Metodologija rješavanja eksponencijalnih nejednadžbi. Eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe
U ovoj lekciji ćemo pogledati razne eksponencijalne nejednadžbe i naučiti kako ih riješiti, temeljeno na tehnici za rješavanje najjednostavnijih eksponencijalne nejednakosti
1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije
Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi temelji se na tim svojstvima.
Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stupanj i Ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.
Riža. 1. Graf eksponencijalne funkcije
Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrirajući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan odnosno manjom od jedan, ali većom od nule.
Obje krivulje prolaze kroz točku (0;1)
Svojstva eksponencijalne funkcije:
Domena: ;
Raspon vrijednosti: ;
Funkcija je monotona, raste s, opada s.
Monotona funkcija uzima svaku svoju vrijednost s obzirom na jednu vrijednost argumenta.
Kada , kada argument raste od minus do plus beskonačno, funkcija raste od uključivo nule do plus beskonačno, tj. za dane vrijednosti argumenta imamo monotono rastuću funkciju (). Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačnosti, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do uključivo nule, tj. za dane vrijednosti argumenta imamo monotono opadajuću funkciju ().
2. Najjednostavnije eksponencijalne nejednadžbe, metoda rješavanja, primjer
Na temelju gore navedenog, predstavljamo metodu za rješavanje jednostavnih eksponencijalnih nejednadžbi:
Tehnika rješavanja nejednakosti:
Izjednačiti baze stupnjeva;
Usporedite metrike spremanjem ili promjenom u suprotnog predznaka nejednakosti.
Rješenje složenih eksponencijalnih nejednadžbi obično se sastoji u njihovom svođenju na najjednostavnije eksponencijalne nejednadžbe.
Baza stupnja je veća od jedan, što znači da je znak nejednakosti sačuvan:
Transformirajmo desnu stranu prema svojstvima stupnja:
Baza stupnja je manja od jedan, znak nejednakosti mora biti obrnut:
Da bismo riješili kvadratnu nejednadžbu, rješavamo odgovarajuću kvadratnu jednadžbu:
Pomoću Vietinog teorema nalazimo korijene:
Grane parabole su usmjerene prema gore.
Dakle, imamo rješenje nejednadžbe:
Lako je pogoditi da se desna strana može prikazati kao potencija s eksponentom nule:
Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti se ne mijenja, dobivamo:
Prisjetimo se tehnike rješavanja takvih nejednakosti.
Razmotrimo frakcijsko-racionalnu funkciju:
Nalazimo domenu definicije:
Traženje korijena funkcije:
Funkcija ima jedan korijen, 
Odaberemo intervale konstantnog predznaka i na svakom intervalu odredimo predznake funkcije:
Riža. 2. Intervali konstantnosti predznaka
Tako smo dobili odgovor.
Odgovor: 
3. Rješavanje standardnih eksponencijalnih nejednadžbi
Razmotrimo nejednakosti s istim pokazateljima, ali različitim bazama.
Jedno od svojstava eksponencijalne funkcije je da za bilo koju vrijednost argumenta uzima strogo pozitivne vrijednosti, što znači da se može podijeliti na eksponencijalnu funkciju. Podijelimo datu nejednadžbu desnom stranom:
Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.
Ilustrirajmo rješenje:
Na slici 6.3 prikazani su grafovi funkcija i . Očito, kada je argument veći od nule, graf funkcije je viši, ova funkcija je veća. Kada su vrijednosti argumenta negativne, funkcija ide niže, manja je. Ako je argument jednak, funkcije su jednake, što znači da je ta točka ujedno i rješenje zadane nejednadžbe.
Riža. 3. Ilustracija primjera 4
Transformirajmo zadanu nejednadžbu prema svojstvima stupnja:
Evo nekoliko sličnih pojmova:
Podijelimo oba dijela na:
Sada nastavljamo rješavati slično primjeru 4, podijelimo oba dijela s:
Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti ostaje:
4. Grafičko rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi
Primjer 6 - Grafički riješite nejednadžbu:
Pogledajmo funkcije s lijeve i desne strane i napravimo graf za svaku od njih.
Funkcija je eksponencijalna i raste u cijeloj svojoj domeni definicije, tj. za sve realne vrijednosti argumenta.
Funkcija je linearna i opada u cijeloj svojoj domeni definicije, tj. za sve realne vrijednosti argumenta.
Ako se te funkcije sijeku, odnosno sustav ima rješenje, tada je takvo rješenje jedinstveno i lako se može pogoditi. Da bismo to učinili, ponavljamo cijele brojeve ()
Lako je vidjeti da je korijen ovog sustava:
Dakle, grafovi funkcija sijeku se u točki s argumentom jednakim jedan.
Sada moramo dobiti odgovor. Značenje zadane nejednakosti je da eksponent mora biti veći ili jednak linearnoj funkciji, odnosno biti veći ili koincidirati s njom. Odgovor je očit: (Slika 6.4)
Riža. 4. Ilustracija primjera 6
Dakle, gledali smo rješavanje raznih standardnih eksponencijalnih nejednakosti. Zatim prelazimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih nejednakosti.
Bibliografija
Mordkovich A. G. Algebra i principi matematička analiza. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Droplja. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. i dr. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Prosvjeta.
matematika doktor medicine. Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.
Domaća zadaća
1. Algebra i počeci analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990., br. 472, 473;
2. Riješite nejednadžbu:
3. Riješite nejednadžbu.
a x = b je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. U njemu a veći od nule i A nije jednako jedan.
Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi
Iz svojstava eksponencijalne funkcije znamo da je njezin raspon vrijednosti ograničen na pozitivne realne brojeve. Tada ako je b = 0, jednadžba nema rješenja. Ista se situacija događa u jednadžbi gdje je b
Sada pretpostavimo da je b>0. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veći od jedinice, tada će funkcija rasti u cijeloj domeni definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu A ispunjen je sljedeći uvjet 0 Na temelju toga i primjenom teorema o korijenu, nalazimo da jednadžba a x = b ima jedan jedini korijen, za b>0 i pozitivan a nije jednako jedan. Da biste ga pronašli, trebate predstaviti b kao b = a c. Razmotrite sljedeći primjer: riješite jednadžbu 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Zamislimo 25 kao 5 2, dobivamo: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Ili što je ekvivalentno: x 2 - 2*x - 1 = 2. Dobivenu kvadratnu jednadžbu rješavamo bilo kojom od poznate metode. Dobivamo dva korijena x = 3 i x = -1. Odgovor: 3;-1. Riješimo jednadžbu 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Izvršimo zamjenu: t=2 x i dobijemo sljedeću kvadratnu jednadžbu: t 2 - 5*t + 4 = 0. Sada rješavamo jednadžbe 2 x = 1 i 2 x = 4. Odgovor: 0;2. Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi također se temelji na svojstvima rastućih i padajućih funkcija. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija biti rastuća u cijeloj domeni definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu A ispunjen je sljedeći uvjet 0 Razmotrite primjer: riješite nejednadžbu (0,5) (7 - 3*x)< 4. Primijetimo da je 4 = (0,5) 2 . Tada će nejednakost poprimiti oblik (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Dobivamo: 7 - 3*x>-2. Dakle: x<3. Odgovor: x<3. Kad bi baza u nejednadžbi bila veća od jedan, tada pri uklanjanju baze ne bi bilo potrebno mijenjati predznak nejednadžbe. Eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe su one u kojima je nepoznanica sadržana u eksponentu. Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi često se svodi na rješavanje jednadžbe a x = a b, gdje je a > 0, a ≠ 1, x je nepoznanica. Ova jednadžba ima jedan korijen x = b, budući da je sljedeći teorem točan: Teorema. Ako je a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, tada je x 1 = x 2. Potkrijepimo razmatranu tvrdnju. Pretpostavimo da ne vrijedi jednakost x 1 = x 2, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponencijalna funkcija y = a x raste i stoga mora biti zadovoljena nejednakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. U oba slučaja dobili smo kontradikciju s uvjetom a x 1 = a x 2. Razmotrimo nekoliko problema. Riješite jednadžbu 4 ∙ 2 x = 1. Riješenje. Napišimo jednadžbu u obliku 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, odakle dobivamo x + 2 = 0, tj. x = -2. Odgovor. x = -2. Riješite jednadžbu 2 3x ∙ 3 x = 576. Riješenje. Budući da je 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, jednadžba se može napisati kao 8 x ∙ 3 x = 24 2 ili kao 24 x = 24 2. Odavde dobivamo x = 2. Odgovor. x = 2. Riješite jednadžbu 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25. Riješenje. Uzimajući zajednički faktor 3 x - 2 iz zagrada na lijevoj strani, dobivamo 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25, odakle je 3 x - 2 = 1, tj. x – 2 = 0, x = 2. Odgovor. x = 2. Riješite jednadžbu 3 x = 7 x. Riješenje. Budući da je 7 x ≠ 0, jednadžba se može napisati kao 3 x /7 x = 1, odakle je (3/7) x = 1, x = 0. Odgovor. x = 0. Riješite jednadžbu 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0. Riješenje. Zamjenom 3 x = a ova se jednadžba svodi na kvadratna jednadžba a 2 – 4a – 45 = 0. Rješavajući ovu jednadžbu, nalazimo njene korijene: a 1 = 9, i 2 = -5, odakle je 3 x = 9, 3 x = -5. Jednadžba 3 x = 9 ima korijen 2, a jednadžba 3 x = -5 nema korijene jer eksponencijalna funkcija ne može imati negativne vrijednosti. Odgovor. x = 2. Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi često se svodi na rješavanje nejednadžbi a x > a b ili a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции. Pogledajmo neke probleme. Riješite nejednadžbu 3 x< 81. Riješenje. Zapišimo nejednadžbu u obliku 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada je funkcija y = 3 x rastuća. Prema tome, za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 . Dakle, kod x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство Odgovor. x< 4.
Riješite nejednadžbu 16 x +4 x – 2 > 0. Riješenje. Označimo 4 x = t, tada dobivamo kvadratna nejednakost t2 + t – 2 > 0. Ova nejednakost vrijedi za t< -2 и при t > 1. Kako je t = 4 x, dobivamo dvije nejednakosti 4 x< -2, 4 х > 1. Prva nejednadžba nema rješenja jer je 4 x > 0 za sve x € R. Drugu nejednadžbu zapisujemo u obliku 4 x > 4 0, odakle je x > 0. Odgovor. x > 0. Grafički riješite jednadžbu (1/3) x = x – 2/3. Riješenje. 1) Izgradimo grafove funkcija y = (1/3) x i y = x – 2/3. 2) Na temelju naše slike možemo zaključiti da se grafovi razmatranih funkcija sijeku u točki s apscisom x ≈ 1. Provjerom se dokazuje da x = 1 je korijen ove jednadžbe: (1/3) 1 = 1/3 i 1 – 2/3 = 1/3. Drugim riječima, pronašli smo jedan od korijena jednadžbe. 3) Nađimo druge korijene ili dokažimo da ih nema. Funkcija (1/3) x je padajuća, a funkcija y = x – 2/3 rastuća. Dakle, za x> 1, vrijednosti prve funkcije su manje od 1/3, a druge - više od 1/3; na x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1. Odgovor. x = 1. Napominjemo da iz rješenja ovog problema, posebice, slijedi da je nejednakost (1/3) x > x – 2/3 zadovoljena za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1. web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Onda je očito da S bit će rješenje jednadžbe a x = a c .
Ovu jednadžbu rješavamo bilo kojom od poznatih metoda. Dobivamo korijene t1 = 1 t2 = 4Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.