Kvadratne trigonometrijske nejednadžbe primjeri rješenja. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi
Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.
Trigonometrijske nejednadžbe izrazi su oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .
Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je rješavati takve probleme grafički; za to su razvijene dvije metode.
Metoda 1 - Rješavanje nejednakosti crtanjem grafa funkcije
Da biste pronašli interval koji zadovoljava uvjete nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate izvršiti sljedeće korake:
- Na koordinatnoj osi konstruirajte sinusoidu y = sin x.
- Na istoj osi nacrtajte graf numeričkog argumenta nejednakosti, tj. ravnu liniju koja prolazi točkom ½ ordinate OY.
- Označite točke presjeka dvaju grafova.
- Osjenčaj segment koji je rješenje primjera.
Kada su u izrazu prisutni strogi znakovi, točke sjecišta nisu rješenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, zapisujemo odgovor na sljedeći način:
Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglate zagrade - . Odgovor na problem također se može napisati kao sljedeća nejednakost: 
Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću jedinične kružnice
Slični problemi mogu se lako riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Algoritam za pronalaženje odgovora je vrlo jednostavan:
- Prvo morate nacrtati jedinični krug.
- Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednadžbe na luku kružnice.
- Potrebno je povući ravnu liniju koja prolazi kroz vrijednost lučne funkcije paralelno s apscisnom osi (OX).
- Nakon toga preostaje samo odabrati kružni luk koji je skup rješenja trigonometrijske nejednadžbe.
- Odgovor zapišite u traženi obrazac.
Analizirajmo faze rješenja na primjeru nejednadžbe sin x › 1/2. Na krugu su označene točke α i β – vrijednosti
Točke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje zadane nejednadžbe.
Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti smješten simetrično na os OX, a ne na OY. Razliku između intervala rješenja za sin i cos možete razmotriti na dijagramima ispod u tekstu.
Grafička rješenja nejednakosti tangensa i kotangensa razlikovat će se i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.
Arkutangens i arkotangens su tangente na trigonometrijsku kružnicu, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i pravilno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.
Tangenta tangente ide paralelno s osi OY. Ako vrijednost arctana a nanesemo na jediničnu kružnicu, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. Kutovi
One su prijelomne točke za funkciju, jer graf teži njima, ali ih nikada ne doseže.
U slučaju kotangensa, tangenta teče paralelno s osi OX, a funkcija se prekida u točkama π i 2π.
Složene trigonometrijske nejednadžbe
Ako argument funkcije nejednakosti nije predstavljen samo varijablom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada već govorimo o složena nejednakost. Proces i postupak rješavanja donekle se razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sljedeće nejednadžbe:
Grafičko rješenje uključuje konstruiranje obične sinusoide y = sin x pomoću proizvoljno odabranih vrijednosti x. Izračunajmo tablicu s koordinatama za kontrolne točke grafa:
Rezultat bi trebao biti lijepa krivulja.
Kako bismo lakše pronašli rješenje, zamijenimo argument složene funkcije
rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji riješenje gotovo svaka dana nejednakost na liniji. Matematički nejednakosti online rješavati matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u načinu rada na liniji. Web stranica www.site omogućuje vam pronalaženje riješenje gotovo svaki dan algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna nejednakost online. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različite faze morati odlučiti nejednakosti online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije točan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućuje. Zahvaljujući stranici www.site rješavanje nejednakosti online trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site pri rješavanju matematičkih nejednakosti online- ovo je brzina i točnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koji algebarske nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, transcendentalne nejednakosti online, i nejednakosti s nepoznatim parametrima u modu na liniji. Nejednakosti služe kao snažan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu djelovati zbunjujuće i složeno. Nepoznate količine nejednakosti može se pronaći formuliranjem problema u matematički jezik u obliku nejednakosti I odlučiti primljen zadatak u načinu rada na liniji na web stranici www.site. Bilo koje algebarska nejednakost, trigonometrijska nejednakost ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno značajke koje možete jednostavno odlučiti online i dobiti točan odgovor. Studirajući prirodne znanosti, neizbježno se susrećete s potrebom rješenja nejednadžbi. U tom slučaju odgovor mora biti točan i mora se dobiti odmah u načinu rada na liniji. Stoga za rješavati matematičke nejednakosti online preporučamo stranicu www.site koja će postati vaš nezaobilazan kalkulator za rješavanje algebarskih nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti online, i transcendentalne nejednakosti online ili nejednakosti s nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja online rješenja za razne matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor pomoću online rješenje nejednakosti na web stranici www.site. Morate pravilno napisati nejednakost i odmah dobiti online rješenje, nakon čega preostaje samo usporediti odgovor sa svojim rješenjem nejednadžbe. Provjera odgovora neće trajati više od minute, dovoljno je rješavanje nejednakosti online i usporediti odgovore. To će vam pomoći da izbjegnete pogreške u odluka i ispraviti odgovor na vrijeme kada rješavanje nejednakosti online ili algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili nejednakost s nepoznatim parametrima.
METODE RJEŠAVANJA TRIGONOMETRIJSKIH NEJEDNAČBI
Relevantnost. Povijesno gledano, trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe imale su posebno mjesto u školskom kurikulumu. Možemo reći da je trigonometrija jedan od najvažnijih dijelova školskog tečaja i cijele matematičke znanosti općenito.
Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe zauzimaju jedno od središnjih mjesta u srednjoškolskom kolegiju matematike, kako u pogledu sadržaja nastavnog gradiva tako i u pogledu metoda obrazovne i spoznajne aktivnosti koje se mogu i trebaju formirati tijekom njihovog proučavanja i primijeniti na rješavanje velikog broja problema teorijske i primijenjene prirode .
Riješenje trigonometrijske jednadžbe a nejednakosti stvara preduvjete za usustavljivanje učeničkih znanja vezanih za sve obrazovni materijal u trigonometriji (primjerice, svojstva trigonometrijskih funkcija, metode transformacije trigonometrijskih izraza itd.) i omogućuje uspostavljanje učinkovitih veza s proučavanim gradivom u algebri (jednadžbe, ekvivalencija jednadžbi, nejednadžbe, identične transformacije algebarskih izraza itd.). .).
Drugim riječima, razmatranje tehnika rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi uključuje svojevrsni prijenos tih vještina na nove sadržaje.
Značaj teorije i njezine brojne primjene dokaz su relevantnosti odabrane teme. To vam zauzvrat omogućuje određivanje ciljeva, zadataka i predmeta istraživanja kolegija.
Svrha studije: generalizirati dostupne vrste trigonometrijskih nejednadžbi, osnovne i posebne metode za njihovo rješavanje, odabrati skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi od strane učenika.
Ciljevi istraživanja:
1. Na temelju analize dostupne literature o temi istraživanja sistematizirati građu.
2. Osigurajte set zadataka potrebnih za učvršćivanje teme “Trigonometrijske nejednakosti.”
Predmet proučavanja su trigonometrijske nejednakosti u školskom tečaju matematike.
Predmet proučavanja: vrste trigonometrijskih nejednadžbi i metode njihova rješavanja.
Teorijski značaj je sistematizirati gradivo.
Praktični značaj: primjena teorijskih znanja u rješavanju problema; analiza glavnih uobičajenih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.
Metode istraživanja : analiza znanstvene literature, sinteza i generalizacija stečenih znanja, analiza rješavanja problema, traženje optimalnih metoda za rješavanje nejednadžbi.
§1. Vrste trigonometrijskih nejednadžbi i osnovne metode njihova rješavanja
1.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe
Dva trigonometrijska izraza povezana znakom ili > nazivaju se trigonometrijskim nejednadžbama.
Rješavanje trigonometrijske nejednadžbe znači pronalaženje skupa vrijednosti nepoznanica uključenih u nejednadžbu za koje je nejednakost zadovoljena.
Glavni dio trigonometrijskih nejednadžbi rješava se njihovim svođenjem na najjednostavnije rješenje:
Ovo može biti metoda faktorizacije, promjena varijable ( 
, 
itd.), gdje se prvo rješava uobičajena nejednadžba, a zatim nejednadžba oblika 
itd. ili drugim metodama.
Najjednostavnije nejednadžbe mogu se riješiti na dva načina: pomoću jedinične kružnice ili grafički.
Nekaf(x
– jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija. Za rješavanje nejednadžbe 
dovoljno je pronaći njegovo rješenje na jednoj periodi, tj. na bilo kojem segmentu čija je duljina jednaka periodu funkcijef
x
. Tada će se pronaći rješenje izvorne nejednakostix
, kao i one vrijednosti koje se razlikuju od onih pronađenih bilo kojim cijelim brojem perioda funkcije. U ovom slučaju prikladno je koristiti grafičku metodu.
Navedimo primjer algoritma za rješavanje nejednadžbi 
(
) I 
.
Algoritam za rješavanje nejednadžbe (
).
1. Formulirajte definiciju sinusa brojax na jediničnoj kružnici.
3. Na osi ordinata označite točku s koordinatoma .
4. Kroz tu točku povucite pravac paralelan s osi OX i kružnicom označite njegove sjecišne točke.
5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu manju oda .
6. Označite smjer kruga (suprotno od kazaljke na satu) i zapišite odgovor dodavanjem perioda funkcije na krajeve intervala2πn
,
.
Algoritam za rješavanje nejednadžbe .
1. Formulirajte definiciju tangensa brojax na jediničnoj kružnici.
2. Nacrtaj jediničnu kružnicu.
3. Nacrtaj tangente i na njoj ordinatom označi točkua .
4. Spojite ovu točku s ishodištem i označite točku presjeka dobivenog segmenta s jediničnom kružnicom.
5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu na tangenti manju oda .
6. Označite smjer obilaženja i napišite odgovor vodeći računa o domeni definiranosti funkcije uz točkuπn
,
(broj s lijeve strane unosa uvijek je manji od broja s desne strane).
Grafička interpretacija rješenja jednostavnih jednadžbi i formula za rješavanje nejednadžbi u opći pogled navedeni su u prilogu (Prilozi 1 i 2).
Primjer 1.
Riješite nejednadžbu 
.
Nacrtajte ravnu liniju na jediničnoj kružnici 
, koja siječe krug u točkama A i B.
Sva značenjag
na intervalu NM je veći
, sve točke AMB luka zadovoljavaju ovu nejednakost. U svim kutovima rotacije, veliki 
, ali manji 
,
poprimit će veće vrijednosti
(ali ne više od jednog).
Sl. 1
Dakle, rješenje nejednakosti bit će sve vrijednosti u intervalu 
, tj. 
. Da bismo dobili sva rješenja ove nejednadžbe, dovoljno je zbrojiti krajeve tog intervala 
, Gdje 
, tj. 
,
.
Imajte na umu da vrijednosti 
I 
su korijeni jednadžbe 
,
oni. 
;
.
Odgovor: 
, .
1.2. Grafička metoda
U praksi se često pokaže korisnom grafička metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Razmotrimo bit metode na primjeru nejednakosti 
:
1. Ako je argument složen (različit odx ), a zatim ga zamijenite st .
2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravniniigračka
grafovi funkcija 
I 
.
3. Takve nalazimodvije susjedne točke presjeka grafova, između kojihsinusni valnalazi seviši
ravno . Nađemo apscise tih točaka.
4. Napiši dvostruku nejednakost za argumentt , uzimajući u obzir period kosinusa (t bit će između pronađenih apscisa).
5. Napravite obrnutu zamjenu (vratite se na izvorni argument) i izrazite vrijednostx iz dvostruke nejednadžbe zapisujemo odgovor u obliku brojčanog intervala.
Primjer 2. Riješite nejednadžbu: .
Pri rješavanju nejednadžbi grafička metoda potrebno je što točnije konstruirati grafove funkcija. Transformirajmo nejednakost u oblik:
Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu 
I 
(slika 2).
sl.2
Grafovi funkcija sijeku se u točkiA
s koordinatama 
; 
. Između 
točke grafikona 
ispod točaka grafikona 
. I kada vrijednosti funkcije su iste. Zato na 
.
Odgovor: 
.
1.3. Algebarska metoda
Često se izvorna trigonometrijska nejednadžba može svesti na algebarsku (racionalnu ili iracionalnu) nejednakost dobro odabranom zamjenom. Ova metoda uključuje transformaciju nejednakosti, uvođenje supstitucije ili zamjenu varijable.
Pogledajmo konkretne primjere primjene ove metode.
Primjer 3.
Svođenje na najjednostavniji oblik 
.
(slika 3)
sl.3
, 
.
Odgovor: 
,
Primjer 4. Riješite nejednadžbu:
ODZ: 
, 
.
Korištenje formula: 
, 
Zapišimo nejednakost u obliku: 
.
Ili, vjerujući 
nakon jednostavnih transformacija dobivamo
,
,
.
Rješavanjem posljednje nejednadžbe metodom intervala dobivamo:
sl.4
, odnosno 
. Zatim sa Sl. 4 slijedi 
, Gdje 
.
sl.5
Odgovor: 
, 
.
1.4. Metoda intervala
Opća shema rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi metodom intervala:
Faktoriziraj pomoću trigonometrijskih formula.
Pronađite točke diskontinuiteta i nulte točke funkcije i smjestite ih na kružnicu.
Uzmite bilo koju točkuDO (ali ranije nisu pronađeni) i saznajte znak proizvoda. Ako je umnožak pozitivan, postavite točku izvan jedinične kružnice na zraku koja odgovara kutu. U suprotnom, postavite točku unutar kruga.
Ako se točka pojavljuje paran broj puta, nazivamo je točkom parne višestrukosti; ako se neparan broj puta, nazivamo je točkom neparne višestrukosti. Nacrtajte lukove na sljedeći način: počnite od točkeDO , ako je sljedeća točka neparnog višestrukosti, tada luk siječe kružnicu u ovoj točki, ali ako je točka parnog višestrukosti, tada se ne siječe.
Lukovi iza kruga su pozitivni intervali; unutar kruga postoje negativni prostori.
Primjer 5. Riješite nejednadžbu
, 
.
Bodovi prve serije: 
.
Bodovi druge serije: 
.
Svaka točka se pojavljuje neparan broj puta, odnosno sve točke su neparnog višestrukosti.
Doznajmo znak proizvoda na 
: . Označimo sve točke na jediničnoj kružnici (slika 6):
Riža. 6
Odgovor: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Primjer 6 . Riješite nejednadžbu.
Riješenje:
Nađimo nule izraza .
primitiaem :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Na vrijednosti serije jedinične kružnicex
1
predstavljena točkama 
. Nizx
2
daje bodove 
. Serijax
3
dobivamo dva boda 
. Konačno, serijax
4
će predstavljati bodove 
. Nacrtajmo sve te točke na jediničnu kružnicu, naznačujući njenu množinu u zagradi pored svake od njih.
Neka sada broj 
bit će jednaki. Napravimo procjenu na temelju znaka:
Dakle, točkaA
treba odabrati na zraci koja tvori kut 
sa gredomOh,
izvan jediničnog kruga. (Imajte na umu da je pomoćna zrakaOKO
A
Uopće nije potrebno to prikazati na slici. TočkaA
bira se približno.)
Sada s točkeA
nacrtajte valovitu kontinuiranu liniju uzastopno do svih označenih točaka. I to po točkama naša linija ide od jednog područja do drugog: ako je bila izvan jedinične kružnice, onda ide unutar nje. Približavanje točki 
, linija se vraća u unutarnje područje, budući da je višestrukost ove točke paran. Slično u točki 
(s parnim mnoštvom) linija mora biti okrenuta prema vanjskom području. Dakle, nacrtali smo određenu sliku prikazanu na sl. 7. Pomaže pri isticanju željenih područja na jediničnom krugu. Označeni su znakom “+”.
sl.7
Konačan odgovor:
Bilješka. Ako se valovita crta, nakon obilaska svih točaka označenih na jediničnoj kružnici, ne može vratiti u točkuA , bez prelaska kružića na “nedopuštenom” mjestu, to znači da je u rješenju napravljena pogreška, odnosno propušten je neparan broj korijena.
Odgovor: .
§2. Skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi
U procesu razvijanja sposobnosti učenika za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi također se mogu razlikovati 3 faze.
1. pripremni,
2. razvijanje sposobnosti rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi;
3. uvođenje trigonometrijskih nejednadžbi drugih vrsta.
Svrha pripremne faze je da je potrebno razviti kod školaraca sposobnost korištenja trigonometrijskog kruga ili grafikona za rješavanje nejednakosti, i to:
Sposobnost rješavanja jednostavnih nejednadžbi oblika ,
, ,
,
korištenje svojstava funkcije sinusa i kosinusa;
Sposobnost konstruiranja dvostrukih nejednakosti za lukove brojevne kružnice ili za lukove grafova funkcija;
Sposobnost izvođenja različitih transformacija trigonometrijskih izraza.
Preporuča se provesti ovu fazu u procesu sistematiziranja znanja učenika o svojstvima trigonometrijskih funkcija. Glavno sredstvo mogu biti zadaci koji se učenicima nude i izvode pod vodstvom nastavnika ili samostalno, kao i razvijene vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
Evo primjera takvih zadataka:
1
. Označite točku na jediničnoj kružnici 
, Ako
.
2.
U kojoj se četvrtini koordinatne ravnine nalazi točka? , Ako 
jednako: 
3.
Označite točke na trigonometrijskoj kružnici , ako:
4. Pretvorite izraz u trigonometrijske funkcijejačetvrtine.
A) 
,
b) 
,
V) 
5. Daje se Arc MR.M – sredinaja- tromjesečje,R – sredinaIItromjesečje. Ograničite vrijednost varijablet za: (napraviti dvostruku nejednadžbu) a) luk MR; b) RM lukovi.
6. Zapišite dvostruku nejednadžbu za odabrane dijelove grafikona:
Riža. 1
7.
Riješite nejednadžbe 
, 
, 
, 
.
8. Pretvori izraz .
U drugoj fazi učenja rješavanja trigonometrijskih nejednakosti možete ponuditi sljedeće preporuke vezano uz metodiku organiziranja studentskih aktivnosti. U ovom slučaju potrebno je usredotočiti se na postojeće vještine učenika u radu s trigonometrijskom kružnicom ili grafom, nastale tijekom rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.
Prvo, može se motivirati svrhovitost dobivanja opće metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi okretanjem, na primjer, nejednadžbi oblika 
.
Koristeći znanja i vještine stečene na pripremna faza, učenici će predloženu nejednadžbu svesti na oblik 
, ali može biti teško pronaći skup rješenja rezultirajuće nejednakosti, jer Nemoguće ga je riješiti samo korištenjem svojstava sinusne funkcije. Ova se poteškoća može izbjeći okretanjem odgovarajuće ilustracije (rješavanjem jednadžbe grafički ili korištenjem jedinične kružnice).
Drugo, nastavnik treba skrenuti pozornost učenika razne načine dovršiti zadatak, dati odgovarajući primjer rješavanja nejednadžbe grafički i pomoću trigonometrijske kružnice.
Razmotrimo sljedeća rješenja nejednadžbe .
1. Rješavanje nejednadžbe pomoću jedinične kružnice.
U prvoj lekciji o rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi učenicima ćemo ponuditi detaljan algoritam rješavanja koji u postupnom prikazu odražava sve osnovne vještine potrebne za rješavanje nejednadžbe.
Korak 1.Nacrtajmo jediničnu kružnicu i označimo točku na ordinatnoj osi 
i kroz nju povucite ravnu liniju paralelnu s osi x. Ova linija će presijecati jediničnu kružnicu u dvije točke. Svaka od ovih točaka predstavlja brojeve čiji je sinus jednak .
Korak 2.Ova ravna crta dijeli krug na dva luka. Izaberimo onaj koji prikazuje brojeve koji imaju sinus veći od . Naravno, ovaj luk se nalazi iznad nacrtane ravne linije.
Riža. 2
3. korakOdaberite jedan od krajeva označenog luka. Zapišimo jedan od brojeva koji je predstavljen ovom točkom jedinične kružnice 
.
Korak 4.Kako bismo odabrali broj koji odgovara drugom kraju odabranog luka, "prošetamo" po tom luku od imenovanog kraja do drugog. Pritom se prisjetimo da kada se krećemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, brojevi kroz koje ćemo prolaziti rastu (kada se krećemo u suprotnom smjeru, brojevi bi se smanjivali). Zapišimo broj koji je na jediničnoj kružnici prikazan drugim krajem označenog luka 
.
Dakle, vidimo tu nejednakost zadovoljavaju brojeve za koje je nejednakost istinita 
. Riješili smo nejednadžbu za brojeve koji se nalaze na istoj periodi funkcije sinusa. Stoga se sva rješenja nejednadžbe mogu napisati u obliku 
Učenike treba zamoliti da pažljivo promotre crtež i odgonetnu zašto su sva rješenja nejednadžbe može se napisati u obliku 
, 
.
Riža. 3
Potrebno je skrenuti pozornost učenicima da kod rješavanja nejednadžbi za kosinusnu funkciju povlačimo ravnu liniju paralelnu s ordinatnom osi.
Grafička metoda rješavanja nejednadžbi.
Gradimo grafikone 
I 
, s obzirom na to 
.
Riža. 4
Zatim napišemo jednadžbu 
i njegovu odluku 
, 
, 
, pronađeno pomoću formula 
, 
, 
.
(Davanjen
vrijednosti 0, 1, 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe). Vrijednosti 
su tri uzastopne apscise sjecišta grafova I . Očito, uvijek u intervalu 
nejednakost vrijedi 
, i na intervalu 
– nejednakost 
. Zanima nas prvi slučaj, a zatim dodajući krajevima ovog intervala broj koji je višekratnik perioda sinusa, dobivamo rješenje nejednadžbe kao: 
, .
Riža. 5
Rezimirati. Za rješavanje nejednadžbe , trebate izraditi odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Pronađite korijene iz dobivene formule 
I 
, a odgovor na nejednakost zapišite u obliku: , .
Treće, činjenica o skupu korijena odgovarajuće trigonometrijske nejednadžbe vrlo se jasno potvrđuje kada se ona grafički rješava.
Riža. 6
Učenicima je potrebno pokazati da se zaokret, koji je rješenje nejednadžbe, ponavlja kroz isti interval, jednak periodu trigonometrijske funkcije. Također možete razmotriti sličnu ilustraciju za graf funkcije sinusa.
Četvrto, preporučljivo je raditi na aktualizaciji učeničkih tehnika pretvaranja zbroja (razlike) trigonometrijskih funkcija u umnožak te učenicima skrenuti pozornost na ulogu ovih tehnika u rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi.
Takav rad moguće je organizirati kroz samostalno rješavanje zadataka učenika na prijedlog nastavnika, među kojima izdvajamo sljedeće:
Peto, od učenika se mora tražiti da ilustriraju rješenje svake jednostavne trigonometrijske nejednadžbe pomoću grafikona ili trigonometrijske kružnice. Svakako treba obratiti pozornost na njegovu svrhovitost, posebice na korištenje kružnice, jer pri rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi odgovarajuća ilustracija služi kao vrlo zgodno sredstvo za bilježenje skupa rješenja zadane nejednadžbe
Preporučljivo je učenike upoznati s metodama rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi koje nisu najjednostavnije prema sljedećoj shemi: obraćanje određenoj trigonometrijskoj nejednadžbi obraćanje odgovarajućoj trigonometrijskoj jednadžbi zajedničko traženje (nastavnik - učenici) rješenja; samostalno prenošenje pronađenu metodu na druge nejednadžbe istog tipa.
Kako bismo usustavili znanja učenika o trigonometriji, preporučamo posebno izdvojiti takve nejednadžbe, čije rješavanje zahtijeva različite transformacije koje se mogu provoditi u procesu rješavanja, te usmjeriti pozornost učenika na njihove značajke.
Kao takve produktivne nejednakosti možemo predložiti, na primjer, sljedeće:
U zaključku dajemo primjer skupa problema za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.
1. Riješite nejednadžbe:
2. Riješite nejednadžbe: 3. Pronađite sva rješenja nejednadžbi: 4. Pronađite sva rješenja nejednadžbi:A) 
, zadovoljavajući uvjet 
;
b) 
, zadovoljavajući uvjet 
.
5. Pronađite sva rješenja nejednadžbi:
A) ;
b) ;
V) 
;
G) 
;
d) 
.
6. Riješite nejednadžbe:
A) ;
b) ;
V) ;
G) 
;
d) ;
e) ;
i) 
.
7. Riješite nejednadžbe:
A) 
;
b) ;
V) ;
G) .
8. Riješite nejednadžbe:
A) ;
b) ;
V) ;
G) 
;
d) 
;
e) ;
i) 
;
h) .
Preporučljivo je učenicima koji studiraju matematiku ponuditi zadatke 6 i 7 povišena razina, zadatak 8 – za učenike razreda s naprednim učenjem matematike.
§3. Posebne metode rješenja trigonometrijskih nejednadžbi
Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi – odnosno one metode kojima se mogu rješavati samo trigonometrijske jednadžbe. Ove se metode temelje na korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija, kao i na korištenju različitih trigonometrijskih formula i identiteta.
3.1. Sektorska metoda
Razmotrimo sektorsku metodu za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Rješavanje nejednadžbi oblika 
, GdjeP
(
x
)
IQ
(
x
)
– racionalne trigonometrijske funkcije (sinusi, kosinusi, tangensi i kotangensi su u njih uključeni racionalno), slično rješavanju racionalnih nejednadžbi. Racionalne nejednakosti Pogodno je rješavati metodom intervala na brojevnom pravcu. Njegov analog za rješavanje racionalnih trigonometrijskih nejednakosti je metoda sektora u trigonometrijskom krugu, tj.sinx
Icosx
(
) ili trigonometrijski polukrug zatgx
Ictgx
(
).
U metodi intervala, svaki linearni faktor brojnika i nazivnika oblika 
na brojevnoj osi odgovara točka 
, i kada prolazi kroz ovu točku mijenja predznak. U sektorskoj metodi, svaki faktor oblika 
, Gdje 
- jedna od funkcijasinx
ilicosx
I 
, u trigonometrijskom krugu odgovaraju dva kuta 
I 
, koji krug dijele na dva sektora. Prilikom prolaska I funkcija mijenja predznak.
Morate imati na umu sljedeće:
a) Čimbenici oblika 
I 
, Gdje 
, zadrži znak za sve vrijednosti 
. Takvi faktori brojnika i nazivnika odbacuju se promjenom (ako 
) sa svakim takvim odbijanjem, znak nejednakosti je obrnut.
b) Čimbenici oblika 
I 
također se odbacuju. Štoviše, ako su to faktori nazivnika, tada se nejednakosti oblika dodaju ekvivalentnom sustavu nejednakosti 
I 
. Ako su to faktori brojnika, onda u ekvivalentnom sustavu ograničenja odgovaraju nejednadžbama I u slučaju stroge početne nejednakosti i jednakosti 
I 
u slučaju nestroge početne nejednakosti. Pri odbacivanju množitelja 
ili 
znak nejednakosti je obrnut.
Primjer 1.
Riješite nejednadžbe: a) 
, b) 
.
imamo funkciju b) . Riješite nejednakost koju imamo,
3.2. Metoda koncentričnog kruga
Ova metoda je analogna metodi paralelnih brojčanih osi za rješavanje sustava racionalnih nejednadžbi.
Razmotrimo primjer sustava nejednakosti.
Primjer 5.
Riješite sustav jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi 
Prvo rješavamo svaku nejednadžbu zasebno (slika 5). Na desno gornji kut Na slici ćemo označiti za koji se argument razmatra trigonometrijska kružnica.
sl.5
Zatim gradimo sustav koncentričnih krugova za argumentx . Nacrtamo kružnicu i osjenčamo je prema rješenju prve nejednadžbe, zatim nacrtamo kružnicu većeg polumjera i osjenčamo je prema rješenju druge, zatim konstruiramo kružnicu za treću nejednadžbu i osnovnu kružnicu. Izvlačimo zrake iz središta sustava kroz krajeve lukova tako da sijeku sve kružnice. Oblikujemo otopinu na osnovnom krugu (slika 6).
sl.6
Odgovor:
, 
.
Zaključak
Svi ciljevi predmetnog istraživanja su ispunjeni. Teorijski materijal je sistematiziran: dane su glavne vrste trigonometrijskih nejednadžbi i glavne metode za njihovo rješavanje (grafička, algebarska, metoda intervala, sektora i metoda koncentričnih kružnica). Za svaku metodu dan je primjer rješavanja nejednadžbe. Nakon teorijskog dijela uslijedio je praktični dio. Sadrži skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.
Ovaj predmet studenti mogu koristiti za samostalan rad. Učenici mogu provjeriti razinu savladanosti ove teme i vježbati rješavanje zadataka različite složenosti.
Proučavajući relevantnu literaturu o ovom pitanju, očito možemo zaključiti da su sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti u školskom tečaju algebre i elementarne analize vrlo važne, čije razvijanje zahtijeva značajan napor od strane nastavnika matematike.
Zato ovaj posao bit će korisno za nastavnike matematike, jer omogućuje učinkovito organiziranje obuke učenika na temu "Trigonometrijske nejednakosti".
Istraživanje se može nastaviti proširivanjem na završni kvalifikacijski rad.
Popis korištene literature
Bogomolov, N.V. Zbirka zadataka iz matematike [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 str.
Vygodsky, M.Ya. Priručnik elementarne matematike [Tekst] / M.Ya. Vigodski. – M.: Bustard, 2006. – 509 str.
Zhurbenko, L.N. Matematika u primjerima i problemima [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 str.
Ivanov, O.A. Elementarna matematika za učenike, studente i nastavnike [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 str.
Karp, A.P. Zadaci iz algebre i počeci analize za organiziranje završnog ponavljanja i svjedodžbe u 11. razredu [Tekst] / A.P. Šaran. – M.: Obrazovanje, 2005. – 79 str.
Kulanin, E.D. 3000 zadataka natjecanja iz matematike [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 str.
Leibson, K.L. Zbirka praktičnih zadataka iz matematike [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 str.
Lakat, V.V. Problemi s parametrima i njihova rješenja. Trigonometrija: jednadžbe, nejednadžbe, sustavi. 10. razred [Tekst] / V.V. Lakat. – M.: ARKTI, 2008. – 64 str.
Manova, A.N. Matematika. Ekspresni mentor za pripremu za jedinstveni državni ispit: student. priručnik [Tekst] / A.N. Manova. – Rostov na Donu: Phoenix, 2012. – 541 str.
Mordkovich, A.G. Algebra i počeci matematička analiza. 10-11 razreda. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova [Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 str.
Novikov, A.I. Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe [Tekst] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 str.
Oganesyan, V.A. Metodika nastave matematike u srednjoj školi: Opća metodika. Udžbenik priručnik za studente fizike - mat. fak. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Obrazovanje, 2006. – 368 str.
Olehnik, S.N. Jednadžbe i nejednadžbe. Nestandardne metode rješenja [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Izdavačka kuća Factorial, 1997. – 219 str.
Sevrjukov, P.F. Trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamske jednadžbe i nejednakosti [Tekst] / P.F. Sevrjukov. – M.: Pučko obrazovanje, 2008. – 352 str.
Sergejev, I.N. Jedinstveni državni ispit: 1000 problema s odgovorima i rješenjima iz matematike. Svi zadaci grupe C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Ispit, 2012. – 301 str.
Sobolev, A.B. Elementarna matematika [Tekst] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja USTU-UPI, 2005. – 81 str.
Fenko, L.M. Metoda intervala u rješavanju nejednadžbi i proučavanju funkcija [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 str.
Friedman, L.M. Teorijska osnova metodika nastave matematike [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Knjižara “LIBROKOM”, 2009. – 248 str.
Prilog 1
Grafička interpretacija rješenja jednostavnih nejednadžbi
Riža. 1
Riža. 2
sl.3
sl.4
sl.5
sl.6
sl.7
sl.8
Dodatak 2
Rješenja jednostavnih nejednadžbi
1.5 Trigonometrijske nejednadžbe i metode za njihovo rješavanje
1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi
Većina autora modernih udžbenika matematike predlaže da se ova tema počne razmatrati rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Načelo rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti temelji se na znanju i vještinama određivanja na trigonometrijskom krugu vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih kutova, već i drugih vrijednosti.
U međuvremenu, rješenje nejednakosti oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo nađemo neki interval () na kojem je ta nejednakost zadovoljena, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem na krajeve pronađenog intervala a broj koji je višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( 
). U ovom slučaju, vrijednost je lako pronaći, jer ili . Potraga za značenjem temelji se na intuiciji učenika, njihovoj sposobnosti uočavanja jednakosti lukova ili odsječaka, pomoću simetrije pojedini dijelovi graf sinusa ili kosinusa. I to je lijepo veliki broj učenici to ponekad ne mogu učiniti. Kako bi se prevladale uočene poteškoće u udžbenicima u posljednjih godina korišteni su različiti pristupi za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi, ali to nije dovelo do poboljšanja rezultata učenja.
Već niz godina prilično uspješno koristimo formule za korijene odgovarajućih jednadžbi za pronalaženje rješenja trigonometrijskih nejednadžbi.
Ovu temu proučavamo na sljedeći način:
1. Gradimo grafove i y = a, pretpostavljajući da je .
Zatim zapišemo jednadžbu i njezino rješenje. Davanje n 0; 1; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscisa triju uzastopnih točaka sjecišta grafova i y = a. Očito je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a nejednakost uvijek vrijedi na intervalu ().
Dodavanjem na krajeve ovih intervala broja koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobivamo rješenje nejednadžbe u obliku: ; au drugom slučaju rješenje nejednadžbe u obliku:
Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobivamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku 
. I opet, to su tri uzastopne apscise točaka presjeka grafova i . U intervalu () vrijedi nejednakost, u intervalu () nejednakost
Sada nije teško napisati rješenja nejednadžbi i . U prvom slučaju dobivamo: ;
a u drugom: .
Rezimirati. Da biste riješili nejednadžbu ili, morate izraditi odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , a odgovor na nejednadžbu napišite u obliku: .
Pri rješavanju nejednadžbi , iz formule za korijene odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor na nejednadžbu zapisujemo u obliku: .
Ova tehnika vam omogućuje da naučite sve učenike kako rješavati trigonometrijske nejednadžbe, jer Ova tehnika se u potpunosti oslanja na vještine kojima učenici dobro vladaju. To su vještine rješavanja jednostavnih problema i pronalaženja vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, pažljivo rješavanje pod vodstvom učitelja postaje potpuno nepotrebno. velika količina vježbe kako bi se pokazale sve vrste tehnika zaključivanja ovisno o predznaku nejednakosti, vrijednosti modula broja a i njegovom predznaku. I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, jednoličan.
Još jedna prednost ove metode je ta što vam omogućuje jednostavno rješavanje nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa.
Pokažimo ovo na konkretan primjer. Pretpostavimo da trebamo riješiti nejednadžbu. Kreirajmo odgovarajuću jednadžbu i riješimo je:
Nađimo vrijednosti i .
Kada je n = 1 
Kada je n = 2 
Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost:
U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisutnost određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s tih pozicija, tada će biti moguće optužiti korijenske formule za formalizam kvadratna jednadžba, i sve formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, i još mnogo toga.
Iako predložena metoda zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi, važnost i značajke drugih metoda rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi ne mogu se podcijeniti. To uključuje metodu intervala.
Razmotrimo njegovu suštinu.
Postav uredio A.G. Mordkovich, iako ne biste trebali zanemariti ni ostale udžbenike. § 3. Metodika poučavanja teme “Trigonometrijske funkcije” u kolegiju algebre i počeci analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se razlikovati dvije glavne faze: ü Početno upoznavanje s trigonometrijskim funkcijama...
Tijekom istraživanja riješeni su sljedeći zadaci: 1) Analizirani su aktualni udžbenici algebre i počeci matematičke analize kako bi se identificirale metode rješavanja predstavljene u njima. iracionalne jednadžbe i nejednakosti. Analiza nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke: ·u srednjoj školi se nedovoljno pažnje posvećuje metodama rješavanja raznih iracionalnih jednadžbi, uglavnom...
1. Ako je argument složen (različit od x), a zatim ga zamijenite s t.
2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravnini igračka grafovi funkcija y=trošak I y=a.
3. Takve nalazimo dvije susjedne točke presjeka grafova, između kojih se nalazi iznad prave y=a. Nađemo apscise tih točaka.
4. Napiši dvostruku nejednakost za argument t, uzimajući u obzir period kosinusa ( t bit će između pronađenih apscisa).
5. Napravite obrnutu zamjenu (vratite se na izvorni argument) i izrazite vrijednost x iz dvostruke nejednadžbe zapisujemo odgovor u obliku brojčanog intervala.
Primjer 1.
Zatim, prema algoritmu, određujemo te vrijednosti argumenta t, na kojoj se nalazi sinusoida viši ravno. Zapišimo ove vrijednosti kao dvostruku nejednakost, uzimajući u obzir periodičnost kosinusne funkcije, a zatim se vratimo na izvorni argument x.
Primjer 2.
Odabir raspona vrijednosti t, u kojem je sinusoida iznad ravne crte.
Vrijednosti zapisujemo u obliku dvostruke nejednakosti t, zadovoljavajući uvjet. Ne zaboravite da je najmanji period funkcije y=trošak jednaki 2π. Vraćajući se na varijablu x, postupno pojednostavljujući sve dijelove dvostruke nejednadžbe.
Odgovor zapisujemo u obliku zatvorenog numeričkog intervala, budući da nejednakost nije stroga.
Primjer 3.
Zanimat će nas raspon vrijednosti t, pri čemu će točke sinusoide ležati iznad ravne crte.
Vrijednosti t napišite ga u obliku dvostruke nejednakosti, prepišite iste vrijednosti za 2x i izraziti x. Zapišimo odgovor u obliku numeričkog intervala.
I opet formula trošak>a.
Ako trošak>a, (-1≤A≤1), tada - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Primijenite formule za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti i uštedjet ćete vrijeme na testiranju ispita.
A sada formula
, koji biste trebali koristiti na UNT ili Jedinstvenom državnom ispitu pri rješavanju trigonometrijske nejednadžbe oblika trošak
Ako trošak , (-1≤A≤1), tada arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Primijenite ovu formulu za rješavanje nejednakosti o kojima se govori u ovom članku i dobit ćete odgovor puno brže i bez ikakvih grafikona!
Uzimajući u obzir periodičnost funkcije sinusa, pišemo dvostruku nejednakost za vrijednosti argumenta t, zadovoljavajući posljednju nejednakost. Vratimo se na izvornu varijablu. Transformirajmo dobivenu dvostruku nejednadžbu i izrazimo varijablu X. Zapišimo odgovor u obliku intervala.
Riješimo drugu nejednadžbu:
Prilikom rješavanja druge nejednadžbe, morali smo transformirati lijevu stranu ove nejednadžbe pomoću formule dvostrukog argumenta sinusa kako bismo dobili nejednadžbu oblika: sint≥a. Zatim smo slijedili algoritam.
Rješavamo treću nejednadžbu:
Dragi maturanti i pristupnici! Imajte na umu da su metode za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti, kao što je gore navedena grafička metoda i, vjerojatno vam poznata, metoda rješavanja pomoću jedinične trigonometrijske kružnice (trigonometrijske kružnice) primjenjive samo u prvim fazama proučavanja dijela trigonometrije. “Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.” Mislim da ćete se sjetiti da ste prvo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavali pomoću grafova ili kružnice. Međutim, sada vam ne bi palo na pamet rješavati trigonometrijske jednadžbe na ovaj način. Kako ih rješavate? Tako je, prema formulama. Dakle, trigonometrijske nejednadžbe treba rješavati pomoću formula, posebno tijekom testiranja, kada svaka minuta je dragocjena. Dakle, riješite tri nejednadžbe ove lekcije koristeći odgovarajuću formulu.
Ako sint>a, gdje je -1≤ a≤1, dakle arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nêZ.
Naučite formule!
I za kraj: jeste li znali da su matematika definicije, pravila i FORMULE?!
Naravno da jesi! A najznatiželjniji, nakon što su proučili ovaj članak i pogledali video, uzviknuli su: “Kako dugo i teško! Postoji li formula koja vam omogućuje rješavanje takvih nejednakosti bez ikakvih grafikona ili krugova?” Da, naravno da postoji!
ZA RJEŠAVANJE NEJEDNAČBI OBLIKA: grijeh (-1≤A≤1) vrijedi formula:
— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Primijenite ga na razmatrane primjere i dobit ćete odgovor mnogo brže!
Zaključak: NAUČITE FORMULE, PRIJATELJI!
Stranica 1 od 1 1