Primjeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Prilikom rješavanja bilo koje eksponencijalne jednadžbe nastojimo je dovesti u oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\, a zatim napraviti prijelaz na jednakost eksponenata, tj.

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primjer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Važno! Iz iste logike slijede dva zahtjeva za takav prijelaz:
- broj u lijevo i desno trebaju biti isti;
- stupnjevi s lijeve i desne strane moraju biti "čisti", odnosno ne smije biti množenja, dijeljenja i sl.

Na primjer:

Za svođenje jednadžbe na oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\) koriste se i.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednadžbu \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Riješenje:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Znamo da je \(27 = 3^3\). Uzimajući to u obzir, transformiramo jednadžbu.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Po svojstvu korijena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobivamo da je \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Zatim, koristeći svojstvo stupnja \((a^b)^c=a^(bc)\), dobivamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Također znamo da \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Primjenjujući ovo na lijevu stranu, dobivamo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Zapamtite da je: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ova se formula također može koristiti u obrnuta strana: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Primjenjujući svojstvo \((a^b)^c=a^(bc)\) na desnu stranu, dobivamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		I sada su naše baze jednake i nema interferirajućih koeficijenata, itd. Tako da možemo napraviti prijelaz.
		Primjer . Riješite eksponencijalnu jednadžbu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Riješenje: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponovno koristimo svojstvo snage \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) u suprotnom smjeru. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sada zapamtite da \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Koristeći svojstva stupnjeva, transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Pažljivo pogledamo jednadžbu i vidimo da se zamjena \(t=2^x\) nameće sama od sebe. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Međutim, pronašli smo vrijednosti \(t\), i trebamo \(x\). Vraćamo se na X, čineći obrnutu zamjenu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformirajmo drugu jednadžbu koristeći svojstvo negativne snage... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i odlučujemo do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovor : \(-1; 1\). Ostaje pitanje - kako razumjeti kada koristiti koju metodu? Ovo dolazi s iskustvom. Dok ga ne dobijete, koristite ga opća preporuka za rješavanje složenih problema - "ako ne znaš što učiniti, učini što možeš." Odnosno, potražite kako možete načelno transformirati jednadžbu i pokušajte to učiniti - što ako se što dogodi? Glavna stvar je napraviti samo matematički utemeljene transformacije. Eksponencijalne jednadžbe bez rješenja Pogledajmo još dvije situacije koje često zbunjuju studente: - pozitivan broj na potenciju jednak je nuli, npr. \(2^x=0\); - pozitivan broj jednak je potenciji negativnog broja, na primjer, \(2^x=-4\). Pokušajmo riješiti grubom silom. Ako je x pozitivan broj, onda kako x raste, cijela snaga \(2^x\) će samo rasti: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Također po. Negativni X ostaju. Prisjećajući se svojstva \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), provjeravamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Unatoč činjenici da broj postaje manji sa svakim korakom, nikada neće doći do nule. Dakle, negativni stupanj nas nije spasio. Dolazimo do logičnog zaključka: Pozitivan broj u bilo kojem stupnju ostat će pozitivan broj. Dakle, obje gornje jednadžbe nemaju rješenja. Eksponencijalne jednadžbe s različitim bazama U praksi se ponekad susrećemo s eksponencijalnim jednadžbama s različitim bazama koje se međusobno ne mogu svesti, a istodobno s istim eksponentima. Izgledaju ovako: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdje su \(a\) i \(b\) pozitivni brojevi. Na primjer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takve se jednadžbe lako mogu riješiti dijeljenjem s bilo kojom stranom jednadžbe (obično podijeljeno s desnom stranom, to jest s \(b^(f(x))\). Možete dijeliti na ovaj način jer pozitivan broj pozitivno na bilo koju potenciju (to jest, ne dijelimo s nulom) Dobivamo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primjer . Riješite eksponencijalnu jednadžbu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Riješenje: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ovdje peticu nećemo moći pretvoriti u trojku ili obrnuto (barem bez upotrebe ). To znači da ne možemo doći do oblika \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Međutim, pokazatelji su isti. Podijelimo jednadžbu s desnom stranom, to jest s \(3^(x+7)\) (to možemo učiniti jer znamo da tri neće biti nula ni na kojem stupnju). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sada zapamtite svojstvo \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i koristite ga slijeva u suprotnom smjeru. S desne strane jednostavno smanjimo razlomak. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Čini se da stvari nisu krenule na bolje. Ali zapamtite još jedno svojstvo potencije: \(a^0=1\), drugim riječima: "bilo koji broj na nultu potenciju jednak je \(1\)." Obrnuto je također istinito: "jedan se može predstaviti kao bilo koji broj na nultu potenciju." Iskoristimo to tako da baza s desne strane bude ista kao s lijeve. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Riješimo se baza. Pišemo odgovor. Odgovor : \(-7\). Ponekad “istovjetnost” eksponenata nije očita, ali vješto korištenje svojstava eksponenata rješava taj problem. Primjer . Riješite eksponencijalnu jednadžbu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Riješenje: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Jednadžba izgleda jako tužno... Ne samo da se baze ne mogu svesti na isti broj (sedam nikako neće biti jednako \(\frac(1)(3)\)), nego su i eksponenti različiti. .. Ipak, upotrijebimo lijevu eksponentnu dvojku. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sjećajući se svojstva \((a^b)^c=a^(b·c)\), transformiramo slijeva: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sada, prisjećajući se svojstva negativnog stupnja \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo s desna: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Pokazatelji su isti! Postupajući prema shemi koja nam je već poznata, rješavamo prije odgovora. Odgovor : \(2\).

Belgorodsko državno sveučilište

ODJEL algebra, teorija brojeva i geometrija

Tema rada: Eksponencijalne potencije jednadžbe i nejednadžbe.

Diplomski rad student Fizičko-matematičkog fakulteta

Znanstveni savjetnik:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006. godine

Uvod			3
Predmet ja	Analiza literature o temi istraživanja.
Predmet II.	Funkcije i njihova svojstva koja se koriste u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.
	I.1.	Funkcija snage i njezina svojstva.
	I.2.	Eksponencijalna funkcija i njezina svojstva.
Predmet III.	Rješavanje eksponencijalnih potencijskih jednadžbi, algoritam i primjeri.
Predmet IV.	Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi, plan rješenja i primjeri.
Predmet V.	Iskustvo u vođenju nastave sa školskom djecom na temu: “Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.”
V. 1.	Obrazovni materijal.
V. 2.	Problemi za samostalno rješavanje.
Zaključak.	Zaključci i ponude.
Bibliografija.
Prijave

Uvod.

“...radost gledanja i razumijevanja...”

A. Einstein.

U ovom sam radu pokušao prenijeti svoje iskustvo profesora matematike, prenijeti barem donekle svoj odnos prema njenom poučavanju - ljudskom nastojanju u kojem se na iznenađujući način isprepliću matematička znanost, pedagogija, didaktika, psihologija, pa i filozofija.

Imao sam priliku raditi s klincima i maturantima, s djecom koja su stajala na stupovima intelektualni razvoj: oni koji su bili registrirani kod psihijatra i koji su bili stvarno zainteresirani za matematiku

Imao sam priliku riješiti mnoge metodičke probleme. Pokušat ću govoriti o onima koje sam uspio riješiti. Ali još više neuspjelih, a i u onima koji se čine riješenim, otvaraju se nova pitanja.

Ali još važnija od samog iskustva su učiteljeva razmišljanja i dvojbe: zašto je baš tako, to iskustvo?

I ljeto je sada drugačije, a razvoj obrazovanja postao je zanimljiviji. “Pod Jupiterima” sada nije potraga za mitskim optimalan sustav poučavanje “svima i svemu”, nego samo dijete. Ali onda - nužno - učitelj.

U školskom tečaju algebre i počela je analiza, razredi 10 - 11, sa polaganje Jedinstvenog državnog ispita Tijekom srednje škole i na prijemnim ispitima na sveučilištima susreću se jednadžbe i nejednadžbe koje sadrže nepoznanicu u bazi i eksponentima – to su eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe.

U školi im se malo pridaje pažnje, u udžbenicima praktički nema zadataka na ovu temu. Međutim, ovladavanje tehnikom njihovog rješavanja, čini mi se, vrlo je korisno: povećava mentalni i Kreativne vještine studenti, pred nama se otvaraju potpuno novi horizonti. Prilikom rješavanja zadataka učenici stječu prve vještine istraživački rad, obogaćuje se njihova matematička kultura, njihove sposobnosti da logično mišljenje. Školarci razvijaju takve osobine ličnosti kao što su odlučnost, postavljanje ciljeva i neovisnost, koje će im biti korisne u kasnijem životu. Također postoji ponavljanje, širenje i duboka asimilacija obrazovnog materijala.

Započeo sam rad na ovoj temi za svoj diplomski rad pišući kolegij. Tijekom kojih sam temeljito proučavao i analizirao matematičku literaturu o ovoj temi, identificirao sam najprikladniju metodu za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

Ona leži u činjenici da osim općeprihvaćenog pristupa kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi (baza se uzima veća od 0) i kod rješavanja istih nejednadžbi (baza se uzima veća od 1 ili veća od 0, ali manja od 1) , također se razmatraju slučajevi kada su baze negativne, jednake 0 i 1.

Analiza pismenih ispitnih radova učenika pokazuje da im neobrađenost pitanja negativne vrijednosti argumenta eksponencijalne funkcije u školskim udžbenicima stvara niz poteškoća i dovodi do pogrešaka. A problema imaju i u fazi sistematizacije dobivenih rezultata, gdje se zbog prelaska na jednadžbu - posljedicu ili nejednakost - posljedicu mogu pojaviti strani korijeni. Za otklanjanje pogrešaka koristimo test pomoću izvorne jednadžbe ili nejednadžbe i algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi, odnosno plan za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.

Kako bi učenici uspješno položili završne i prijemne ispite, smatram da je potrebno više pažnje posvetiti rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi u nastavi, odnosno dodatno u izbornim i klupskim predmetima.

Tako subjekt , moja teza je definirana na sljedeći način: "Enadžbe i nejednadžbe eksponencijalne snage."

Ciljevi ovog djela su:

1. Analiziraj literaturu o ovoj temi.

2. Dati cjelovitu analizu rješenja eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

3. Navedite dovoljan broj primjera raznih vrsta na ovu temu.

4. Na razrednoj, izbornoj i klupskoj nastavi provjeriti kako će se percipirati predložene metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi. Dajte odgovarajuće preporuke za proučavanje ove teme.

Predmet Naše istraživanje ima za cilj razviti metodologiju za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

Svrha i predmet istraživanja zahtijevali su rješavanje sljedećih problema:

1. Proučite literaturu na temu: “Eksponencijalne potencije jednadžbe i nejednadžbe.”

2. Ovladati tehnikama rješavanja eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

3. Odaberite materijal za obuku i razvijte sustav vježbi na različitim razinama na temu: "Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi."

Tijekom istraživanja doktorskog rada više od 20 radova posvećeno je upotrebi razne metode rješavanje eksponencijalnih potencijskih jednadžbi i nejednadžbi. Odavde dobivamo.

Plan diplomskog rada:

Uvod.

Poglavlje I. Analiza literature o temi istraživanja.

poglavlje II. Funkcije i njihova svojstva koja se koriste u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

II.1. Funkcija snage i njezina svojstva.

II.2. Eksponencijalna funkcija i njezina svojstva.

poglavlje III. Rješavanje eksponencijalnih potencijskih jednadžbi, algoritam i primjeri.

Poglavlje IV. Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi, plan rješenja i primjeri.

Poglavlje V. Iskustvo vođenja nastave sa školskom djecom na ovu temu.

1. Materijal za obuku.

2.Zadaci za samostalno rješavanje.

Zaključak. Zaključci i ponude.

Popis korištene literature.

Prvo poglavlje analizira literaturu

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što se dogodilo eksponencijalna jednadžba? Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori neki stupnjevi. I samo tamo! To je važno.

Tu si ti primjeri eksponencijalne jednadžbe :

3 x 2 x = 8 x+3

Bilješka! U bazama stupnjeva (ispod) - samo brojevi. U indikatori stupnjevi (iznad) - širok izbor izraza s X. Ako se iznenada X pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim pokazatelja, na primjer:

ovo će već biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanje eksponencijalnih jednadžbi u svom najčišćem obliku.

Zapravo, čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo razmotriti.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, riješimo nešto vrlo osnovno. Na primjer:

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nijedna druga vrijednost X ne funkcionira. Sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Što smo učinili? Mi smo, zapravo, jednostavno izbacili iste baze (trojke). Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili čavao na glavicu!

Doista, ako u eksponencijalnoj jednadžbi postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojoj potenciji, ti se brojevi mogu ukloniti i eksponenti se mogu izjednačiti. Matematika dopušta. Ostaje riješiti puno jednostavniju jednadžbu. Sjajno, zar ne?)

Međutim, upamtimo čvrsto: Baze možete ukloniti samo kada su bazni brojevi s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednadžbama:

2 x +2 x+1 = 2 3, ili

dvojke se ne mogu ukloniti!

Eto, svladali smo ono najvažnije. Kako prijeći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

– Takva su vremena! - Ti kažeš. “Tko bi držao tako primitivnu lekciju na kolokvijima i ispitima!?”

Moram se složiti. Nitko neće. Ali sada znate kamo ciljati kada rješavate škakljive primjere. Mora se dovesti do obrasca gdje je s lijeve i desne strane isti osnovni broj. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo izvorni primjer i pretvaramo ga u željeni nas um. Po matematičkim pravilima, naravno.

Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi glavna su pravila radnje sa stupnjevima. Bez poznavanja ovih radnji ništa neće raditi.

Radnjama sa stupnjevima treba dodati osobno zapažanje i domišljatost. Trebaju li nam isti osnovni brojevi? Stoga ih u primjeru tražimo u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Dat će nam se primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi oštri pogled je na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vrijeme je da se toga prisjetimo

Dva i osam su srodnici u stupnju.) Sasvim je moguće napisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz operacija sa stupnjevima:

(a n) m = a nm,

ovo radi super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Izvorni primjer počeo je izgledati ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

prenosimo 2 3 (x+1) desno (nitko nije otkazao elementarne matematičke operacije!), dobivamo:

2 2x = 2 3(x+1)

To je praktički sve. Uklanjanje baza:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je točan odgovor.

U ovom primjeru pomoglo nam je poznavanje moći dvojke. Mi identificiran u osam je šifrirana dvojka. Ova tehnika (kodiranje zajedničkih baza pod različitim brojevima) vrlo je popularna tehnika u eksponencijalnim jednadžbama! Da, iu logaritmima. Morate znati prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi.

Činjenica je da podizanje bilo kojeg broja na bilo koju potenciju nije problem. Umnožite, čak i na papiru, i to je to. Na primjer, svatko može podići 3 na petu potenciju. 243 će uspjeti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednadžbama mnogo češće nije potrebno dizanje na potenciju, već obrnuto... Saznajte koji broj do kojeg stupnja se krije iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nikakav kalkulator neće pomoći.

Moće nekih brojeva morate znati iz viđenja, zar ne... Hajdemo vježbati?

Odredi koje su potencije i koji su brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (u neredu, naravno!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako bolje pogledate, možete vidjeti čudnu činjenicu. Ima znatno više odgovora nego zadataka! Pa, događa se... Na primjer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili na znanje informacije o poznavanju brojeva.) Dopustite mi da vas podsjetim da za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi koristimo svi zaliha matematičkog znanja. Uključujući one iz niže i srednje klase. Niste išli ravno u srednju školu, zar ne?)

Na primjer, pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi često pomaže stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled je u temelje! Osnove stupnjeva su različite... Tri i devet. Ali želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju želja je u potpunosti ispunjena!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Korištenje istih pravila za rad sa diplomama:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To je super, možete to zapisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dali smo primjer iz istih razloga. Dakle, što je sljedeće!? Ne možete izbaciti trice... Slijepa ulica?

Nikako. Zapamtite najuniverzalnije i najsnažnije pravilo odlučivanja svatko matematički zadaci:

Ako ne znaš što ti treba, učini što možeš!

Vidi, sve će uspjeti).

Što je u ovoj eksponencijalnoj jednadžbi Limenkačini? Da, s lijeve strane jednostavno moli da se izbaci iz zagrade! Ukupni množitelj od 3 2x jasno nagovještava to. Pokušajmo, pa ćemo vidjeti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Sjećamo se da nam je za eliminaciju osnova potreban čisti stupanj, bez ikakvih koeficijenata. Muči nas brojka 70. Podijelimo obje strane jednadžbe sa 70 i dobijemo:

Ups! Sve je postalo bolje!

Ovo je konačan odgovor.

Događa se, međutim, da se taksiranje po istoj osnovi postigne, ali njihovo uklanjanje nije moguće. To se događa u drugim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Svladajmo ovu vrstu.

Zamjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Riješimo jednadžbu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Prijeđimo na jednu bazu. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobivamo jednadžbu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje se družimo. Prethodne tehnike neće raditi, kako god na to gledali. Morat ćemo nabaviti drugu moćnu i univerzalna metoda. To se zove zamjena varijable.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju - 2 x) pišemo drugu, jednostavniju (na primjer - t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

U našoj jednadžbi sve potencije s x-ovima zamijenimo t:

Pa, je li ti sinulo?) Jeste li već zaboravili kvadratne jednadžbe? Rješavanjem preko diskriminante dobivamo:

Ovdje je glavna stvar ne stati, kao što se događa... Ovo još nije odgovor, trebamo x, a ne t. Vratimo se X-ovima, tj. vršimo obrnutu zamjenu. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu iz t 2:

Hm... 2 x lijevo, 1 desno... Problem? Nikako! Dovoljno je zapamtiti (iz operacija s ovlastima, da...) da jedinica jest bilo koji broj na nultu potenciju. Bilo koje. Sve što je potrebno mi ćemo ugraditi. Trebamo dva. Sredstva:

To je sad to. Imamo 2 korijena:

Ovo je odgovor.

Na rješavanje eksponencijalnih jednadžbi na kraju ponekad završite s nekom vrstom neugodnog izraza. Tip:

Sedam se ne može pretvoriti u dva pomoću jednostavne snage. Nisu rodbina... Kako da budemo? Netko može biti zbunjen ... Ali osoba koja je na ovoj stranici pročitala temu "Što je logaritam?" , samo se štedljivo nasmiješite i zapišite mirnom rukom apsolutno točan odgovor:

Ne može postojati takav odgovor u zadacima "B" na Jedinstvenom državnom ispitu. Potreban je određeni broj. Ali u zadacima "C" je lako.

Ova lekcija pruža primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednadžbi. Istaknimo glavne točke.

Praktičan savjet:

1. Prije svega gledamo osnove stupnjeva. Zanima nas je li ih moguće napraviti identičan. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem radnje sa stupnjevima. Ne zaboravite da se brojevi bez x-ova također mogu pretvoriti u potencije!

2. Eksponencijalnu jednadžbu pokušavamo dovesti u oblik kada s lijeve i s desne strane postoje isto brojevi u bilo kojim potencijama. Koristimo radnje sa stupnjevima I faktorizacija. Ono što se brojkama može prebrojati, mi brojimo.

3. Ako drugi savjet ne radi, pokušajte upotrijebiti zamjenu varijable. Rezultat može biti jednadžba koja se lako može riješiti. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednadžbi potrebno je znati potencije nekih brojeva iz vida.

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo odlučite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Pronađite umnožak korijena:

2 3 + 2 x = 9

Dogodilo se?

Dobro onda najkompliciraniji primjer(odlučio, međutim, u mislima...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Što je zanimljivije? Onda vam je loš primjer. Prilično privučeno povećana težina. Nagovijestit ću da vas u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih problema.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednostavniji primjer, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

A za desert. Pronađite zbroj korijena jednadžbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednadžba mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. Zašto ih razmatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa treba domišljatosti... I neka ti pomogne sedmi razred (ovo je hint!).

Odgovori (u nizu, odvojeni točkom i zarezom):

1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Je li sve uspješno? Sjajno.

Imamo problem? Nema problema! Poseban odjeljak 555 rješava sve te eksponencijalne jednadžbe s detaljnim objašnjenjima. Što, zašto i zašto. I, naravno, tu su dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Ne samo ove.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji radili smo s eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječ o ODZ-u? U jednadžbama, ovo je vrlo važna stvar, usput...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Prva razina

Eksponencijalne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zdravo! Danas ćemo s vama razgovarati o tome kako riješiti jednadžbe koje mogu biti elementarne (i nadam se da će nakon čitanja ovog članka gotovo sve biti takve za vas), i one koje se obično daju "za popunjavanje". Očito da konačno zaspim. Ali pokušat ću učiniti sve što je moguće kako sada ne biste upali u nevolje kada se suočite s ovom vrstom jednadžbi. Neću više lupati okolo, ali ću odmah otvoriti mala tajna: danas ćemo učiti eksponencijalne jednadžbe.

Prije nego što prijeđem na analizu načina za njihovo rješavanje, odmah ću vam navesti niz pitanja (prilično malih) koja biste trebali ponoviti prije nego što požurite napadati ovu temu. Dakle, dobiti najbolji rezultat, molim te, ponoviti:

1. Svojstva i
2. Rješenje i jednadžbe

Ponavljao? nevjerojatno! Tada vam neće biti teško uočiti da je korijen jednadžbe broj. Shvaćate li točno kako sam to učinio? To je istina? Onda nastavimo. Sada odgovorite na moje pitanje, što je jednako trećoj potenciji? Ti si potpuno u pravu: . Koja je potencija dvojke osam? Tako je – treći! Jer. Pa, pokušajmo sada riješiti sljedeći problem: Dopustite mi da jednom pomnožim broj sam sa sobom i dobijem rezultat. Pitanje je koliko sam puta sam pomnožio? Naravno, ovo možete izravno provjeriti:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( uskladiti)

Onda možete zaključiti da sam pomnožio sam sa sobom puta. Kako drugačije to možete provjeriti? Evo kako: izravno definicijom stupnja: . Ali, priznajte, kad bih vas pitao koliko puta dva treba pomnožiti sa samim sobom da bismo dobili, recimo, rekli biste mi: neću se zavaravati i množiti sam sa sobom dok ne pomodrim. I bio bi potpuno u pravu. Jer kako možeš ukratko zapišite sve korake(a kratkoća je sestra talenta)

gdje - to su isti "puta", kada množite samim sobom.

Mislim da znate (a ako ne znate, hitno, vrlo hitno ponovite stupnjeve!) da će tada moj problem biti napisan u obliku:

Kako možete razumno zaključiti da:

Tako sam, neopaženo, zapisao najjednostavnije eksponencijalna jednadžba:

I čak sam ga našao korijen. Ne mislite li da je sve potpuno trivijalno? Mislim potpuno isto. Evo još jedan primjer za vas:

Ali što učiniti? Uostalom, ne može se napisati kao potencija (razumnog) broja. Nemojmo očajavati i primijetimo da su oba ova broja savršeno izražena kroz potenciju istog broja. Koji? Desno: . Zatim se izvorna jednadžba transformira u oblik:

Gdje, kao što ste već shvatili, . Nemojmo više odgađati i zapišimo definicija:

U našem slučaju: .

Ove se jednadžbe rješavaju redukcijom na oblik:

nakon čega slijedi rješavanje jednadžbe

Zapravo, u prethodnom smo primjeru učinili upravo to: dobili smo sljedeće: I riješili smo najjednostavniju jednadžbu.

Čini se kao ništa komplicirano, zar ne? Vježbajmo prvo na najjednostavnijima primjeri:

Ponovno vidimo da desnu i lijevu stranu jednadžbe treba predstaviti kao potencije jednog broja. Istina, lijevo je to već učinjeno, ali desno je broj. Ali u redu je, jer će se moja jednadžba čudesno pretvoriti u ovo:

Što sam ovdje imao koristiti? Koje pravilo? Pravilo "stupnjeva unutar stupnjeva" koji glasi:

Što ako:

Prije nego odgovorimo na ovo pitanje, ispunimo sljedeću tablicu:

Lako nam je primijetiti da što manje, to manje vrijednosti, ali unatoč tome, sve ove vrijednosti su veće od nule. I UVIJEK ĆE TAKO BITI!!! Isto svojstvo vrijedi ZA BILO KOJU BAZU SA BILO KOJIM INDIKATOROM!! (za bilo koje i). Što onda možemo zaključiti o jednadžbi? Evo što je: to nema korijena! Baš kao što svaka jednadžba nema korijena. Sada vježbajmo i Riješimo jednostavne primjere:

Provjerimo:

1. Ovdje se od vas neće tražiti ništa osim poznavanja svojstava stupnjeva (koje sam vas, usput, zamolio da ponovite!) U pravilu, sve vodi do najmanje baze: , . Tada će izvorna jednadžba biti ekvivalentna sljedećem: Sve što trebam je koristiti svojstva potencija: Kod množenja brojeva s istim bazama potencije se zbrajaju, a kod dijeljenja oduzimaju. Onda ću dobiti: Pa sad ću mirne savjesti prijeći s eksponencijalne na linearnu jednadžbu: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\kraj(poravnaj)

2. U drugom primjeru moramo biti oprezniji: problem je u tome što na lijevoj strani nikako ne možemo prikazati isti broj kao potenciju. U ovom slučaju ponekad je korisno predstavljaju brojeve kao umnožak potencija s različitim bazama, ali istim eksponentima:

Lijeva strana jednadžbe će izgledati ovako: Što nam je ovo dalo? Evo što: Brojevi s različitim bazama, ali istim eksponentima mogu se množiti.U ovom slučaju, baze se množe, ali indikator se ne mijenja:

U mojoj situaciji to će dati:

\početak(poravnaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\kraj(poravnaj)

Nije loše, zar ne?

3. Ne volim kada, bez potrebe, imam dva člana s jedne strane jednadžbe, a nijedan s druge strane (ponekad je to, naravno, opravdano, ali sada nije tako). Pomaknut ću minus izraz udesno:

Sada ću, kao i prije, sve napisati u smislu potencija trojke:

Dodam stupnjeve s lijeve strane i dobijem ekvivalentnu jednadžbu

Njegov korijen možete lako pronaći:

4. Kao u primjeru tri, minus član ima mjesto na desnoj strani!

S moje lijeve strane je gotovo sve u redu, osim čega? Da, smeta mi "kriva diploma" ta dva. Ali to mogu lako popraviti tako da napišem: . Eureka - lijevo su sve baze različite, ali su svi stupnjevi isti! Odmah množimo!

Ovdje je opet sve jasno: (ako vam nije jasno kako sam magično dobio posljednju jednakost, napravite pauzu na minutu, udahnite i ponovno vrlo pažljivo pročitajte svojstva stupnja. Tko je rekao da možete preskočiti stupanj s negativnim eksponentom? Pa, ovdje sam otprilike isto što i nitko). Sada ću dobiti:

\početak(poravnaj)
& ((2)^(4\lijevo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\kraj(poravnaj)

Evo nekoliko zadataka za vježbanje na koje ću ja dati samo odgovore (ali u “mješovitom” obliku). Riješite ih, provjerite, a ti i ja nastavit ćemo istraživanje!

Spreman? Odgovori poput ovih:

1. bilo koji broj

Dobro, dobro, šalio sam se! Ovdje su neke skice rješenja (neke vrlo kratke!)

Ne mislite li da nije slučajnost da je jedan razlomak s lijeve strane drugi "obrnut"? Bila bi grehota ne iskoristiti ovo:

Ovo se pravilo vrlo često koristi pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi, dobro ga zapamtite!

Tada će izvorna jednadžba postati ovakva:

Odlučivši ovo kvadratna jednadžba, dobit ćete ove korijene:

2. Drugo rješenje: dijeljenje obje strane jednadžbe s izrazom lijevo (ili desno). Podijelimo s onim što je desno i dobijem:

Gdje (zašto?!)

3. Ne želim se niti ponavljati, toliko je sve već "prožvakano".

4. ekvivalent kvadratnoj jednadžbi, korijeni

5. Trebate koristiti formulu danu u prvom problemu, tada ćete dobiti sljedeće:

Jednadžba se pretvorila u trivijalni identitet koji vrijedi za bilo koji. Tada je odgovor bilo koji realan broj.

Pa, sad ste uvježbali rješavanje jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Sada vam želim dati nekoliko životnih primjera koji će vam pomoći da shvatite zašto su u načelu potrebni. Ovdje ću dati dva primjera. Jedna od njih je sasvim svakodnevna, ali je druga vjerojatnije da će biti od znanstvenog, a ne praktičnog interesa.

Primjer 1 (merkantilni) Neka imate rublje, ali želite ih pretvoriti u rublje. Banka vam nudi da taj novac uzme od vas po godišnjoj stopi s mjesečnom kapitalizacijom kamata (mjesečni obračun). Postavlja se pitanje koliko mjeseci trebate otvoriti depozit da biste dosegli traženi konačni iznos? Prilično običan zadatak, zar ne? Ipak, njegovo rješenje povezano je s konstrukcijom odgovarajuće eksponencijalne jednadžbe: Neka - početni iznos, - konačni iznos, - kamatna stopa za razdoblje, - broj razdoblja. Zatim:

U našem slučaju (ako je stopa godišnja, onda se obračunava mjesečno). Zašto je podijeljeno sa? Ako ne znate odgovor na ovo pitanje, sjetite se teme “”! Tada dobivamo ovu jednadžbu:

Ova eksponencijalna jednadžba može se riješiti samo pomoću kalkulatora (njegov izgled nagovještava ovo, a to zahtijeva poznavanje logaritama, s kojima ćemo se upoznati malo kasnije), što ću učiniti: ... Dakle, da bismo dobili milijun, morat ćemo položiti depozit na mjesec dana ( ne baš brzo, zar ne?).

Primjer 2 (prilično znanstveni). Unatoč njegovoj određenoj "izolaciji", preporučujem da obratite pozornost na njega: on redovito "sklizne na Jedinstveni državni ispit!! (problem je preuzet iz “prave” verzije) Tijekom raspada radioaktivnog izotopa njegova masa opada prema zakonu, gdje je (mg) početna masa izotopa, (min.) vrijeme proteklo od početni trenutak, (min.) je vrijeme poluraspada. U početnom trenutku masa izotopa je mg. Njegov poluživot je min. Nakon koliko minuta će masa izotopa biti jednaka mg? U redu je: samo uzmemo i zamijenimo sve podatke u formulu koja nam je predložena:

Podijelimo oba dijela "u nadi" da ćemo s lijeve strane dobiti nešto probavljivo:

Pa, baš smo sretni! Nalazi se lijevo, a onda prijeđimo na ekvivalentnu jednadžbu:

Gdje je min.

Kao što vidite, eksponencijalne jednadžbe imaju vrlo stvarnu primjenu u praksi. Sada vam želim pokazati još jedan (jednostavan) način rješavanja eksponencijalnih jednadžbi, koji se temelji na izvlačenju zajedničkog faktora iz zagrada i zatim grupiranju članova. Nemojte se uplašiti mojih riječi, već ste se susreli s ovom metodom u 7. razredu kada ste učili polinome. Na primjer, ako trebate faktorizirati izraz:

Grupirajmo: prvi i treći član, kao i drugi i četvrti. Jasno je da su prvi i treći razlika kvadrata:

a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:

Tada je originalni izraz ekvivalentan ovome:

Gdje izvesti zajednički faktor više nije teško:

Stoga,

Otprilike ovako ćemo raditi kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi: tražiti “zajedništvo” među pojmovima i izbaciti ga iz zagrada, a onda - što bude, vjerujem da ćemo imati sreće =)) Na primjer:

Desno je daleko od toga da je stepen od sedam (provjerio sam!) A lijevo - malo je bolje, možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz drugog od prvog člana, a zatim podijeliti s onim što imaš, ali budimo oprezniji s tobom. Ne želim se baviti razlomcima koji neizbježno nastaju pri "odabiru", pa ne bih li ga radije trebao izvaditi? Onda neću imati frakcije: kako kažu, vukovi su siti, a ovce na sigurnom:

Izračunaj izraz u zagradama. Čarobno, magično, to ispada (začudo, iako što drugo očekivati?).

Zatim reduciramo obje strane jednadžbe za ovaj faktor. Dobivamo: , od.

Evo kompliciranijeg primjera (prilično malo, stvarno):

Kakav problem! Ovdje nemamo ni jednu zajedničku točku! Nije sasvim jasno što sad učiniti. Učinimo što možemo: prvo premjestimo "četvorke" na jednu stranu, a "petice" na drugu:

Sada izvadimo "generala" s lijeve i desne strane:

Pa što sad? Koja je korist od tako glupe grupe? Na prvi pogled to se uopće ne vidi, ali pogledajmo dublje:

Pa, sada ćemo se pobrinuti da lijevo imamo samo izraz c, a desno - sve ostalo. Kako ćemo to učiniti? Evo kako: prvo obje strane jednadžbe podijelite s (tako da se riješimo eksponenta s desne strane), a zatim obje strane podijelimo s (tako da se riješimo numeričkog faktora s lijeve strane). Na kraju dobivamo:

Nevjerojatan! S lijeve strane imamo izraz, a s desne jednostavan izraz. Onda odmah zaključujemo da

Evo još jednog primjera za pojačanje:

Dat ću njegovo kratko rješenje (bez da se mnogo zamaram objašnjenjima), pokušajte sami razumjeti sve "suptilnosti" rješenja.

Sada za konačnu konsolidaciju obrađenog materijala. Pokušajte sami riješiti sljedeće probleme. Dat ću samo kratke preporuke i savjete za njihovo rješavanje:

1. Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: Gdje je:
2. Predstavimo prvi izraz u obliku: , podijelimo obje strane s i dobijemo to
3. , tada se izvorna jednadžba transformira u oblik: Pa, sad savjet - potražite gdje smo ti i ja već riješili ovu jednadžbu!
4. Zamislite kako, kako, ah, pa, onda podijelite obje strane s, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednadžbu.
5. Iznesite ga iz zagrade.
6. Iznesite ga iz zagrade.

EKSPONENTNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Pretpostavljam da nakon čitanja prvog članka, koji je govorio o što su eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti, savladali ste potrebni minimum znanje potrebno za rješavanje jednostavnih primjera.

Sada ću pogledati drugu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi, a to je

“metoda uvođenja nove varijable” (ili zamjene). Rješava većinu “teških” zadataka na temu eksponencijalnih jednadžbi (i ne samo jednadžbi). Ova metoda je jedna od najčešće korištenih u praksi. Prvo, preporučujem da se upoznate s temom.

Kao što ste već shvatili iz naziva, bit ove metode je uvesti takvu promjenu varijable da će se vaša eksponencijalna jednadžba čudesno pretvoriti u onu koju možete lako riješiti. Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednadžbe” je napraviti “obrnutu zamjenu”: odnosno vratiti se sa zamijenjenog na zamijenjeno. Ilustrirajmo ovo što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

Primjer 1:

Ova se jednadžba rješava pomoću "jednostavne supstitucije", kako je matematičari omalovažavajuće nazivaju. Zapravo, zamjena je ovdje najočitija. To treba samo vidjeti

Tada će se izvorna jednadžba pretvoriti u ovo:

Ako dodatno zamislimo kako, onda je potpuno jasno što treba zamijeniti: naravno, . Što onda postaje izvorna jednadžba? Evo što:

Njegove korijene možete lako pronaći i sami: . Što bismo sada trebali učiniti? Vrijeme je za povratak na izvornu varijablu. Što sam zaboravio spomenuti? Naime: kod zamjene određenog stupnja novom varijablom (odnosno kod zamjene tipa) zanimat će me samo pozitivni korijeni! Sami lako možete odgovoriti zašto. Dakle, vi i ja nismo zainteresirani, ali drugi korijen je sasvim prikladan za nas:

Odakle onda.

Odgovor:

Kao što vidite, u prethodnom primjeru, zamjena je samo tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj. No, nemojmo odmah ići na tužne stvari, nego vježbajmo s još jednim primjerom s prilično jednostavnom zamjenom

Primjer 2.

Jasno je da ćemo najvjerojatnije morati izvršiti zamjenu (ovo je najmanja od potencija uključenih u našu jednadžbu), ali prije uvođenja zamjene, našu jednadžbu treba „pripremiti“ za nju, naime: , . Zatim možete zamijeniti, kao rezultat dobivam sljedeći izraz:

Oh užas: kubična jednadžba s apsolutno užasnim formulama za njezino rješavanje (dobro, govoreći na opći pogled). Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo što nam je činiti. Predložit ću varanje: znamo da da bismo dobili “prekrasan” odgovor, moramo ga dobiti u obliku neke potencije broja tri (zašto bi to bilo, a?). Pokušajmo pogoditi barem jedan korijen naše jednadžbe (počet ću pogađati s potencijama broja tri).

Prva pretpostavka. Nije korijen. Jao i ah...

.
Lijeva strana je jednaka.
Desni dio: !
Jesti! Pogodio prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!

Znate li za shemu podjele "u kutu"? Naravno da imate, koristite ga kada dijelite jedan broj s drugim. Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti s polinomima. Postoji jedan prekrasan teorem:

Primjenjujući na moju situaciju, ovo mi govori da je djeljiv bez ostatka sa. Kako se provodi dioba? Tako:

Gledam s kojim bih monomom trebao pomnožiti da dobijem Clearly, a zatim:

Oduzimam dobiveni izraz od, dobivam:

Sada, s čim trebam pomnožiti da dobijem? Jasno je da ću na, tada dobiti:

i ponovno oduzmite dobiveni izraz od preostalog:

Dobro posljednji korak, pomnožite sa i oduzmite od preostalog izraza:

Hura, podjela je gotova! Što smo privatno nakupili? Samo po sebi: .

Zatim smo dobili sljedeće proširenje izvornog polinoma:

Riješimo drugu jednadžbu:

Ima korijene:

Zatim izvorna jednadžba:

ima tri korijena:

Zadnji korijen ćemo, naravno, odbaciti jer je manji od nule. A prva dva nakon obrnute zamjene dat će nam dva korijena:

Odgovor: ..

Ovim primjerom vas uopće nisam htio prestrašiti, već mi je cilj bio pokazati da iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ona je ipak dovela do prilično složene jednadžbe čije je rješavanje od nas zahtijevalo posebne vještine. Pa, nitko nije imun na ovo. Ali zamjena je u ovom slučaju bila sasvim očita.

Evo primjera s malo manje očitom zamjenom:

Uopće nije jasno što bismo trebali učiniti: problem je što u našoj jednadžbi postoje dva različite baze a jedan se temelj ne može dobiti od drugoga podizanjem na bilo koji (razuman, prirodno) stupanj. Međutim, što vidimo? Obje baze razlikuju se samo u predznaku, a njihov umnožak je razlika kvadrata jednaka jedan:

Definicija:

Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.

U ovom slučaju, pametan bi korak bio pomnožite obje strane jednadžbe s konjugiranim brojem.

Na primjer, na, tada će lijeva strana jednadžbe postati jednaka, a desna. Ako napravimo zamjenu, tada će naša izvorna jednadžba postati ovakva:

njegove korijene, dakle, i prisjećajući se toga, shvaćamo to.

Odgovor: , .

U pravilu je metoda zamjene dovoljna za rješavanje većine “školskih” eksponencijalnih jednadžbi. Sljedeći zadaci preuzeti su iz jedinstvenog državnog ispita C1 ( povećana razina poteškoće). Već ste dovoljno pismeni da sami riješite ove primjere. Dajem samo potrebnu zamjenu.

1. Riješite jednadžbu:
2. Pronađite korijene jednadžbe:
3. Riješite jednadžbu: . Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:

A sada neka kratka objašnjenja i odgovori:

1. Ovdje nam je dovoljno napomenuti da... Tada će izvorna jednadžba biti ekvivalentna ovoj: Ova se jednadžba može riješiti zamjenom Izvršite daljnje izračune sami. Na kraju će se vaš zadatak svesti na rješavanje jednostavnih trigonometrijskih zadataka (ovisno o sinusu ili kosinusu). Pogledat ćemo rješenja sličnih primjera u drugim odjeljcima.
2. Ovdje čak možete i bez supstitucije: samo pomaknite subtrahend udesno i obje baze predstavite potencijama dvojke: , a zatim idite ravno na kvadratnu jednadžbu.
3. Treća se jednadžba također rješava prilično standardno: zamislimo kako. Zatim, zamjenom, dobivamo kvadratnu jednadžbu: tada,

   Već znate što je logaritam, zar ne? Ne? Onda pod hitno pročitajte temu!

   Prvi korijen očito ne pripada segmentu, ali drugi je nejasan! Ali saznat ćemo vrlo brzo! Budući da, dakle (ovo je svojstvo logaritma!) Usporedimo:

   Oduzimamo s obje strane, dobivamo:

   Lijeva strana može se predstaviti kao:

   pomnožite obje strane sa:

   može se pomnožiti s, dakle

   Zatim usporedite:

   od tad:

   Tada drugi korijen pripada traženom intervalu

   Odgovor:

Kao što vidiš, izbor korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva prilično duboko poznavanje svojstava logaritama, pa vam savjetujem da budete što oprezniji pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi. Kao što razumijete, u matematici je sve međusobno povezano! Kao što je moj profesor matematike rekao: "matematika se, kao i povijest, ne može pročitati preko noći."

U pravilu, sve Poteškoća u rješavanju problema C1 je upravo izbor korijena jednadžbe. Vježbajmo s još jednim primjerom:

Jasno je da se sama jednadžba rješava prilično jednostavno. Zamjenom svodimo našu izvornu jednadžbu na sljedeće:

Prvo pogledajmo prvi korijen. Usporedimo i: budući, dakle. (svojstvo logaritamske funkcije, at). Tada je jasno da prvi korijen ne pripada našem intervalu. Sada drugi korijen: . Jasno je da (budući da je funkcija at rastuća). Ostaje još usporediti i...

budući da, dakle, u isto vrijeme. Na taj način mogu "zabiti klin" između i. Ovaj klin je broj. Prvi izraz je manji, a drugi veći. Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.

Odgovor: .

Na kraju, pogledajmo još jedan primjer jednadžbe u kojoj je supstitucija prilično nestandardna:

Počnimo odmah s onim što se može učiniti, a što se - u načelu može učiniti, ali je bolje to ne činiti. Sve možete zamisliti kroz moći tri, dva i šest. Kamo to vodi? To neće dovesti do ničega: gomila stupnjeva, od kojih će se nekih biti prilično teško riješiti. Što je onda potrebno? Zabilježimo da A što će nam to dati? I činjenica da možemo smanjiti odluku ovaj primjer Za rješavanje je dovoljna jednostavna eksponencijalna jednadžba! Prvo, prepišimo našu jednadžbu kao:

Sada podijelimo obje strane dobivene jednadžbe s:

Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobivamo:

Pa, sada je na tebi red da rješavaš demonstracijske zadatke, a ja ću ih samo kratko komentirati da ne zalutaš! Sretno!

1. Najteže! Ovdje je tako teško vidjeti zamjenu! Ipak, ovaj se primjer može u potpunosti riješiti pomoću ističući cijeli kvadrat. Da bismo ga riješili, dovoljno je napomenuti da:

Onda je ovo vaša zamjena:

(Imajte na umu da ovdje tijekom naše zamjene ne možemo odbaciti negativni korijen!!! Što mislite zašto?)

Da biste riješili primjer, morate riješiti samo dvije jednadžbe:

Oboje su riješeni" standardna zamjena"(ali drugi u jednom primjeru!)

2. Primijetite to i napravite zamjenu.

3. Rastavite broj na međusobno proste faktore i pojednostavnite dobiveni izraz.

4. Podijelite brojnik i nazivnik razlomka s (ili, ako želite) i napravite zamjenu ili.

5. Uočite da su brojevi i konjugirani.

EKSPONENTNE JEDNADŽBE. NAPREDNA RAZINA

Osim toga, pogledajmo još jedan način - rješavanje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma. Ne mogu reći da je rješavanje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom vrlo popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravnog rješenja naše jednadžbe. Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mješovite jednadžbe": to jest, one gdje se pojavljuju funkcije različitih vrsta.

Na primjer, jednadžba oblika:

u općem slučaju, može se riješiti samo logaritmiranjem obje strane (na primjer, na bazu), u čemu će se izvorna jednadžba pretvoriti u sljedeće:

Pogledajmo sljedeći primjer:

Jasno je da nas prema ODZ-u logaritamske funkcije zanima samo. No, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, nego iz još jednog razloga. Mislim da vam neće biti teško pogoditi koji je.

Uzmimo logaritam obje strane naše jednadžbe na bazu:

Kao što vidite, uzimanje logaritma naše izvorne jednadžbe brzo nas je dovelo do točnog (i lijepog!) odgovora. Vježbajmo s još jednim primjerom:

Ni ovdje nema ništa loše: uzmimo logaritam obje strane jednadžbe na bazu, tada ćemo dobiti:

Napravimo zamjenu:

Ipak, nešto smo propustili! Jeste li primijetili gdje sam pogriješio? Uostalom, onda:

koji ne zadovoljava zahtjev (mislite odakle je došao!)

Odgovor:

Pokušajte zapisati rješenje eksponencijalnih jednadžbi u nastavku:

Sada usporedite svoju odluku s ovim:

1. Logaritmirajmo obje strane baze, uzimajući u obzir da:

(drugi korijen nam nije prikladan zbog zamjene)

2. Logaritam prema bazi:

Transformirajmo dobiveni izraz u sljedeći oblik:

EKSPONENTNE JEDNADŽBE. KRATAK OPIS I OSNOVNE FORMULE

Eksponencijalna jednadžba

Jednadžba oblika:

nazvao najjednostavnija eksponencijalna jednadžba.

Svojstva stupnjeva

Pristupi rješenju

• Dovodi do ista osnova
• Svođenje na isti eksponent
• Zamjena varijable
• Pojednostavljivanje izraza i primjena jednog od gore navedenog.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Čovjek je koristio jednadžbe u davna vremena, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Potencijalne ili eksponencijalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su varijable potencije, a baza je broj. Na primjer:

Rješenje eksponencijalne jednadžbe svodi se na 2 sasvim jednostavne akcije:

1. Treba provjeriti jesu li baze jednadžbe s desne i lijeve strane iste. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.

2. Nakon što baze postanu iste, izjednačimo stupnjeve i riješimo dobivenu novu jednadžbu.

Pretpostavimo da nam je dana eksponencijalna jednadžba sljedećeg oblika:

Rješenje ove jednadžbe vrijedi započeti analizom baze. Baze su različite - 2 i 4, ali za rješavanje trebamo da budu iste, pa transformiramo 4 pomoću sljedeće formule -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Izvornoj jednadžbi dodajemo:

Izbacimo to iz zagrada \

Izrazimo \

Budući da su stupnjevi isti, odbacujemo ih:

Odgovor: \

Gdje mogu riješiti eksponencijalnu jednadžbu pomoću mrežnog rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite jednadžbu online bilo koji složenost u sekundama. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.