Na što se primjenjuje prirodni logaritam? Prirodni logaritam, funkcija ln x

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Imajte na umu da je logaritam nepozitivnog broja nedefiniran. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobit ćemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam na bazi -2 od 4 jednako je 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da je opseg definicije desne i lijeve strane ove formule različit. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b, i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi može dovesti do promjene OD.

Dvije očite posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doista, dizanjem broja a na prvu potenciju dobivamo isti broj, a dizanjem na nultu potenciju dobivamo jedinicu.

Logaritam umnoška i logaritam kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti školarce da nepromišljeno primjenjuju ove formule pri rješavanju logaritamske jednadžbe i nejednakosti. Kada ih koristite "slijeva nadesno", ODZ se sužava, a kada prelazite sa zbroja ili razlike logaritama na logaritam umnoška ili kvocijenta, ODZ se širi.

Doista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije strogo pozitivne ili kada su f(x) i g(x) obje manje od nule.

Pretvarajući ovaj izraz u zbroj log a f (x) + log a g (x), prisiljeni smo ograničiti se samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Postoji sužavanje raspona prihvatljivih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stupanj se može uzeti iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želio pozvati na točnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti očito je definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Izuzimanjem stupnja iz logaritma opet sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona prihvatljivih vrijednosti. Sve ove napomene vrijede ne samo za potenciju 2, nego i za bilo koju parnu potenciju.

Formula za prelazak na novi temelj

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tijekom transformacije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivnu a ne jednaku 1), formula za prelazak na novu bazu potpuno je sigurna.

Odaberemo li broj b kao novu bazu c, dobivamo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1. Izračunajte: log2 + log50.
Riješenje. log2 + log50 = log100 = 2. Koristili smo formulu zbroja logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
Riješenje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Koristili smo formulu za prelazak na novu bazu (8).

Tablica formula povezanih s logaritmima

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1.1. Određivanje eksponenta za cjelobrojni eksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N puta

1.2. Nulti stupanj.

Prema definiciji, općenito je prihvaćeno da je nulta potencija bilo kojeg broja 1:

1.3. Negativni stupanj.

X -N = 1/X N

1.4. Frakcijska snaga, korijen.

X 1/N = N korijen od X.

Na primjer: X 1/2 = √X.

1.5. Formula za zbrajanje potencija.

X (N+M) = X N * X M

1.6.Formula za oduzimanje potencija.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula za množenje potencija.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula za dizanje razlomka na potenciju.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Broj e.

Vrijednost broja e jednaka je sljedećoj granici:

E = lim(1+1/N), kao N → ∞.

S točnošću od 17 znamenki, broj e je 2,71828182845904512.

3. Eulerova jednakost.

Ova jednakost povezuje pet brojeva koji imaju posebnu ulogu u matematici: 0, 1, e, pi, imaginarna jedinica.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponencijalna funkcija exp(x)

exp(x) = e x

5. Derivacija eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija ima izvanredno svojstvo: derivacija funkcije jednaka je samoj eksponencijalnoj funkciji:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritam.

6.1. Definicija funkcije logaritma

Ako je x = b y, tada je logaritam funkcija

Y = Log b(x).

Logaritam pokazuje na koju potenciju treba podignuti broj - bazu logaritma (b) da bi se dobio zadani broj (X). Funkcija logaritma definirana je za X veće od nule.

Na primjer: Dnevnik 10 (100) = 2.

6.2. Decimalni logaritam

Ovo je logaritam na bazi 10:

Y = Log 10 (x) .

Označava se s Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Primjer upotrebe decimalnog logaritma je decibel.

6.3. Decibel

Stavka je istaknuta na posebnoj stranici Decibel

6.4. Binarni logaritam

Ovo je logaritam s bazom 2:

Y = log 2 (x).

Označava se s Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Prirodni logaritam

Ovo je logaritam prema bazi e:

Y = Log e (x).

Označava se s Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Prirodni logaritam je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije exp(X).

6.6. Karakteristične točke

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formula logaritma umnoška

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula za logaritam kvocijenta

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Formula logaritma snage

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula za pretvorbu u logaritam s drugom bazom

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Primjer:

Dnevnik 2 (8) = Dnevnik 10 (8)/Dnevnik 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule korisne u životu

Često se javljaju problemi pretvaranja volumena u površinu ili duljinu i obrnuti problem - pretvaranje površine u volumen. Na primjer, ploče se prodaju u kockama (kubnim metrima), a mi trebamo izračunati koliko se površina zida može obložiti pločama sadržanim u određenom volumenu, pogledajte izračun ploča, koliko je ploča u kocki. Ili, ako su poznate dimenzije zida, morate izračunati broj cigli, pogledajte izračun cigle.

Dopušteno je koristiti materijale stranice pod uvjetom da je instalirana aktivna poveznica na izvor.

Dana su glavna svojstva prirodni logaritam, graf, domena definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, derivacija, integral, proširenje u potencijski niz i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

Prirodni logaritam je funkcija y = u x, obrnuto od eksponencijalni, x = e y , i je logaritam na temelju broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam ima široku primjenu u matematici jer njegova derivacija ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na temelju definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcije y = u x.

Graf prirodnog logaritma (funkcije y = u x) dobiva se iz eksponencijalna grafika zrcalna refleksija u odnosu na ravnu liniju y = x.

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti varijable x. Monotono raste u svojoj domeni definicije.

Na x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (-∞).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačno (+ ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija snage x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Područje definiranja, skup vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tablici.

ln x vrijednosti

U 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje slijede iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Bilo koji logaritam može se izraziti prirodnim logaritmom koristeći formulu supstitucije baze:

Dokazi ovih formula prikazani su u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Inverz prirodnog logaritma je eksponent.

Ako tada

Ako tada.

Derivacija ln x

Derivacija prirodnog logaritma:
.
Derivacija prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Sastavni

Izračunava se integral integracija po dijelovima :
.
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Kada dođe do ekspanzije:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Logaritam broja b na bazu a je eksponent na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj b.

Ako tada.

Logaritam - ekstrem važna matematička veličina, budući da logaritamski račun omogućuje ne samo rješavanje eksponencijalne jednadžbe, ali i raditi s indikatorima, razlikovati eksponencijalne i logaritamske funkcije, integrirati ih i dovesti do prihvatljivijeg oblika za izračunavanje.

U kontaktu s

Sva svojstva logaritama izravno su povezana sa svojstvima eksponencijalnih funkcija. Na primjer, činjenica da znači da:

Treba napomenuti da pri rješavanju specifične zadatke, svojstva logaritama mogu biti važnija i korisnija od pravila za rad s potencijama.

Predstavimo neke identitete:

Evo osnovnih algebarskih izraza:

;

.

Pažnja! može postojati samo za x>0, x≠1, y>0.

Pokušajmo razumjeti pitanje što su prirodni logaritmi. Poseban interes za matematiku predstavljaju dvije vrste- prvi ima broj “10” kao bazu, a naziva se “decimalni logaritam”. Drugi se zove prirodni. Baza prirodnog logaritma je broj "e". O tome ćemo detaljno govoriti u ovom članku.

Oznake:

• lg x - decimala;
• ln x - prirodno.

Koristeći se identitetom, vidimo da je ln e = 1, kao i da je lg 10=1.

Graf prirodnog logaritma

Izgradimo graf prirodnog logaritma koristeći standard na klasičan način po bodovima. Ako želite, pregledom funkcije možete provjeriti konstruiramo li funkciju ispravno. Međutim, ima smisla naučiti kako ga graditi "ručno" kako biste znali kako pravilno izračunati logaritam.

Funkcija: y = ln x. Zapišimo tablicu točaka kroz koje će graf prolaziti:

Objasnimo zašto smo odabrali baš ove vrijednosti argumenta x. Sve je u identitetu: . Za prirodni logaritam ovaj identitet će izgledati ovako:

Radi praktičnosti, možemo uzeti pet referentnih točaka:

;

;

.

;

.

Stoga je izračunavanje prirodnih logaritama prilično jednostavan zadatak; štoviše, pojednostavljuje izračune operacija s potencijama, pretvarajući ih u obično množenje.

Iscrtavanjem grafa točku po točku, dobivamo približni graf:

Domena definicije prirodnog logaritma (tj. sve važeće vrijednosti argument X) - svi brojevi su veći od nule.

Pažnja! Područje definiranja prirodnog logaritma uključuje samo pozitivne brojeve! Opseg definicije ne uključuje x=0. To je nemoguće na temelju uvjeta postojanja logaritma.

Raspon vrijednosti (tj. sve važeće vrijednosti funkcije y = ln x) su svi brojevi u intervalu.

Prirodno ograničenje dnevnika

Proučavajući graf, postavlja se pitanje - kako se funkcija ponaša na y<0.

Očito, graf funkcije teži prijeći y-os, ali to neće moći učiniti, budući da je prirodni logaritam od x<0 не существует.

Granica prirodnog log može se napisati ovako:

Formula za zamjenu baze logaritma

Rad s prirodnim logaritmom mnogo je lakši nego rad s logaritmom koji ima proizvoljnu bazu. Zato ćemo pokušati naučiti kako svesti bilo koji logaritam na prirodni ili ga izraziti na proizvoljnu bazu kroz prirodne logaritme.

Počnimo s logaritamskim identitetom:

Tada se bilo koji broj ili varijabla y može predstaviti kao:

gdje je x bilo koji broj (pozitivan prema svojstvima logaritma).

Ovaj izraz se može uzeti logaritamski s obje strane. Učinimo to pomoću proizvoljne baze z:

Iskoristimo svojstvo (samo umjesto "c" imamo izraz):

Odavde dobivamo univerzalnu formulu:

.

Konkretno, ako je z=e, tada:

.

Uspjeli smo prikazati logaritam proizvoljnoj bazi kroz omjer dva prirodna logaritma.

Rješavamo probleme

Kako bismo bolje razumjeli prirodne logaritme, pogledajmo primjere nekoliko problema.

Problem 1. Potrebno je riješiti jednadžbu ln x = 3.

Riješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:

Problem 2. Riješite jednadžbu (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Rješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:

.

Upotrijebimo ponovno definiciju logaritma:

.

Tako:

.

Odgovor možete približno izračunati ili ga možete ostaviti u ovom obrascu.

Zadatak 3. Riješite jednadžbu.

Riješenje: Napravimo zamjenu: t = ln x. Tada će jednadžba imati sljedeći oblik:

.

Imamo kvadratnu jednadžbu. Nađimo njegovu diskriminantu:

Prvi korijen jednadžbe:

.

Drugi korijen jednadžbe:

.

Sjetimo se da smo napravili zamjenu t = ln x, dobivamo:

U statistici i teoriji vjerojatnosti logaritamske veličine se vrlo često nalaze. To ne čudi, jer broj e često odražava stopu rasta eksponencijalnih veličina.

U informatici, programiranju i teoriji računala, logaritmi se često susreću, na primjer, kako bi se u memoriju pohranilo N bitova.

U teorijama fraktala i dimenzija stalno se koriste logaritmi, budući da se jedino pomoću njih određuju dimenzije fraktala.

U mehanici i fizici Nema odjeljka u kojem se nisu koristili logaritmi. Barometrijska raspodjela, svi principi statističke termodinamike, jednadžba Ciolkovskog itd. su procesi koji se mogu matematički opisati samo pomoću logaritma.

U kemiji se logaritmi koriste u Nernstovim jednadžbama i opisima redoks procesa.

Nevjerojatno, čak iu glazbi, kako bi se saznao broj dijelova oktave, koriste se logaritmi.

Prirodni logaritam Funkcija y=ln x njena svojstva

Dokaz glavnog svojstva prirodnog logaritma