Mnogi od nas susreli su se s nerazumljivim pojmovima u raznim znanostima. Ali malo je ljudi koje nerazumljive riječi ne plaše, već ih, naprotiv, potiču i tjeraju da dublje uđu u predmet koji proučavaju. Danas ćemo govoriti o takvoj stvari kao što je interpolacija. Ovo je metoda konstruiranja grafova pomoću poznatih točaka, koja omogućuje, uz minimalnu količinu informacija o funkciji, predviđanje njenog ponašanja na određenim dijelovima krivulje.

Prije nego što prijeđemo na suštinu same definicije i detaljnije govorimo o njoj, zaronimo malo dublje u povijest.

Priča

Interpolacija je poznata od davnina. Međutim, ovaj fenomen svoj razvoj duguje nekolicini najistaknutijih matematičara prošlosti: Newtonu, Leibnizu i Gregoryju. Upravo su oni razvili ovaj koncept koristeći naprednije matematičke tehnike dostupne u to vrijeme. Prije toga se interpolacija, naravno, primjenjivala i koristila u izračunima, ali su to radili na potpuno netočne načine koji su zahtijevali velika količina podatke za izgradnju modela više ili manje bliskog stvarnosti.

Danas čak možemo izabrati koja je metoda interpolacije prikladnija. Sve je prevedeno u računalni jezik, koji s velikom točnošću može predvidjeti ponašanje funkcije u određenom području ograničenom poznatim točkama.

Interpolacija je prilično uzak pojam, pa njezina povijest nije toliko bogata činjenicama. U sljedećem odjeljku otkrit ćemo što je zapravo interpolacija i kako se razlikuje od svoje suprotnosti - ekstrapolacije.

Što je interpolacija?

Kao što smo već rekli, ovo je opći naziv za metode koje vam omogućuju da izgradite grafikon po točkama. U školi se to uglavnom radi sastavljanjem tablice, identificiranjem točaka na grafikonu i grubim crtanjem linija koje ih povezuju. Zadnja akcija radi se na temelju razmatranja sličnosti funkcije koja se proučava s ostalima, čiji nam je tip grafova poznat.

Međutim, postoje i drugi, složeniji i točniji načini da se izvrši zadatak iscrtavanja grafa od točke do točke. Dakle, interpolacija je zapravo “predviđanje” ponašanja funkcije u određenom području ograničenom poznatim točkama.

Postoji sličan koncept povezan s istim područjem - ekstrapolacija. Također predstavlja predviđanje grafa funkcije, ali izvan poznatih točaka grafa. Ovom se metodom predviđanje temelji na ponašanju funkcije u poznatom intervalu, a zatim se ta funkcija primjenjuje na nepoznati interval. Ova metoda je vrlo prikladna za praktična aplikacija a aktivno se koristi, primjerice, u ekonomiji za predviđanje uspona i padova na tržištu te za predviđanje demografske situacije u zemlji.

No, udaljili smo se od glavne teme. U sljedećem odjeljku otkrit ćemo što se interpolacija događa i koje se formule mogu koristiti za izvođenje ove operacije.

Vrste interpolacije

Najviše jednostavan pogled je interpolacija korištenjem metode najbližeg susjeda. Koristeći ovu metodu, dobivamo vrlo grubi grafikon koji se sastoji od pravokutnika. Ako ste ikada vidjeli objašnjenje geometrijskog značenja integrala na grafu, shvatit ćete o kakvom grafičkom obliku govorimo.

Osim toga, postoje i druge metode interpolacije. Najpoznatiji i najpopularniji povezani su s polinomima. Oni su točniji i omogućuju vam predviđanje ponašanja funkcije s prilično oskudnim skupom vrijednosti. Prva metoda interpolacije koju ćemo pogledati je linearna polinomska interpolacija. Ovo je najjednostavnija metoda u ovoj kategoriji i vjerojatno ju je svatko od vas koristio u školi. Njegova suština je konstruirati ravne linije između poznatih točaka. Kao što znate, jedna ravna linija prolazi kroz dvije točke na ravnini, čija se jednadžba može pronaći na temelju koordinata tih točaka. Konstruirajući ove ravne linije, dobivamo slomljeni grafikon, koji, u najmanju ruku, odražava približne vrijednosti funkcija i općenito se podudara sa stvarnošću. Tako se provodi linearna interpolacija.

Napredne vrste interpolacije

Ima jedan zanimljiviji, ali u isto vrijeme i više teži način interpolacija. Izumio ga je francuski matematičar Joseph Louis Lagrange. Zato je izračun interpolacije ovom metodom nazvan po njoj: interpolacija Lagrangeovom metodom. Ovdje je trik sljedeći: ako metoda navedena u prethodnom odlomku koristi samo linearnu funkciju za izračun, tada proširenje Lagrangeovom metodom također uključuje korištenje polinoma više visoki stupnjevi. Ali nije lako pronaći same interpolacijske formule za različite funkcije. I što je više točaka poznato, točnija je interpolacijska formula. Ali postoje mnoge druge metode.

Postoji naprednija metoda izračuna koja je bliža stvarnosti. Interpolacijska formula koja se u njoj koristi je skup polinoma, od kojih primjena svakog ovisi o dijelu funkcije. Ova metoda se naziva spline funkcija. Osim toga, postoje i načini da se napravi nešto poput interpolacije funkcija dviju varijabli. Postoje samo dvije metode. Među njima su bilinearna ili dvostruka interpolacija. Ova metoda vam omogućuje da jednostavno izgradite grafikon pomoću točaka u trodimenzionalnom prostoru. Nećemo dirati druge metode. Općenito, interpolacija je univerzalni naziv za sve te metode konstruiranja grafova, ali raznolikost načina na koje se ta radnja može izvesti tjera nas da ih podijelimo u skupine ovisno o vrsti funkcije koja je predmet ove akcije. Odnosno, interpolacija, čiji smo primjer pogledali gore, odnosi se na izravne metode. Postoji i inverzna interpolacija, koja se razlikuje po tome što vam omogućuje izračunavanje ne izravne, već inverzne funkcije (to jest, x iz y). Nećemo razmatrati potonju opciju, jer je prilično komplicirana i zahtijeva dobru bazu matematičkog znanja.

Prijeđimo na možda jedan od najvažnijih odjeljaka. Iz nje saznajemo kako i gdje se skup metoda o kojima raspravljamo primjenjuje u životu.

Primjena

Matematika je, kao što znamo, kraljica znanosti. Stoga, čak i ako isprva ne vidite smisao u određenim operacijama, to ne znači da su beskorisne. Na primjer, čini se da je interpolacija beskorisna stvar, uz pomoć koje se mogu graditi samo grafikoni, koji sada malo kome trebaju. Međutim, za bilo kakve izračune u tehnologiji, fizici i mnogim drugim znanostima (na primjer, biologiji), iznimno je važno predstaviti prilično cjelovitu sliku fenomena, a pritom imati određeni skup vrijednosti. Same vrijednosti, razbacane po grafikonu, ne daju uvijek jasnu ideju o ponašanju funkcije u određenom području, vrijednostima njezinih derivata i točkama sjecišta s osi. A to je vrlo važno za mnoga područja našeg života.

Kako će to biti korisno u životu?

Na ovakvo pitanje može biti vrlo teško odgovoriti. Ali odgovor je jednostavan: nema šanse. Ovo znanje vam neće biti od koristi. Ali ako razumijete ovaj materijal i metode kojima se te radnje izvode, trenirat ćete svoju logiku, što će vam biti vrlo korisno u životu. Glavna stvar nije samo znanje, već vještine koje osoba stječe u procesu studiranja. Ne postoji uzalud izreka: "Živi zauvijek, uči zauvijek."

Povezani pojmovi

Sami možete shvatiti koliko je ovo područje matematike bilo (i još uvijek jest) važno ako pogledate niz drugih koncepata povezanih s njim. Već smo govorili o ekstrapolaciji, ali postoji i aproksimacija. Možda ste već čuli ovu riječ. U svakom slučaju, također smo razgovarali o tome što to znači u ovom članku. Aproksimacija, kao i interpolacija, pojmovi su povezani s konstrukcijom grafova funkcija. Ali razlika između prvog i drugog je u tome što je to aproksimativna konstrukcija grafa na temelju sličnih poznatih grafova. Ova su dva pojma vrlo slična jedan drugome, što čini još zanimljivijim proučavati svaki od njih.

Zaključak

Matematika nije tako komplicirana znanost kako se na prvi pogled čini. Prilično je zanimljiva. I u ovom članku pokušali smo vam to dokazati. Pogledali smo pojmove vezane uz iscrtavanje, naučili što je dvostruka interpolacija i pogledali primjere gdje se koristi.

Ovo je poglavlje iz knjige Billa Jelena.

Izazov: Neki problemi inženjerskog dizajna zahtijevaju korištenje tablica za izračunavanje vrijednosti parametara. Budući da su tablice diskretne, dizajner koristi linearnu interpolaciju za dobivanje srednje vrijednosti parametra. Tablica (slika 1) uključuje visinu iznad tla (kontrolni parametar) i brzinu vjetra (izračunati parametar). Na primjer, ako trebate pronaći brzinu vjetra koja odgovara visini od 47 metara, tada biste trebali primijeniti formulu: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/s.

Preuzmite bilješku u ili formatu, primjere u formatu

Što ako postoje dva kontrolna parametra? Je li moguće izvesti izračune pomoću jedne formule? Tablica (slika 2) prikazuje vrijednosti tlaka vjetra za različite visine i raspone konstrukcija. Potrebno je izračunati tlak vjetra na visini od 25 metara i rasponu od 300 metara.

Rješenje: Problem rješavamo proširenjem metode korištene za slučaj s jednim kontrolnim parametrom. Prati ove korake:

Počnite s tablicom prikazanom na sl. 2. Dodajte izvorne ćelije za visinu i raspon u J1 odnosno J2 (Slika 3).

Riža. 3. Formule u ćelijama J3:J17 objašnjavaju rad megaformule

Radi lakšeg korištenja formula, definirajte imena (slika 4).

Promatrajte kako formula radi pomicanjem uzastopno od ćelije J3 do ćelije J17.

Upotrijebite obrnutu sekvencijalnu zamjenu za konstruiranje megaformule. Kopirajte tekst formule iz ćelije J17 u J19. Zamijenite referencu na J15 u formuli s vrijednošću u ćeliji J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. I tako dalje. Rezultat je formula koja se sastoji od 984 znaka, koja se ne mogu percipirati u ovom obliku. Možete ga pogledati u priloženoj Excel datoteci. Nisam siguran da je ova vrsta megaformule korisna za korištenje.

Sažetak: Linearna interpolacija koristi se za dobivanje srednje vrijednosti parametra ako su tablične vrijednosti navedene samo za granice raspona; Predložena je metoda izračuna koja koristi dva kontrolna parametra.

Postoje slučajevi kada trebate znati rezultate proračuna funkcije izvan poznatog područja. Ovo je pitanje posebno važno za postupak predviđanja. U Excelu postoji nekoliko načina na koje možete izvesti ovu operaciju. Pogledajmo ih na konkretnim primjerima.

Metoda 2: Ekstrapolacija za grafikon

Možete izvesti postupak ekstrapolacije za grafikon iscrtavanjem linije trenda.

1. Prije svega, gradimo sam grafikon. Da biste to učinili, pomoću pokazivača dok držite pritisnutu lijevu tipku miša odaberite cijelo područje tablice, uključujući argumente i odgovarajuće vrijednosti funkcije. Zatim prelazak na karticu "Umetnuti", kliknite na gumb "Raspored". Ova se ikona nalazi u bloku "Dijagrami" na pojasu za alat. Pojavljuje se popis dostupne opcije grafovi. Odabiremo najprikladniji prema vlastitom nahođenju.



2. Nakon što je graf konstruiran, uklonite dodatnu liniju argumenta s njega odabirom i klikom na gumb Izbrisati na tipkovnici računala.



3. Zatim moramo promijeniti podjele vodoravne ljestvice, jer ne prikazuje vrijednosti argumenata koliko nam je potrebno. Da biste to učinili, desnom tipkom miša kliknite dijagram i na popisu koji se pojavi odaberite vrijednost "Odaberi podatke".



4. U prozoru za odabir izvora podataka koji se otvori kliknite na gumb "Promijeniti" u bloku za uređivanje oznaka vodoravne osi.



5. Otvara se prozor za postavljanje signature osi. Postavite kursor u polje ovog prozora, a zatim odaberite sve podatke u stupcu "X" bez svog imena. Zatim kliknite na gumb "U REDU".



6. Nakon povratka u prozor za odabir izvora podataka ponavljamo isti postupak, odnosno kliknemo na gumb "U REDU".



7. Sada je naš grafikon pripremljen i možemo izravno početi graditi liniju trenda. Kliknite na grafikon, nakon čega će se aktivirati dodatni skup kartica na vrpci - "Rad s dijagramima". Prelazak na karticu "Izgled" i pritisnite tipku "Linija trenda" u bloku "Analiza". Kliknite na stavku "Linearna aproksimacija" ili "Eksponencijalna aproksimacija".



8. Linija trenda je dodana, ali je potpuno ispod linije samog grafa, budući da nismo specificirali vrijednost argumenta kojoj treba težiti. Da biste to učinili, ponovno kliknite na gumb. "Linija trenda", ali sada odaberite stavku "Napredne opcije linije trenda".



9. Otvara se prozor formata linije trenda. U poglavlju "Opcije linije trenda" postoji blok postavki "Prognoza". Kao iu prethodnoj metodi, uzmimo argument za ekstrapolaciju 55 . Kao što vidimo, do sada graf ima duljinu do argumenta 50 uključivo. Ispostavilo se da ćemo ga morati produžiti za još jednog 5 jedinice. Na vodoravnoj osi možete vidjeti da je 5 jedinica jednako jednom dijeljenju. Dakle, ovo je jedno razdoblje. U polju "Naprijed dalje" unesite vrijednost "1". Kliknite na gumb "Zatvoriti" u donjem desnom kutu prozora.



10. Kao što vidite, grafikon je produžen za navedenu duljinu pomoću linije trenda.

Dakle, pogledali smo najjednostavnije primjere ekstrapolacije za tablice i grafikone. U prvom slučaju koristi se funkcija PREDVIĐANJE, au drugom - linija trenda. Ali na temelju ovih primjera mogu se riješiti mnogo složeniji problemi predviđanja.

Postoji situacija kada u nizu poznate vrijednosti moramo pronaći međurezultate. U matematici se to zove interpolacija. U Excelu ovu metodu može se koristiti i za tablične podatke i za izradu grafikona. Pogledajmo svaku od ovih metoda.

Glavni uvjet pod kojim se interpolacija može koristiti je da željena vrijednost mora biti unutar podatkovnog polja, a ne izvan njegovog ograničenja. Na primjer, ako imamo skup argumenata 15, 21 i 29, tada možemo koristiti interpolaciju da pronađemo funkciju za argument 25. Ali više ne postoji način da se pronađe odgovarajuća vrijednost za argument 30. Ovo je glavna razlika između ovog postupka i ekstrapolacije.

Metoda 1: Interpolacija za tablične podatke

Prije svega, pogledajmo primjene interpolacije za podatke koji se nalaze u tablici. Na primjer, uzmimo niz argumenata i njihovih odgovarajućih funkcijskih vrijednosti, čiji se odnos može opisati linearnom jednadžbom. Ovi podaci prikazani su u donjoj tablici. Moramo pronaći odgovarajuću funkciju za argument 28 . Najlakši način da to učinite je pomoću operatora PREDVIĐANJE.

Metoda 2: Interpolirajte grafikon pomoću njegovih postavki

Postupak interpolacije također se može koristiti kod konstruiranja grafova funkcija. Relevantno je ako tablica na kojoj se temelji grafikon ne pokazuje odgovarajuću vrijednost funkcije za jedan od argumenata, kao na slici ispod.

Kao što vidite, grafikon je ispravljen, a praznina je uklonjena pomoću interpolacije.

Metoda 3: Interpolirajte grafikon pomoću funkcije

Također možete interpolirati grafikon pomoću posebne funkcije ND. Vraća nedefinirane vrijednosti u navedenoj ćeliji.

Možete to učiniti još lakše bez trčanja Čarobnjak za funkcije, i samo pomoću tipkovnice unesite vrijednost u praznu ćeliju "#N/A" bez navodnika. Ali ovisi što je kom korisniku zgodnije.

Kao što vidite, u Excelu možete interpolirati kao tablične podatke pomoću funkcije PREDVIĐANJE, i grafika. U potonjem slučaju, to se može učiniti pomoću postavki grafikona ili pomoću funkcije ND uzrokujući grešku "#N/A". Izbor metode koja će se koristiti ovisi o postavci problema, kao io osobnim preferencijama korisnika.

Interpolacija. Uvod. Opća izjava problema

Pri rješavanju različitih praktičnih problema rezultati istraživanja prikazuju se u obliku tablica koje prikazuju ovisnost jedne ili više mjerenih veličina o jednom određujućem parametru (argumentu). Ovakve tablice obično se prikazuju u obliku dva ili više redaka (stupaca) i koriste se za oblikovanje matematičkih modela.

Funkcije navedene u matematičkim modelima obično se pišu u tablicama oblika:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Ograničene informacije koje pružaju takve tablice u nekim slučajevima zahtijevaju dobivanje vrijednosti funkcija Y j (X) (j=1,2,…,m) u točkama X koje se ne podudaraju s nodalnim točkama tablice X i (i=0,1,2,… ,n) . U takvim slučajevima potrebno je odrediti neki analitički izraz φ j (X) za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije koja se proučava Y j (X) u proizvoljno određenim točkama X. Funkcija φ j (X) koja se koristi za određivanje približnih vrijednosti funkcije Y j (X) naziva se aproksimirajuća funkcija (od latinskog approximo - približavanje). Blizina aproksimirajuće funkcije φ j (X) aproksimiranoj funkciji Y j (X) osigurava se odabirom odgovarajućeg aproksimacijskog algoritma.

Sva daljnja razmatranja i zaključke ćemo donijeti za tablice koje sadrže početne podatke jedne funkcije koja se proučava (tj. za tablice s m=1).

1. Metode interpolacije

1.1 Postavka problema interpolacije

Najčešće se za određivanje funkcije φ(X) koristi formulacija koja se naziva formulacija problema interpolacije.

U ovoj klasičnoj formulaciji problema interpolacije potrebno je odrediti približnu analitičku funkciju φ(X), čije su vrijednosti u čvornim točkama X i odgovaraju vrijednostima Y(H i ) izvorne tablice, tj. Uvjeti

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n)

Ovako konstruirana aproksimirajuća funkcija φ(X) omogućuje dobivanje prilično bliske aproksimacije interpolirane funkcije Y(X) unutar raspona vrijednosti argumenta [X 0 ; X n ], određeno tablicom. Prilikom određivanja vrijednosti argumenta X, ne pripadajući ovom intervalu, problem interpolacije pretvara se u problem ekstrapolacije. U tim slučajevima, točnost

vrijednosti dobivene prilikom izračunavanja vrijednosti funkcije φ(X) ovise o udaljenosti vrijednosti argumenta X od X 0, ako je X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

U matematičkom modeliranju, interpolirajuća funkcija može se koristiti za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije koja se proučava u srednjim točkama podintervala [H i ; X i+1]. Ovaj postupak se zove zbijanje stola.

Algoritam interpolacije određen je metodom izračunavanja vrijednosti funkcije φ(X). Najjednostavnija i najočitija opcija za implementaciju interpolacijske funkcije je zamjena funkcije koja se proučava Y(X) na intervalu [X i ; X i+1 ] ravnom linijom koja spaja točke Y i , Y i+1 . Ova metoda se naziva metoda linearne interpolacije.

1.2 Linearna interpolacija

S linearnom interpolacijom, vrijednost funkcije u točki X, koja se nalazi između čvorova X i i X i+1, određena je formulom ravne linije koja povezuje dvije susjedne točke tablice.

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	X i+ 1− X i

Na sl. Na slici 1 prikazan je primjer tablice dobivene kao rezultat mjerenja određene veličine Y(X). Redci izvorne tablice su istaknuti. Desno od tablice nalazi se dijagram raspršenosti koji odgovara ovoj tablici. Tablica je sabijena pomoću formule

(3) vrijednosti aproksimirane funkcije u točkama X koje odgovaraju srednjim točkama podintervala (i=0, 1, 2, …, n).

Sl. 1. Sažeta tablica funkcije Y(X) i njezin odgovarajući dijagram

Kada se razmatra graf na Sl. 1 može se vidjeti da točke dobivene kao rezultat zbijanja tablice metodom linearne interpolacije leže na ravnim segmentima koji povezuju točke izvorne tablice. Linearna točnost

interpolacije, značajno ovisi o prirodi interpolirane funkcije i o udaljenosti između čvorova tablice X i, , X i+1.

Očito, ako je funkcija glatka, onda, čak i s relativno velika udaljenost između čvorova, graf konstruiran povezivanjem točaka s ravnim segmentima omogućuje prilično točnu procjenu prirode funkcije Y(X). Ako se funkcija mijenja dosta brzo, a udaljenosti između čvorova su velike, tada funkcija linearne interpolacije ne dopušta dobivanje dovoljno točne aproksimacije stvarne funkcije.

Funkcija linearne interpolacije može se koristiti za opću preliminarnu analizu i ocjenu točnosti rezultata interpolacije, koji se zatim dobivaju drugim preciznijim metodama. Ova procjena postaje posebno relevantna u slučajevima kada se izračuni izvode ručno.

1.3 Interpolacija kanonskim polinomom

Metoda interpolacije funkcije kanonskim polinomom temelji se na konstruiranju interpolacijske funkcije kao polinoma u obliku [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn

Koeficijenti c i polinoma (4) su slobodni interpolacijski parametri, koji se određuju iz Lagrangeovih uvjeta:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Pomoću (4) i (5) zapisujemo sustav jednadžbi

	C x+ c x2				C xn = Y
	C x+ c x2				C xn
			C x2			C xn = Y

Vektor rješenja s i (i = 0, 1, 2, …, n) sustava linearnih algebarskih jednadžbi (6) postoji i može se pronaći ako među i nema podudarnih čvorova. Determinanta sustava (6) naziva se Vandermondeova determinanta1 i ima analitički izraz [2].

1 Vandermondeova odrednica naziva determinanta

Jednak je nuli ako i samo ako je xi = xj za neke. (Materijal iz Wikipedije - slobodne enciklopedije)

Za određivanje vrijednosti koeficijenata s i (i = 0, 1, 2, … , n)

jednadžbe (5) mogu se napisati u vektorsko-matričnom obliku

A* C= Y,

gdje je A, matrica koeficijenata određena tablicom stupnjeva vektora argumenata X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C je vektor stupac koeficijenata i (i = 0, 1, 2, … , n), a Y je vektor stupac vrijednosti Y i (i = 0, 1, 2, … , n) interpoliranih funkcija u interpolacijskim čvorovima.

Rješenje ovog sustava linearnih algebarskih jednadžbi može se dobiti pomoću jedne od metoda opisanih u [3]. Na primjer, prema formuli

C = A− 1 Y,

gdje je A -1 inverzna matrica matrice A. Da biste dobili inverznu matricu A -1, možete koristiti funkciju MOBR(), koja je uključena u skup standardnih funkcija programa Microsoft Excel.

Nakon što se pomoću funkcije (4) odrede vrijednosti koeficijenata s i, vrijednosti interpolirane funkcije mogu se izračunati za bilo koju vrijednost argumenata.

Napišimo matricu A za tablicu prikazanu na slici 1, ne uzimajući u obzir retke koji sažimaju tablicu.

Slika 2. Matrica sustava jednadžbi za izračun koeficijenata kanoničkog polinoma

Pomoću funkcije MOBR() dobivamo matricu A -1 inverznu matrici A (slika 3). Nakon čega prema formuli (9) dobivamo vektor koeficijenata C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T prikazan na sl. 4.

Za izračun vrijednosti kanonskog polinoma u ćeliji Y kanonskog stupca koji odgovara vrijednostima x 0, uvodimo formulu pretvorenu u sljedeći oblik, koja odgovara nultom redu sustava (6)

=((((c 5	* x 0 +c 4 )*x 0 +c 3 )*x 0 +c 2 )*x 0 +c 1 )*x 0 +c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Umjesto pisanja " c i " u formuli unesenoj u ćeliju Excel tablice, trebala bi postojati apsolutna poveznica na odgovarajuću ćeliju koja sadrži ovaj koeficijent (vidi sliku 4). Umjesto "x 0" - relativna referenca na ćeliju u stupcu X (vidi sl. 5).

Y kanonski(0) vrijednosti koja odgovara vrijednosti u ćeliji Ylin(0) . Prilikom rastezanja formule zapisane u ćeliju Y canonical (0), vrijednosti Y canonical (i) koje odgovaraju čvornim točkama izvornika također se moraju podudarati

tablice (vidi sl. 5).

Riža. 5. Dijagrami izgrađeni pomoću linearnih i kanoničkih interpolacijskih tablica

Uspoređujući grafove funkcija konstruiranih iz tablica izračunatih linearnom i kanoničkom interpolacijskom formulom, vidimo u određenom broju međučvorova značajno odstupanje vrijednosti dobivenih linearnom i kanoničkom interpolacijskom formulom. Razumnija prosudba o točnosti interpolacije može se temeljiti na dobivanju dodatne informacije o prirodi modeliranog procesa.