Derivacija implicitno navedene funkcije.
Derivacija parametarski definirane funkcije

U ovom ćemo članku pogledati još dva tipična zadatka koja se često nalaze u testovi u višoj matematici. Da biste uspješno svladali gradivo, morate znati pronaći izvedenice barem na srednjoj razini. Možete naučiti pronaći izvedenice praktički od nule u dvoje osnovne lekcije I Derivacija složene funkcije. Ako su tvoje vještine razlikovanja u redu, onda idemo.

Derivacija implicitno navedene funkcije

Ili, ukratko, izvod implicitne funkcije. Što je implicitna funkcija? Prvo se prisjetimo same definicije funkcije jedne varijable:

Funkcija jedne varijable je pravilo prema kojem svakoj vrijednosti nezavisne varijable odgovara jedna i samo jedna vrijednost funkcije.

Varijabla se zove neovisna varijabla ili argument.
Varijabla se zove zavisna varijabla ili funkcija .

Do sada smo gledali funkcije definirane u eksplicitan oblik. Što to znači? Provedimo debriefing koristeći konkretne primjere.

Razmotrite funkciju

Vidimo da s lijeve strane imamo usamljenog "igrača", a s desne - samo "X". Odnosno funkcija eksplicitno izražen kroz nezavisnu varijablu.

Pogledajmo još jednu funkciju:

Ovdje su varijable pomiješane. Štoviše nikako nemoguće izražavati “Y” samo kroz “X”. Koje su to metode? Prenošenje članova iz dijela u dio s promjenom predznaka, premještanje iz zagrade, bacanje faktora prema pravilu proporcije itd. Prepišite jednakost i pokušajte eksplicitno izraziti “y”: . Možete vrtjeti i vrtjeti jednadžbu satima, ali nećete uspjeti.

Dopustite da vam predstavim: – primjer implicitna funkcija.

Tijekom matematičke analize dokazano je da implicitna funkcija postoji(međutim, ne uvijek), ima grafikon (baš kao "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je potpuno ista postoji prvi izvod, drugi izvod itd. Kako kažu, poštuju se sva prava seksualnih manjina.

U ovoj lekciji naučit ćemo kako pronaći derivaciju implicitno navedene funkcije. Nije to tako teško! Sva pravila diferenciranja i tablica derivacija elementarnih funkcija ostaju na snazi. Razlika je u jednom osebujnom trenutku, koji ćemo sada pogledati.

Da, javit ću ti dobre vijesti– zadaci o kojima se govori u nastavku izvode se prema prilično strogom i jasnom algoritmu bez kamena ispred tri staze.

Primjer 1

1) U prvoj fazi pričvršćujemo poteze na oba dijela:

2) Koristimo pravila linearnosti derivacije (prva dva pravila lekcije Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja):

3) Izravna diferencijacija.
Kako razlikovati potpuno je jasno. Što učiniti tamo gdje su "igre" ispod udaraca?

- samo do sramote, derivacija funkcije jednaka je njezinoj derivaciji: .

Kako razlikovati
Evo imamo složena funkcija. Zašto? Čini se da ispod sinusa postoji samo jedno slovo "Y". Ali činjenica je da postoji samo jedno slovo "y" - SAM JE FUNKCIJA(vidi definiciju na početku lekcije). Dakle, sinus je vanjska funkcija i unutarnja je funkcija. Koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije :

Proizvode razlikujemo po uobičajeno pravilo :

Imajte na umu da je – također složena funkcija, svaka "igra na zvona i zviždaljke" složena je funkcija:

Samo rješenje bi trebalo izgledati otprilike ovako:


Ako postoje zagrade, proširite ih:

4) Na lijevoj strani skupljamo članove koji sadrže "Y" s primenom. Pomaknite sve ostalo na desnu stranu:

5) Na lijevoj strani izvodimo izvod iz zagrade:

6) I prema pravilu proporcije, ove zagrade stavljamo u nazivnik desne strane:

Izvedenica je pronađena. Spreman.

Zanimljivo je primijetiti da se svaka funkcija može prepisati implicitno. Na primjer, funkcija može se prepisati ovako: . I razlikovati ga pomoću algoritma o kojem smo upravo govorili. Zapravo, fraze "implicitna funkcija" i "implicitna funkcija" razlikuju se u jednoj semantičkoj nijansi. Fraza "implicitno navedena funkcija" je općenitija i točnija, – ova je funkcija navedena implicitno, ali ovdje možete izraziti "igru" i eksplicitno predstaviti funkciju. Izraz "implicitna funkcija" odnosi se na "klasičnu" implicitnu funkciju kada se "y" ne može izraziti.

Drugo rješenje

Pažnja! S drugom metodom možete se upoznati samo ako znate kako pouzdano pronaći parcijalne derivacije. Početnici učiti matematička analiza i čajnike molim nemojte čitati i preskočite ovu točku, inače će vam glava biti potpuni nered.

Pronađimo izvod implicitne funkcije pomoću druge metode.

Sve uvjete prenosimo na lijeva strana:

I razmotrite funkciju dviju varijabli:

Tada se naš izvod može pronaći pomoću formule
Nađimo parcijalne derivacije:

Tako:

Drugo rješenje omogućuje provjeru. No nije preporučljivo da pišu konačnu verziju zadatka, jer se parcijalne derivacije svladavaju kasnije, a student koji uči temu “Derivacija funkcije jedne varijable” još ne bi trebao znati parcijalne derivacije.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Dodajte poteze na oba dijela:

Koristimo pravila linearnosti:

Pronalaženje derivata:

Otvaranje svih zagrada:

Sve članove pomičemo s na lijevu stranu, a ostale na desnu stranu:

Konačan odgovor:

Primjer 3

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno da razlomci nastaju nakon diferencijacije. U takvim slučajevima morate se riješiti razlomaka. Pogledajmo još dva primjera.

Primjer 4

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Oba dijela stavljamo pod crte i koristimo pravilo linearnosti:

Razlikovati pomoću pravila za razlikovanje složene funkcije te pravilo diferenciranja kvocijenata :

Proširivanje zagrada:

Sada se moramo riješiti razlomka. To se može učiniti kasnije, ali je racionalnije to učiniti odmah. Nazivnik razlomka sadrži . Pomnožiti na . Detaljno, to će izgledati ovako:

Ponekad se nakon diferencijacije pojavljuju 2-3 frakcije. Da imamo još jedan razlomak, na primjer, tada bi trebalo ponoviti operaciju - množenje svaki izraz svakog dijela na

Na lijevoj strani stavljamo ga izvan zagrada:

Konačan odgovor:

Primjer 5

Pronađite izvod implicitno zadane funkcije

Ovo je primjer za neovisna odluka. Jedina stvar je da prije nego što se riješite frakcije, prvo ćete se morati riješiti trokatnice same frakcije. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Derivacija parametarski definirane funkcije

Nemojmo naglašavati, sve u ovom paragrafu također je vrlo jednostavno. Možete napisati opću formulu parametarski definirane funkcije, ali, da bi bilo jasno, odmah ću napisati konkretan primjer. U parametarskom obliku funkcija je dana s dvije jednadžbe: . Jednadžbe se često ne pišu u vitičastim zagradama, već u nizu: , .

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačno" do "plus beskonačno". Razmotrimo, na primjer, vrijednost i zamijenimo je u obje jednadžbe: . Ili ljudskim rječnikom rečeno: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Možete označiti točku na koordinatnoj ravnini, a ta će točka odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra "te". Što se tiče "obične" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije također se poštuju sva prava: možete izgraditi graf, pronaći derivacije itd. Usput, ako trebate iscrtati graf parametarski definirane funkcije, možete koristiti moj program.

U najjednostavnijim slučajevima moguće je eksplicitno prikazati funkciju. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe: – i zamijenite ga u drugu jednadžbu: . Rezultat je obična kubna funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne pali. Ali to nije važno, jer postoji formula za pronalaženje derivacije parametarske funkcije:

Nalazimo izvod "igre s obzirom na varijablu te":

Sva pravila razlikovanja i tablica izvedenica vrijede, naravno, za slovo, dakle, nema novosti u procesu pronalaženja izvedenica. Samo mentalno zamijenite sve "X" u tablici slovom "Te".

Pronalazimo izvod od “x u odnosu na varijablu te”:

Sada sve što preostaje je zamijeniti pronađene derivacije u našu formulu:

Spreman. Derivacija, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se notacije tiče, umjesto da se upisuje u formulu, može se jednostavno pisati bez indeksa, budući da je ovo "regularna" derivacija "u odnosu na X". Ali u literaturi uvijek postoji opcija, pa neću odstupiti od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Tako:

Posebnost nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika vjerojatnost da će se prilikom zamjene u formulu mnoge stvari dobro reducirati. Iako, naravno, ima primjera s nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Naći derivaciju funkcije specificirane parametarski

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

U članku Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama pogledali smo primjere u kojima je trebalo pronaći drugu derivaciju funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugu derivaciju, a ona se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očito da da biste pronašli drugu derivaciju, prvo morate pronaći prvu derivaciju.

Primjer 8

Odredite prvu i drugu derivaciju funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvu derivaciju.
Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Pronađene izvode zamijenimo u formulu. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu:

Funkcija se može odrediti na nekoliko načina. Ovisi o pravilu koje se koristi za određivanje. Eksplicitni oblik specificiranja funkcije je y = f (x). Postoje trenuci kada je njegov opis nemoguć ili nezgodan. Ako postoji mnogo parova (x; y) koje treba izračunati za parametar t u intervalu (a; b). Za rješavanje sustava x = 3 cos t y = 3 sin t s 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definicija parametarske funkcije

Odavde imamo da su x = φ (t), y = ψ (t) definirani za vrijednost t ∈ (a; b) i imaju inverznu funkciju t = Θ (x) za x = φ (t), tada govorimo o specificiranju parametarske jednadžbe funkcije oblika y = ψ (Θ (x)) .

Postoje slučajevi kada je za proučavanje funkcije potrebno tražiti derivaciju u odnosu na x. Razmotrimo formulu za derivaciju parametarski definirane funkcije oblika y x " = ψ " (t) φ " (t), govorimo o derivaciji 2. i n-tog reda.

Derivacija formule za derivaciju parametarski definirane funkcije

Imamo da je x = φ (t), y = ψ (t), definirano i diferencijabilno za t ∈ a; b, gdje je x t " = φ " (t) ≠ 0 i x = φ (t), tada postoji inverzna funkcija oblika t = Θ (x).

Za početak, trebali biste prijeći s parametarskog zadatka na eksplicitni. Da biste to učinili, morate dobiti složenu funkciju oblika y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), gdje postoji argument x.

Na temelju pravila za pronalaženje derivacije složene funkcije dobivamo da je y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

To pokazuje da su t = Θ (x) i x = φ (t) inverzne funkcije iz formule inverzne funkcije Θ " (x) = 1 φ " (t), zatim y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Prijeđimo na rješavanje nekoliko primjera pomoću tablice derivacija prema pravilu diferenciranja.

Primjer 1

Odredite izvod za funkciju x = t 2 + 1 y = t.

Riješenje

Po uvjetu imamo da je φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, odavde dobivamo da je φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Morate koristiti izvedenu formulu i napisati odgovor u obliku:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Odgovor: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Kada radite s derivacijom funkcije h, parametar t specificira izraz argumenta x kroz isti parametar t, kako se ne bi izgubila veza između vrijednosti derivacije i parametarski definirane funkcije s argumentom za kojima te vrijednosti odgovaraju.

Da biste odredili derivaciju drugog reda parametarski zadane funkcije, trebate upotrijebiti formulu za derivaciju prvog reda na rezultirajućoj funkciji, tada dobivamo da

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Primjer 2

Odredite izvodnice 2. i 2. reda zadane funkcije x = cos (2 t) y = t 2 .

Riješenje

Po uvjetu nalazimo da je φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Zatim nakon transformacije

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Slijedi da je y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Dobivamo da je oblik derivacije 1. reda x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Za rješavanje morate primijeniti formulu derivacije drugog reda. Dobivamo izraz forme

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Zatim određivanje derivacije 2. reda pomoću parametarske funkcije

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Slično rješenje može se riješiti drugom metodom. Zatim

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Odavde to dobivamo

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Odgovor: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Na sličan način se pronalaze derivacije višeg reda s parametarski definiranim funkcijama.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nemojmo naglašavati, sve u ovom paragrafu također je vrlo jednostavno. Možete napisati opću formulu za parametarski definiranu funkciju, ali da bude jasnije, odmah ću napisati konkretan primjer. U parametarskom obliku funkcija je dana s dvije jednadžbe: . Jednadžbe se često ne pišu u vitičastim zagradama, već u nizu: , .

Varijabla se naziva parametar i može imati vrijednosti od "minus beskonačno" do "plus beskonačno". Razmotrimo, na primjer, vrijednost i zamijenimo je u obje jednadžbe: . Ili ljudskim rječnikom rečeno: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Možete označiti točku na koordinatnoj ravnini, a ta će točka odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra "te". Što se tiče "obične" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije također se poštuju sva prava: možete izgraditi graf, pronaći derivacije itd. Usput, ako trebate iscrtati graf parametarski određene funkcije, preuzmite moj geometrijski program na stranici Matematičke formule i tablice.

U najjednostavnijim slučajevima moguće je eksplicitno prikazati funkciju. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe: – i zamijenite ga u drugu jednadžbu: . Rezultat je obična kubna funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne pali. Ali to nije važno, jer postoji formula za pronalaženje derivacije parametarske funkcije:

Nalazimo izvod "igre s obzirom na varijablu te":

Sva pravila razlikovanja i tablica izvedenica vrijede, naravno, za slovo, dakle, nema novosti u procesu pronalaženja izvedenica. Samo mentalno zamijenite sve "X" u tablici slovom "Te".

Pronalazimo izvod od “x u odnosu na varijablu te”:

Sada sve što preostaje je zamijeniti pronađene derivacije u našu formulu:

Spreman. Derivacija, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se notacije tiče, umjesto da se upisuje u formulu, može se jednostavno pisati bez indeksa, budući da je ovo "regularna" derivacija "u odnosu na X". Ali u literaturi uvijek postoji opcija, pa neću odstupiti od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Tako:

Posebnost nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika vjerojatnost da će se prilikom zamjene u formulu mnoge stvari dobro reducirati. Iako, naravno, ima primjera s nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Naći derivaciju funkcije specificirane parametarski

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

U članku Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama pogledali smo primjere u kojima je trebalo pronaći drugu derivaciju funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugu derivaciju, a ona se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očito da da biste pronašli drugu derivaciju, prvo morate pronaći prvu derivaciju.

Primjer 8

Odredite prvu i drugu derivaciju funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvu derivaciju.
Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Zamjenjuje pronađene izvedenice u formulu. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu:

Primijetio sam da je u problemu nalaženja derivacije parametarske funkcije dosta često u svrhu pojednostavljenja potrebno koristiti trigonometrijske formule . Zapamtite ih ili neka budu pri ruci i ne propustite priliku da pojednostavite svaki međurezultat i odgovore. Za što? Sada moramo uzeti izvod od , a to je očito bolje nego pronaći izvod od .

Nađimo drugu derivaciju.
Koristimo formulu: .

Pogledajmo našu formulu. Nazivnik je već pronađen u prethodnom koraku. Ostaje pronaći brojnik - derivaciju prve derivacije u odnosu na varijablu “te”:

Ostaje koristiti formulu:

Za učvršćivanje gradiva nudim još par primjera koje možete sami riješiti.

Primjer 9

Primjer 10

Pronađite i za parametarski specificiranu funkciju

Želim ti uspjeh!

Nadam se da je ova lekcija bila korisna i da sada možete lako pronaći izvedenice funkcija navedenih implicitno i iz parametarskih funkcija

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje:






Tako:

Formula za derivaciju funkcije specificirane na parametarski način. Dokaz i primjeri primjene ove formule. Primjeri izračuna derivacija prvog, drugog i trećeg reda.

Neka je funkcija specificirana na parametarski način:
(1)
gdje je neka varijabla koja se zove parametar. I neka funkcije imaju derivacije pri određenoj vrijednosti varijable. Štoviše, funkcija ima i inverznu funkciju u određenoj okolini točke. Tada funkcija (1) ima derivaciju u točki, koja je u parametarskom obliku određena formulama:
(2)

Ovdje su i derivacije funkcija i s obzirom na varijablu (parametar). Često se pišu na sljedeći način:
;
.

Tada se sustav (2) može napisati na sljedeći način:

Dokaz

Po uvjetu funkcija ima inverznu funkciju. Označimo to kao
.
Tada se izvorna funkcija može prikazati kao složena funkcija:
.
Nađimo njegovu derivaciju pomoću pravila za razlikovanje kompleksnih i inverznih funkcija:
.

Pravilo je dokazano.

Dokaz na drugi način

Nađimo derivaciju na drugi način, na temelju definicije derivacije funkcije u točki:
.
Uvedimo oznaku:
.
Tada prethodna formula ima oblik:
.

Iskoristimo činjenicu da funkcija ima inverznu funkciju u okolici točke.
Uvedimo sljedeću oznaku:
; ;
; .
Podijelite brojnik i nazivnik razlomka s:
.
U , . Zatim
.

Pravilo je dokazano.

Izvodnice višeg reda

Da bi se našle derivacije viših redova, potrebno je više puta izvršiti diferenciranje. Recimo da trebamo pronaći izvod drugog reda funkcije definirane parametarski, sljedećeg oblika:
(1)

Pomoću formule (2) nalazimo prvu derivaciju, koja je također određena parametarski:
(2)

Označimo prvu derivaciju varijablom:
.
Zatim, da biste pronašli drugu derivaciju funkcije s obzirom na varijablu, trebate pronaći prvu derivaciju funkcije s obzirom na varijablu. Ovisnost varijable o varijabli također je navedena na parametarski način:
(3)
Uspoređujući (3) s formulama (1) i (2), nalazimo:

Sada izrazimo rezultat kroz funkcije i . Da bismo to učinili, zamijenimo i primijenimo formulu izvedenog razlomka:
.
Zatim
.

Odavde dobivamo drugu derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:

Također je dan u parametarskom obliku. Imajte na umu da se prvi red može napisati i na sljedeći način:
.

Nastavljajući proces, možete dobiti izvode funkcija iz varijable trećeg i višeg reda.

Imajte na umu da ne moramo uvoditi oznaku za derivat. Možete to napisati ovako:
;
.

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije definirane parametarski:

Riješenje

Nalazimo izvodnice u odnosu na .
Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Primjenjujemo:

.
ovdje .

.
ovdje .

Traženi izvod:
.

Odgovor

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije izraženu kroz parametar:

Riješenje

Proširimo zagrade koristeći formule za funkcije snage i korijene:
.

Pronalaženje derivata:

.

Pronalaženje izvoda. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu i primjenjujemo formulu za derivaciju složene funkcije.

.

Nalazimo željenu derivaciju:
.

Odgovor

Primjer 3

Pronađite derivaciju drugog i trećeg reda funkcije definirane parametrijski u primjeru 1:

Riješenje

U primjeru 1 pronašli smo izvod prvog reda:

Uvedimo oznaku. Tada je funkcija derivirana u odnosu na . Parametarski je navedeno:

Da bismo pronašli drugu derivaciju u odnosu na , trebamo pronaći prvu derivaciju u odnosu na .

Razlikujmo po.
.
Pronašli smo derivat u primjeru 1:
.
Derivacija drugog reda u odnosu na jednaka je derivaciji prvog reda u odnosu na:
.

Dakle, pronašli smo izvod drugog reda u odnosu na parametarski oblik:

Sada nalazimo izvod trećeg reda. Uvedimo oznaku. Zatim trebamo pronaći izvod prvog reda funkcije, koji je specificiran na parametarski način:

Pronađite derivaciju u odnosu na . Da bismo to učinili, prepisujemo ga u ekvivalentnom obliku:
.
Iz

.

Derivacija trećeg reda u odnosu na jednaka je derivaciji prvog reda u odnosu na:
.

Komentar

Ne morate unijeti varijable i , koje su izvedene od i , respektivno. Onda to možete napisati ovako:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Odgovor

U parametarskoj reprezentaciji, derivacija drugog reda ima sljedeći oblik:

Izvod trećeg reda: