Minus prirodni logaritam. Prirodni logaritam

Prirodni logaritam

Graf funkcije prirodnog logaritma. Funkcija se polako približava pozitivnoj beskonačnosti kako raste x i brzo se približava negativnoj beskonačnosti kada x teži 0 ("sporo" i "brzo" u usporedbi s bilo kojom funkcijom snage x).

Prirodni logaritam je logaritam baze , Gdje e- iracionalna konstanta jednaka približno 2,718281 828. Prirodni logaritam se obično piše kao ln( x), log e (x) ili ponekad samo log( x), ako je baza e podrazumijeva se.

Prirodni logaritam broja x(napisano kao ln(x)) je eksponent na koji se broj mora podići e, Dobiti x. Na primjer, U (7,389...) je jednako 2 jer e 2 =7,389... . Prirodni logaritam samog broja e (ln(e)) je jednako 1 jer e 1 = e, a prirodni logaritam je 1 ( ln(1)) jednaka je 0 jer e 0 = 1.

Prirodni logaritam može se definirati za bilo koji pozitivan realni broj a kao površina ispod krivulje g = 1/x od 1 do a. Jednostavnost ove definicije, koja je u skladu s mnogim drugim formulama koje koriste prirodni logaritam, dovela je do naziva "prirodna". Ova se definicija može proširiti na kompleksne brojeve, kao što je objašnjeno u nastavku.

Ako prirodni logaritam promatramo kao realnu funkciju realne varijable, onda je to inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što dovodi do identiteta:

Kao i svi logaritmi, prirodni logaritam preslikava množenje u zbrajanje:

Dakle, logaritamska funkcija je izomorfizam skupine pozitivnih realnih brojeva s obzirom na množenje sa skupinom realnih brojeva s obzirom na zbrajanje, koji se može prikazati kao funkcija:

Logaritam se može definirati za bilo koju pozitivnu bazu osim 1, ne samo e, ali se logaritmi za druge baze razlikuju od prirodnog logaritma samo po konstantnom faktoru i obično se definiraju u terminima prirodnog logaritma. Logaritmi su korisni za rješavanje jednadžbi koje uključuju nepoznanice kao eksponente. Na primjer, logaritmi se koriste za pronalaženje konstante raspada za poznato vrijeme poluraspada ili za pronalaženje vremena raspada u rješavanju problema radioaktivnosti. Igraju važnu ulogu u mnogim područjima matematike i primijenjenih znanosti, a koriste se u financijama za rješavanje mnogih problema, uključujući pronalaženje složenih kamata.

Priča

Prvi put prirodni logaritam spomenuo je Nicholas Mercator u svom djelu Logaritmotehnika, objavljen 1668. godine, iako je učitelj matematike John Spidell sastavio tablicu prirodnih logaritama još 1619. godine. Prije se zvao hiperbolički logaritam jer odgovara površini ispod hiperbole. Ponekad se naziva Napierov logaritam, iako je izvorno značenje ovog izraza bilo nešto drugačije.

Konvencije označavanja

Prirodni logaritam obično se označava s “ln( x)", logaritam na bazu 10 - putem "lg( x)", a ostali razlozi obično su izričito naznačeni simbolom "log".

U mnogim radovima iz diskretne matematike, kibernetike i računalnih znanosti, autori koriste oznaku "log( x)" za logaritme prema bazi 2, ali ova konvencija nije općenito prihvaćena i zahtijeva pojašnjenje ili u popisu korištenih oznaka ili (u nedostatku takvog popisa) u bilješci ili komentaru kada se prvi put koristi.

Zagrade oko argumenta logaritma (ako to ne dovodi do pogrešnog čitanja formule) obično se izostavljaju, a kada se logaritam diže na potenciju, eksponent se pridružuje izravno predznaku logaritma: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ul ( 3 )] 2 .

Anglo-američki sustav

Matematičari, statističari i neki inženjeri obično koriste za označavanje prirodni logaritam ili "log( x)" ili "ln( x)", a za označavanje logaritma s bazom 10 - "log 10 ( x)».

Neki inženjeri, biolozi i drugi stručnjaci uvijek pišu "ln( x)" (ili povremeno "log e ( x)") kada znače prirodni logaritam, a zapis "log( x)" znače log 10 ( x).

log e je "prirodni" logaritam jer se javlja automatski i vrlo često se pojavljuje u matematici. Na primjer, razmotrite problem derivacije logaritamske funkcije:

Ako je baza b jednaki e, tada je izvod jednostavno 1/ x, i kada x= 1 ova derivacija je jednaka 1. Još jedan razlog zašto baza e Najprirodnija stvar u vezi s logaritmom je da se može definirati vrlo jednostavno u smislu jednostavnog integrala ili Taylorovog niza, što se ne može reći za druge logaritme.

Daljnja opravdanja za prirodnost nisu vezana uz notni zapis. Na primjer, postoji nekoliko jednostavnih serija s prirodnim logaritmima. Zvali su ih Pietro Mengoli i Nicholas Mercator logaritam prirodni nekoliko desetljeća dok Newton i Leibniz nisu razvili diferencijalni i integralni račun.

Definicija

Formalno ln( a) može se definirati kao površina ispod krivulje grafikona 1/ x od 1 do a, tj. kao integral:

To je doista logaritam jer zadovoljava osnovno svojstvo logaritma:

To se može pokazati pretpostavkom kako slijedi:

Numerička vrijednost

Da biste izračunali numeričku vrijednost prirodnog logaritma broja, možete upotrijebiti njegovu ekspanziju u Taylorov niz u obliku:

Da biste dobili bolju stopu konvergencije, možete koristiti sljedeći identitet:

pod uvjetom da g = (x−1)/(x+1) i x > 0.

Za ln( x), Gdje x> 1, što je vrijednost bliža x na 1, to je brža stopa konvergencije. Identiteti povezani s logaritmom mogu se koristiti za postizanje cilja:

Ove su metode korištene i prije pojave kalkulatora, za koje su korištene numeričke tablice i izvršene manipulacije slične gore opisanima.

Visoka točnost

Za izračunavanje prirodnog logaritma s velikim brojem preciznih znamenki, Taylorov niz nije učinkovit jer je njegova konvergencija spora. Alternativa je korištenje Newtonove metode za invertiranje u eksponencijalnu funkciju čiji niz konvergira brže.

Alternativa za vrlo visoku točnost izračuna je formula:

Gdje M označava aritmetičko-geometrijski prosjek od 1 i 4/s, i

m izabran tako da str postignute su oznake točnosti. (U većini slučajeva dovoljna je vrijednost 8 za m.) Zapravo, ako se koristi ova metoda, Newtonov obrnuti prirodni logaritam može se primijeniti za učinkovito izračunavanje eksponencijalne funkcije. (Konstante ln 2 i pi mogu se unaprijed izračunati do željene točnosti korištenjem bilo kojeg poznatog brzo konvergentnog niza.)

Kompjuterska složenost

Kompjuterska složenost prirodnih logaritama (upotrebom aritmetičko-geometrijske sredine) je O( M(n)ln n). Ovdje n je broj znamenki preciznosti za koje se mora izračunati prirodni logaritam, i M(n) je računska složenost množenja dva n- znamenkasti brojevi.

Nastavljeni razlomci

Iako ne postoje jednostavni nastavljeni razlomci koji bi predstavljali logaritam, može se koristiti nekoliko generaliziranih nastavljenih razlomaka, uključujući:

Složeni logaritmi

Eksponencijalna funkcija može se proširiti na funkciju koja daje kompleksni broj oblika e x za svaku proizvoljnu složeni broj x, u ovom slučaju beskonačni niz s kompleksom x. Ova eksponencijalna funkcija može se obrnuti kako bi se formirao složeni logaritam, koji će imati većinu svojstava običnih logaritama. Postoje, međutim, dvije poteškoće: nema x, za koji e x= 0, i ispada da je e 2πi = 1 = e 0 . Budući da svojstvo multiplikativnosti vrijedi za složenu eksponencijalnu funkciju, onda e z = e z+2nπi za sve složene z i cijeli n.

Logaritam se ne može definirati preko cijele kompleksne ravnine, pa čak i u tom slučaju je višeznačan - bilo koji kompleksni logaritam može se zamijeniti "ekvivalentnim" logaritmom dodavanjem bilo kojeg cijelog višekratnika od 2 πi. Kompleksni logaritam može imati samo jednu vrijednost na presjeku kompleksne ravnine. Na primjer, ln ja = 1/2 πi ili 5/2 πi ili −3/2 πi, itd., i iako ja 4 = 1,4 log ja može se definirati kao 2 πi, ili 10 πi ili −6 πi, i tako dalje.

vidi također

John Napier - izumitelj logaritama

Bilješke

Matematika za fizičku kemiju. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Isječak stranice 9
JJO"Connor i EF Robertson Broj e. Arhiva MacTutorove povijesti matematike (rujan 2001.). Arhivirano
Cajori Florian Povijest matematike, 5. izdanje. - Knjižara AMS, 1991. - Str. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Procjena integrala pomoću polinoma. Arhivirano iz originala 12. veljače 2012.

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Imajte na umu da je logaritam nepozitivnog broja nedefiniran. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobit ćemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam na bazi -2 od 4 jednako je 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da je opseg definicije desne i lijeve strane ove formule različit. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b, i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi može dovesti do promjene OD.

Dvije očite posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doista, dizanjem broja a na prvu potenciju dobivamo isti broj, a dizanjem na nultu potenciju dobivamo jedinicu.

Logaritam umnoška i logaritam kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti školarce da nepromišljeno primjenjuju ove formule pri rješavanju logaritamske jednadžbe i nejednakosti. Kada ih koristite "slijeva nadesno", ODZ se sužava, a kada prelazite sa zbroja ili razlike logaritama na logaritam umnoška ili kvocijenta, ODZ se širi.

Doista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije strogo pozitivne ili kada su f(x) i g(x) obje manje od nule.

Pretvarajući ovaj izraz u zbroj log a f (x) + log a g (x), prisiljeni smo ograničiti se samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Postoji suženje područja prihvatljive vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stupanj se može uzeti iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želio pozvati na točnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti očito je definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Izuzimanjem stupnja iz logaritma opet sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona prihvatljivih vrijednosti. Sve ove napomene vrijede ne samo za potenciju 2, nego i za bilo koju parnu potenciju.

Formula za prelazak na novi temelj

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tijekom transformacije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivnu a ne jednaku 1), formula za prelazak na novu bazu potpuno je sigurna.

Odaberemo li broj b kao novu bazu c, dobivamo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1. Izračunajte: log2 + log50.
Riješenje. log2 + log50 = log100 = 2. Koristili smo formulu zbroja logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
Riješenje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Koristili smo formulu za prelazak na novu bazu (8).

Tablica formula povezanih s logaritmima

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Uopće nije loše, zar ne? Dok matematičari traže riječi kako bi vam dali dugu, zbunjujuću definiciju, pogledajmo pobliže ovu jednostavnu i jasnu.

Broj e znači rast

Broj e znači kontinuirani rast. Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, e x nam omogućuje da povežemo kamatu i vrijeme: 3 godine pri rastu od 100% isto je što i 1 godina pri rastu od 300%, pod pretpostavkom "složene kamate".

Možete zamijeniti bilo koji postotak i vremenske vrijednosti (50% za 4 godine), ali je bolje postaviti postotak kao 100% radi praktičnosti (ispada 100% za 2 godine). Prelaskom na 100%, možemo se usredotočiti samo na vremensku komponentu:

e x = e posto * vrijeme = e 1,0 * vrijeme = e vrijeme

Očito e x znači:

koliko će moj doprinos rasti nakon x jedinica vremena (pod pretpostavkom 100% kontinuiranog rasta).
na primjer, nakon 3 vremenska intervala primit ću e 3 = 20,08 puta više “stvari”.

e x je faktor skaliranja koji pokazuje do koje razine ćemo narasti za x vremena.

Prirodni logaritam označava vrijeme

Prirodni logaritam je inverz od e, fensi izraz za suprotnost. Kad smo već kod hirova; latinski se zove logarithmus naturali, odatle i kratica ln.

I što znači ova inverzija ili suprotnost?

e x nam omogućuje da zamijenimo vrijeme i dobijemo rast.
ln(x) nam omogućuje da uzmemo rast ili prihod i saznamo vrijeme koje je potrebno za njihovo stvaranje.

Na primjer:

e 3 jednako je 20,08. Nakon tri vremenska razdoblja imat ćemo 20,08 puta više od onoga s čime smo počeli.
ln(08/20) bi bilo približno 3. Ako ste zainteresirani za rast od 20,08 puta, trebat će vam 3 vremenska razdoblja (opet, uz pretpostavku 100% kontinuiranog rasta).

Još uvijek čitate? Prirodni logaritam pokazuje vrijeme potrebno za postizanje željene razine.

Ovo nestandardno logaritamsko brojanje

Jeste li prošli kroz logaritme – čudna su to stvorenja. Kako su uspjeli množenje pretvoriti u zbrajanje? Što je s dijeljenjem na oduzimanje? Idemo pogledati.

Čemu je ln(1) jednako? Intuitivno, pitanje je: koliko dugo trebam čekati da dobijem 1x više od onoga što imam?

Nula. Nula. Nikako. Jednom ga već imaš. Prelazak s razine 1 na razinu 1 ne traje dugo.

ln(1) = 0

U redu, što je s frakcijskom vrijednošću? Koliko će vremena trebati da nam ostane 1/2 raspoložive količine? Znamo da uz 100% kontinuirani rast, ln(2) znači vrijeme potrebno za udvostručenje. Ako mi vratimo vrijeme(tj. čekati negativno vrijeme), tada ćemo dobiti polovicu onoga što imamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logično, zar ne? Ako se vratimo (vrijeme unatrag) na 0,693 sekunde, naći ćemo polovicu dostupnog iznosa. Općenito, razlomak možete okrenuti i uzeti negativnu vrijednost: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To znači da ako se vratimo u prošlost do 1,09 puta, pronaći ćemo samo trećinu trenutnog broja.

U redu, što je s logaritmom negativnog broja? Koliko vremena je potrebno da se kolonija bakterija "razvije" od 1 do -3?

Ovo je nemoguće! Ne možete dobiti negativan broj bakterija, zar ne? Možete dobiti najviše (hm...minimalno) nulu, ali nema šanse da dobijete negativan broj od ovih malih stvorenja. Negativan broj bakterija jednostavno nema smisla.

ln(negativan broj) = nedefinirano

"Nedefinirano" znači da ne postoji vrijeme koje bi trebalo čekati da se dobije negativna vrijednost.

Logaritamsko množenje je jednostavno smiješno

Koliko će vremena trebati da naraste četiri puta? Naravno, možete jednostavno uzeti ln(4). Ali ovo je previše jednostavno, mi ćemo ići drugim putem.

Četverostruki rast možete zamisliti kao udvostručenje (zahtijeva ln(2) jedinica vremena) i zatim ponovno udvostručenje (zahtijeva još ln(2) jedinica vremena):

Vrijeme rasta 4 puta = ln(4) = Vrijeme za udvostručenje i zatim ponovno udvostručenje = ln(2) + ln(2)

Zanimljiv. Bilo koja stopa rasta, recimo 20, može se smatrati udvostručenjem odmah nakon povećanja od 10x. Ili rast 4 puta, a zatim 5 puta. Ili utrostručiti, a zatim povećati za 6,666 puta. Vidite uzorak?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritam od A puta B je log(A) + log(B). Ovaj odnos odmah ima smisla kada se promatra u smislu rasta.

Ako ste zainteresirani za rast od 30x, možete pričekati ln(30) u jednoj sjednici ili pričekati ln(3) za utrostručenje, a zatim još jedan ln(10) za 10x. Krajnji rezultat je isti, tako da naravno vrijeme mora ostati konstantno (i jest).

Što je s podjelom? Konkretno, ln(5/3) znači: koliko će vremena trebati da poraste 5 puta, a zatim dobije 1/3 od toga?

Sjajno, rast od 5 puta je ln(5). Za povećanje od 1/3 puta trebat će -ln(3) jedinica vremena. Tako,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

To znači: pustite ga da naraste 5 puta, a zatim se “vratite u prošlost” do točke gdje ostaje samo trećina te količine, tako da dobijete 5/3 rasta. Općenito ispada

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Nadam se da vam čudna aritmetika logaritama počinje imati smisla: množenje stopa rasta postaje zbrajanje vremenskih jedinica rasta, a dijeljenje postaje oduzimanje vremenskih jedinica. Nema potrebe da pamtite pravila, pokušajte ih razumjeti.

Korištenje prirodnog logaritma za proizvoljan rast

Pa, naravno,” kažete, “ovo je sve dobro ako je rast 100%, ali što je s onih 5% koje ja dobijem?”

Nema problema. "Vrijeme" koje izračunavamo pomoću ln() zapravo je kombinacija kamatne stope i vremena, isti X iz e x jednadžbe. Upravo smo zbog jednostavnosti odlučili postaviti postotak na 100%, ali slobodni smo koristiti bilo koje brojeve.

Recimo da želimo postići 30x rast: uzmemo ln(30) i dobijemo 3,4. To znači:

e x = visina
e 3,4 = 30

Očito, ova jednadžba znači "100% povrata tijekom 3,4 godine daje 30x rast." Ovu jednadžbu možemo napisati na sljedeći način:

e x = e stopa*vrijeme
e 100% * 3,4 godine = 30

Možemo mijenjati vrijednosti “bet” i “time”, sve dok ulog * vrijeme ostaje 3.4. Na primjer, ako nas zanima rast od 30x, koliko ćemo morati čekati na kamatu od 5%?

ln(30) = 3,4
stopa * vrijeme = 3,4
0,05 * vrijeme = 3,4
vrijeme = 3,4 / 0,05 = 68 godina

Rezoniram ovako: "ln(30) = 3,4, tako da će pri 100% rastu trebati 3,4 godine. Ako udvostručim stopu rasta, potrebno vrijeme će se prepoloviti."

100% za 3,4 godine = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% u 1,7 godina = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% za 6,8 godina = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% preko 68 godina = ,05 * 68 = 3,4.

Sjajno, zar ne? Prirodni logaritam može se koristiti s bilo kojom kamatnom stopom i vremenom jer njihov umnožak ostaje konstantan. Možete pomicati varijabilne vrijednosti koliko god želite.

Super primjer: Pravilo sedamdeset i dva

Pravilo sedamdeset i dva je matematička tehnika koja vam omogućuje da procijenite koliko će vremena trebati da se vaš novac udvostruči. Sada ćemo to zaključiti (da!), i štoviše, pokušat ćemo razumjeti njegovu bit.

Koliko će vremena trebati da udvostručite svoj novac uz 100% godišnju kamatu?

ups Koristili smo prirodni logaritam za slučaj kontinuiranog rasta, a vi sada govorite o godišnjem uračunavanju? Ne bi li ova formula postala neprikladna za takav slučaj? Da, hoće, ali za stvarne kamatne stope poput 5%, 6% ili čak 15%, razlika između godišnjeg obračuna i kontinuiranog rasta bit će mala. Dakle, gruba procjena funkcionira, hm, grubo, tako da ćemo se pretvarati da imamo potpuno kontinuirani obračun.

Sada je pitanje jednostavno: Koliko brzo se možete udvostručiti sa 100% rasta? ln(2) = 0,693. Potrebno je 0,693 jedinice vremena (godine u našem slučaju) da udvostručimo naš iznos uz kontinuirano povećanje od 100%.

Dakle, što ako kamata nije 100%, nego recimo 5% ili 10%?

Lako! Budući da je ulog * vrijeme = 0,693, udvostručit ćemo iznos:

stopa * vrijeme = 0,693
vrijeme = 0,693 / ulog

Ispada da će, ako je rast 10%, trebati 0,693 / 0,10 = 6,93 godine da se udvostruči.

Da bismo pojednostavili izračune, pomnožimo obje strane sa 100, tada možemo reći "10" umjesto "0,10":

vrijeme za udvostručenje = 69,3 / ulog, gdje je ulog izražen kao postotak.

Sada je vrijeme za udvostručenje po stopi od 5%, 69,3 / 5 = 13,86 godina. Međutim, 69,3 nije najprikladnija dividenda. Izaberimo blizak broj, 72, koji je zgodno podijeliti s 2, 3, 4, 6, 8 i drugim brojevima.

vrijeme za udvostručenje = 72 / ulog

što je pravilo sedamdeset i dva. Sve je pokriveno.

Ako trebate pronaći vrijeme za utrostručenje, možete koristiti ln(3) ~ 109,8 i dobiti

vrijeme do utrostručenja = 110 / ulog

Što je još jedno korisno pravilo. "Pravilo 72" primjenjuje se na rast kamatnih stopa, rast stanovništva, bakterijske kulture i sve što eksponencijalno raste.

Što je sljedeće?

Nadamo se da vam prirodni logaritam sada ima smisla - pokazuje vrijeme koje je potrebno da bilo koji broj eksponencijalno raste. Mislim da se naziva prirodnim jer je e univerzalna mjera rasta, pa se ln može uzeti u obzir na univerzalan način određujući koliko je vremena potrebno za rast.

Svaki put kad vidite ln(x), sjetite se "vremena potrebnog da poraste X puta". U nadolazećem članku opisat ću e i ln u spoju kako bi svježi miris matematike ispunio zrak.

Dodatak: prirodni logaritam od e

Brzi kviz: što je ln(e)?

matematički robot će reći: budući da su definirani kao inverzni jedni drugima, očito je da je ln(e) = 1.
osoba koja razumije: ln(e) je broj puta koji je potreban da poraste "e" puta (oko 2,718). Međutim, sam broj e je mjera rasta za faktor 1, tako da je ln(e) = 1.

Misli jasno.

9. rujna 2013

Lekcija i prezentacija na teme: "Prirodni logaritmi. Baza prirodnog logaritma. Logaritam prirodnog broja"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"

Što je prirodni logaritam

Dečki, u prošloj lekciji naučili smo novi, poseban broj - e. Danas ćemo nastaviti raditi s ovim brojem.
Učili smo logaritme i znamo da baza logaritma može biti mnogo brojeva koji su veći od 0. Danas ćemo također pogledati logaritam čija je baza broj e. Taj se logaritam obično naziva prirodni logaritam. On ima vlastiti snimak: $\ln(n)$ - prirodni logaritam. Ovaj unos je ekvivalentan unosu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija su inverzne, tada je prirodni logaritam inverzna funkcija: $y=e^x$.
Inverzne funkcije su simetrične u odnosu na ravnu liniju $y=x$.
Nacrtajmo prirodni logaritam crtanjem eksponencijalne funkcije s obzirom na ravnu liniju $y=x$.

Važno je napomenuti da je kut nagiba tangente na graf funkcije $y=e^x$ u točki (0;1) 45°. Tada će kut nagiba tangente na graf prirodnog logaritma u točki (1;0) također biti jednak 45°. Obje ove tangente bit će paralelne s pravcem $y=x$. Nacrtajmo dijagram tangenti:

Svojstva funkcije $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se kroz cijelu domenu definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, nije ograničeno odozdo.
5. Najveća vrijednost Ne, najniža vrijednost Ne.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno prema gore.
9. Svugdje se može razlikovati.

U tečaju više matematike dokazano je da derivacija inverzne funkcije je inverz derivacije zadane funkcije.
Nema puno smisla ulaziti u dokaz, samo napišimo formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Primjer.
Izračunajte vrijednost derivacije funkcije: $y=\ln(2x-7)$ u točki $x=4$.
Riješenje.
U opći pogled naša funkcija je predstavljena funkcijom $y=f(kx+m)$, možemo izračunati derivacije takvih funkcija.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj točki: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.

Primjer.
Nacrtajte tangentu na graf funkcije $y=ln(x)$ u točki $h=e$.
Riješenje.
Dobro se sjećamo jednadžbe tangente na graf funkcije u točki $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sekvencijalno izračunavamo potrebne vrijednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Jednadžba tangente u točki $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nacrtajmo prirodni logaritam i tangentu.

Primjer.
Ispitajte funkciju na monotonost i ekstreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Riješenje.
Područje definiranja funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Nađimo izvod zadane funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivacija postoji za sve x iz domene definicije, tada nema kritičnih točaka. Nađimo stacionarne točke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Točka $h=-1$ ne pripada domeni definicije. Tada imamo jednu stacionarnu točku $x=1$. Nađimo intervale povećanja i opadanja:

Točka $x=1$ je minimalna točka, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: Funkcija opada na segmentu (0;1], funkcija raste na zraki $)