Логарифм з коренем в основі. Логарифм

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Логарифм числа b (b > 0) на підставі a (a > 0, a ≠ 1)- Показник ступеня, в який потрібно звести число a, щоб отримати b.

Логарифм числа b на підставі 10 можна записати як lg(b), а логарифм на основі e (натуральний логарифм) – ln(b).

Часто використовується при вирішенні задач з логарифмами:

Властивості логарифмів

Існує чотири основні властивості логарифмів.

Нехай a > 0, a ≠ 1, x > 0 та y > 0.

Властивість 1. Логарифм твору

Логарифм творудорівнює сумі логарифмів:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Властивість 2. Логарифм приватного

Логарифм приватногодорівнює різниці логарифмів:

log a (x / y) = log a x - log a y

Властивість 3. Логарифм ступеня

Логарифм ступенядорівнює добутку ступеня на логарифм:

Якщо ступеня знаходиться основа логарифму, то діє інша формула:

Властивість 4. Логарифм кореня

Даною властивість можна отримати з властивості логарифм ступеня, так як корінь n-го ступеня дорівнює ступеню 1/n:

Формула переходу від логарифму в одній підставі до логарифму при іншій основі

Ця формула також часто застосовується при вирішенні різних завдань на логарифми:

Окремий випадок:

Порівняння логарифмів (нерівності)

Нехай у нас є 2 функції f(x) та g(x) під логарифмами з однаковими основами і між ними стоїть знак нерівності:

Щоб їх порівняти, потрібно спочатку подивитися на основу логарифмів a:

• Якщо a > 0, то f(x) > g(x) > 0
• Якщо 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Як вирішувати задачі з логарифмами: приклади

Завдання з логарифмамивключені до складу ЄДІ з математики для 11 класу у завданні 5 та завданні 7, ви можете знайти завдання з рішеннями на нашому сайті у відповідних розділах. Також завдання з логарифмами зустрічаються у банку завдань з математики. Всі приклади можна знайти через пошук по сайту.

Що таке логарифм

Логарифми завжди вважалися складною темою у шкільному курсі математики. Існує багато різних визначень логарифму, але більшість підручників чомусь використовують найскладніші та найневдаліші з них.

Ми ж визначимо логарифм просто та наочно. Для цього складемо таблицю:

Отже, маємо ступеня двійки.

Логарифми – властивості, формули, як вирішувати

Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер – власне, визначення логарифму:

на підставі a від аргументу x - це ступінь, у якому треба звести число a, щоб отримати число x.

Позначення: log a x = b, де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.

Як рахувати логарифми

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

1. Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
2. Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

1. Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
2. Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
3. Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

1. Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

1. Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
2. З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
3. Відповідь – без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у який треба звести число 10, щоб одержати число x. Позначення lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.

від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, у якому треба звести число e, щоб одержати число x. Позначення: ln x.

Багато хто спитає: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459 ...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, очевидно, одиниці: ln 1 = 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Дивіться також:

Логарифм. Властивості логарифму (ступінь логарифму).

Як уявити число у вигляді логарифму?

Використовуємо визначення логарифму.

Логарифм - це показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати число, що стоїть під знаком логарифму.

Таким чином, щоб представити деяке число c у вигляді логарифму на підставі a, треба під знак логарифму поставити ступінь з тією самою основою, що й основа логарифму, а в показник ступеня записати це число c:

У вигляді логарифму можна представити абсолютно будь-яке число - позитивне, негативне, ціле, дробове, раціональне, ірраціональне:

Щоб у стресових умовах контрольної або іспиту не переплутати a та c, можна скористатися таким правилом для запам'ятовування:

те, що внизу йде вниз, те, що вгорі, йде вгору.

Наприклад, потрібно подати число 2 у вигляді логарифму на підставі 3.

У нас є два числа – 2 і 3. Ці числа – основа та показник ступеня, який ми запишемо під знак логарифму. Залишається визначити, яке з цих чисел потрібно записати вниз, в основу ступеня, а яке вгору, в показник.

Основа 3 в записі логарифму стоїть внизу, значить, коли ми представлятимемо двійку у вигляді логарифму на підставі 3, 3 також запишемо вниз, в основу.

2 стоїть вище за трійку. І в записі ступеня двійку запишемо вище за трійку, тобто, в показник ступеня:

Логарифми. Початковий рівень.

Логарифми

Логарифмомпозитивного числа bна підставі a, де a > 0, a ≠ 1, називається показник ступеня, в який треба звести число a, Щоб отримати b.

Визначення логарифмуможна коротко записати так:

Ця рівність справедлива за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Його зазвичай називають логарифмічним тотожністю.
Дія знаходження логарифму числа називають логарифмування.

Властивості логарифмів:

Логарифм твору:

Логарифм приватного від поділу:

Заміна основи логарифму:

Логарифм ступеня:

Логарифм кореня:

Логарифм зі статечним підґрунтям:

Десяткові та натуральні логарифми.

Десятичним логарифмомчисла називають логарифм цього числа на підставі 10 і пишуть   lg b
Натуральним логарифмомчисла називають логарифм цього числа на підставі e, де e- Ірраціональне число, приблизно дорівнює 2,7. При цьому пишуть ln b.

Інші нотатки з алгебри та геометрії

Основні властивості логарифмів

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими основами: log a x та log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. log a x + log a y = log a (x · y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + Log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу.

У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log a a = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
2. log a 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Наведено основні властивості логарифму, графік логарифму, область визначення, безліч значень, основні формули, зростання та спадання. Розглянуто знаходження похідної логарифму. А також інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.

Область визначення, безліч значень, зростання, спадання

Логарифм є монотонною функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості логарифму представлені у таблиці.

Приватні значення

Логарифм на підставі 10 називається десятковим логарифмомі позначається так:

Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом:

Основні формули логарифмів

Властивості логарифму, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Логарифмування – це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників перетворюються на суми членів.
Потенціювання - це математична операція, зворотна логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів перетворюються на твори співмножників.

Доказ основних формул логарифмів

Формули, пов'язані з логарифмами випливають із формул для показових функцій та визначення зворотної функції.

Розглянемо властивість показової функції
.
Тоді
.
Застосуємо властивість показової функції
:
.

Доведемо формулу заміни основи.
;
.
Вважаючи c = b маємо:

Зворотня функція

Зворотною для логарифму на основі a є показова функція з показником ступеня a .

Якщо то

Якщо то

Похідна логарифма

Похідна логарифма від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Для знаходження похідної логарифму його потрібно призвести до основи e.
;
.

Інтеграл

Інтеграл від логарифму обчислюється інтегруванням частинами: .
Отже,

Вирази через комплексні числа