Predstavljanje sinusoidnih veličina pomoću kompleksnih brojeva. Nesinusni napon
ZASTUPANJE.
U praksi elektrotehnike kao naizmjenična struja široka primjena pronašao sinusoidnu struju. To je zbog niza
prednosti:
− generatori sinusne struje su mnogo jeftiniji za proizvodnju od generatora istosmjerna struja;
− izmjenična struja se lako pretvara u istosmjernu;
− transformacija i prijenos električna energija izmjenična struja zahtijeva manje troškove od istosmjernog prijenosa;
− AC motori imaju jednostavan dizajn, visoka pouzdanost i relativno niska cijena.
Trenutno se izmjenična struja koristi u industrijskim pogonima i električnoj rasvjeti, u poljoprivreda te u transportu, komunikacijskoj tehnologiji iu svakodnevnom životu. Proizvodnja električne energije također se vrši pomoću izmjenične struje. Veliku ulogu u uvođenju izmjenične struje odigrali su ruski znanstvenici P.N. Yablochkov i M.O. Dolivo-Dobrovolsky.
1. OSNOVNI PARAMETRI SINEUSOIDNE STRUJE
Promjenjiva struja naziva se struja (napon, E.M.F.), koja se tijekom vremena mijenja u veličini i smjeru. Sinusoidna struja može se prikazati realnom funkcijom vremena - sinusom ili kosinusom, na primjer,
Gdje ja sam– maksimalna amplituda struje (vrijednost amplitude);
w– kutna frekvencija, i ; f– frekvencija osciliranja [ Hz]; T– točka [ C]; j i– početna faza, određuje trenutnu vrijednost u trenutku vremena t=0, tj.
i(t=0) = I m × sin j i.
Na sl. Slika 3.1 prikazuje graf dviju oscilacija s različitim početnim
fazama j 1 I j 2, i j 1< j 2 . Harmonijska amplituda prolazi kroz nulu kada
wt + j = pn, (n = 0,1,2...),
oni. u trenucima
Jer j 1< j 2 , To t 2 odvija ranije t 1.
Riža. 3.1. Grafikoni trenutnih vrijednosti sinusne struje i 1 (t) = I m ∙sin ωt
I I 2 (t) = I m ∙sin(ωt+30º)
Početna faza često se navodi u stupnjevima. Stoga se prilikom utvrđivanja trenutna vrijednost trenutni sinusni argument (termini tež I j) mora se pretvoriti u jednu mjernu jedinicu (radijan ili stupanj).
Ponekad je harmonijska vibracija predstavljena u kosinusnom obliku. Lako je vidjeti da je za prelazak na ovaj oblik u (3.1) dovoljno samo promijeniti početna faza, tj.
Industrijska frekvencija izmjenične struje u Rusiji i svim europskim zemljama je 50 Hz, u SAD-u i Japanu - 60 Hz, u zrakoplovstvu - 400 Hz. Smanjenje industrijske frekvencije ispod 50 Hz degradira kvalitetu rasvjete. Povećanje frekvencije pogoršava uvjete prijenosa električne energije na velike udaljenosti.
Izraz za sinusoidni napon sličan je (3.1), tj.
u(t) = U m × sin (wt + j u).(3.2)
Uz već navedene parametre, u praksi elektrotehnike često se koriste koncepti prosječnih i efektivnih vrijednosti struje i napona. Pogledajmo ih.
Prosječna vrijednost sinusne struje podrazumijeva se kao njezina prosječna vrijednost tijekom pola razdoblja:
Vidimo da je srednja vrijednost sinusne struje 2/str » 0,64 od vrijednosti amplitude. Prosječna vrijednost sinusoidnog napona određuje se na sličan način:
Efektivna vrijednost je srednja kvadratna vrijednost sinusne struje (napona) tijekom razdoblja
Vidimo da je efektivna vrijednost sinusne struje 0,707 vrijednosti amplitude. Slično se određuje i trenutni
vrijednost sinusnog napona:
Ako govore o vrijednostima izmjenične struje ili napona, onda, u pravilu, misle na njihove efektivne vrijednosti. Na primjer, napon u jednofaznoj izmjeničnoj mreži 220 V- aktivan. U ovom slučaju vrijednost amplitude U m @ 310 V.
2. PRIKAZ SINEUSOIDNE STRUJE (NAPONA)
RADIJUS VEKTOR
Pri analizi stanja izmjeničnih električnih krugova, postaje potrebno izračunati zbroj ili razliku oscilacija istog
frekvencije, ali s različitim amplitudama i različitim početnim fazama. Rješavanje takvog problema korištenjem razmatranog oblika reprezentacije (tj. pomoću trigonometrijskih funkcija) prilično je teško.
Pretpostavimo da trebamo pronaći struju i(t) = i 1 (t) + i 2 (t), i:
i 1 (t) = I m 1 × sin (w t + j 1),
i 2 (t) = I m 2 × sin (w t + j 2).
Budući da su frekvencije oscilacija iste, problem se svodi na pronalaženje ukupnih amplitudnih trenutnih vrijednosti ja sam i početna faza j. Ako za rješavanje primijenimo poznate trigonometrijske transformacije, dobivamo:
Vidimo da je čak i konačni rezultat glomazan i nije vizualan.
Značajno pojednostavljenje postiže se korištenjem grafičke metode. Vektorski prikaz sinusoidnih veličina poznat je iz trigonometrije. Sinusoidalna struja (napon) je prikazana kao radijus vektor koji rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu s frekvencijom w. Duljina vektora jednaka je vrijednosti amplitude - ja sam. Vektor napravi jedan krug tijekom jedne periode (slika 3.2).
Položaj radijus vektora u odnosu na os x na početku odbrojavanja t=0 određen kutom j. Projekcija vektora na os Y određena je izrazom (3.1).
Jedan vektorski dijagram može prikazati vektore više oscilacija, npr. i 1 (t) I i2(t)(Slika 3.3). Radi pojednostavljenja analize, svi vektori su prikazani u trenutku u vremenu t=0. Tada je zbroj dvaju vektora određen pravilom paralelograma.
Rezultirajući radijus vektor također rotira oko ishodišta s frekvencijom w, i njegovu projekciju na os Y određuje se izrazom
i(t) = I m × sin (w t + j),
Gdje j- položaj ukupnog vektora u odnosu na os x u određenom trenutku t=0.
Jednostavnost rješenja je očita. Međutim grafička metoda ima značajan nedostatak - nisku točnost. Stoga se najčešće koristi za kvalitativnu analizu električnih krugova pomoću topografskih vektorskih dijagrama napona.
Za konstruiranje topografskog vektorskog dijagrama u analiziranom strujni krug identificirano je nekoliko dionica u smjeru obilaznice. Pad napona na svakoj dionici može se odrediti vektorom. Postavljanjem svakog sljedećeg (u smjeru obilaženja) vektora na krajnju točku prethodnog vektora dobivamo topografski vektorski dijagram napona. Vektor između bilo koje dvije točke ovog dijagrama karakterizira napon između odgovarajućih točaka električnog kruga.
3. SLOŽENI PRIKAZ SINUSOIDE
Sveobuhvatan prikaz sinusoidnih struja i napona omogućuje vam kombiniranje jednostavnosti i jasnoće vektorskog prikaza s točnošću prikaza funkcijama u stvarnom vremenu. Za prelazak s grafičkog prikaza na složeni, zamjenjujemo osi Kartezijevog koordinatnog sustava (sl. 3.2) na sljedeći način:
– os x na pravu os R e;
– os Y na imaginarnoj brojevnoj osi Jm(Slika 3.4).
U ovom slučaju, duljina vektora struje (napona) i dalje je određena vrijednošću amplitude, ali je označena kao kompleksna veličina, tj. . Kut nagiba vektora prema osi realnih brojeva R e u određenom trenutku t=0 ostaje ista, tj. j.
Označimo projekciju vektora na realnu brojevnu os ja" = Ja sam ×cosj, a projekcija na os imaginarnih brojeva = Ja m × grijeh j. Onda je očito da
Gdje j– je zamišljena jedinica, i –
Izraz (3.5) definira složeni algebarski oblik prikaza sinusne struje. Pogodan je za izvođenje operacija zbrajanja i oduzimanja struja (napona). Dapače, da bismo zbrojili dva kompleksna broja, dovoljno je odvojeno zbrojiti njihove stvarne i imaginarne dijelove.
Zamijenimo njihove vrijednosti umjesto i u (3.5). Tada dobivamo:
gdje je modul kompleksnog prikaza struje, numerički jednak vrijednosti amplitude.
Izraz (3.6) definira složeni trigonometrijski oblik prikaza sinusne struje. Strujni vektor, magnituda ja' I ja″ na sl. 3.4 čine pravokutni trokut. Stoga, koristeći poznate izraze za stranice trokuta, možemo napisati:
Vidimo da izrazi (3.7) karakteriziraju parametre sinusne struje koji ne ovise o vremenu - stvarnu amplitudu i početnu fazu j. Oni olakšavaju prijelaz sa složenog oblika prikaza na prikaz funkcija u stvarnom vremenu.
Uvedimo vremensku ovisnost u (3.5). Zatim
Sada je očito da realni dio (3.8) karakterizira stvarno postojeću oscilaciju, opisanu realnom kosinusnom funkcijom, a imaginarni dio je ta ista oscilacija u sinusnom obliku.
Pomoću Eulerove formule prelazimo s (3.6) na eksponencijalni oblik kompleksnog prikaza struje:
Uzimajući u obzir vremensku ovisnost, izraz (3.9) ima oblik:
Eksponencijalni složeni oblik prikladan je za izvođenje operacija množenja, dijeljenja, stepenovanja ili vađenja korijena. Stvarno,
Za množenje dva kompleksna broja u eksponencijalnom obliku (3.9) dovoljno je pomnožiti njihove module i zbrojiti argumente (eksponente).
Zamislimo struje i napone na pasivnim elementima koji imaju otpor, kapacitet i induktivitet u kompleksu
oblik. Neka imamo:
Za otporni element jednakost je istinita:
Oslobodimo ovaj izraz vremenske ovisnosti:
Ali jednakost (3.11) je moguća samo ako . Time smo došli do važnog zaključka da su na otpornom elementu struja i napon u fazi. Maksimalna struja i napon javljaju se u isto vrijeme. Vektori struje i napona će se podudarati (slika 3.5).
Za element s kapacitetom, izraz je poznat:
Primjenjujući na njega složen oblik prikaza struje i napona,
S obzirom da dolazimo do izraza:
Dakle, vidimo da napon na kondenzatoru zaostaje za strujom za 90 o (vidi sl. 3.6).
Za element s induktivitetom upotrijebimo izraz (1.11). Zatim
Vidimo da napon na induktivitetu vodi struju za 90 o (slika 3.7).
Na kraju predavanja napominjemo da izrazi (3.11), (3.12) i (3.13) nemaju vremenske ovisnosti. To pojednostavljuje izračune električnih krugova, smanjujući ih na algebarske operacije s kompleksni brojevi. Zbog toga se složeni prikaz široko koristi u analizi električnih krugova izmjenične struje.
TEST PITANJA I ZADACI
3.1. Odredite trenutnu vrijednost i(t) = 10 sin (314t + 30) u određenom trenutku t = 0,005 C.
3.2. Formulirajte definicije i navedite izraze za prosječne i efektivne vrijednosti struje. Odredite prosječne i efektivne vrijednosti struje prema stavku 3.1.
3.3. Navedite vektorsku sliku struje prema točki 3.1. Dodajte ovu struju struji i(t) = 5 sin (314t – 30).
3.4. Je li moguće na jednom vektorskom dijagramu prikazati sinusne struje različitih frekvencija?
3.5. Što se naziva topografski vektorski dijagram električnog kruga? Formulirajte pravila za konstruiranje vektorskih dijagrama.
3.6. Za koja je djelovanja na sinusoidnu struju prikladno koristiti složeni algebarski oblik njezina prikaza?
3.7. Zamislite struju prema klauzuli 3.1. u složenom algebarskom obliku. Dodajte ga sa strujom prema stavku 3.3.
3.8. Trenutni set 0,707 + j0,707. Predstavite ovu struju pomoću realne sinusne funkcije.
3.9. Za koja je djelovanja na sinusoidnu struju prikladno koristiti složeni eksponencijalni oblik njezina prikaza?
3.10. Navedite odnose između struja i napona R, L, I C elementi u složenom pokaznom obliku.
3.11. Kakvi su fazni odnosi između struje i napona na R, L I S elementi?
PREDAVANJE 4. SLOŽENI OBLIK OTPORA I VODLJIVOSTI ELEMENATA ELEKTRIČNOG KRUGA
1. SLOŽENI OTPOR
Uvođenje složenog prikaza struja i napona zahtijeva određivanje otpora R, S I L elementi električnih kola u složenom obliku – Z R, Z C I Z L.
Dobro je poznato da se otpor otpornika definira kao omjer napona na otporniku i struje koja kroz njega teče. Ako su napon i struja predstavljeni u složenom obliku, tada
Ali u prethodnom predavanju utvrđeno je da su na otpornom elementu napon i struja u fazi, tj. Zato
Tako vidimo da se kompleksni otpor otpornika izražava samo realnim brojem. Ne unosi fazna izobličenja između struje i napona. Da bi se naglasila ta činjenica, takav se otpor često naziva aktivan.
Kompleksni otpor kapacitivnosti određen je sljedećom relacijom:
Vidimo da je kompleksni otpor kapacitivnosti prema izmjeničnoj struji izražen zamišljenim brojem. Imaginarna jedinica -j fizikalno određuje fazni pomak između struje i napona za 90 o. Ovo se dobro slaže s njegovim matematičkim značenjem:
Dakle, napon na kondenzatoru zaostaje za strujom za 90 o. To znači da se prvo povećava struja koja teče kroz kondenzator, a zatim, s određenim odmakom, naboj i napon.
Koeficijent 1 / određuje vrijednost otpora u Ohmima. On
obrnuto proporcionalan frekvenciji, tzv kapacitet I
označen sa X C, tj.
Kompleksni otpor induktiviteta određen je omjerom:
I u ovom slučaju otpor se izražava zamišljenim brojem. Ali budući da je ovaj broj pozitivan, to znači da napon na induktivitetu vodi struju za 90 o.
Koeficijent wL određuje vrijednost otpora u Ohmima. Proporcionalna je frekvenciji, tzv induktivna reaktancija i naznačen je X L, tj.
Da bi se naglasila činjenica da su otpori kapaciteta i induktiviteta izraženi kao imaginarni brojevi, nazivaju se reaktancije, a kondenzator i induktivitet su reaktivni elementi lanci.
Sada odredimo kompleksni otpor električnog kruga koji sadrži aktivne i reaktivne elemente, na primjer, serijski spojene R, L I S elemenata (sl. 4.1). Takav lanac predstavlja zatvoren krug, pa za njega vrijedi drugi Kirchhoffov zakon:
U posljednjem izrazu zamijenit ćemo simbole trenutnih napona i E.M.F. na njihove složene slike prema pravilima definiranim u predavanju 2. Ova se tehnika naziva simbolička metoda.
Budući da struja koja teče kroz sve elemente serijski krug, je isti, tada (4.6) ima oblik:
Podijelimo obje strane jednakosti s M m (t):
Po definiciji, izraz na desnoj strani posljednje jednakosti nije ništa više od kompleksnog otpora kruga na slici 4.1, tj.
gdje je R stvarni dio ili aktivni otpor kruga, a imaginarni dio ili reaktancija kruga.
Izraz (4.7) predstavlja kompleksni otpor u algebarskom obliku.
Odnosi između komponenti kompleksnog otpora u potpunosti su u skladu s odnosima za kompleksni prikaz struje. Ali radi veće jasnoće, uvodi se koncept trokut otpora(Slika 4.2). U trokutu je hipotenuza određena modulom kompleksnog otpora Z , i
Krak uz oštri kut određuje aktivni otpor kruga R:
Suprotna noga određuje reaktanciju kruga x:
Kutak φ Z određuje fazni pomak između struje i napona, koji
uveden je kompleksnim otporom kruga:
Uzimajući u obzir izraze (4.8) ¸ (4.11), lako je prijeći s algebarskog na
trigonometrijski oblik kompleksnog otpora:
Z= Z (4.12)
Primjenom Eulerove formule dobivamo eksponencijalni kompleksni oblik prikaza otpora:
Sada možemo napisati Ohmov zakon za dio kruga bez E.M.F. izvora. u složenoj slici:
Izraz (4.14) pokazuje da je u krugovima izmjenične struje modul struje određen omjerom modula napona (vrijednosti njegove amplitude) i modula kompleksnog otpora, a faza struje određena je faznom razlikom između napona i kompleksnog otpora. Ovo vodi do drugog izraza korisnog za praksu:
2. SLOŽENO PROVOĐENJE
U istosmjernim krugovima, vodljivost otpornika određena je omjerom struje i napona:
Ova vrijednost je obrnuto proporcionalna otporu. U krugovima izmjenične struje treba koristiti pojam složene vodljivosti, što je označeno Y i, općenito, sadrži pravi G i imaginarno U dijelovi:
Kao u istosmjernim krugovima, kompleksna vodljivost dijela kruga obrnuto je proporcionalna kompleksnom otporu, tj.
Gdje U- složeni modul vodljivosti.
Odnos između komponenti složenog oblika prikaza vodljivosti sličan je odnosu između komponenti složenog otpora. Složeni elementi vodljivosti R, L I S obrnuto su proporcionalni njihovim složenim otporima.
Kompleksna vodljivost otpornika je inverzna vrijednost njegovog kompleksnog otpora:
Kompleksna vodljivost kondenzatora određena je Ohmovim zakonom:
Kompleksna vodljivost induktiviteta nalazi se slično (4.18):
Zaključno, napominjemo da je složeni otpor pogodan za analizu dijelova električnog kruga s elementima spojenim u seriju, a složenu vodljivost za analizu odjeljaka s elementima spojenim paralelno.
TEST PITANJA I ZADACI
4.1. Što je dovelo do potrebe za uvođenjem pojmova kompleksnog otpora i kompleksne vodljivosti R, L I S elementi električnog kola?
4.2. Navedite relacije koje određuju složeni otpor R, L I S elementi. Formulirajte fizičko značenje zamišljene jedinice j.
4.3. Navedite odnose između komponenti složenog otpora.
4.4. Navedite Ohmov zakon u složenom obliku.
4.5. Je li moguće koristiti metode koje se koriste u istosmjernim krugovima pri analizi električnih krugova sinusne struje?
4.6. U dijagramu na Sl. 4.1 poznato: e(t) = 10 sin 314t, R = 10 Ohm, L = 0,1 H, A C = 50,7·106F. Odredite kompleksni otpor kruga u algebarskom i eksponencijalnom obliku.
4.7. Koristeći podatke u stavku 4.6, odredite struju kruga na sl. 4.1.
4.8. Koristeći podatke u stavku 4.6, odredite napon na R, L I S elementi kruga Sl. 4.1.
4.9. U kojim slučajevima je preporučljivo koristiti složenu vodljivost? R, L I S elementi sklopa?
4.10. Navedite odnose koji određuju kompleksnu vodljivost R, L I S elementi.
PREDAVANJE 5. ENERGETSKA KARAKTERISTIKA ELEKTRIČNIH KRUGA SINUSNE STRUJE
1. TRENUTNA SNAGA KRUGA R, L I S. Vektor napona preko induktiviteta
Kao što se vidi iz (5.12), trenutna snaga pR(t) sadrži stalnu komponentu P = RI 2 i varijablu koja se mijenja dvostruko većom frekvencijom. Raspored r R(t) prikazano na sl. 5.2. Grafikon to jasno pokazuje snaga p R (t) je uvijek pozitivna i varira od 0 (trenutno t=0, k×T/2) prije 2RI 2(u trenucima ( 2k-1)× T/4), Gdje T=2p/w- tekuće razdoblje.
Prosječna vrijednost snage tijekom razdoblja označena je s R i nazovite djelatna snaga, i
Pogledajmo vektorski dijagram na sl. 5.1. Uzmimo u obzir da pad napona na otpornom elementu kruga na Sl. 4.1 – U R = R∙I = Ua∙cosφ. Uzimajući u obzir desnu stranu jednakosti (5.6), prepisujemo (5.12) u obliku:
Prvi član na desnoj strani (5.14) u potpunosti odgovara (5.13), tj. određuje aktivnu snagu kruga:
[W]. (5.15)
Izraz (5.15) se u praksi koristi mnogo češće, jer određuje ovisnost aktivne snage o faznom pomaku između efektivnih vrijednosti struje i napona kruga. Zbog toga je koeficijent cos j se zove faktor snage i označavaju l:
Nastavimo analizu članova u izrazu za trenutnu snagu kruga - (5.11). U njemu treći i četvrti član određuju snagu koju oslobađaju reaktivni elementi:
– induktivnost:
– kontejneri:
Svaki od ovih članova mijenja se dvostruko većom frekvencijom (u odnosu na struju), ali imaju međusobno suprotne faze (sl. 5.3). Budući da u (5.17) i (5.18) nema konstantne komponente, prosječna vrijednost svake od njih je nula. Međutim, iznos pL(t) I pC(t) razlikuje se od nule i određuje trenutnu snagu reaktivnih elemenata (dijelova) kruga - p r(t).
Odredimo ovu moć.
Sinusoidalna struja ja=ja m sin(ω t+ψ ja) može se prikazati na kompleksnoj ravnini (slika 7). Veličina i smjer vektora ja m određena koordinatama jedne točke u kompleksnoj ravnini ja m a ovaj vektor je zapisan pomoću kompleksnog broja:
- vektor se okreće brzinom ω
suprotno od kazaljke na satu;
- položaj vektora pri t=0 (početni položaj).
I mogu izostaviti kao konstantne komponente, tada dobivamo kompleksni realni broj (tekući kompleks) u eksponencijalnom obliku:
ja m
ja (ja m )
Ψ ja
Ohmov zakon u složenom obliku
Ako na nekom elementu električnog kola postoji napon u=U m sin(ω t+ψ u) i struja kroz njega ja=ja m sin(ω t+ψ ja), Zatim
U
=Ue j 
ja
=tj j 
φ=ψ u -ψ ja
- ukupni kompleksni otpor kruga izmjenične struje u eksponencijalnom obliku;
- modul impedancije;
φ je fazna razlika između napona i struje.
Z = z(cosφ + jsinφ) = R + jX - algebarski oblik zapisa impedancije.
R– realni dio kompleksnog broja, aktivni otpor;
x– imaginarni dio kompleksnog broja, reaktancija.
Vodljivost kruga:
- ukupna kompleksna vodljivost kruga izmjenične struje u eksponencijalnom obliku;
- modul pune vodljivosti;
Y = g[ cos(- φ ) + jsin(- φ )] = ycosφ - jysinφ = G + jB - algebarski oblik snimanja admitancije.
G– realni dio, aktivna vodljivost;
B– imaginarni dio, reaktivna vodljivost.
Kirchhoffovi zakoni za električni krug sinusne struje
Za električni krug sinusne struje vrijede i Kirchhoffovi zakoni, ranije formulirani za krug istosmjerne struje. Ali budući da sinusne veličine karakteriziraju trenutne, amplitudne i efektivne vrijednosti, svaka od njih ima vlastite formulacije Kirchhoffovih zakona.
Za trenutne vrijednosti zakoni Kirchhoff vrijede u algebarskom obliku.
Prvi zakon: Algebarski zbroj struja koje konvergiraju u čvoru jednak je nuli:
,
Gdje n- broj grana koje konvergiraju u čvoru;
Drugi zakon - algebarski zbroj EMF-a u zatvorenom krugu jednak je algebarskom zbroju padova napona na otporima ovog kruga: 
,
Gdje m- broj EMF u krugu, i n- broj grana ili broj otpora u krugu.
Za amplitudu i efektivne vrijednosti Kirchhoffov zakon vrijedi samo u složenom obliku.
Prvi zakon: Zbroj kompleksnih struja u čvoru je nula:
Drugi zakon: zbroj kompleksnih EMF u krugu jednak je zbroju kompleksnih padova napona na otporima ovog kruga:
Električni krug s aktivnim otporom
Električna struja u metalima je usmjereno kretanje elektrona. Dok se elektroni kreću, sudaraju se s atomima vodljive tvari, a kinetička energija koju akumuliraju tijekom ubrzavanja pretvara se u toplinsku energiju. Vodič se zagrijava i toplina se odvodi u okolinu. Ovo je ireverzibilan aktivni proces pretvorbe energije, koji se kvantificira otporom R. Zato ga zovu aktivni otpor .
U istosmjernim krugovima otpor R jednostavno se naziva otpor. U krugovima sinusne struje nazivaju se aktivni otpor.
U krugu izmjenične struje s aktivnim otporom (slika 9) rade:
Trenutno ja= ja m sin(ω t+ψ ja), napon na aktivnom otporu u R = Ri= R.I. m sin(ω t+ ψ ja)=U m sin(ω t+ ψ ja),
U m = R.I. m
Efektivne vrijednosti struje i napona u složenom obliku:
U
R =U R e j 
ja
=tj j
Impedancija:
Otpornost R je pozitivan realan broj.
Struja u elementu s aktivnim otporom je u fazi s naponom na tom elementu (slika 10). U vektorskom dijagramu, struja i napon podudaraju se u smjeru (slika 11).
Električni krug s induktivitetom
Induktivitet L teoretski imaju svi vodiči kojima teče struja. Ali u nekim slučajevima taj induktivitet je zanemariv. Značajan induktivitet nalazi se u namotima ili zavojnicama koji se sastoje od velikog broja zavoja žice. Induktivitet se povećava ako se magnetski tok koji stvara struja F zatvara duž staze s malim magnetskim otporom (na primjer, duž čelične jezgre), zbog čega se povećava magnetski tok. Induktivnost namota ne može se zanemariti pri razmatranju fizički procesi u elektromotorima, transformatorima, prigušnicama. L - koeficijent proporcionalnosti između spoja toka i struje, konstantna vrijednost za svaki vodič.
Dimenzija induktiviteta L - (Hn, Henry).
Prava zavojnica osim induktiviteta imaju značajan aktivni (omski) otpor R a kapacitet s kapacitetom S. Za odjeljak S, duljina l i materijal (koeficijent otpornosti materijala ρ ) žica za namotavanje:
R=ρ l/ S.
savršen kolut s konstantnom induktivnošću L= konst, otpor R=0, kapacitet okretaja
Neka krug s induktivitetom L(Sl. 12) primijenjen sinusni napon u=U m grijehωt. Pod utjecajem ovog napona, a sinusoidalna struja ja. Ova struja stvara magnetski tok F, koji prema zakonu elektromagnetske indukcije inducira EMF samoindukcije u zavojnici: sl. 12.
e L =-dψ/dt=-WdF/dt=-Ldi/dt,
gdje je ψ - veza toka ψ= Li= WF,
W - broj zavoja, F- magnetski tok.
Predznak minus prema Lenzovom principu elektromagnetske indukcije označava da emf samoindukcije e L uvijek ima smjer u kojem onemogućuje promjene magnetskog toka i struje u krugu.
Odaberemo uvjetne pozitivne smjerove struje, napona i EMF-a, a uvjetni pozitivni smjer EMF-a u bilo kojem je trenutku suprotan padu napona na zavojnici:
e L =-u L .
Prema drugom Kirchhoffovom zakonu:
u=- e L , u = u L
U m grijehωt= Ldi/ dt
Dobivamo diferencijalnu jednadžbu
Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo izraz za struju u krugu:
Ili ja=ja m sin(ω t-π/2), gdje je ja m =U m / ω L
Dakle, struja u krugu s induktivitetom mijenja se prema sinusoidnom zakonu i zaostaje za naponom za kutπ /2 (Sl. 13) .
Nazivnik ω L ima dimenziju otpora - to je induktivna reaktancija x L .
x L = ω L= 2π fL.
Stoga dobivamo:
ja m =U m / x L– za vrijednost amplitude struje;
ja=U/ x L
U složenom obliku:
U = Ue j 0 = U ,
ja = tj - jπ /2 =- jI .
je pozitivan imaginaran broj.
N 
a u vektorskom dijagramu vektor napona vodi vektor struje za kut π/2 (slika 14).
Električni krug s kapacitetom
Element električnog kruga sa značajnim kapacitetom je kondenzator. Strukturno, kondenzator se sastoji od dvije ploče s velikom (u usporedbi s razmakom između ploča) površine, odvojene jedna od druge dielektrikom. Kapacitet S Kondenzator je određen električnim nabojem koji se nakuplja na pločama kada je razlika potencijala među njima 1V. Dimenzija kapaciteta S– (F, farad).
1uF=10 -6 F (mikrofarad)
1pF=10 -12 F (picafarad)
1nF=10 -9 F (nanafarad).
Razmak u kondenzatoru nije prepreka za prolaz izmjenične struje, jer sinusoidni napon povremeno mijenja smjer, stoga se naboj na pločama kondenzatora također kontinuirano mijenja (kondenzator se ponovno puni).
U stvarnosti, svaka dva vodiča koji se nalaze jedan blizu drugoga imaju kapacitet, ali s malom površinom (u usporedbi s razmakom), njihov kapacitet nije velik i zanemaren je.
U najjednostavnijem slučaju smatramo idealni kondenzator s kapacitetom S=const, njegov otpor R= 0, induktivitet L= 0.
Neka strujni krug s kondenzatorom čiji je kapacitet S, primijenjeni sinusoidalni napon u=U m grijehωt. Pod utjecajem tog napona u krugu se stvara sinusna struja ja a naboj se nakuplja na svakoj ploči Q= Cu c, Gdje u c– pad napona na kondenzatoru.
Odabiremo uvjetne pozitivne smjerove struje, napona i EMF. Prema drugom Kirchhoffovom zakonu u= u c, zatim naboj na kondenzatoru Q= Cu c =CU m grijehω t.
Struja u krugu predstavlja promjenu naboja tijekom vremena:
ja= dQ/ dt= ωCU m cos ωt= ωCU m grijeh(ωt+ π /2), ja= ja m grijeh(ωt+ π /2), ja m = U m /(1/ ωC).
Tako se i struja u krugu s kondenzatorom mijenja po sinusoidnom zakonu i povećava napon za kutπ /2 (Sl. 16) .
Nazivnik 1/ ω C ima dimenziju otpora - to je kapacitivnost x S :
.
Stoga dobivamo
ja m =U m / x S– za vrijednost struje amplitude;
ja=U/ x S-Za efektivna vrijednost Trenutno
U složenom obliku:
U = Ue j 0 = U ,
ja = tj jπ /2 = jI .
Induktivna reaktancija u složenom obliku
– negativni imaginarni broj.
U vektorskom dijagramu vektor napona zaostaje za vektorom struje za kut π/2(Slika 17).
Električni krug sa serijskim spojem r , L I S elementi
Napon se dovodi u električni krug (Sl. 18) u, pod čijim utjecajem struja teče kroz krug ja = ja m grijehωt.
Prema drugom Kirchhoffovom zakonu, jednadžba će biti zapisana:
Gdje 
;
.
U demonstrativnom obliku 
,
Gdje 
I 
određuju se iz trokuta otpora (slika 19).
, jer ψ
ja
=0.
, U= zI
Trenutna vrijednost napona u= U m grijeh(ω t+φ).
Zaključak: napon vodi struju faznim kutom φ.
Ovisno o omjeru otpora x L I x C lanac ima karakter:
a) induktivni, ako x L > x C, pri čemu φ >0;
b) kapacitivan, ako x L < x C , pri čemu φ<0
c) rezonancija, ako x L = x C , pri čemu φ=0.
Na sl. Slika 20 prikazuje vektorske dijagrame napona i sinusoide napona i struja koji odgovaraju trima gore opisanim modovima.
Fenomeni rezonancije
Pod rezonancijom se podrazumijeva pojava naglog porasta amplitude oscilacija kada se frekvencija vanjske smetnje i sile podudara s frekvencijom vlastitih oscilacija sustava.
Imamo strujni krug koji osim aktivnog otpora sadrži i reaktivne komponente. Unatoč tome, krug je aktivan, odnosno struja i napon su u fazi. Tada se u ovom krugu opaža rezonancija.
Uvjeti rezonancije :
ja= ja m grijehω t, u= U m sin(ω t+ φ), ja = ja, U = Ue jφ , Z = Ze jφ = R+ j(x L - x C )= R+ jx.
U rezonanciji: x L = x C , ωL=1/ ωC, x L - x C = 0, x=0, φ=0
U rezonanciji je ukupna impedancija realan broj Z= R.
Za vodljivost: Y = Da - jφ = g- j(b L - b C )= g- jb, Gdje b L = b C , b= 0, φ=0, Y= g.
Rezonancija napona .
Rezonancija napona moguća je u krugovima s serijski spojenim induktorom i kondenzatorom.
Ako x L = x C, odnosno ω 0 L= 1/ ω 0 C, gdje je ω 0 rezonantna frekvencija ili vlastita frekvencija kruga.
,
- valni otpor.
- karakterizira koliko je izražena pojava rezonancije u krugu.
- faktor kvalitete određuje koliko je puta napon na svakom reaktivnom elementu veći od napona koji se dovodi u krug.
Q– određuje kvalitetu uzgajivačnice.
Q=200-500 za radio krugove.
Budući da su otpor i napon izravno proporcionalni, dakle U L = U C, otuda i naziv – naponska rezonancija. Napon na kondenzatoru i induktoru se međusobno poništavaju u rezonanciji, a ova dva napona u rezonanciji su veća od napona izvora.
Za efektivne vrijednosti:
U L = x L ja, U C = x C ja, U R = R.I.
U rezonanciji
U L = ρI, U C =ρ ja, U= rI,
, ako je ρ ›› R, tada U L
I U C
›› U
Faktor kvalitete Q određuje kvalitetu konture. Za radio krugove Q=200~500. Faktor kvalitete Q određuje koliko je puta napon na svakom reaktivnom elementu veći od napona koji se dovodi u krug.
Struja u rezonanciji ima najveću vrijednost. Budući da je otpor kruga određen samo aktivnom komponentom, stoga je minimalan, a kao što znate, otpor i struja su obrnuto proporcionalni.
ja= U/ R
Pri rezonanciji dolazi do međusobne izmjene energije između zavojnice i kondenzatora. Stoga je jalova komponenta snage nula. Faktor snage pri rezonanciji je na svojoj najvećoj vrijednosti.
Rezonancija struja.
Električni prijamnici s nelinearnom strujno-naponskom karakteristikom troše struju čiji se oblik krivulje razlikuje od sinusoidnog. A protok takve struje kroz elemente električne mreže stvara pad napona na njima koji je različit od sinusoidnog, i to je razlog iskrivljenja sinusoidnog oblika krivulje napona.
Na primjer, poluvodički pretvarači troše trapezoidnu struju, slikovito rečeno, otimaju pravokutne komade iz sinusoide.
Pretvara se i troši 35% električne energije
pri konstantnom naponu.
Izvori nesinusoidnog napona su: statički pretvarači, elektrolučne i indukcijske peći za taljenje čelika, transformatori, sinkroni motori, instalacije za zavarivanje, rasvjetni uređaji s izbojem u plinu, uredski i kućanski uređaji i dr.
Strogo govoreći, svi potrošači imaju nelinearnu strujno-naponsku karakteristiku, osim žarulja sa žarnom niti, a čak su i one zabranjene.
Utjecaj nesinusoidnog napona na rad električne opreme:
Dakle, s koeficijentom izobličenja valnog oblika sinusoidnog napona K U = 10%, ukupni gubici u mrežama poduzeća, velikim industrijskim središtima i mrežama elektrificiranog željezničkog prometa mogu doseći 10 ... 15%.
Funkcija koja opisuje nesinusoidalnu krivulju napona može se proširiti u Fourierov niz sinusoidalnih (harmoničnih) komponenti, s frekvencijom od n- puta veća od frekvencije napojne mreže frekvencija prvog harmonika (f n=1 = 50 Hz, f n=2 = 100 Hz, f n=3 = 150 Hz...).
Zbog različitih značajki generiranja, širenja kroz mreže i utjecaja na rad opreme, razlikuju se parne i neparne harmoničke komponente, kao i komponente izravnog slijeda (1, 4, 7 itd.), negativni slijed (2, 5 , 8 itd.) i nulti niz (harmonici koji su višekratnici tri).
Kako se frekvencija (broj harmonijske komponente) povećava, amplituda harmonika se smanjuje.
GOST 13109-97 zahtijeva ocjenjuju cijeli niz harmonijskih komponenti od 2. do uključivo 40.
Mjere za smanjenje nesinusoidalnosti napona:
"nezasićeni" transformatori;
L-C lanac spojen na mrežu tvori oscilatorni krug čija je reaktancija za struje određene frekvencije nula. Odabirom vrijednosti L i C filtar se prilagođava frekvenciji strujnog harmonika i zatvara ga bez propuštanja u mrežu. Skup takvih krugova, posebno podešenih na harmonike viših struja koje stvara ovo nelinearno opterećenje, tvori uređaj za kompenzaciju filtera (FCD), koji ne dopušta strujnim harmonicima da uđu u mrežu i kompenzira protok jalove snage kroz mrežu.