Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije koristi znak √ za predstavljanje kvadratnog korijena. Za označavanje razlomka koristite simbol "/".

vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu crte koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus 30 stupnjeva - tražimo stupac s naslovom sin (sinus) i pronalazimo sjecište ovog stupca tablice s retkom "30 stupnjeva", na njihovom sjecištu čitamo rezultat - jednu polovicu. Slično nalazimo kosinus 60 stupnjevi, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin i crte od 60 stupnjeva nalazimo vrijednost sin 60 = √3/2), itd. Vrijednosti sinusa, kosinusa i tangensa drugih "popularnih" kutova nalaze se na isti način.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi i drugi kutovi u radijanima

Donja tablica kosinusa, sinusa i tangensa također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dano u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugi stupac vrijednosti kuta. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih kutova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega pročitaj njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π/3 radijana.

Broj pi jednoznačno izražava ovisnost opsega o stupnjskoj mjeri kuta. Dakle, pi radijani su jednaki 180 stupnjeva.

Bilo koji broj izražen u pi (radijanima) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
prema tome, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
prema tome, tangenta pi je ista kao tangenta od 180 stupnjeva i jednaka je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kutove 0 - 360 stupnjeva (uobičajene vrijednosti)

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima (putem pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	cosec (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije navedena crtica (tangens (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada za danu vrijednost mjere stupnja kuta funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, što znači da još nismo unijeli traženu vrijednost. Zanima nas po kakvim upitima nam se korisnici javljaju i tablicu dopunjujemo novim vrijednostima, unatoč tome što su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangensa najčešćih vrijednosti kutova sasvim dovoljni za rješavanje većine problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(numeričke vrijednosti "prema Bradisovim tablicama")

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Pretvarač duljine i udaljenosti Pretvarač mase Pretvarač volumena rasuti proizvodi i prehrambenih proizvoda Pretvarač površina Pretvarač volumena i jedinica u kulinarski recepti Pretvarač temperature Pretvarač tlaka, mehaničkog naprezanja, Youngovog modula Pretvarač energije i rada Pretvarač snage Pretvarač sile Pretvarač vremena Pretvarač linearne brzine Pretvarač ravnog kuta Pretvarač toplinske učinkovitosti i iskoristivosti goriva Pretvarač brojeva u različitim brojevnim sustavima Pretvarač mjernih jedinica količine informacija Tečajevi valuta Veličine ženske odjeće i obuće Veličine muške odjeće i obuće Pretvarač kutne brzine i brzine vrtnje Pretvarač akceleracije Pretvarač kutnog ubrzanja Pretvarač gustoće Pretvarač specifičnog volumena Pretvarač momenta tromosti Pretvarač momenta sile Pretvarač momenta Pretvarač specifične topline izgaranja (po masi) Pretvarač gustoće energije i specifična toplina izgaranja goriva (po volumenu) Pretvarač Temperaturne razlike Koeficijent toplinskog širenja Pretvarač Pretvarač toplinski otpor Konverter toplinska vodljivost Konverter specifični toplinski kapacitet Izloženost energiji i toplinsko zračenje Pretvarač snage Pretvarač gustoće protok topline Pretvarač koeficijenta prijenosa topline Pretvarač volumenskog protoka Pretvarač masenog protoka Pretvarač molarnog protoka Pretvarač masenog protoka gustoće Pretvarač molarne koncentracije Pretvarač masene koncentracije u otopini Pretvarač dinamičke (apsolutne) viskoznosti Pretvarač kinematske viskoznosti Pretvarač površinske napetosti Pretvarač paropropusnosti Pretvarač paropropusnosti i prijenosa pare Pretvarač razine zvuka Pretvarač osjetljivosti mikrofona Pretvarač razine zvučnog tlaka (SPL) Pretvarač razine zvučnog tlaka s odabirom referentnog tlaka Pretvarač svjetline Pretvarač svjetlosnog intenziteta Pretvarač osvjetljenja Pretvarač računalne grafike Razlučivost Pretvarač frekvencije i valne duljine Dioptrijska snaga i žarišna duljina Dioptrijska snaga i Pretvarač povećanja leće (×) električno punjenje Linearni pretvarač gustoće naboja Pretvarač površinske gustoće naboja nasipna gustoća Pretvarač naboja električna struja Linearni pretvarač gustoće struje Površinski pretvarač gustoće struje Pretvarač napona električno polje Konverter elektrostatički potencijal i napona Pretvarač električnog otpora Electrical resistivity converter Pretvarač električna provodljivost Pretvarač električne vodljivosti Električni kapacitet Pretvarač induktiviteta Američki pretvarač mjerača žice Razine u dBm (dBm ili dBm), dBV (dBV), vatima i drugim jedinicama Pretvarač magnetomotorne sile Pretvarač napona magnetsko polje Pretvarač magnetskog toka Pretvarač magnetske indukcije Zračenje. Pretvarač brzine apsorbirane doze ionizirajućeg zračenja Radioaktivnost. Pretvarač radioaktivnog raspada Zračenje. Pretvarač doze izloženosti Zračenje. Pretvarač apsorbirane doze Pretvarač decimalnog prefiksa Prijenos podataka Tipografija i slika Pretvarač jedinica Pretvarač jedinica Volumen drveta Pretvarač jedinica Izračun molarne mase Periodni sustav kemijski elementi D. I. Mendeljejev

1 radijan [rad] = 57,2957795130823 stupnjeva [°]

Početna vrijednost

Pretvorena vrijednost

stupanj radijan grad gon minuta drugi zodijački sektor tisućita revolucija krug revolucija kvadrant pravi kut sekstant

Električna provodljivost

Više o kutovima

Opće informacije

Ravni kut je geometrijski lik koji čine dvije crte koje se sijeku. Ravni kut sastoji se od dvije zrake sa zajedničkim ishodištem, a ta se točka naziva vrhom zrake. Zrake se nazivaju stranicama kuta. Kutovi imaju mnogo zanimljivih svojstava, na primjer, zbroj svih kutova u paralelogramu je 360 ​​°, au trokutu - 180 °.

Vrste kutova

Direktno kutovi su 90°, začinjeno- manji od 90°, i glupo- naprotiv, više od 90°. Kutovi jednaki 180° nazivaju se raspoređeni, nazivaju se kutovi od 360° puna, a kutovi veći od punog, ali manji od punog nazivaju se nekonveksan. Kad je zbroj dvaju kutova 90°, odnosno jedan kut nadopunjuje drugi na 90°, nazivaju se dodatni susjedni, a ako do 360° - tada konjugiran

Kad je zbroj dvaju kutova 90°, odnosno jedan kut nadopunjuje drugi na 90°, nazivaju se dodatni. Ako se međusobno nadopunjuju do 180° tzv susjedni, a ako do 360° - tada konjugiran. Kod poligona se kutovi unutar mnogokuta nazivaju unutarnjim, a oni koji su im konjugirani vanjskim.

Dva kuta nastala sjecištem dviju linija koje nisu susjedne nazivaju se vertikalna. Jednaki su.

Mjerenje kutova

Kutovi se mjere kutomjerom ili izračunavaju pomoću formule mjerenjem stranica kuta od vrha do luka i duljine luka koji ograničava te stranice. Kutovi se obično mjere u radijanima i stupnjevima, iako postoje i druge jedinice.

Možete mjeriti oba kuta formirana između dviju ravnih linija i između zakrivljenih linija. Za mjerenje između krivulja koriste se tangente na sjecištu krivulja, odnosno na vrhu kuta.

Kutomjer

Kutomjer je alat za mjerenje kutova. Većina kutomjera ima oblik polukruga ili kruga i može mjeriti kutove do 180° odnosno 360°. Neki kutomjeri imaju dodatno rotirajuće ravnalo ugrađeno u njih radi lakšeg mjerenja. Ljestvice na kutomjerima često su napisane u stupnjevima, iako su ponekad iu radijanima. Kutomjeri se najčešće koriste u nastavi geometrije u školi, ali se također koriste u arhitekturi i inženjerstvu, posebice u izradi alata.

Upotreba kutova u arhitekturi i umjetnosti

Umjetnici, dizajneri, obrtnici i arhitekti dugo su koristili kutove za stvaranje iluzija, naglasaka i drugih efekata. Izmjenični oštri i tupi kutovi, ili geometrijski obrasci oštrih kutova, često se koriste u arhitekturi, mozaicima i vitrajima, kao što su gotičke katedrale i islamski mozaici.

Jedan od poznatih oblika islamske likovne umjetnosti je ukrašavanje pomoću geometrijskih girih dizajna. Ovaj se dizajn koristi u mozaicima, rezbarijama u metalu i drvu, na papiru i tkanini. Crtež nastaje izmjenom geometrijskih oblika. Tradicionalno se koristi pet figura sa strogo definiranim kutovima iz kombinacija od 72°, 108°, 144° i 216°. Svi su ovi kutovi djeljivi s 36°. Svaki je oblik linijama podijeljen u nekoliko manjih simetričnih oblika kako bi se stvorio suptilniji dizajn. U početku su se te figure ili komadići mozaika nazivali girikh, otuda i naziv cijelog stila. U Maroku postoji sličan geometrijski stil mozaika, zullage ili zilij. Oblik terakota pločica od kojih je napravljen ovaj mozaik ne poštuje se tako strogo kao kod girikhe, a pločice su često bizarnijeg oblika od onih strogih geometrijske figure u Girihi. Unatoč tome, zullyaj umjetnici također koriste kutove za stvaranje kontrastnih i zamršenih uzoraka.

U islamskom likovne umjetnosti i arhitekturi se često koristi rub al-hizb - simbol u obliku jednog kvadrata postavljenog na drugi pod kutom od 45°, kao na ilustracijama. Može se prikazati kao čvrsta figura ili u obliku linija - u ovom slučaju ovaj se simbol naziva zvijezda Al-Quds. Rub al-Hizb je ponekad ukrašen malim krugovima na sjecištu kvadrata. Ovaj simbol se koristi u grbovima i na zastavama muslimanskih zemalja, na primjer na grbu Uzbekistana i na zastavi Azerbajdžana. Temelji najviših tornjeva blizanaca na svijetu u vrijeme pisanja (proljeće 2013.), Petronas tornjeva, izgrađeni su u obliku rub al-hizba. Ovi se tornjevi nalaze u Kuala Lumpuru u Maleziji, a premijer te zemlje sudjelovao je u njihovom dizajnu.

Oštri kutovi često se koriste u arhitekturi kao ukrasni elementi. Daju zgradi strogu eleganciju. Tupi kutovi, naprotiv, daju zgrade ugodan pogled. Na primjer, divimo se gotičkim katedralama i dvorcima, ali izgledaju pomalo tužno, pa čak i zastrašujuće. Ali najvjerojatnije ćemo odabrati kuću s krovom tupi kutovi između padina. Kutovi u arhitekturi također se koriste za jačanje različite dijelove zgrada. Arhitekti projektiraju oblik, veličinu i kut nagiba ovisno o opterećenju zidova koje je potrebno ojačati. Ovaj princip ojačanja nagibom koristi se od davnina. Na primjer, drevni graditelji naučili su graditi lukove bez cementa ili drugih vezivnih materijala, postavljajući kamenje pod određenim kutom.

Obično se zgrade grade okomito, ali ponekad postoje iznimke. Neke su zgrade namjerno građene pod nagibom, a neke su nagnute zbog pogrešaka. Jedan primjer nagnutih zgrada je Taj Mahal u Indiji. Četiri minareta koji okružuju glavnu zgradu izgrađena su s nagibom od centra, kako u slučaju potresa ne bi pali prema unutra, na mauzolej, već u drugom smjeru, te ne bi oštetili glavnu zgradu. Ponekad se zgrade grade pod kutom prema tlu u dekorativne svrhe. Na primjer, Krivi toranj u Abu Dhabiju ili Capital Gate nagnut je 18° prema zapadu. A jedna od zgrada u Puzzle Worldu Stuarta Landsborougha u Wanki, Novi Zeland, nagnuta je 53° prema tlu. Ova zgrada se zove "Kosi toranj".

Ponekad je nagnutost zgrade rezultat pogreške u dizajnu, kao što je nagnutost kosog tornja u Pisi. Graditelji nisu vodili računa o strukturi i kvaliteti tla na kojem je izgrađena. Toranj je trebao stajati ravno, ali loši temelji nisu izdržali njegovu težinu i zgrada je potonula, nagnuvši se na jednu stranu. Kula je mnogo puta obnavljana; posljednja obnova u 20. stoljeću zaustavila je njegovo postupno slijeganje i povećanje nagiba. Uspjeli smo ga izravnati sa 5,5° na 4°. Toranj crkve SuurHusen u Njemačkoj također je nagnut zbog činjenice da je drveni temelj istrunuo s jedne strane nakon cijeđenja močvarno tlo, na kojem je izgrađena. Trenutno je ovaj toranj nagnut više od Kosog tornja u Pisi - za oko 5°.

Je li vam teško prevoditi mjerne jedinice s jednog jezika na drugi? Kolege su vam spremne pomoći. Postavite pitanje u TCTerms i u roku od nekoliko minuta dobit ćete odgovor.

Trigonometrijske funkcije su elementarne funkcije čiji je argument kutak. Trigonometrijske funkcije opisuju odnose između stranica i oštrih kutova u pravokutnom trokutu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija iznimno su raznolika. Na primjer, svaki periodički proces može se prikazati kao zbroj trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Te se funkcije često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.

Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sječna I kosekant. Za svaku od ovih funkcija postoji inverzna trigonometrijska funkcija.

Geometrijska definicija trigonometrijskih funkcija može se prikladno uvesti pomoću jedinični krug. Slika ispod prikazuje krug s radijusom r= 1. Na kružnici se nalazi točka M(x,y). Kut između radijus vektora OM i pozitivnog smjera osi Vol jednaki α .

Sinus kut α g bodova M(x,y) na radijus r: grijeh α = g/r. Jer r= 1, tada je sinus jednak ordinati točke M(x,y).

Kosinus kut α x bodova M(x,y) na radijus r:cos α = x/r = x

Tangens kut α koji se naziva ordinatni omjer g bodova M(x,y) na svoju apscisu x:tan α = g/x, x ≠ 0

Kotangens kut α naziva se omjer apscise x bodova M(x,y) na svoju ordinatu g:djevica α = x/g, g ≠ 0

Sjekant kut α − je omjer polumjera r na apscisu x bodova M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekant kut α − je omjer polumjera r na ordinatu g bodova M(x,y): cosec α = r/g = 1/g, g ≠ 0

U jediničnom krugu projekcije x, g bodova M(x,y) i radijus rčine pravokutni trokut u kojem x, y su noge, i r− hipotenuza. Stoga su gornje definicije trigonometrijskih funkcija primijenjene na pravokutni trokut formulirane na sljedeći način: Sinus kut α zove se omjer suprotne stranice prema hipotenuzi. Kosinus kut α zove se omjer susjedne katete i hipotenuze. Tangens kut α naziva suprotna strana susjednoj. Kotangens kut α naziva se susjedna strana suprotnoj strani.

Graf funkcije sinusa g= grijeh x, domena: x ∈ ℜ , raspon: −1 ≤ sin x ≤ 1

Graf kosinusne funkcije g=cos x, domena: x ∈ ℜ , raspon: −1 ≤ cos x ≤ 1

Graf funkcije tangente g= ttg x, domena: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, raspon: −∞< tg x < ∞

Graf kotangens funkcije g=ctg x, domena: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, raspon: −∞< ctg x < ∞

Kutovi se mjere u stupnjevima ili radijanima. Važno je razumjeti odnos između ovih mjernih jedinica. Razumijevanje ovog odnosa omogućuje vam rad s kutovima i prijelaz iz stupnjeva u radijane i natrag. U ovom ćemo članku izvesti formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane i radijana u stupnjeve, a također ćemo pogledati nekoliko praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Odnos između stupnjeva i radijana

Za uspostavljanje veze između stupnjeva i radijana potrebno je znati stupanj i radijansku mjeru kuta. Na primjer, uzmite središnji kut koji se temelji na promjeru kruga radijusa r. Da bi se izračunala radijanska mjera ovog kuta, potrebno je podijeliti duljinu luka s duljinom polumjera kruga. Razmatrani kut odgovara duljini luka jednakoj polovici opsega π·r. Podijelite duljinu luka s polumjerom i dobijete radijansku mjeru kuta: π · r r = π rad.

Dakle, dotični kut je π radijana. S druge strane, to je obrnuti kut jednak 180°. Prema tome 180° = π rad.

Odnos između stupnjeva i radijana

Odnos između radijana i stupnjeva izražava se formulom

π radijan = 180°

Formule za pretvaranje radijana u stupnjeve i obrnuto

Iz gore dobivene formule možete izvesti druge formule za pretvaranje kutova iz radijana u stupnjeve i iz stupnjeva u radijane.

Izrazimo jedan radijan u stupnjevima. Da biste to učinili, podijelite lijevu i desnu stranu polumjera s pi.

1 r a d = 180 π ° - stupanjska mjera kuta od 1 radijana jednaka je 180 π.

Također možete izraziti jedan stupanj u radijanima.

1° = π 180 r a d

Možete napraviti približne izračune vrijednosti kuta u radijanima i obrnuto. Da biste to učinili, uzmite vrijednosti broja π s točnošću od deset tisućinki i zamijenite ih u dobivenim formulama.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Dakle, jedan radijan ima približno 57 stupnjeva

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Jedan stupanj sadrži 0,0175 radijana.

Formula za pretvaranje radijana u stupnjeve

x r a d = x 180 π °

Da biste pretvorili kut iz radijana u stupnjeve, trebate pomnožiti kut u radijanima sa 180 i podijeliti s pi.

Primjeri pretvaranja stupnjeva u radijane i radijana u stupnjeve

Pogledajmo primjer.

Primjer 1. Pretvaranje iz radijana u stupnjeve

Neka je α = 3,2 rad. Moramo pronaći stupanjsku mjeru ovog kuta.

Stupanj mjera kuta. Radijanska mjera kuta. Pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji naučili smo kako mjeriti kutove na trigonometrijskoj kružnici. Naučio je brojati pozitivne i negativne kutove. Naučili smo nacrtati kut veći od 360 stupnjeva. Vrijeme je da shvatite kako mjeriti kutove. Pogotovo s brojem "Pi", koji nas nastoji zbuniti u škakljivim zadacima, da...

Standardni zadaci iz trigonometrije s brojem "Pi" dobro su riješeni. Vizualno pamćenje pomaže. Ali svako odstupanje od predloška je katastrofa! Da izbjegnem pad - razumjeti potrebno. Što ćemo sada i učiniti s uspjehom. Mislim, sve ćemo razumjeti!

Tako, što računaju li se kutovi? U školskom tečaju trigonometrije koriste se dvije mjere: stupanj mjera kuta I radijanska mjera kuta. Pogledajmo ove mjere. Bez toga nema nigdje u trigonometriji.

Stupanj mjera kuta.

Nekako smo se navikli na diplome. U najmanju ruku položili smo geometriju... A u životu se često susrećemo s izrazom "okrenuti za 180 stupnjeva", na primjer. Diploma je, ukratko, jednostavna stvar...

Da? Odgovori mi onda što je diploma? Što, ne ide odmah? To je to...

Stupnjevi su izumljeni u starom Babilonu. Bilo je to davno... prije 40 stoljeća... I došli su na jednostavnu ideju. Uzeli su i podijelili krug na 360 jednakih dijelova. 1 stupanj je 1/360 kruga. To je sve. Mogli su ga razbiti na 100 komada. Ili 1000. Ali oni su to podijelili na 360. Usput, zašto baš 360? Kako je 360 ​​bolji od 100? 100 se čini nekako glatkijim... Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje. Ili slabo protiv Stari Babilon?

Negdje u isto vrijeme, u Drevni Egipt mučilo ih je još jedno pitanje. Koliko je puta duljina kruga veća od duljine njegova promjera? I ovako mjerili, i onako... Sve je ispalo malo više od tri. Ali nekako je ispalo čupavo, neravno... Ali nisu oni, Egipćani, krivi. Poslije njih patili su još 35 stoljeća. Dok na kraju nisu dokazali da koliko god fino izrezali krug na jednake komade, od takvih komada možete napraviti glatko, nesmetano duljina promjera je nemoguća... U principu je nemoguće. Pa, naravno, utvrđeno je koliko je puta opseg veći od promjera. Približno. 3,1415926... puta.

Ovo je broj "Pi". Tako čupavo, tako čupavo. Iza decimalne točke nalazi se beskonačan broj brojeva bez ikakvog reda... Takve brojeve nazivamo iracionalnim. To, usput, znači da od jednakih komada kruga promjer glatko, nesmetano ne presavijati. Nikada.

Za praktična aplikacija Uobičajeno je pamtiti samo dvije znamenke iza decimalne točke. Zapamtiti:

Budući da razumijemo da je opseg kruga veći od njegovog promjera za "Pi" puta, ima smisla zapamtiti formulu za opseg kruga:

Gdje L- opseg, i d- njegov promjer.

Korisno u geometriji.

Radi općeg obrazovanja, dodati ću da se broj "Pi" nalazi ne samo u geometriji... U raznim granama matematike, a posebno u teoriji vjerojatnosti, ovaj se broj stalno pojavljuje! Samo po sebi. Izvan naših želja. Kao ovo.

Ali vratimo se stupnjevima. Jeste li shvatili zašto je u starom Babilonu krug bio podijeljen na 360 jednakih dijelova? A ne za 100 npr.? Ne? U REDU. Dat ću vam verziju. Ne možete pitati stare Babilonce ... Za gradnju, ili, recimo, astronomiju, zgodno je podijeliti krug na jednake dijelove. Sada odredi kojim je brojevima djeljiv potpuno 100, a koje - 360? I u kojoj verziji ovih djelitelja potpuno- više? Ova podjela je vrlo zgodna za ljude. Ali...

Kako se pokazalo mnogo kasnije od starog Babilona, ​​ne vole svi diplome. Viša matematika ih ne voli... Viša matematika je ozbiljna dama, uređena po zakonima prirode. A ova gospođa izjavljuje: "Danas si razbio krug na 360 dijelova, sutra ćeš ga razbiti na 100, prekosutra na 245... A što da radim? Ne, stvarno..." Morala sam slušati. Prirodu ne možeš prevariti...

Morali smo uvesti mjeru kuta koja nije ovisila o ljudskim izumima. Upoznaj - radijan!

Radijanska mjera kuta.

Što je radijan? Definicija radijana i dalje se temelji na krugu. Kut od 1 radijana je kut koji siječe luk od kružnice čija je duljina ( L) jednaka je duljini polumjera ( R). Pogledajmo slike.

Tako mali kut, gotovo da i ne postoji... Pomaknemo kursor preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo otprilike jedan radijan. L = R

Osjećate li razliku?

Jedan radijan je puno više od jednog stupnja. Koliko puta?

Pogledajmo sljedeću sliku. Na kojoj sam nacrtao polukrug. Rasklopljeni kut je, naravno, 180°.

Sada ću ovaj polukrug izrezati na radijane! Lebdimo pokazivačem iznad slike i vidimo da 180° odgovara 3 i pol radijana.

Tko može pogoditi čemu je ovaj rep jednak!?

Da! Ovaj rep je 0,1415926.... Zdravo, broje "Pi", još te nismo zaboravili!

Doista, 180° stupnjeva sadrži 3,1415926... radijana. Kao što i sami razumijete, pisanje 3.1415926 cijelo vrijeme... je nezgodno. Stoga umjesto ovog beskonačnog broja uvijek pišu jednostavno:

Ali na Internetu broj

Nezgodno je napisati... Zato u tekstu pišem njegovo ime - "Pi". Nemojte se zbuniti, u redu?...

Sada možemo zapisati približnu jednakost na potpuno smislen način:

Ili točna jednakost:

Odredimo koliko stupnjeva ima jedan radijan. Kako? Lako! Ako u 3,14 radijana ima 180° stupnjeva, onda u 1 radijanu ima 3,14 puta manje! Odnosno, prvu jednadžbu (formula je također jednadžba!) dijelimo s 3,14:

Ovaj omjer je korisno zapamtiti. Jedan radijan je približno 60°. U trigonometriji često morate procijeniti i procijeniti situaciju. Tu ovo znanje puno pomaže.

Ali glavna vještina ove teme je pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto.

Ako je kut zadan u radijanima s brojem "Pi", sve je vrlo jednostavno. Znamo da je "Pi" radijan = 180°. Stoga zamjenjujemo radijane za "Pi" - 180°. Dobivamo kut u stupnjevima. Smanjujemo što je smanjeno, a odgovor je spreman. Na primjer, moramo saznati koliko stupnjeva u kutu "Pi"/2 radijan? Pa pišemo:

Ili, egzotičniji izraz:

Lako, zar ne?

Obrnuti prijevod je malo kompliciraniji. Ali ne puno. Ako je kut zadan u stupnjevima, moramo odrediti koliko je jedan stupanj jednak u radijanima i pomnožiti taj broj s brojem stupnjeva. Čemu je jednak 1° u radijanima?

Gledamo formulu i shvaćamo da ako je 180° = "Pi" radijana, tada je 1° 180 puta manji. Ili, drugim riječima, jednadžbu (formula je također jednadžba!) podijelimo sa 180. Nema potrebe da "Pi" predstavljamo kao 3,14, ionako se uvijek piše slovom. Nalazimo da je jedan stupanj jednak:

To je sve. Množimo broj stupnjeva s ovom vrijednošću i dobivamo kut u radijanima. Na primjer:

Ili, slično:

Kao što vidite, u ležernom razgovoru s lirskim digresijama pokazalo se da su radijani vrlo jednostavni. A prijevod nije problem... A “Pi” je sasvim podnošljiva stvar... Pa otkud onda zabuna!?

otkrit ću tajnu. Činjenica je da je u trigonometrijskim funkcijama napisan simbol stupnjeva. Stalno. Na primjer, sin35°. Ovo je sinus 35 stupnjeva . I ikona radijana ( radostan) - nije napisano! Podrazumijeva se. Ili je matematičare svladala lijenost, ili nešto treće... Ali odlučili su ne pisati. Ako unutar sinus-kotangensa nema simbola, onda je kut u radijanima ! Na primjer, cos3 je kosinus tri radijani .

To dovodi do zabune... Osoba vidi "Pi" i vjeruje da je 180°. Bilo kad i bilo gdje. Usput, ovo radi. Za sada su primjeri standardni. Ali "Pi" je broj! Broj je 3,14, ali ne i stupnjeva! Ovo je "Pi" radijan = 180°!

Još jednom: "Pi" je broj! 3.14. Iracionalno, ali broj. Isto kao 5 ili 8. Možete, na primjer, napraviti otprilike "Pi" korake. Tri koraka i još malo. Ili kupite "Pi" kilograma slatkiša. Ako naiđe educirani prodavač...

"Pi" je broj! Što, jesam li te iznervirao ovom frazom? Jeste li već sve odavno shvatili? U REDU. Provjerimo. Reci mi koji je broj veći?

Ili što je manje?

Ovo je jedno u nizu pomalo nestandardnih pitanja koja vas mogu dovesti u stupor...

Ako ste i vi pali u stupor, sjetite se čarolije: "Pi" je broj! 3.14. U samom prvom sinusu jasno je navedeno da je kut u stupnjevima! Stoga je nemoguće zamijeniti "Pi" za 180°! "Pi" stupnjeva je približno 3,14°. Stoga možemo napisati:

U drugom sinusu nema oznaka. Dakle, tamo - radijani! Ovdje će zamjena "Pi" za 180° dobro funkcionirati. Pretvaranjem radijana u stupnjeve, kao što je gore napisano, dobivamo:

Ostaje još usporediti ova dva sinusa. Što. zaboravio kako? Uz pomoć trigonometrijske kružnice, naravno! Nacrtajte kružnicu, nacrtajte približne kutove od 60° i 1,05°. Pogledajmo koje sinuse imaju ti kutovi. Ukratko, sve je opisano kao na kraju teme o trigonometrijskoj kružnici. Na krugu (čak i onom zakrivljenom!) to će se jasno vidjeti grijeh60° znatno više od sin1.05°.

Učinit ćemo potpuno istu stvar s kosinusima. Na krugu nacrtajte kutove od približno 4 stupnjeva i 4 radijan(Jeste li zaboravili koliko je približno jednak 1 radijan?). Krug će reći sve! Naravno, cos4 je manji od cos4°.

Vježbajmo korištenje kutnih mjera.

Pretvorite ove kutove iz stupnjeva u radijane:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Trebali biste dobiti ove vrijednosti u radijanima (drugim redoslijedom!)

0

Usput, posebno sam istaknuo odgovore u dva retka. Pa, idemo shvatiti koji su uglovi u prvom redu? Barem u stupnjevima, barem u radijanima?

Da! Ovo su osi koordinatnog sustava! Ako pogledate trigonometrijski krug, tada se pomiče strana kuta s ovim vrijednostima točno pristaje na osi. Ove vrijednosti moraju biti poznate. I zabilježio sam kut od 0 stupnjeva (0 radijana) s dobrim razlogom. I onda neki ljudi jednostavno ne mogu pronaći ovaj kut na kružnici... I, prema tome, zbune se u trigonometrijskim funkcijama nule... Druga stvar je da se položaj pomične strane na nula stupnjeva podudara s položajem na 360°, tako da uvijek postoje slučajnosti na krugu u blizini.

U drugom retku također postoje posebni kutovi... To su 30°, 45° i 60°. I što je tako posebno na njima? Ništa posebno. Jedina razlika između ovih kutova i svih ostalih je ta što biste trebali znati za ove kutove svi. I gdje se nalaze, i koje trigonometrijske funkcije imaju ti kutovi. Recimo vrijednost grijeh100° ne moraš znati. A sin45°- molim vas, budite ljubazni! Ovo je obavezno znanje, bez kojeg se u trigonometriji nema što raditi... Ali o tome u sljedećoj lekciji.

U međuvremenu, nastavimo s treninzima. Pretvorite ove kutove iz radijana u stupnjeve:

Trebali biste dobiti ovakve rezultate (u neredu):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Dogodilo se? Onda možemo pretpostaviti da pretvaranje stupnjeva u radijane i natrag- više nije vaš problem.) Ali prevođenje kutova je prvi korak u razumijevanju trigonometrije. Tu također trebate raditi sa sinusima i kosinusima. I s tangensima i kotangensima također...

Drugi snažan korak je sposobnost određivanja položaja bilo kojeg kuta na trigonometrijskoj kružnici. I u stupnjevima i radijanima. Dat ću vam dosadne savjete o ovoj vještini kroz trigonometriju, da...) Ako znate sve (ili mislite da znate sve) o trigonometrijskoj kružnici i mjerenju kutova na trigonometrijskoj kružnici, možete to provjeriti. Riješite ove jednostavne zadatke:

1. U koju četvrtinu spadaju kutovi:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Lako? Nastavimo:

2. U koju četvrtinu spadaju uglovi:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Također nema problema? Pa gledaj...)

3. Možete postaviti kutove u četvrtine:

Možeš li? Pa ti daj..)

4. Na koje će osi pasti kut:

i kut:

Je li i lako? Hm...)

5. U koju četvrtinu spadaju uglovi:

I uspjelo je!? Pa onda stvarno ne znam...)

6. Odredite u koju četvrtinu uglovi spadaju:

1, 2, 3 i 20 radijana.

Dat ću odgovor samo na zadnje pitanje (malo je nezgodno) zadnjeg zadatka. Kut od 20 radijana pada u prvu četvrtinu.

Ostatak odgovora neću dati, ne iz pohlepe.) Jednostavno, ako ti nisam odlučio nešto sumnjate u to kao rezultat, ili potrošeno na zadatak br. 4 više od 10 sekundi, slabo ste orijentirani u krug. To će biti vaš problem u cijeloj trigonometriji. Bolje ga se odmah riješiti (problema, ne trigonometrije!). To se može učiniti u temi: Praktičan rad s trigonometrijskom kružnicom u dijelu 555.

Govori vam kako jednostavno i ispravno riješiti takve zadatke. Pa ti su zadaci naravno riješeni. I četvrti zadatak je riješen za 10 sekundi. Da, odlučeno je da to može svatko!

Ako ste apsolutno sigurni u svoje odgovore i ne zanimaju vas jednostavni i laki načini rada s radijanima, ne morate posjetiti 555. Ja ne inzistiram.)

Dobro razumijevanje dovoljno je dobar razlog da krenete dalje!)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.