Числа – це абстрактне поняття. Вони є кількісною характеристикоюоб'єктів і бувають дійсні, раціональні, негативні, цілі та дробові, а також натуральні.

Натуральний ряд зазвичай використовують за рахунку, у якому природним чином виникають позначення кількості. Знайомство з рахунком починається в ранньому дитинстві. Який малюк уникнув кумедних лічилок, у яких якраз використовувалися елементи натурального рахунку? "Раз, два, три, чотири, п'ять... Вийшов зайчик погуляти!" або "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, цар вирішив мене повісити..."

Для будь-якого натурального числа можна знайти інше, більше його. Це безліч прийнято позначати буквою N і вважатимуться нескінченним у бік зростання. А ось початок у цього безліч є – це одиниця. Хоча існують французькі натуральні числа, до множини яких входить також і нуль. Але основними відмінними рисамиі того, і іншого множини є той факт, що в них не входять ні дробові, ні негативні числа.

Потреба у перерахунку найрізноманітніших предметів виникла ще за доісторичні часи. Тоді, ймовірно, сформувалося поняття «натуральні числа». Його формування відбувалося протягом усього процесу зміни світогляду людини, розвитку науки та техніки.

Однак не могли ще мислити абстрактно. Їм складно було усвідомити, в чому полягає спільність понять «три мисливці» або «три дерева». Тому за вказівки кількості людей використовувалося одне визначення, а за вказівки тієї ж кількості предметів іншого роду - зовсім інше визначення.

Причому був надзвичайно коротким. У ньому були лише числа 1 і 2, а закінчувався рахунок поняттям «багато», «стадо», «натовп», «купа».

Пізніше сформувався прогресивніший рахунок, вже ширший. Цікавим є той факт, що існувало всього два числа - 1 і 2, а наступні числа виходили вже додаванням.

Прикладом цього послужили відомості, що дійшли до нас, про числовий ряд австралійського племені. У них 1 означало слово «Енза», а 2 - слово «петчував». Число 3 тому звучало як «петчував-Енза», а 4 - вже як «петчував-петчував».

Більшість народів еталоном рахунку визнавали пальці. Далі розвиток абстрактного поняття«натуральні числа» пішло шляхом використання зарубок на паличці. І тут постала необхідність позначення десятка іншим знаком. Стародавні люди наші вихід стали використовувати іншу паличку, на якій робилися зарубки, що позначають десятки.

Можливості відтворення чисел надзвичайно розширилися з появою писемності. Спочатку числа зображалися рисочками на глиняних табличках або папірусі, але поступово почали використовувати інші значки для запису Так з'явилися римські цифри.

Значно пізніше з'явилися відкриті можливість запису чисел порівняно невеликим набором символів. Сьогодні нескладно записати такі величезні числа, як відстань між планетами і кількість зірок. Варто лише навчитися користуватися ступенями.

Евклід в 3 столітті до нашої ери в книзі «Початку» встановлює нескінченність числової множини А Архімед у «Псаміті» розкриває принципи для побудови назв як завгодно великих чисел. Майже до середини 19 століття перед людьми не виникала потреба чіткого формулювання поняття «натуральні числа». Визначення знадобилося з появою аксіоматичного математичного методу.

І в 70-х роках 19 століття сформулював чітке визначення натуральних чисел, засноване на понятті множини. І ось сьогодні ми вже знаємо, що натуральні числа - це всі цілі числа, починаючи від 1 до нескінченності. Маленькі діти, роблячи свій перший крок у знайомстві з царицею всіх наук – математикою – починають вивчати саме ці числа.

Натуральні числа є звичними людині та інтуїтивно зрозумілими, адже вони оточують нас із самого дитинства. У статті нижче ми дамо базове уявлення про сенс натуральних чисел, опишемо основні навички їхнього запису та читання. Вся теоретична частина супроводжуватиметься прикладами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Загальне уявлення про натуральні числа

На певному етапі розвитку людства постало завдання підрахунку деяких предметів і позначення їх кількості, що, своєю чергою, зажадало знаходження інструменту на вирішення цього завдання. Таким інструментом стали натуральні числа. Зрозуміло і основне призначення натуральних чисел - давати уявлення про кількість предметів або порядковий номер конкретного предмета, якщо йдеться про безліч.

Логічно, що для використання людиною натуральних чисел необхідно мати спосіб їх сприймати і відтворювати. Так, натуральне число можна озвучити або зобразити, що є природними способамипередачі інформації.

Розглянемо базові навички озвучування (читання) та зображення (запису) натуральних чисел.

Десятковий запис натурального числа

Згадаймо, як зображаються наступні знаки(вкажемо їх через кому): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Вказані знаки ми називаємо цифрами.

Тепер візьмемо зазвичай, що з зображенні (запису) будь-якого натурального числа використовуються лише зазначені цифри без участі будь-яких інших символів. Нехай цифри при записі натурального числа мають однакову висоту, записуються одна за одною в рядок і зліва завжди знаходиться цифра, відмінна від нуля.

Вкажемо приклади правильного запису натуральних чисел: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500 001. Відступи між цифрами не завжди однакові, про це докладніше буде сказано нижче щодо класів чисел. Зазначені приклади показують, що з запису натурального числа необов'язково повинні бути всі цифри із зазначеного вище ряду. Деякі або всі можуть повторюватися.

Визначення 1

Записи виду: 065, 0, 003, 0791 є записами натуральних чисел, т.к. зліва розташовується цифра 0 .

Вірний запис натурального числа, зроблений з урахуванням усіх описаних вимог, називається десятковим записом натурального числа.

Кількісний зміст натуральних чисел

Як було зазначено, натуральні числа спочатку несуть у собі, зокрема, кількісний сенс. Натуральні числа як інструмент нумерації розглянуті в темі про порівняння натуральних чисел.

Приступимо до натуральних чисел, записи яких збігаються із записами цифр, тобто: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Уявімо якийсь предмет, наприклад, такий: Ψ . Можна записати, що ми бачимо 1 предмет. Натуральне число 1 читається як один або одиниця. Термін «одиниця» має й інше значення: щось, що можна як єдине ціле. Якщо є безліч, будь-який елемент його можна буде позначити одиницею. Наприклад, з багатьох мишей кожна миша – одиниця; будь-яка квітка з безлічі кольорів – одиниця.

Тепер уявімо: Ψ Ψ . Ми бачимо одне і ще одне предмет, тобто. у запису це буде – 2 предмети. Натуральне число 2 читаємо як "два".

Далі, за аналогією: Ψ Ψ Ψ – 3 предмети («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («чотири»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («п'ять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шість»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («сім»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («вісім»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ дев'ять»).

З вказаної позиції функція натурального числа полягає у вказівці кількостіпредметів.

Визначення 1

Якщо запис числа збігається із записом цифри 0, то таке число називають "нуль".Нуль - не натуральне число, але розглядають його разом із іншими натуральними числами. Нуль означає відсутність, тобто. нуль предметів означає – жодного.

Однозначні натуральні числа

Очевидний факт, що, записуючи кожне з натуральних чисел, про які вище йшлося (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ми використовуємо один знак – одну цифру.

Визначення 2

Однозначне натуральне число- Натуральне число, при записі якого використовується один знак - одна цифра.

Однозначних натуральних чисел дев'ять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двозначні та трицифрові натуральні числа

Визначення 3

Двозначні натуральні числа– натуральні числа, під час запису яких використовуються два знаки – дві цифри. У цьому використовувані цифри може бути як однакові, і різні.

Наприклад, натуральні числа 71, 64, 11 – двозначні.

Розглянемо, який сенс у двозначних числах. Спиратимемося на вже відомий нам кількісний зміст однозначних натуральних чисел.

Введемо таке поняття як "десяток".

Представимо безліч предметів, що складається з дев'яти та ще одного. У такому разі можна говорити про 1 десяток («один десяток») предметів. Якщо уявити один десяток і ще один, то йтиметься про 2 десятки («два десятки»). Додавши до двох десятків ще один, отримаємо три десятки. І так далі: продовжуючи додавати по одному десятку, ми отримуватимемо чотири десятки, п'ять десятків, шість десятків, сім десятків, вісім десятків і, нарешті, дев'ять десятків.

Подивимося на двоцифрове число, як на набір однозначних чисел, одне з яких записується праворуч, інше – ліворуч. Число ліворуч позначатиме кількість десятків у складі натурального числа, а число праворуч – кількість одиниць. Якщо справа розташована цифра 0 , то ми говоримо про відсутність одиниць. У вищезгаданому і полягає кількісний зміст натуральних двоцифрових чисел. Усього їх - 90.

Визначення 4

Тризначні натуральні числа– натуральні числа, під час запису яких використовуються три знаки – три цифри. Цифри можуть бути різними або такими, що повторюються в будь-якому поєднанні.

Наприклад, 413, 222, 818, 750 - тризначні натуральні числа.

Щоб зрозуміти кількісний зміст трицифрових натуральних чисел, введемо поняття "Сотня".

Визначення 5

Одна сотня (1 сотня)- Це безліч, що складається з десяти десятків. Сотня та ще одна сотня становитимуть 2 сотні. Додамо ще одну сотню та отримаємо 3 сотні. Додаючи поступово по одній сотні, отримаємо: чотири сотні, п'ять сотень, шість сотень, сім сотень, вісім сотень, дев'ять сотень.

Розглянемо сам запис тризначного числа: однозначні натуральні числа, що входять до нього, записуються одне за одним зліва направо. Крайнє праве однозначне число свідчить про кількість одиниць; наступне однозначне число ліворуч – на кількість десятків; крайнє ліве однозначне число – кількість сотень. Якщо в записі бере участь цифра 0, вона вказує на відсутність одиниць та/або десятків.

Так, тризначне натуральне число 402 означає: 2 одиниці, 0 десятків (відсутні десятки, не об'єднані в сотні) та 4 сотні.

За аналогією дається визначення чотиризначних, п'ятицифрових і так далі натуральних чисел.

Багатозначні натуральні числа

Від усього вищесказаного тепер можна перейти до визначення багатозначних натуральних чисел.

Визначення 6

Багатозначні натуральні числа- Натуральні числа, при записі яких використовуються два і більше знаків. Багатозначні натуральні числа – це двозначні, тризначні тощо числа.

Одна тисяча - безліч, що включає десять сотень; один мільйон складається із тисячі тисяч; один мільярд – тисяча мільйонів; один трильйон – тисяча мільярдів. Ще більші множини також мають назви, але їх використання рідко.

Аналогічно принципу вище ми можемо розглянути будь-яке багатозначне натуральне число, як набір однозначних натуральних чисел, кожне з яких, перебуваючи на певному місці, свідчить про наявність і кількість одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч, мільйонів, десятків мільйонів , сотень мільйонів, мільярдів тощо (праворуч ліворуч відповідно).

Наприклад, багатозначне число 4912305 містить у собі: 5 одиниць, 0 десятків, три сотні, 2 тисячі, 1 десяток тисяч, 9 сотень тисяч і 4 мільйони.

Резюмуючи, ми розглянули навичку угруповання одиниць у різні множини (десятки, сотні і т.д.) і побачили, що цифри запису багатозначного натурального числа є позначенням кількості одиниць у кожному з таких множин.

Читання натуральних чисел, класи

Теоретично вище ми позначили назви натуральних чисел. У таблиці 1 вкажемо, як правильно використовувати назви однозначних натуральних чисел у мові та при буквеному записі:

Число	Чоловічий рід	Жіночий рід	Середній рід
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Один Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одна Дві Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одне Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять

Число	Називний відмінок	Родовий відмінок	Давальний відмінок	Знахідний відмінок	Орудний відмінок	Відмінок
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Один Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одного Двох Трьох Чотирьох П'яти Шість Семи Восьми Дев'яти	Одному Двом Трьом Чотирьом П'яти Шість Семи Восьми Дев'яти	Один Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одним Двома Трьома Чотири П'ять Шістьма Сім'ю Восьмю Дев'яттю	Про одне Про дві Про три Про чотири Про п'ять Про шість Про сім Про вісім Про дев'ять

Для грамотного прочитання та написання двоцифрових чисел, необхідно вивчити дані таблиці 2:

Число	Чоловічий, жіночий та середній рід
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Десять Одинадцять Дванадцять Тринадцять Чотирнадцять П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцять Вісімнадцять Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорок П'ятдесят Шістдесят Сімдесят Вісімдесят Дев'яносто

Число	Називний відмінок	Родовий відмінок	Давальний відмінок	Знахідний відмінок	Орудний відмінок	Відмінок
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Десять Одинадцять Дванадцять Тринадцять Чотирнадцять П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцять Вісімнадцять Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорок П'ятдесят Шістдесят Сімдесят Вісімдесят Дев'яносто	Десяти Одинадцяти Дванадцятьох Тринадцять Чотирнадцяти П'ятнадцять Шістнадцяти Сімнадцяти Вісімнадцяти Дев'ятнадцять Двадцяти Тридцять Сорока П'ятдесяти Шістдесяти Сімдесяти Вісімдесяти Дев'яноста	Десяти Одинадцяти Дванадцятьох Тринадцять Чотирнадцяти П'ятнадцять Шістнадцяти Сімнадцяти Вісімнадцяти Дев'ятнадцять Двадцяти Тридцять Сорока П'ятдесяти Шістдесяти Сімдесяти Вісімдесяти Дев'яноста	Десять Одинадцять Дванадцять Тринадцять Чотирнадцять П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцять Вісімнадцять Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорок П'ятдесят Шістдесят Сімдесят Вісімдесят Дев'яносто	Десятьма Одинадцять Дванадцятьма Тринадцятьма Чотирнадцятьма П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцятьма Вісімнадцятьма Дев'ятнадцять Двадцятьма Тридцятьма Сорока П'ятдесятьом Шістдесятьма Сімдесятьох Вісімдесятьма Дев'яністю	Про десять Про одинадцять Про дванадцять Про тринадцять Про чотирнадцять Про п'ятнадцять Про шістнадцять Про сімнадцять Про вісімнадцять Про дев'ятнадцять Про двадцять Про тридцять Про сорок Про п'ятдесят Про шістдесят Про сімдесят Про вісімдесять Про дев'яносто

Для читання інших двозначних натуральних чисел будемо використовувати дані обох таблиць, розглянемо це на прикладі. Допустимо, нам необхідно прочитати натуральне двоцифрове число 21 . Це містить у собі 1 одиницю і 2 десятки, тобто. 20 та 1 . Звернувшись до таблиць, прочитаємо вказане число як "двадцять один", при цьому союз "і" між словами вимовляти не потрібно. Припустимо, нам необхідно використовувати вказане число 21 у певній пропозиції, вказуючи на кількість предметів у родовому відмінку: «немає 21 яблука». Звучати у разі вимова буде так: «немає двадцяти одного яблука».

Наведемо для наочності ще приклад: число 76, яке прочитається як «сімдесят шість» і, наприклад – «сімдесят шістьма тоннами».

Число	Називний відмінок	Родовий відмінок	Давальний відмінок	Знахідний відмінок	Орудний відмінок	Відмінок
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Сто Двісті Триста Чотириста П'ятсот Шість сотень Сімсот Вісімсот Дев'ятсот	Ста Двохсот Триста Чотирьохсот П'ятисот Шістсот Семисот Вісімсот Дев'ятсот	Ста Двомстам Тремстам Чотирьомстам П'ятистам Шестистам Семістам Восьмистам Дев'ятистам	Сто Двісті Триста Чотириста П'ятсот Шість сотень Сімсот Вісімсот Дев'ятсот	Ста Двомастами Тремстами Чотирьомстами П'ятистами Шестистами Семістами Восьмистами Дев'ятистами	Про сто Про двісті Про триста Про чотириста Про п'ятисот Про шістсот Про семистів Про вісімсот Про дев'ятсот

Щоб повністю прочитати тризначне число, також використовуємо дані всіх таблиць. Наприклад, дано натуральне число 305 . Даному числу відповідає 5 одиниць, 0 десятків і 3 сотні: 300 та 5 . Взявши за основу таблиці, прочитаємо: «триста п'ять» або у відмінюванні відмінками, наприклад, так: «трьомстам п'яти метрам».

Прочитаємо ще одне число: 543 . Згідно з правилами таблиць, звучати вказане число буде так: «п'ятсот сорок три» або в відміні відмінків, наприклад, так: «немає п'ятсот сорока трьох рублів».

Перейдемо до загальному принципуЧитання багатозначних натуральних чисел: щоб прочитати багатозначне число, необхідно розбити його праворуч наліво в групи по три цифри, причому в крайній лівій групі може бути 1, 2 або 3 цифри. Такі групи називають класами.

Крайній правий клас – клас одиниць; потім наступний клас, ліворуч – клас тисяч; далі – клас мільйонів; потім слідує клас мільярдів, за ним - клас трильйонів. Наступні класи також мають назву, але натуральні числа, що складаються з великої кількостісимволів (16, 17 і більше) рідко використовуються на читанні, сприймати їх на слух досить важко.

Для зручності сприйняття запису класи відокремлюють один від одного невеликим відступом. Наприклад, 31013736, 134678, 23476009434, 2533467001222.

Клас трильйонів	Клас мільярдів	Клас мільйонів	Клас тисяч	Клас одиниць
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Для прочитання багатозначного числа називаємо по черзі числа, що його становлять (зліва направо за класами, додаючи назву класу). Назва класу одиниць не вимовляється, і навіть не вимовляються ті класи, які становлять три цифри 0 . Якщо у складі одного класу зліва присутні одна або дві цифри 0, то вони при прочитанні ніяк не використовуються. Наприклад, 054 прочитається як "п'ятдесят чотири" або 001 - як "один".

Приклад 1

Розберемо докладно читання числа 2533467001222:

Читаємо число 2 як складову класу трильйонів – «два»;

Додавши назву класу, отримаємо: «два трильйони»;

Читаємо таку кількість, додавши назву відповідного класу: «п'ятсот тридцять три мільярди»;

Продовжуємо за аналогією, зачитуючи наступний клас правіше: «чотириста шістдесят сім мільйонів»;

У наступному класі бачимо дві цифри 0 розташовані зліва. Згідно з вищевказаними правилами читання, цифри 0 відкидаються і не беруть участь у читанні запису. Тоді отримаємо: "одна тисяча";

Читаємо останній клас одиниць, не додаючи його назву - "двісті двадцять два".

Таким чином, число 2533467001222 звучатиме так: два трильйони п'ятсот тридцять три мільярди чотириста шістдесят сім мільйонів одна тисяча двісті двадцять два. Використовуючи вказаний принцип, прочитаємо та інші задані числа:

31 013 736 – тридцять один мільйон тринадцять тисяч сімсот тридцять шість;

134678 – сто тридцять чотири тисячі шістсот сімдесят вісім;

23 476 009 434 – двадцять три мільярди чотириста сімдесят шість мільйонів дев'ять тисяч чотириста тридцять чотири.

Таким чином, основою правильного прочитання багатозначних чисел є навичка розбивати багатозначне число на класи, знання відповідних назв та розуміння принципу прочитання дво- та трицифрових чисел.

Як стає зрозуміло з усього вищесказаного, від позиції, де стоїть цифра у записі числа, залежить її значення. Тобто, наприклад, цифра 3 у складі натурального числа 314 означає кількість сотень, а саме – 3 сотні. Цифра 2 – кількість десятків (1 десяток), а цифра 4 – кількість одиниць (4 одиниці). При цьому ми говоритимемо, що цифра 4 знаходиться в розряді одиниць і є значенням розряду одиниць у заданому числі. Цифра 1 стоїть у розряді десятків і є значенням розряду десятків. Цифра 3 знаходиться в розряді сотень і є значенням розряду сотень.

Визначення 7

Розряд– це позиція цифри в записі натурального числа, а також значення цієї цифри, яке визначається її позицією в заданому числі.

Розряди мають свої назви, ми вже використовували їх вище. Праворуч ліворуч йдуть розряди: одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч тощо.

Для зручності запам'ятовування можна використати наступну таблицю (зазначимо 15 розрядів):

Уточнимо таку деталь: кількість розрядів у заданому багатозначному числі така сама, як кількість знаків у складі запису числа. Наприклад, дана таблиця містить назви всіх розрядів для числа, у якому 15 символів. Наступні розряди також мають назви, але використовуються дуже рідко і дуже незручні для сприйняття на слух.

За допомогою такої таблиці можна напрацювати навичку визначення розряду, записуючи задане натуральне число в таблицю так, щоб крайня права цифра була записана в розряді одиниць і далі - в кожен розряд за цифрою. Наприклад, запишемо багатозначне натуральне число 56402513674 так:

Зверніть увагу на цифру 0, що знаходиться в розряді десятків мільйонів - вона означає відсутність одиниць цього розряду.

Введемо також поняття нижчого і вищого розрядів багатозначного числа.

Визначення 8

Нижчий (молодший) розрядбудь-якого багатозначного натурального числа – розряд одиниць.

Вищий (старший) розрядбудь-якого багатозначного натурального числа - розряд, що відповідає крайній лівій цифрі запису заданого числа.

Так, наприклад, серед 41 781: нижчий розряд – розряд одиниць; найвищий розряд – розряд десятків тисяч.

Логічно випливає, що можна говорити про старшинство розрядів щодо один одного. Кожен наступний розряд при русі ліворуч праворуч нижче (молодше) попереднього. І навпаки: при русі справа ліворуч кожен наступний розряд вищий (старше) попереднього. Наприклад, розряд тисяч старший за розряд сотень, але молодший за розряд мільйонів.

Уточнимо, що при вирішенні деяких практичних прикладіввикористовується не саме натуральне число, а сума розрядних доданків заданого числа.

Коротко про десяткову систему числення

Визначення 9

Система зчислення- Метод запису чисел за допомогою символів.

Позиційні системи числення– такі, у яких значення цифри у складі числа залежить від її позиції запису числа.

Згідно даному визначеннюМожна говорити про те, що, вивчаючи вище натуральні числа і спосіб їх запису, ми користувалися позиційною системою числення. Особливе місце тут відіграє 10 . Рахунок ми ведемо десятками: десять одиниць становлять десяток, десяток десятків об'єднається у сотню тощо. Число 10 є підставою цієї системи числення, і саму систему також називають десятковою.

Крім неї, існують інші системи числення. Наприклад, інформатика використовує двійкову систему. Коли ми ведемо рахунок часу, то задіємо шістдесяткову систему числення.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Натуральні числа та їх властивості

Для рахунку предметів у житті використовують натуральні числа. У записі будь-якого натурального числа використовуються цифри $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Послідовність натуральних чисел, кожне наступне число в якому на $1$ більше попереднього, утворює натуральний ряд , який починається з одиниці (т.к. одиниця-найменше натуральне число) і не має найбільшого значення, тобто. нескінченний.

Нуль не відносять до натуральних чисел.

Властивості відношення слідування

Усі властивості натуральних чисел і операцій з них випливають із чотирьох властивостей відносин прямування, які були сформульовані в $1891$ р. Д.Пеано:

Одиниця - натуральне число, яке не слідує ні за яким натуральним числом.

За кожним натуральним числом слідує одне і тільки одне число

Кожне натуральне число, відмінне від $1$, слідує за одним і лише одним натуральним числом

Підмножина натуральних чисел, що містить число $1$, а разом з кожним числом і наступне число, містить всі натуральні числа.

Якщо запис натурального числа складається з однієї цифри, його називають однозначним (наприклад, $2,6.9$ і т.д.), якщо запис складається з двох цифр-двозначним(наприклад,$12,18,45$) і т.д. за аналогією. Двозначні, тризначні, чотиризначні і т.д. числа називають у математиці багатозначними.

Властивість складання натуральних чисел

Переміщувальна властивість: $a+b=b+a$

Сума не змінюється при перестановці доданків

Сполучна властивість: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Щоб додати до числа двох чисел, можна спочатку додати перший доданок, а потім, до отриманої суми-другий доданок

Від додавання нуля число не зміниться і якщо додати до нуля якесь число, то вийде додане число.

Властивості віднімання

Властивість віднімання суми з $a-(b+c) =a-b-c$ якщо $b+c ≤ a$

Для того, щоб відняти суму з числа, можна спочатку відняти з цього числа перший доданок, а потім від отриманої різниці-другий доданок

Властивість віднімання числа із суми $(a+b) -c=a+(b-c)$, якщо $c ≤ b$

Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного доданку, а до отриманої різниці додати інше доданок

Якщо відняти нуль, то число не зміниться

Якщо відняти його саме, то вийде нуль

Властивості множення

Переміщувальне $a\cdot b=b\cdot a$

Добуток двох чисел не змінюється при перестановці множників

Сполучене $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник

При множенні на одиницю твір не змінюється $m\cdot 1=m$

При множенні на нуль добуток дорівнює нулю

Коли в записі твору немає дужок, множення виконують по порядку зліва направо

Властивості множення щодо складання та віднімання

Розподільча властивість множення щодо додавання

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Для того щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожне доданок і скласти твори, що виходять.

Наприклад, $5(x+y)=5x+5y$

Розподільча властивість множення щодо віднімання

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Для того, щоб помножити різницю на число, множно помножити на це число, що зменшується і віднімається і з першого твору відняти друге

Наприклад, $5(x-y)=5x-5y$

Порівняння натуральних чисел

Для будь-яких натуральних чисел $a$ і $b$ може виконуватися лише одне із трьох співвідношень $a=b$, $a

Найменшим вважається число, яке у натуральному ряду з'являється раніше, а більшим, яке з'являється пізніше. Нуль менше від будь-якого натурального числа.

Приклад 1

Порівняти числа $a$ і $555$, якщо відомо, що існує деяке число $b$, причому виконуються співвідношення: $a

Рішення: На підставі зазначеної властивості,т.к. за умовою $a

у будь-якому підмножині натуральних чисел, що містить хоча б одне число, є найменше число

Підмножиною в математиці називають частину множини. Кажуть, що множина є підмножиною іншої, якщо кожен елемент підмножини є одночасно і елементом більшої множини

Часто для порівняння чисел знаходять їх різницю і порівнюють її з нулем. Якщо різниця більше $0$, але перше число більше другого, якщо різниця менше $0$, то перше число менше другого.

Округлення натуральних чисел

Коли повна точність не потрібна, чи не можлива, числа округляють, тобто замінюють їх близькими числами з нулями на кінці.

Натуральні числа округляють до десятків, сотень, тисяч тощо.

При округленні числа до десятків його замінюють найближчим числом, що складається з цілих десятків; у такого числа в розряді одиниць коштує $0$

При округленні числа до сотень його замінюють найближчим числом, що складається з цілих сотень; у такого числа в розряді десятків та одиниць має стояти цифра $0$. І т.д

Числа, до яких округлюють це називають наближеним значенням числа з точністю до зазначених розрядів. Наприклад, якщо округлювати число $564$ до десятків, то отримаємо, що округлити його можна з недоліком і отримати $560$, або з надлишком і отримати $570$.

Правило округлення натуральних чисел

Якщо праворуч від розряду, до якого округлюють число, коштує цифра $5$ або цифра, більша за $5$, то до цифри цього розряду додають $1$; в іншому випадку цю цифру залишають без зміни

Усі цифри, розташовані правіше за розряд, до якого округляють число, замінюють нулями

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа- Це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числане існує.

При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2 , трьома — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися й спеціальні знаки для позначення чисел — попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. До Європи їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

Натуральний ряд- Це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1 .

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому немає.

Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, у якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
• 1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
• 1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву. гугол. Гугол — число, яке має 100 нулів.

Із чого починається вивчення математики? Так, правильно, з вивчення натуральних чисел та дій з ними.Натуральні числа (відлат. naturalis- природний; природні числа) -числа , що виникають природним чином при рахунку (наприклад, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Послідовність всіх натуральних чисел, розташованих у порядку зростання, називається натуральним рядом.

Існують два підходи до визначення натуральних чисел:

1. підрахунку (нумерації) предметів ( перший, другий, третій, четвертий, п'ятий "...);
2. натуральні числа - числа, що виникають при позначення кількості предметів ( 0 предметів, 1 предмет, 2 предмети, 3 предмета, 4 предмети, 5 предметів ).

У першому випадку ряд натуральних чисел починається з одиниці, у другому – з нуля. Не існує єдиної більшості математиків думки про перевагу першого чи другого підходу (тобто вважати чи нуль натуральним числом чи ні). У переважній більшості російських джерел зазвичай прийнято перший підхід. Другий підхід, наприклад, застосовується у працяхНіколя Бурбаки , де натуральні числа визначаються якпотужності кінцевих множин .

Негативні і нецілі (раціональні , речові ,…) числа до натуральних не відносять.

Безліч всіх натуральних чиселприйнято позначати символом N (відлат. naturalis- природний). Безліч натуральних чисел є нескінченним, тому що для будь-якого натурального числа n знайдеться натуральне число, більше ніж n.

Наявність нуля полегшує формулювання та доказ багатьох теорем арифметики натуральних чисел, тому за першого підходу вводиться корисне поняття розширеного натурального ряду , Що включає нуль. Розширений ряд позначається N 0 або Z0.

Дозамкнутим операціям (Операціям, що не виводять результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться наступні арифметичні операції:

• додавання:доданок + доданок = сума;
• множення:множник × множник = добуток;
• зведення в ступінь: a b , де a - основа ступеня, b - показник ступеня. Якщо a і b — натуральні числа, то результат буде натуральним числом.

Додатково розглядають ще дві операції (з формальної точки зору, що не є операціями над натуральними числами, тому що не визначені для всіхпар чисел (іноді існують, іноді немає):

• віднімання:зменшуване - віднімається = різницю. При цьому зменшуване повинно бути більше віднімається (або одно йому, якщо вважати нуль натуральним числом)
• розподіл із залишком:ділене / дільник = (приватне, залишок). Приватне p і залишок r від поділу a на b визначаються так: a = p * r + b, причому 0<=r

Слід зауважити, що операції складання та множення є основними. Зокрема,