Odnosno, potrebno je lijevu i desnu stranu prikazati u obliku potencija s istom bazom, a zatim izjednačimo eksponente i riješimo uobičajenu linearnu jednadžbu.
Razmotrimo jednadžbe:
Pronađite korijen jednadžbe 4 1–2x = 64.
Potrebno je osigurati da lijeva i desna strana sadrže eksponencijalne izraze s istom bazom. Možemo predstaviti 64 kao 4 na potenciju 3. Dobivamo:
4 1–2x = 4 3
1 – 2x = 3
– 2x = 2
x = – 1
Ispitivanje:
4 1–2 (–1) = 64
4 1 + 2 = 64
4 3 = 64
64 = 64
Odgovor: –1
Pronađite korijen jednadžbe 3 x–18 = 1/9.
Poznato je da
Dakle, 3 x-18 = 3 -2
Baze su jednake, možemo izjednačiti indikatore:
x – 18 = – 2
x = 16
Ispitivanje:
3 16–18 = 1/9
3 –2 = 1/9
1/9 = 1/9
Odgovor: 16
Pronađite korijen jednadžbe:
Predstavimo razlomak 1/64 kao jednu četvrtinu na treću potenciju:
2x – 19 = 3
2x = 22
x = 11
Ispitivanje:
Odgovor: 11
Pronađite korijen jednadžbe:
Zamislimo 1/3 kao 3 –1, a 9 kao 3 na kvadrat, dobivamo:
(3 –1) 8–2x = 3 2
3 –1∙(8–2x) = 3 2
3 –8+2x = 3 2
Sada možemo izjednačiti indikatore:
– 8+2x = 2
2x = 10
x = 5
Ispitivanje:
Odgovor: 5
26654. Pronađite korijen jednadžbe:
Riješenje:
Odgovor: 8,75
Doista, bez obzira na koju potenciju podignemo pozitivan broj a, ne možemo dobiti negativan broj.
Svaka eksponencijalna jednadžba se nakon odgovarajućih transformacija svodi na rješavanje jedne ili više jednostavnih.U ovom odjeljku također ćemo pogledati rješavanje nekih jednadžbi, nemojte to propustiti!To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.
Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Što se dogodilo eksponencijalna jednadžba? Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori neki stupnjevi. I samo tamo! To je važno.
Tu si ti primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
3 x 2 x = 8 x+3
Bilješka! U bazama stupnjeva (ispod) - samo brojevi. U indikatori stupnjevi (iznad) - širok izbor izraza s X. Ako se iznenada X pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim pokazatelja, na primjer:
ovo će već biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanje eksponencijalnih jednadžbi u svom najčišćem obliku.
Zapravo, čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo razmotriti.
Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.
Prvo, riješimo nešto vrlo osnovno. Na primjer:
Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nijedna druga vrijednost X ne funkcionira. Sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:
Što smo učinili? Mi smo, zapravo, jednostavno izbacili iste baze (trojke). Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili čavao na glavicu!
Doista, ako u eksponencijalnoj jednadžbi postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojoj potenciji, ti se brojevi mogu ukloniti i eksponenti se mogu izjednačiti. Matematika dopušta. Ostaje riješiti puno jednostavniju jednadžbu. Sjajno, zar ne?)
Međutim, upamtimo čvrsto: Baze možete ukloniti samo kada su bazni brojevi s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednadžbama:
2 x +2 x+1 = 2 3, ili
dvojke se ne mogu ukloniti!
Eto, svladali smo ono najvažnije. Kako prijeći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.
– Takva su vremena! - Ti kažeš. “Tko bi držao tako primitivnu lekciju na kolokvijima i ispitima!?”
Moram se složiti. Nitko neće. Ali sada znate kamo ciljati kada rješavate škakljive primjere. Mora se dovesti do obrasca gdje je s lijeve i desne strane isti osnovni broj. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo izvorni primjer i pretvaramo ga u željeni nas um. Po matematičkim pravilima, naravno.
Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da se svedu na najjednostavnije. Nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.
Idite na youtube kanal naše web stranice kako biste bili u tijeku sa svim novim video lekcijama.
Prvo se prisjetimo osnovnih formula potencija i njihovih svojstava.
Umnožak broja a pojavljuje sam po sebi n puta, ovaj izraz možemo napisati kao a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potencije ili eksponencijalne jednadžbe– to su jednadžbe u kojima su varijable potencije (ili eksponenti), a baza je broj.
Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
U u ovom primjeru broj 6 je baza, uvijek je na dnu, i varijabla x stupanj ili pokazatelj.
Navedimo još primjera eksponencijalnih jednadžbi.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Sada pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?
Uzmimo jednostavnu jednadžbu:
2 x = 2 3
Ovaj primjer se može riješiti čak iu vašoj glavi. Vidi se da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate umjesto x staviti broj 3.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:
2 x = 2 3
x = 3
Da bismo riješili takvu jednadžbu, uklonili smo identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stupnjevi. Dobili smo odgovor koji smo tražili.
Sada rezimiramo našu odluku.
Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto ima li jednadžba baze s desne i lijeve strane. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stupnjeva i riješite dobivenu novu jednadžbu.
Sada pogledajmo nekoliko primjera:
Počnimo s nečim jednostavnim.
Baza s lijeve i desne strane jednaka je broju 2, što znači da bazu možemo odbaciti i izjednačiti njihove potencije.
x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednadžba.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Prvo, pomaknite devet na desnu stranu, dobit ćemo:
Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Upotrijebimo formulu za potenciju (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobivamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.
3x=2x+16 dobivamo najjednostavniju jednadžbu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Pogledajmo sljedeći primjer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Četvorku transformiramo pomoću formule (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Također koristimo jednu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodajte jednadžbi:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Dali smo primjer po istim osnovama. Ali muče nas ostali brojevi 10 i 24. Što s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da se na lijevoj strani ponavlja 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz u zagradama:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Cijelu jednadžbu dijelimo sa 6:
Zamislimo 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stupnjeve.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Riješimo jednadžbu:
9 x – 12*3 x +27= 0
Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobivamo jednadžbu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše baze su iste, jednake 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prve tri imaju stupanj dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete riješiti način zamjene. Zamjenjujemo broj s najmanjim stupnjem:
Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Zamijenimo sve x potencije u jednadžbi s t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobivamo kvadratna jednadžba. Rješavanjem preko diskriminante dobivamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vraćajući se na varijablu x.
Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To je,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu iz t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u rubrici HELP DECIDE, mi ćemo Vam svakako odgovoriti.
Pridružite se grupi
U fazi pripreme za završno testiranje Srednjoškolci trebaju unaprijediti svoje znanje o temi “Eksponencijalne jednadžbe”. Iskustvo proteklih godina pokazuje da takvi zadaci stvaraju određene poteškoće školarcima. Stoga srednjoškolci, bez obzira na razinu pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja takvih jednadžbi. Nakon što su naučili nositi se s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke rezultate pri polaganju jedinstvenog državnog ispita iz matematike.
Pripremite se za testiranje ispita uz Shkolkovo!
Pri ponavljanju obrađenog gradiva mnogi se učenici susreću s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednadžbi. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o temi na internetu traje dugo.
Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. Uvodimo potpuno novi način pripreme za završni ispit. Učeći na našoj web stranici, moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pozornost na one zadatke koji uzrokuju najviše poteškoća.
Učitelji Shkolkova prikupili su, sistematizirali i predstavili sve što je potrebno za uspješan završetak Materijal za jedinstveni državni ispit u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.
Osnovne definicije i formule prikazane su u odjeljku “Teorijska pozadina”.
Za bolje razumijevanje gradiva preporučujemo da vježbate rješavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednadžbi s rješenjima predstavljene na ovoj stranici kako biste razumjeli algoritam izračuna. Nakon toga nastavite s izvršavanjem zadataka u odjeljku "Imenici". Možete početi s najlakšim zadacima ili odmah prijeći na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici stalno se nadopunjuje i ažurira.
One primjere s indikatorima koji su vam stvarali poteškoće možete dodati u “Favorite”. Na taj način ih možete brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.
Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!
U ovoj lekciji ćemo pogledati rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi i prisjetiti se osnovnih teorijskih principa u vezi s eksponencijalnom funkcijom.
1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi
Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi temelji se na tim svojstvima.
Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stupanj i Ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.
Riža. 1. Graf eksponencijalne funkcije
Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrirajući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan odnosno manjom od jedan, ali većom od nule.
Obje krivulje prolaze kroz točku (0;1)
Svojstva eksponencijalne funkcije:
Domena: ;
Raspon vrijednosti: ;
Funkcija je monotona, raste s, opada s.
Monotona funkcija uzima svaku svoju vrijednost s obzirom na jednu vrijednost argumenta.
Kada argument raste od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule uključujući do plus beskonačno. Naprotiv, kada argument raste od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, ne uključujući.
2. Rješavanje standardnih eksponencijalnih jednadžbi
Podsjetimo vas kako rješavati najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje temelji se na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe mogu se svesti na takve jednadžbe.
Jednakost eksponenata s jednakim bazama posljedica je svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njezine monotonosti.
Metoda rješenja:
Izjednačiti baze stupnjeva;
Izjednačite eksponente.
Prijeđimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih jednadžbi; cilj nam je svesti svaku od njih na najjednostavniju.
Oslobodimo se korijena s lijeve strane i dovedemo stupnjeve na istu bazu:
Kako bi se složena eksponencijalna jednadžba svela na najjednostavniju, često se koristi zamjena varijabli.
Iskoristimo svojstvo snage:
Uvodimo zamjenu. Neka bude onda. Ovakvom zamjenom očito je da y poprima strogo pozitivne vrijednosti. Dobivamo:
Pomnožite dobivenu jednadžbu s dva i prenesite sve članove na lijeva strana:
Prvi korijen ne zadovoljava raspon y vrijednosti, pa ga odbacujemo. Dobivamo:
Smanjimo stupnjeve na isti pokazatelj:
Uvedimo zamjenu:
Neka bude onda 
. Ovakvom zamjenom očito je da y poprima strogo pozitivne vrijednosti. Dobivamo:
Znamo kako riješiti takve kvadratne jednadžbe, možemo napisati odgovor:
Kako biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti pomoću Vietinog teorema, tj. pronaći zbroj korijena i njihov produkt i usporediti ih s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.
Dobivamo:
3. Metodologija rješavanja homogenih eksponencijalnih jednadžbi drugog stupnja
Proučimo sljedeću važnu vrstu eksponencijalnih jednadžbi:
Jednadžbe ovog tipa nazivamo homogenim drugog stupnja u odnosu na funkcije f i g. S njegove lijeve strane nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f s parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g s parametrom f.
Metoda rješenja:
Ova se jednadžba može riješiti kao kvadratna jednadžba, ali je lakše to učiniti drugačije. Postoje dva slučaja za razmatranje:
U prvom slučaju dobivamo
U drugom slučaju imamo pravo podijeliti s najvećim stupnjem i dobiti:
Potrebno je uvesti promjenu varijabli, dobivamo kvadratnu jednadžbu za y:
Napomenimo da funkcije f i g mogu biti bilo koje, ali nas zanima slučaj kada se radi o eksponencijalnim funkcijama.
4. Primjeri rješavanja homogenih jednadžbi
Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednadžbe:
Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju strogo pozitivne vrijednosti, imamo pravo odmah podijeliti jednadžbu s , bez razmatranja slučaja kada:
Dobivamo:
Uvedimo zamjenu: 
(prema svojstvima eksponencijalne funkcije)
Dobili smo kvadratnu jednadžbu:
Korijene određujemo pomoću Vietinog teorema:
Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, odbacujemo ga, dobivamo:
Iskoristimo svojstva stupnjeva i reduciramo sve stupnjeve na jednostavne baze:
Lako je uočiti funkcije f i g:
Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju strogo pozitivne vrijednosti, imamo pravo jednadžbu odmah podijeliti s , bez razmatranja slučaja kada je .