Вирішення логарифмічних нерівностей з однаковими підставами. Все про логарифмічні нерівності


Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли знайдена область допустимих значень, залишається перетнути її з рішенням раціональної нерівності- І відповідь готовий.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівностідо раціонального. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

  1. Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
  2. Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схемарозв'язання логарифмічних нерівностей наступна:

  1. Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
  2. Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
  3. Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

  1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.

Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.

Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.

Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.

Найпростіша логарифмічна нерівність.

Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.

Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.

Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей

Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.

Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.

Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.

Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.

Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,

Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.

Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, оскільки в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.

Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності

Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:

  • метод заміни множників;
  • декомпозиції;
  • метод раціоналізації.

Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.

Приклади рішення :

Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.

В результаті ми отримуємо нерівність:

Тепер наводимо ліву частинудо виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з вирішенням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".

Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.

Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.

І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.

Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.

Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.

Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.

Рішення логарифмічних рівняньі нерівностей з різними підставамипередбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.

Логарифмічні нерівності зі змінною основою

Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.

Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.

Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.

Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.

Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.

У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!

Нерівність називається логарифмічною, якщо в ній міститься логарифмічна функція.

Методи вирішення логарифмічних нерівностей не відрізняються від , крім двох речей.

По-перше, при переході від логарифмічної нерівності до нерівності підлогарифмічних функцій слід стежити за знаком нерівності, що виходить. Він підпорядковується такому правилу.

Якщо основа логарифмічної функції більша за $1$, то при переході від логарифмічної нерівності до нерівності підлогарифмічних функцій знак нерівності зберігається, а якщо менше $1$, то змінюється на протилежний.

По-друге, розв'язання будь-якої нерівності – проміжок, а, отже, наприкінці розв'язання нерівності підлогарифмічних функцій необхідно скласти систему з двох нерівностей: першою нерівністю цієї системи буде нерівність підлогарифмічних функцій, а другим – проміжок області визначення логарифмічних функцій, що входять до логарифмічної нерівності.

практика.

Вирішимо нерівності:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \ x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Основа логарифму дорівнює $2>1$, тому знак не змінюється. Користуючись визначенням логарифму, отримаємо:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )