Formula faze početnog napona. Sinusna struja i njene glavne karakteristike

Predavanje 2 Sinusna struja.doc

PREDAVANJE 2

SINUSNA STRUJA. OBLICI NJEGOVOG ZASTUPANJA.
U praksi elektrotehnike kao izmjenična struja široka primjena pronašao sinusoidnu struju. To je zbog niza prednosti:

Generatori sinusne struje znatno su jeftiniji za proizvodnju od generatora istosmjerne struje;

Izmjenična struja lako se pretvara u istosmjernu;

Transformacija i prijenos električna energija izmjenična struja je ekonomičnija od istosmjerne;

AC motori imaju jednostavan dizajn, visoka pouzdanost i niska cijena.

Trenutno naizmjenična struja koristi se u industrijskim pogonima i električnoj rasvjeti, u poljoprivredi i transportu, u komunikacijskoj tehnologiji iu svakodnevnom životu. Proizvodnja električne energije također se vrši pomoću izmjenične struje. Ruski znanstvenici P. N. Yablochkov i M. O. Dolivo-Dobrovolsky odigrali su veliku ulogu u uvođenju izmjenične struje.
^ 1.Osnovni parametri sinusne struje
Promjenjiva struja je struja (napon, emf) koja se tijekom vremena mijenja po veličini i smjeru. Sinusoidna struja može se prikazati realnom funkcijom vremena - sinusom i kosinusom, na primjer:

(2.1)
Gdje ja m- maksimalna amplituda struje (vrijednost amplitude);

 - kutna frekvencija, i ;

f- frekvencija osciliranja [Hz];

T- razdoblje [C];

 ja- početna faza, određuje trenutnu vrijednost u trenutku vremena t=0, tj.

ja(t=0) = ja m grijeh  ja .
Na sl. Slika 2.1 prikazuje graf dviju oscilacija s različitim početnim fazama  1 i  2, i  1   2. Harmonijska amplituda prolazi kroz nulu kada:

 t  =  n (n= 0,1,2...), tj. u trenucima


.
Jer  1   2, dakle t 1 se javlja ranije t 2:

sl.2.1
Početna faza često se navodi u stupnjevima. Stoga se prilikom utvrđivanja trenutna vrijednost trenutni sinusni argument (termini  t I  ) mora se pretvoriti u jednu mjernu jedinicu (rad ili stupanj).

Ponekad je harmonijska vibracija predstavljena u kosinusnom obliku. Lako je vidjeti da je za prelazak na ovaj oblik u (2.1) dovoljno promijeniti samo početnu fazu, tj.

Industrijska frekvencija izmjenične struje u Rusiji i svim europskim zemljama je 50 Hz, u SAD-u i Japanu - 60 Hz, u zrakoplovstvu - 400 Hz. Smanjenje frekvencije ispod 50 Hz pogoršava kvalitetu osvjetljenja. Povećanje frekvencije pogoršava uvjete prijenosa električne energije na velike udaljenosti.

Izraz za sinusoidalni napon sličan je (2.1), tj.
u(t) = U m grijeh (  t  u) (2.2)
Parametri glavnog napona određuju se slično (2.1).

Uz već navedene parametre, u elektrotehničkoj praksi često se koriste koncepti prosječnih i efektivnih vrijednosti struje i napona. Pogledajmo ih.

Prosječna vrijednost sinusne struje podrazumijeva se kao njezina prosječna vrijednost tijekom poluciklusa:


(2.3)
Vidimo da je prosječna vrijednost sinusne struje 2/   0,64 amplitude. Srednja vrijednost sinusnog napona određuje se slično
.
Efektivna vrijednost je srednja kvadratna vrijednost sinusne struje (napona) tijekom razdoblja:
.
Jer:

,
Da:

.
Vidimo da je efektivna vrijednost sinusne struje 0,707 amplitudne. Efektivna vrijednost sinusoidnog napona određuje se na sličan način:
.
Ako govore o vrijednostima izmjenične struje ili napona, onda, u pravilu, misle efektivna vrijednost. Na primjer, napon u jednofaznoj izmjeničnoj mreži je 220 V - efektivno. U ovom slučaju vrijednost amplitude U m 310 V.

^ 2. Predstavljanje radijusa sinusne struje (napona) vektorom.
Pri analizi stanja električni krugovi izmjenične struje, postoji potreba za izračunavanjem zbroja ili razlike oscilacija istih frekvencija, ali različitih amplituda i početnih faza. Rješavanje takvog problema korištenjem razmatranog oblika reprezentacije (tj. pomoću trigonometrijskih funkcija) prilično je teško.

Pretpostavimo da trebamo pronaći struju ja(t) = ja 1 (t) ja 2 (t), i:
ja 1 (t) = ja m 1  grijeh (  t  1),
ja 2 (t) = ja m 2  grijeh (  t  2).
Budući da su frekvencije titranja iste, problem se svodi na pronalaženje ukupne vrijednosti amplitude ja m i početna faza  . Ako za rješavanje primijenimo poznate trigonometrijske transformacije, dobivamo:
,
.
Vidimo da i konačni rezultat ima glomazan i nenametljiv izgled.

Značajno pojednostavljenje postiže se korištenjem grafičke metode. Vektorski prikaz sinusoidnih veličina poznat je iz trigonometrije. Sinusoidalna struja (napon) je prikazana kao radijus vektor koji rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu s frekvencijom  . Duljina vektora jednaka je vrijednosti amplitude - ja m. Vektor napravi jedan krug tijekom perioda (slika 2.2).

Položaj radijus vektora u odnosu na os x na početku odbrojavanja t=0 određen je kutom  . Projekcija vektora na os Y određena je izrazom (2.1).

Jedan vektorski dijagram može prikazati vektore nekoliko oscilacija, npr ja 1 (t) I ja 2 (t) (Slika 2.3). Radi pojednostavljenja analize, svi vektori su prikazani u trenutku u vremenu t=0. Tada je zbroj dvaju vektora određen pravilom paralelograma. Rezultirajući radijus vektor također rotira oko ishodišta s frekvencijom  , i njegovu projekciju na os Y određuje se izrazom
ja(t) = ja m grijeh (  t  ),
Gdje  - položaj ukupnog vektora u odnosu na os x u određenom trenutku t=0.

Jednostavnost rješenja je očita. Međutim grafička metoda ima značajan nedostatak - nisku točnost. Stoga se najčešće koristi za kvalitativnu analizu električnih krugova pomoću topografskih vektorskih dijagrama napona.

Za konstruiranje topografskog vektorskog dijagrama u analiziranom električnom krugu identificirano je nekoliko sekcija u smjeru obilaznice. Pad napona na svakoj dionici može se odrediti vektorom. Ugradnjom svakog sljedećeg vektora (u smjeru obilaznice) na krajnju točku prethodnog vektora dobivamo topografski vektorski naponski dijagram. Vektor između bilo koje dvije točke ovog dijagrama karakterizira napon između odgovarajućih točaka električnog kruga.

1. 
   ^ Kompleksna slika sinusne struje.

Sveobuhvatan prikaz sinusoidnih struja i napona omogućuje vam kombiniranje jednostavnosti i jasnoće vektorskog prikaza s točnošću prikaza funkcijama u stvarnom vremenu. Za prelazak s grafičkog na složeni prikaz, zamjenjujemo osi Kartezijevog koordinatnog sustava (Sl. 2.2) na sljedeći način:

Os ^X na pravu os R e ;

Os Y na imaginarnoj brojevnoj osi J m(Slika 2.4).

U ovom slučaju, duljina vektora struje (napona) i dalje je određena vrijednošću amplitude, ali je označena kao kompleksna veličina, tj.

. Kut nagiba vektora prema osi realnih brojeva R e u određenom trenutku t=0 ostaje isti, tj.  .

Označimo projekciju vektora po osi realni brojevi ja / = ja mcos  , a projekcija na os imaginarnih brojeva = ja m grijeh  . Tada je očito da:

, (2.5)
Gdje j- je zamišljena jedinica, i -

Izraz (2.5) definira složeni algebarski oblik prikaza sinusne struje. Pogodan je za izvođenje operacija zbrajanja i oduzimanja struja (napona).

Doista, za zbrajanje dva kompleksna broja dovoljno je odvojeno zbrojiti realne i imaginarne brojeve.

Zamijenimo njihove vrijednosti umjesto i u (2.5). Tada dobivamo:
İ

, (2.6)
gdje je modul kompleksnog prikaza struje, numerički jednak vrijednosti amplitude.

Izraz (2.6) definira složeni trigonometrijski oblik prikaza sinusne struje. Od sl. 2.4 očito je da:


, A

. (2.7)
Vidimo da izrazi (2.7) karakteriziraju parametre sinusne struje koji ne ovise o vremenu - stvarnu amplitudu i početnu fazu . Oni olakšavaju prijelaz sa složenog oblika prikaza na prikaz funkcija u stvarnom vremenu.

Uvedimo vremensku ovisnost u (2.5). Zatim:
İ

, (2.8)
Gdje
Sada je očito da realni dio (2.8) karakterizira stvarno postojeće osciliranje, opisano realnom kosinusnom funkcijom, dok je imaginarni dio to isto titranje u sinusnom obliku.

Pomoću Eulerove formule prelazimo s (2.6) na eksponencijalni oblik kompleksnog prikaza struje:
İ

, (2.9)
i uzimajući u obzir vremensku ovisnost:

İ m İ m

. (2.10)
Složeni eksponencijalni oblik koristan je za operacije množenja, dijeljenja, stepenovanja ili korijenjenja. Doista, za množenje dva kompleksna broja u eksponencijalnom obliku (2.9), dovoljno je pomnožiti njihove module i zbrojiti argumente (eksponente).

Zamislimo struje i napone na pasivnim elementima koji imaju aktivni otpor, kapacitet i induktivitet u složenom obliku. Neka imamo:

İ

İ

;


Za element s aktivnim otporom vrijedi jednakost:


.
Prepišimo ovu jednakost u eksponencijalnom obliku:





(2.11)

Ali jednakost (2.11) je moguća samo ako . Time smo došli do važnog zaključka da su na elementu s aktivnim otporom struja i napon u fazi, tj. maksimumi struje i napona se javljaju u istom trenutku vremena.Vektori struje i napona će se podudarati (slika 2.5).

Za element s kapacitetom poznat je sljedeći izraz:



Primjenom složenog oblika predstavljanja struje i napona na njega dobivamo:


.
S obzirom da dolazimo do izraza:


,

Dakle, vidimo da napon na kondenzatoru zaostaje za strujom za 90 o (vidi sl. 2.6)

Za element s induktivitetom koristimo izraz (1.11). Zatim:

(2.13)
Vidimo da napon na induktivitetu vodi struju za 90 o (vidi sl. 2.7).

Na kraju predavanja napominjemo da izrazi (2.11), (2.12) i (2.13) nemaju vremenske ovisnosti. To pojednostavljuje izračune električnih krugova, smanjujući ih na algebarske operacije s kompleksni brojevi. Zbog toga se složeni prikaz široko koristi u analizi električnih krugova izmjenične struje.

Trenutno se izmjenična struja naširoko koristi u tehnologiji jer se lako transformira i prenosi na velike udaljenosti pri visokom naponu i malim gubicima.

U elektrotehnici se najviše koristi sinusna izmjenična struja, odnosno struja čija se vrijednost mijenja po sinusnom zakonu.

Stoga se trenutna vrijednost sinusne struje izražava formulom

Gdje - amplituda struje,

T - period – vrijeme tijekom kojeg se dogodi jedna potpuna oscilacija, s;

f = 1/T - frekvencija jednaka broju oscilacija u 1 sekundi (mjerna jedinica frekvencije - Hertz (Hz) ili s -1);

ω – kutna frekvencija (izražena u rad/s ili s -1).

Argument sinusa, tj

naziva faza. Faza karakterizira stanje titranja (njenu numeričku vrijednost) u određenom trenutku t.

Svaka sinusno promjenjiva funkcija određena je trima veličinama: amplitudom, kutnom frekvencijom i početnom fazom.

Ako je frekvencija preniska, tada se povećavaju dimenzije električnih strojeva, a time i potrošnja materijala za njihovu izradu.

Pri previsokim frekvencijama povećavaju se gubici energije u jezgrama električnih strojeva i transformatora.

Prosječne i efektivne vrijednosti sinusno promjenjive veličine

Prosječna vrijednost sinusno promjenjive veličine shvaća se kao njezina prosječna vrijednost tijekom pola razdoblja.

Odnosno, prosječna vrijednost sinusne struje je

od vrijednosti amplitude.

Izmjeničnu struju obično karakterizira njena efektivna vrijednost .

To znači da je efektivna vrijednost sinusne struje jednaka 0,707 amplitude struje.

Dobivanje sinusoidalne E.M.F.

U linearnim električnim krugovima sinusna struja nastaje pod djelovanjem sinusne E.M.F. Sinusoidna ovisnost može se dobiti ako se u jednoličnom magnetskom polju vrti konstantnom brzinom vodič u obliku pravokutnog okvira površine S. Tada magnetski tok kroz okvir

Gdje - kut između normale na okvir i vektor magnetske indukcije .

Budući da kod jednolike rotacije okvira kutna brzina

, zatim kut mijenjat će se zakonom

=>

Budući da se pri rotaciji okvira stalno mijenja magnetski tok koji prolazi kroz njega, tada će se prema zakonu elektromagnetske indukcije u njemu inducirati E.M.F. indukcija

gdje je E 0 amplituda sinusoidalne E.M.F.

Tako se u okviru pojavljuje sinusoidalni E.M.F., a ako je okvir zatvoren za opterećenje, tada će u krugu teći sinusoidalna struja.

Metode prikazivanja sinusoidnih veličina

Grafički prikaz sinusoidnih veličina.

Za usporedbu električnih veličina koje se mijenjaju prema sinusoidnom zakonu, potrebno je znati razliku u njihovim početnim fazama. Ako npr. u nekom području struja ja i napon u imaju iste početne faze, kaže se da su u fazi. Ako se graf napona mijenja u vremenu u na nekom dijelu kruga prelazi vremensku koordinatu t prije grafa struje ja, onda kažu da napon vodi struju u vremenu.

Na sl. 3.2 za zadani element strujnog kruga prikazani su grafovi promjena u vremenu dviju električnih veličina: napona u i trenutni ja. Iz ova dva grafikona jasno je da su fazno pomaknuti jedan u odnosu na drugi za kut φ .

Sinusoidalna struja

Trenutna vrijednost sinusne struje određena je izrazom


Gdje - maksimalna vrijednost odn strujna amplituda . Argument sinusa naziva faza. Kut y jednaka fazi u početnom trenutku vremena ( t= 0) i stoga se zove početna faza . Faza kontinuirano raste tijekom vremena. Nakon povećanja za 2p cijeli ciklus promjene struje se ponavlja. Stoga, kada se govori o fazi za bilo koju točku u vremenu, oni obično odbacuju cijeli broj 2p tako da vrijednost faze bude unutarili unutar raspona 0 do 2 str . Tijekom razdoblja T faza se povećava za 2 str. Vrijednost 2 p /T pokazuje brzinu promjene faze i označena je slovom w . Uzimajući u obzir to f =1/T, možemo napisati

Ovo je izraz koji povezuješ i ž , bila je osnova za pozivanje w kutna frekvencija. mjeri se w broj radijana za koje se faza povećava u sekundi. Tako npr. kada f =50 Hz imamo w = 314 rad/s. Uvođenjem u (3.1) oznake w za kutnu frekvenciju, dobivamo


Na sl. 3.3 prikazuje graf sinusoidnih struja iste frekvencije, ali s različitim amplitudama i početnim fazama:

Na apscisnoj osi je vrijeme t i vremenski proporcionalna količina w t .
Početna faza uvijek se računa od trenutka koji odgovara početku sinusoide (nulta vrijednost sinusoidalna vrijednost kada prelazi iz negativnih u pozitivne vrijednosti), dok se vrijeme ne počne računati t =0 (podrijetlo). Napočetak trenutne sinusoidepomaknut ulijevo, a kada za struju - desno od ishodišta.
Trenutna vrijednost sinusne struje također se može prikazati kao kosinusna funkcija vremena

Gdje
Ako se za nekoliko sinusoidnih funkcija koje se mijenjaju istom frekvencijom počeci sinusoida ne podudaraju, kaže se da su pomaknut jedan prema drugom u fazi. Fazni pomak se mjeri faznom razlikom, koja je očito jednaka razlici početnih faza. Na sl. 3.3, na primjer,, tj. Trenutno naprijed u fazi struja po kutu , ili, što je isto, struja zaostaje u fazi sa strujom za kut .
Ako sinusne funkcije iste frekvencije imaju iste početne faze, onda se kaže da jesuu fazi, ako im je fazna razlika jednaka, onda kažu da onisuprotno u fazi, i konačno, ako im je razlika faza jednaka, onda kažu da onisu u kvadraturi.