Комплексні числа

1,85  -2  0,8 Світ чисел нескінченний.  Перші уявлення про кількість виникли з рахунку предметів (1, 2, 3 тощо) – НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА.  Надалі виникли ДРОБИ як результат вимірювання довжини, ваги і т. д. (, і т. д.)  НЕГАТИВНІ ЧИСЛА, з'явилися з розвитком алгебри Цілі числа (тобто натуральні 1, 2, 3, і т. д.) .), негативні числа (-1,-2, -3 і т. д. і нуль), дроби називаються РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ. ,  Раціональними числами не можна точно виразити довжину діагоналі квадрата, якщо довжина сторони дорівнює одиниці виміру. Щоб точно виразити відносини непорівнянних відрізків треба запровадити нове число:  ІРРАЦІОНАЛЬНЕ (і т. д.) Раціональні та ірраціональні – утворюють безліч: Дійсних чисел. При розгляді дійсних чисел зазначалося, що у множині дійсних чисел не можна, наприклад, знайти число, квадрат якого дорівнює. При розгляді квадратних рівняньз негативними дискримінантами так само зазначалося, що такі рівняння не мають коріння, яке було б дійсним числом. Щоб такі завдання були розв'язні, вводять нові числа – Комплексні числаКомплексні числа 2 = -1 3 = - = 4 = 1 b - Уявні числа a + b - Комплексні числа a, b - Будь-які дійсні числа Минуле і сьогодення комплексних чисел. Комплексні числа виникли в математиці понад 400 років тому. Вперше зіткнулися з квадратним корінням із негативних чисел. Що таке, який сенс слід надавати цьому виразу, ніхто не знав. Квадратний корінь з будь-якого негативного числа не має сенсу в багатьох дійсних чисел. З цим стикаються при розв'язанні квадратних, кубічних рівнянь, рівнянь четвертого ступеня. МАТЕМАТИКИ ВРАЖАЛИ: ЛЕОНАРД ЕЙЛЕР Квадратне коріння з негативних чисел – через те, що воно не більше, не менше і не дорівнює нулю – не може бути зараховано до можливих чисел. Готфрід Вільим Лейбнец Готфрід Лейбнец називав комплексні числа «витонченим і чудовим притулком божественного духу», виродком світу ідей, майже двоїстою істотою, яка перебуває між бути і не бути». Він навіть заповідав накреслити на своїй могилі знак як символ потойбіччя. К. Гаусс на початку ХІХ століття запропонував назвати їх «комплексними числами». К. Ф. гаус Форми комплексних чисел: Z=a+bi – алгебраїчна форма Z=r() – тригонометрична Z=rE - показова Комплексні числа застосовуються:  При складанні географічних карт  У теорії літакобудування  Використані в різноманітних дослідженнях з теорії чисел  В електромеханіці  При вивченні руху природних та штучних небесних тілі т. д. І на закінчення презентації пропонуючи Розгадати кросворд «Перевір себе» 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Як називається число виду Z = a + bc? 2. Якою мірою уявної одиниці виходить один? 3. Як називаються числа, що відрізняються лише знаком при уявній частині?4. Довжина вектор. 5. Кут під яким знаходиться вектор. 6. Яка форма комплексного числа: Z = r (cos + sin)? 7. Яка форма комплексного числа Z = re? 8. Вид Д = b -4ac, що таке Д?

Після вивчення теми «Комплексні числа
учні повинні:
Знати:
алгебраїчну, геометричну та тригонометричну форми
комплексного числа.
Вміти:
проводити над комплексними числами операції складання,
множення, віднімання, поділу, зведення в ступінь, витяг
кореня із комплексного числа;
перекладати комплексні числа з форми алгебри в
геометричну та тригонометричну;
користуватись геометричною інтерпретацією комплексних чисел;
у найпростіших випадках знаходити комплексне коріння рівнянь з
дійсними коефіцієнтами.

Які числові множини Вам знайомі?

I. Підготовка до вивчення нового матеріалу
Які числові множини Вам знайомі?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Числова система
Натуральні
числа, N
Цілі числа, Z
Раціональні числа, Q
Справжні числа,
R
Комплексні
числа, C
Допустимі
алгебраїчні
операції
Додавання,
множення
Додавання, віднімання,
множення
Додавання, віднімання,
множення, розподіл
Додавання, віднімання,
множення, розподіл,
вилучення коренів з
невід'ємних чисел
Усі операції
Частково
допустимі
алгебраїчні
операції
Віднімання, розподіл,
вилучення коренів
Поділ,
вилучення коренів
Вилучення коренів з
невід'ємних
чисел
Вилучення коренів
з довільних
чисел

Мінімальні умови, яким мають задовольняти
комплексні числа:
С1) Існує квадратний корінь, тобто. існує
комплексне число, квадрат якого дорівнює.
С2) Безліч комплексних чисел містить усі дійсні
числа.
С3) Операції складання, віднімання, множення та поділу
комплексних чисел задовольняють звичайним законам
арифметичних дій (сполучному, переміщувальному,
розподільчому).
Виконання цих мінімальних умов дозволяє визначити
все безліч З комплексних чисел.

Уявні числа

i = -1, i - уявна одиниця
i, 2i, -0,3i - чисто уявні числа
Арифметичні операції над чисто уявними числами
виконуються відповідно до умови С3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
У загальному виглядіправила арифметичних операцій із чисто уявними
числами такі:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
де a та b - дійсні числа.
2

Комплексні числа

Визначення 1. Комплексним числом називають суму
дійсного числа і чисто уявного числа.
z a bi C a R, b R,
i уявна одиниця.
a Re z , b Im z
Визначення 2. Два комплексні числа називають
рівними, якщо рівні їх дійсні частини та рівні
їх уявні частини:
a bi c di a c, b d.

Класифікація комплексних чисел

Комплексні числа
a + bi
Справжні числа
b=o
Раціональні
числа
Ірраціональні
числа
Уявні числа
b≠o
Уявні числа з
ненульовий
дійсною
частиною
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
уявні
числа
a = 0, b ≠ 0.

Арифметичні операції над комплексними числами

(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi) · (з + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i
a bi (a bi) (c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di) (c di) c d
c d

Сполучені комплексні числа

Визначення: Якщо у комплексного числа зберегти
дійсну частину і поміняти знак у уявної частини, то
вийде комплексне число, пов'язане з цим.
Якщо це комплексне число позначається буквою z, то
сполучене число позначається z:
z x yi z x yi
З усіх комплексних чисел дійсні числа (і лише вони)
рівні своїм сполученим числам.
Числа a + bi та a - bi називаються взаємно сполученими
комплексними числами.

Властивості сполучених чисел

1. Сума та добуток двох сполучених чисел є числом
дійсне.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi) (a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Число, пов'язане сумі двох комплексних чисел, дорівнює
сумі пов'язаних цим числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сполучене різниці двох комплексних чисел, дорівнює
різниці пов'язаних цим числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сполучене добутком двох комплексних чисел, дорівнює
твору пов'язаних цим числам.
z1z2 z1 z2

Властивості сполучених чисел

5. Число, пов'язане п-ого ступеня комплексного числа z,
одно п-ой ступеня числа, сполученого до z, тобто.
z n (z) n , n N
6. Число, пов'язане приватному двох комплексних чисел,
яких дільник відмінний від нуля, і приватному
сполучених чисел, тобто.
a bi a bi
c di c di

Ступені уявної одиниці

За визначенням першим ступенем числа i є
1
саме
число i, а другим ступенем – число -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Більше високі ступенічисла i знаходяться наступним
1
чином:
i4 = i3 ∙ i = - ∙ i2 = 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2 = - 1 і т.д.
Очевидно, що за будь-якого натурального n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = – i.

Вилучення квадратних коренів з комплексних чисел в формі алгебри.

Визначення. Число w називають квадратним коренем з
2
комплексного числа z, якщо його квадрат дорівнює z: w z
Теорема. Нехай z = a + bi - відмінне від нуля комплексне число.
Тоді існують два взаємно протилежні комплексні
числа, квадрати яких дорівнюють z. Якщо b≠0, то ці два числа
виражаються формулою:
w
a2 b2 a
i signb
2
a 2 b 2 a
, де
2
1, якщо b 0
signb 1, якщо b 0
0, якщо b 0
При b 0, a 0 маємо: w a при b 0, a 0 маємо: w i a .

Геометричне зображення комплексних чисел.

Комплексному числу z на координатній площині
відповідає точка М(a, b).
Часто замість точок на площині беруть їх
радіуси-вектори
OM
Визначення: Модулем комплексного числа z = a + bi
називають невід'ємне число a 2 b2
,
рівну відстані від точки М до початку
z a 2 b2
координат
cos
y
М (a, b)
b
φ
O
a
x
a
і sin
b
a2 b2
a2 b2
аргумент комплексного числа
;

Тригонометрична форма комплексного числа

z r cos i sin
де - аргумент комплексного числа,
r=
a 2 b2 - модуль комплексного числа,
cos
a
a2 b2
і sin
b
a2 b2

Множення та поділ комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі

Теорема
Якщо
1.
z1 0, z2 0
і
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Теорема 2 (Формула Муавра).
Нехай z - будь-яке відмінне від нуля
комплексне число, п - будь-яке ціле число.
Тоді
r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Вилучення кореня з комплексного числа.

Теорема. Для будь-якого натурального числа n та
відмінного від нуля комплексного числа z є
n різних значенькореня n-ступеня.
Якщо
z r cos i sin ,
то ці значення виражаються формулою
2 к
2 к
wk r cos
i sin
,
n
n
де k 0,1,..., (n 1)

1. Історія розвитку числа.

Доповідач:А ви знаєте, що нас з вами в давнину швидше за все вважали чаклунами? У давнину людина, яка вміла вважати, здавалася чаклуном. Не всі грамотні люди володіли подібним «чаклунством». Вважали вміли, здебільшого, переписувачі, а ще, звичайно, купці.

З'являються купці.
Купці.Додавання, найпростішу арифметичну дію, освоїти за певної уяви можна. Треба було тільки уявити однакові палички, камінці, мушлі.

Доповідач:Приблизно так нас навчали рахунку в першому класі. У п'ятому класі ДІЗНАЛИСЯ назва цих чисел. Як вони називаються та позначаються ? (Натуральні « N » - natural , Слайд №1)Які операції допустимі на множині натуральних чисел? (додавання, множення)
А ось із відніманням вже починалися проблеми. Не завжди виходило відняти з одного числа інше. Іноді забираєш, забираєш, дивися - нічого вже не залишилося. Нема чого більше забирати! Так що віднімання вважалося дією хитромудрим і не завжди його зробити вдавалося.
Але тут прийшли на допомогу купці.

«Дві чорні палички – це, припустимо, дві вівці, які ти маєш віддати, але поки що не віддав. Це обов'язок!»

Доповідач:Загалом, людству ж на тлумачення негативних чисел, а водночас визначення поняття цілих чисел Z -« zero » знадобилося тисячу років. Зате стали допустимі операції ... ( додавання, віднімання та множення).

Взагалі, проблеми, подібні до вищеописаних з негативними числами, виникали з усіма «зворотними» арифметичними діями. Два цілі числа можна було перемножити, і в результаті виходило ціле число. А ось результат від розподілу двох цілих чисел цілим числом виявлявся не завжди. Це теж призводило до подиву.

Купці:сцени поділ шоколаду. Ось дивись, ми солодкість яку заробили. Давай ділити!

А як? вона одна, а нас двоє, а ще й гості… Вигадав-дроби її на частини…

Доповідач:Тобто для того, щоб результат поділу існував завжди, довелося ввести, освоїти і зрозуміти, так би мовити, «фізичний зміст» дробових чисел. Так увійшли у справу раціональні числа – Q – «quotient» – «ставлення».

У системі раціональних чисел стали допустимі багато операцій. Але, що не завжди виходило ? (Вилучення коренів з невід'ємних чисел була допустима частково. Наприклад «корінь з 81» і «корінь з 2».)

Ця необхідність призвела до введення безлічі дійсних чисел (R – real ), для якого і вилучення коренів з невід'ємних чисел було допустимою операцією алгебри. І все ж таки залишався один недолік - це ...? ( вилучення кореня з негативних чисел.)

2. Новий матеріал.

У 18-му столітті математики вигадали спеціальні числа для того, щоб виходило ще одна «зворотна» дія, вилучення квадратного кореня з негативних чисел. Це – звані «комплексні» числа (C -complex ). Уявити їх складно, але звикнути до них можливо. Вважається, що на безлічі комплексних чисел допустимі всі операції алгебри. І користь від застосування комплексних чисел велика. Існування цих «дивних» чисел значно полегшило розрахунок складних електротехнічних ланцюгів змінного струму, а також дозволило розрахувати профіль авіаційного крила Познайомимось із ними ближче.

Перерахуємо мінімальні умови, яким мають задовольняти комплексні числа:

• С1: Існує комплексне число, квадрат якого дорівнює -1

С2 Безліч комплексних чисел містить усі дійсні числа.

С3 Операції додавання, віднімання, множення та поділу задовольняють законам арифметичних дій (сполучному, переміщувальному, розподільчому)

Число, квадрат якого дорівнює -1, називається уявною одиницеюі позначається i –imaginary - Уявний, уявний.Це позначення запропонував Леонард Ейлер у 18 столітті. Таким чином:

i 2 =-1, i-уявна одиниця

Визначення 1:

Числа виду bi, де i - уявна одиниця, називаються чисто уявними.

Наприклад 2i, -3i, 0,5i

Визначення 2:

Комплексним числом називають суму дійсного числа та чисто уявного числа.

Комплексне число записують як z = a + bi.

Число a називається дійсною частиною числа z,

число bi - уявною частиною числа z.

Їх позначають відповідно: a = Re z, b = Im z.

Арифметичні дії:

Порівняння

a + bi = c + di означає, що a = c і b = d (два комплексні числа рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини)

Додавання

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Віднімання

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

множення

(a + bi)× (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Поділ

3. Практика.

Підручник Мордкович О.Г. Профільний рівень. 11 клас. Розглянемо найпростіші приклади роботи на багатьох комплексних чисел.

Розглянути приклад № 1,2 – два способи. (Стор.245).

Робота із підручником. №32.7, 32,10, 32,12

4.Тест(Додаток)

Д/З №32.5, 32,8, 32,11 а,б

Локтіонова Г.М.

викладач математики

ДАПОУ «Автотранспортний коледж»

«Комплексні числа та дії

над ними"

• Після вивчення теми студенти мають: Знати:алгебраїчну, геометричну та тригонометричну форми комплексного числа. Вміти:проводити над комплексними числами операції додавання, множення, віднімання, поділу, зведення в ступінь, вилучення кореня з комплексного числа; переводити комплексні числа з алгебраїчної форми в геометричну та тригонометричну; користуватись геометричною інтерпретацією комплексних чисел; у найпростіших випадках знаходити комплексне коріння рівнянь із дійсними коефіцієнтами.

• Історична довідка
• Основні поняття
• Геометричне зображення комплексних чисел
• Форми запису комплексних чисел
• Дії над комплексними числами

• Гусак, А.А. Вища математика: підручник для студентів вузів: у 2т. Т.1. / А.А. Гусак. - 5-те вид. - Мінськ.: ТетраСистемс, 2004. - 544с.
• Канатніков, А.М. Лінійна алгебра. / О.М. Канатніков, А.П. Крищенко. - М: Вид-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2001 – 336 с.
• Курош, А.Г. Курс найвищої алгебри. / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1971-432.
• Письмовий Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики. 1 частина. - 2-ге вид., Випр. - М.: Айріс-прес, 2003. - 288 с.
• Сікорська, Г.А. Курс лекцій з алгебри та геометрії: навчальний посібникдля студентів транспортного факультету/Г.А. Сікорська. - Оренбург: ІПК ГОУ ОДУ, 2007. - 374 с.

п.1 Історична довідка

Поняття комплексного числа виникло з практики та теорії розв'язання рівнянь алгебри.

З комплексними числами вперше математики зустрілися під час вирішення квадратних рівнянь. Аж до ХVI століття математики всього світу, не знаходячи прийнятного тлумачення для комплексного коріння, що виникало при вирішенні квадратних рівнянь, оголошували їх хибними і не брали до уваги.

Кардано, який займався вирішенням рівнянь 3-го і 4-го ступенів був одним з перших математиків, що формально оперували комплексними числами, хоча їх зміст багато в чому залишався для нього неясним.

Сенс комплексних чисел пояснив інший італійський математик Р.Бомбеллі. У своїй книзі «Алгебра» (1572) він вперше виклав правила дій над комплексними числами в сучасній формі.

Разом з тим, аж до XVIII століття комплексні числа вважали «уявними» і марними. Цікаво відзначити, що навіть такий видатний математик як Декарт, що ототожнював дійсні числа з відрізками числової прямої, вважав, що для комплексних чисел не може бути ніякого реального тлумачення, і вони назавжди залишаться уявними, уявними. Аналогічних поглядів дотримувалися великі математики Ньютон та Лейбніц.

Лише у XVIII столітті багато завдань математичного аналізу, геометрії, механіки вимагали широкого застосуванняоперацій над комплексними числами, що створило умови розробки їх геометричного тлумачення.

У прикладних роботах Даламбера і Ейлера в середині XVIII століття автори являють собою довільні уявні величини у вигляді z=a+ibщо дозволяє зображати такі величини точками координатної площини. Саме ця інтерпретація була використана Гаусом у роботі, присвяченій дослідженню рішень рівняння алгебри.

І тільки в початку XIXстоліття, коли вже було з'ясовано роль комплексних чисел у різних галузях математики, розробили дуже проста і природна їх геометрична інтерпретація, що дозволила усвідомити геометричний сенс операцій над комплексними числами.

п. 2 Основні поняття

Комплексним числом zназивається вираз виду z=a+ib, де aі b- дійсні числа, i – уявна одиниця, Яка визначається співвідношенням:

При цьому число aназивається дійсною частиноючисла z

(a = Re z), а b - уявною частиною (b = Im z).

Якщо a = Re z =0 , то число zбуде чисто уявним, якщо b = Im z =0 , то число zбуде дійсним .

Числа z=a+ibі називаються комплексно - сполученими .

Два комплексні числа z 1 =a 1 +ib 1 і z 2 =a 2 +ib 2 називаються рівними, якщо відповідно дорівнюють їх дійсні та уявні частини:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна і уявна частини

Також комплексні числа можна записувати, наприклад, як z = x + iy , z=u+iv .

п. 3 Геометричне зображення комплексних чисел

Будь-яке комплексне число z = x + iyможна зобразити точкою M(x;y)площині xOyтакий, що х = Re z , у = Im z. І, навпаки, кожну точку M(x;y)координатної площини можна як образ комплексного числа z = x + iy(малюнок 1).

Малюнок 1

Площина, де зображуються комплексні числа, називається комплексною площиною .

Ось абсцис називається справжньою віссю, тому що на ній лежать дійсні числа z = x + 0i = x .

Вісь ординат називається уявною віссю, на ній лежать уявні комплексні числа z=0+yi=yi .

Часто замість точок на площині беруть їх радіус-вектори

тобто. вектори, початком яких є точка O(0;0), кінцем M(x;y) .

Довжина вектора, що зображує комплексне число z , називається модулемцього числа і позначається | z|або r .

Величина кута між позитивним напрямком дійсної осі та вектором, що зображує комплексне число, називається аргументомцього комплексного числа, що позначається Arg zабо φ .

Аргумент комплексного числа z=0не визначений.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 - величина багатозначна і визначається з точністю до доданку 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

де arg z - головне значення аргументу , ув'язнене у проміжку (- π , π ] .

п.4 Форми запису комплексних чисел

Запис числа у вигляді z = x + iyназивають алгебраїчною формоюкомплексного числа.

З малюнка 1 видно, що x=rcos φ , y=rsin φ , отже, комплексне z = x + iyчисло можна записати у вигляді:

Така форма запису називається тригонометричною формою записукомплексного числа.

Модуль r=|z|однозначно визначається за формулою

Аргумент φ визначається з формул

При переході від форми алгебри комплексного числа до тригонометричної досить визначити лише головне значення аргументу комплексного числа, тобто. рахувати φ =arg z .

Оскільки з формули отримуємо, що

Для внутрішніх точок I , IVчвертей;

Для внутрішніх точок IIчверті;

Для внутрішніх точок IIIчверті.

приклад 1.Представити комплексні числа та у тригонометричній формі.

Рішення. Комплексне число z = x + iyу тригонометричній формі має вигляд z = r (cos φ +isin φ ) , де

1) z 1 = 1 +i(число z 1 належить Iчверті), x=1, y=1.

Таким чином,

2) (число z 2 належить IIчверті)

Бо те

Отже,

Відповідь:

Розглянемо показову функцію w=e z, де z = x + iy- Комплексне число.

Можна показати, що функція wможе бути записана у вигляді:

Ця рівність називається рівнянням Ейлера.

Для комплексних чисел будуть справедливі такі характеристики:

де m- ціле число.

Якщо в рівнянні Ейлера показник ступеня прийняти за чисто уявне число ( х = 0), то отримуємо:

Для комплексно – сполученого числа отримуємо:

З цих двох рівнянь отримуємо:

Цими формулами користуються знаходження ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.

Якщо уявити комплексне число в тригонометричній формі

z = r (cos φ +isin φ )

та скористатися формулою Ейлера e i φ =cos φ +isin φ , то комплексне число можна записати у вигляді

z=r e i φ

Отримана рівність називається показовою формоюкомплексного числа.

п. 5 Дії над комплексними числами

1) Дії над комплексними числами, заданими в формі алгебри

а) Додавання комплексних чисел

Сумоюдвох комплексних чисел z 1 =x 1 +y 1 iі z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Властивості операції складання:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

б) Віднімання комплексних чисел

Віднімання визначається як дія, зворотне додавання.

Різницядвох комплексних чисел z 1 =x 1 +y 1 iі z 2 =x 2 +y 2 iназивається таке комплексне число z, яке, будучи складеним з z 2 дає число z 1 і визначається рівністю

z=z 1 - z 2 =(x 1 - x 2 )+i(y 1 – y 2 ).

в) Збільшення комплексних чисел

Творомкомплексних чисел z 1 =x 1 +y 1 iі z 2 =x 2 +y 2 i, що визначається рівністю

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 -x 2 y 1 ).

Звідси, зокрема, випливає найважливіше співвідношення

i 2 = – 1.

Властивості операції множення:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

г) Розподіл комплексних чисел

Поділ визначається як дія, зворотна до множення.

Приватним двох комплексних чисел z 1 і z 2 ≠ 0 називається комплексне число z, яке будучи помноженим на z 2 дає число z 1 , тобто. якщо z 2 z = z 1 .

Якщо покласти z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , то з рівності (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 i,слід

Вирішуючи систему, знайдемо значення xі y :

Таким чином,

Насправді замість отриманої формули використовують наступний прийом: множать чисельник і знаменник дробу число, пов'язане знаменнику («позбавляються уявності в знаменнику»).

приклад 2.Надано комплексні числа 10+8i , 1+i.Знайдемо їхню суму, різницю, твір та приватне.

Рішення.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;

в) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

д) Зведення комплексного числа, заданого в формі алгебри в n -ю ступінь

Випишемо цілі ступені уявної одиниці:

Загалом отриманий результат можна записати так:

приклад 3.Обчислити i 2 092 .

Рішення.

• Представимо показник ступеня у вигляді n = 4k+lта скористаємось властивістю ступеня з раціональним показником z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Маємо: 2092=4 ∙ 523 .

Таким чином, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , але так як i 4 = 1 , то остаточно отримаємо i 2 092 = 1 .

Відповідь: i 2 092 = 1 .

При зведенні комплексного числа a+biу другий і третій ступінь користуються формулою для квадрата та куба суми двох чисел, а при зведенні до ступеня n (n – натуральне число, n ≥ 4 ) – формулою бінома Ньютона:

Для знаходження коефіцієнтів у цій формулі зручно користуватись трикутником Паскаля.

е) Вилучення квадратного кореня з комплексного числа

Квадратним коренемз комплексного числа називається таке комплексне число, квадрат якого дорівнює цьому.

Позначимо квадратний корінь із комплексного числа x+yiчерез u+viтоді за визначенням

Формули для знаходження uі vмають вигляд

Знаки uі vвибирають так, щоб отримані uі vзадовольняли рівності 2uv=y .

0 то u і v одного комплексного числа однакових знаків.) Відповідь: зміст" width="640"

приклад 4.Витягнемо квадратний корінь із комплексного числа z=5+12i .

Рішення.

Позначимо квадратний корінь із числа zчерез u+viтоді (u+vi) 2 =5+12i .

Оскільки в даному випадку x=5 , y=12, то за формулами (1) отримуємо:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = - 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Таким чином, знайдено два значення квадратного кореня: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i = -3 -2i, . (Знаки обрали відповідно до рівності 2uv=y, тобто. оскільки y=120, то uі vодного комплексного числа однакових знаків.)

Відповідь:

2) Дії над комплексними числами, заданими у тригонометричній формі

Розглянемо два комплексні числа z 1 і z 2 , заданих у тригонометричній формі

а) Добуток комплексних чисел

Виконуючи множення чисел z 1 і z 2 , отримуємо

б) Частка двох комплексних чисел

Нехай задані комплексні числа z 1 і z 2 ≠ 0 .

Розглянемо приватне маємо

Приклад 5. Дано два комплексні числа

Рішення.

1) Використовуючи формулу. отримуємо

Отже,

2) Використовуючи формулу. отримуємо

Отже,

Відповідь:

в) Зведення комплексного числа, заданого в тригонометричній формі n -ю ступінь

З операції множення комплексних чисел випливає, що

У загальному випадку отримаємо:

де n – ціле позитивне число.

Отже При зведенні комплексного числа в ступінь модуль зводиться в той же ступінь, а аргумент множиться на показник ступеня .

Вираз (2) називається формулою Муавра .

Абрахам де Муавр (1667-1754) - англійський математик французького походження.

Заслуги Муавра:

• відкрив (1707) формулу Муавра для зведення у ступінь (і вилучення коренів) комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі;
• перший став використовувати зведення у ступінь нескінченних рядів;
• великий внесок у теорію ймовірностей: довів окремі випадкитеореми Лапласа, провів імовірнісне дослідження азартних ігорта низки статистичних даних щодо населення.

Формулу Муавра можна використовуватиме знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного тощо. кутів.

Приклад 6.Знайти формули sin 2  і cos 2  .

Рішення.

Розглянемо деяке комплексне число

Тоді з одного боку

За формулою Муавра:

Прирівнюючи, отримаємо

Т.к. два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, то

Отримали відомі формули подвійного кута.

г) Вилучення кореня п

Коренем п -ого ступеня з комплексного числа zназивається комплексне число w, що задовольняє рівність w n =z, тобто. якщо w n =z .

Якщо покласти а то, за визначенням кореня та формулою Муавра, отримуємо

Звідси маємо

Тому рівність набуває вигляду

де (тобто від 0 до n-1).

Таким чином, вилучення кореня n -ого ступеня з комплексного числа z завжди можливо і дає n різних значень. Усі значення кореня n -ой ступеня розташовані на колі радіусу з центром в нулі і ділять це коло на n рівних частин.

Приклад 7.Знайти всі значення

Рішення.

Спочатку представимо число у тригонометричній формі.

В даному випадку x=1 , , таким чином,

Отже,

Використовуючи формулу

де k=0,1,2,…,(n-1),маємо:

Запишемо всі значення:

Відповідь:

Запитання для самоконтролю

1 . Сформулюйте визначення комплексного числа.

2. Яке комплексне число називається чисто уявним?

3. Які два комплексні числа називаються сполученими?

4. Поясніть, що означає скласти комплексні числа, задані в формі алгебри; помножити комплексне число на дійсне.

5. Поясніть принцип поділу комплексних чисел, заданих в формі алгебри.

6. Запишіть у загальному вигляді цілі ступені уявної одиниці.

7. Що означає зведення комплексного числа, заданого формою алгебри в ступінь (n - натуральне число)?

8. Розкажіть, як зображуються комплексні числа на площині.

9 . Яка форма запису називається тригонометричною формою комплексних чисел?

10. Сформулюйте визначення модуля та аргументу комплексного числа.

11. Сформулюйте правило множення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

12. Сформулюйте правило знаходження окремого двох комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі.

13. Сформулюйте правило зведення у ступеня комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі.

14. Сформулюйте правило вилучення кореня n-ого ступеня з комплексного числа, заданого в тригонометричній формі.

15. Розкажіть про значення кореня n-ого ступеня з одиниці та про сферу його застосування.