Detaljno rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Trigonometrijske jednadžbe

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

MBOU "Mordovsko-Paevskaya secondary school" okruga Insarsky, Republika Moldavija

Izvršila: Pantilejkina Nadežda,

Učenik 11. razreda

Voditelj: Kadyshkina N.V.,

profesorica matematike

Sadržaj

Uvod……………………………………………………………………………………….

Poglavlje I. O trigonometrijskim jednadžbama…………………………………..…5

1) Osnovne vrste trigonometrijskih jednadžbi i metode za njihovo rješavanje:

1. Jednadžbe svedene na najjednostavnije. …………………………………..5

2. Jednadžbe koje se svode na kvadratne……………………………….5

3. Homogene jednadžbe acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Jednadžbe oblika acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7

5. Jednadžbe rješavane faktorizacijom……………………….7

6. Nestandardne jednadžbe………………………………………………….8

poglavlje II. Osnovni pojmovi i formule trigonometrije…………………….8-10

poglavlje II ja Jednadžbe predložene na Jedinstveni državni ispiti prošlosti godina…………………10-14

Zaključak…………………………………………………………………………………….14

Dodatak………………………………………………………..……………………….15-17

Književnost…………………………………………………………………………………………..18

Uvod

“Jedini put koji vodi do znanja je aktivnost...”

Bernard Show

Relevantnost rada.

Za nekoliko mjeseci završavam školu.

Tako da nema problema s daljnjim izborom životni put, potrebno dobiti školsku svjedodžbu, a za stjecanje školske svjedodžbe morate položiti dva obvezna ispita u obliku Jedinstvenog državnog ispita - i to jedan od njihmatematika. Što reći, završni ispiti ključno su razdoblje u životu svakog učenika, o kojem ovisi ne samo konačna ocjena u svjedodžbi, već i njegova profesionalna budućnost, prihod i karijera.

Jedinstveni državni ispit važan je test prije prelaska novi život i upis na sveučilište ili fakultet. Posebno je važno položiti ga s dobrim ocjenama.Jedinstveni državni ispit iz matematike ozbiljan je test i bez dobre osnove učenik neće moći tražiti pristojan rezultat.

Kako izbjeći pad na ispitu i dobiti dobre rezultate? Za to je potrebno dobro riješiti zadatke. Ne tvrdim da imam maksimalan broj bodova, ali se marljivo pripremam. I primijetio sam da čak i kod prvog zadatka dijela C, naime kod rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i njihovih sustava, griješim.Na prvi pogled, problem C1 je relativno jednostavna jednadžba ili sustav jednadžbi koji može sadržavati trigonometrijske funkcije,Jedan od glavnih pristupa njihovom rješavanju je njihovo sekvencijalno pojednostavljivanje kako bi se sveli na jedan ili nekoliko najjednostavnijih.Pa zašto sam u krivu?

Relevantnost teme određena je činjenicom da učenici moraju razumjeti određene metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Stoga sam sebi postavio sljedećecilj:

Usustaviti i proširiti znanja i vještine vezane uz korištenje metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Predmet proučavanja je proučavanje trigonometrijskih jednadžbi u zadacima Jedinstvenog državnog ispita.

Predmet proučavanja- je rješenje trigonometrijskih jednadžbi

Tako, Glavni cilj pišući ovo predmetni rad je proučavanje trigonometrijskih jednadžbi i njihovih sustava, metode njihova rješavanja.

U skladu s ciljevima, objektom i predmetom studija definiraju se: zadaci:

1). Proučite sve ponuđene zadatke vezane uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi na Jedinstveni državni ispit radi prethodnih godina i prilikom obavljanja dijagnostičkog rada;

2) Proučiti metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

3). Identificirati glavne moguće pogreške pri rješavanju takvih jednadžbi;

4). Saznajte razloge za takve pogreške.

6). Donesite zaključke.

U radu ću riješiti nekoliko trigonometrijskih jednadžbi, prikazati moguće pogreške u rješavanju istih te pokušati odgovoriti na sljedeće pitanja:

1). Je li moguće izbjeći pogreške pri izvođenju zadataka tipa C1?

2) Ako vježbam rješavanje jednadžbi ove vrste, onda mogu

Je li moguće izvršiti takve zadatke bez grešaka?

U tu svrhu proučio sam sve pokazne i trenažne zadatke koji su se kod nas izvodili, Materijali za jedinstveni državni ispit prethodnih godina;

proučeni referentni izvori;

samostalno rješavati zadatke s interneta;

konzultirala se s učiteljicom u slučaju poteškoća;

Naučila sam analizirati i pravilno oblikovati rezultate.

Poglavlje ja O trigonometrijskim jednadžbama.

1) Definicija 1. Trigonometrijska jednadžba je jednadžba koja sadrži varijablu pod predznakom trigonometrijskih funkcija.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe oblika sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

U takvim jednadžbama varijabla je pod predznakom trigonometrijske funkcije, a zadani je broj.

Rješavanje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe u njen najjednostavniji oblik i rješavanja rezultirajuće najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

2) Osnovne vrste trigonometrijskih jednadžbi.

Jednadžbe svedene na najjednostavnije.

Riješite jednadžbu

Riješenje:

Odgovor:

Jednadžbe koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednadžbu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Odgovor:

Homogene jednadžbe: asinx + bcosx = 0

a grijeh 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Riješite jednadžbu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s

da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači cosx ≠ 0 i jednadžbu možemo podijeliti s cosx.

Dobivamo

Odgovor:

Primjer: Riješite jednadžbu

Riješenje:

Odgovor:

Jednadžbe rješavane faktorizacijom.

Priper: Riješite jednadžbu sin2x – sinx = 0.

Rješenje: Koristeći formulu sin2x = 2sinxcosx, dobivamo

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

Odgovor:

Nestandardne jednadžbe.

Riješite jednadžbu cosx = x 2 + 1.

Riješenje:

Pogledajmo funkcije

Poglavlje II. Osnovni pojmovi i formule trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe- obavezna tema za svaki ispit iz matematike.

OKOx, koliko muke učenicima uzrokuje učenje trigonometrije.

Određene poteškoće nastaju čak i ako je u blizini učiteljmatematika i objašnjava svaki najmanji detalj. To je razumljivo, samo osnovnih formula ima više od dvadeset. A ako računamo njihove izvode... Učenik se zbuni u izračunima i ne može se sjetiti mehanizama pomoću kojih ove formule omogućuju pronalaženje, na primjer, .

Znate formule – lako je vama odlučiti. Ako ne znate, nećete razumjeti, čak i ako vam daju formulu.Ne trebate samo znati formulu, već morate znati gdje se može primijeniti, kako je otvoriti i što je bit formule, a za to morate riješiti primjere upravo za one probleme koji teško riješiti.

Isprva mi se činilotrigonometrija je dosadan skup formula i grafikona. No, kako sam se upoznavao s novim pojmovima trigonometrije i metodama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi, svaki put sam se uvjeravao koliko je svijet trigonometrije zanimljiv i fascinantan.

Prvo, za uspješno rješavanje trigonometrijskih jednadžbi potrebno je dobro poznavati trigonometrijske formule, ne samo one osnovne, već i dodatne (pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak i umnoška u zbroj, formule za smanjivanje stupnjeva i sl.),budući da je korištenje varalica i Mobiteli zabranjeno

(Prilog 1)

Drugo , moramo jasno znati standardne formule za korijene najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (korisno je zapamtiti ili moći dobiti pojednostavljene formule za korijene jednadžbi pomoću trigonometrijske kružnice)

Svaka od ovih jednadžbi rješava se pomoću formula koje biste trebali znati. Ovo su formule:

a) Funkcijag= grijehx. Funkcija je ograničena: nalazi se unutar [-1; 1]. To znači da pri rješavanju jednadžbi poputsinx=2 ilisinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n luksin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 luksin a +n,n Z

Također, morate znati posebne slučajeve: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Također morate znati riješitiu obliku dva niza korijena

2. Funkcija g = cos x . Funkcija je ograničena: nalazi se unutar [-1; 1]. To znači da pri rješavanju jednadžbi poputcosx=2 ilicosx=-5 ispostavlja se da je odgovor: nema korijena. Formule za funkciju y=cosx:

1. cosx =a, X=± luk a+2n,n Z

2.cos x=-a, X=±(  - luk a)+2n,n Z

Posebni slučajevi: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. Funkcijag= tgx.

Postoji samo jedna formula, bez posebnih slučajeva:tgx = ± a .

x = ± arctan a+n,n Z

Treće, morate znati vrijednosti trigonometrijskih funkcija;

(Dodatak 2)

četvrto, Ako je u jednoj jednadžbi trigonometrijska funkcija pod predznakom radikala, tada će takva trigonometrijska jednadžba biti iracionalna. U takvim jednadžbama morate se pridržavati svih pravila koja se koriste pri rješavanju običnih jednadžbi. iracionalne jednadžbe(uzima se u obzir površina prihvatljive vrijednosti i sama jednadžba i kada je oslobođena od korijena parnog stupnja).

V. Jednadžbe ponuđene na Jedinstvenom državnom ispitu prethodnih godina.

“Metoda rješenja je dobra ako od samog početka možemo predvidjeti - i kasnije to potvrditi - da ćemo slijedeći ovu metodu postići cilj.”

Leibniz

1. Jednadžbe koje se svode na kvadratne.

C1. Riješite jednadžbu:

Rješenje: Koristeći osnovni trigonometrijski identitet,prepisujemo jednadžbu u obliku

Zamjenacos= tjednadžba se svodi na kvadratnu:2t 2 + 9 t-5 =0, koji ima korijenet 1 = ½ it 2 = -5. Vraćajući se na varijablu x, dobivamo
,

Druga jednadžba nema korijena jer je |cosx |≥1, a iz prve x =± +6k, k Z

Odgovor: =± +6k, k Z

Zaključak: Prilikom uvođenja nove varijable morate uzeti u obzir da su vrijednosti sin x i cos x ograničene segmentom
, inače će se pojaviti strani korijeni.

2. Jednadžbe rješavane faktoriziranjem

Zadatak C1 (2011.)

a) Riješite jednadžbu

b) Označite korijene jednadžbe koji pripadaju segmentu

Rješenje: a) riješite rastavljanjem lijeve strane na faktore:

grupiramo i stavljamo zajednički faktor iz zagrade, dobivamo

Jednadžba 1) nema rješenja.

Druga jednadžba je homogena, može se riješiti dijeljenjem člana po članom s cosx ≠0, dobivamo
, gdje

Odgovor: a)
b)

Zaključak:

1. Kada rješavate jednadžbu ovog tipa, prvo morate znati da je |sin x|≤1 i |cosx |≤1, a jednadžba sinx =-2 nema rješenja;

2. Drugo, opravdajte dijeljenje s cosx ≠o (jer ako je cosx = 0, onda je sin x = 0, ali to je nemoguće;

treće, razumno je odabrati korijene koji pripadaju danom intervalu

3
.Jednadžba za primjenu redukcijskih formula

C1 (2010) S obzirom na jednadžbu

a) riješiti jednadžbu;

b
) Označite korijene koji pripadaju segmentu

Rješenje: Koristeći formule redukcije dobivamo:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

S osx (2 sinx -1)=0, odakle je cosx= 0 ili sinx =½,

b) Pronađite vrijednosti k kojima će pripadati korijeni

navedeni interval. Za odabir korijena. koji pripada zadanom intervalu, predstavljamo rješenje u obliku:

b

) Pronađite vrijednosti k pri kojima će korijeni pripadati navedenom intervalu.

Rješavanje ove nejednakosti, cjelina

nećemo dobiti vrijednosti za k.

Odgovor: a)

Zaključak:

Pri rješavanju jednadžbe ovog tipa potrebno je poznavati formule zadane jednadžbe i pravilno je primijeniti; moći predstaviti rješenje
u dva niza korijena; odabrati ispravne korijene koji pripadaju zadanom segmentu.

4. Sustavi trigonometrijskih jednadžbi

C1 (2010). Riješite sustav jednadžbi

Rješenje: O.D.Z

Razlomak je jednak nuli ako je brojnik 0, a nazivnik nije 0.

Iz jednadžbe 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, rješavajući uvođenjem nove varijable, nalazimo

ili sin x =1.

1) Neka
, Zatim
i y = cos x = ›0 (koristeći osnovni trigonometrijski identitet)

ili
I
- nema odluke.

2) Neka sinx = 1, tada je y = cos x = 0 – nema rješenja.

Odgovor:
i y =

Zaključak: 1) potrebno je uzeti u obzir ograničenja trigonometrije

funkcije

2) Evidentirati i uzeti u obzir O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Riješite jednadžbu:

O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 ili cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, odakle je t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - nema rješenja

x =

uzimajući u obzir O.D.Z. x =

Odgovor: x =

Zaključak: Zapišite odgovor vodeći računa o O.D.Z.

ZAKLJUČAK

U radu koji sam obavljao proučavao sam rješenja trigonometrijskih jednadžbi, razmatrao preporuke za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi te razmatrao pogreške koje su moguće prilikom rješavanja.

Došao sam do sljedećih zaključaka:

1. Zadaci tipa C1 provjeravaju sposobnost rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Ti su zadaci doista jednostavni, što daje višak samopouzdanja i uspavljuje pažnju. Jedina poteškoća ovih zadataka je da, nakon rješavanja jednadžbe ili sustava jednadžbi, odbacite nepotrebne korijene.

2. Zadatak C1 je najviše jednostavan zadatak skupina C. Prilikom njezina rješavanja ne bi se trebale pojaviti glomazne transformacije i složeni izračuni. Ako se pojave, odmah morate stati, provjeriti rješenje i pokušati shvatiti što ovdje nije u redu.

3. U konačnici,Glavni uvjet je da rješenje mora biti matematički pismeno, a iz njega mora biti jasan tijek zaključivanja.Morate pokušati svoju odluku napisati kratko i jasno, ali što je najvažnije - ispravno!

4. I što je najvažnije, da biste naučili rješavati jednadžbe bez pogrešaka, morate ih riješiti! Uostalom, kako reče Polya, “Ako želite naučiti plivati, slobodno zaronite u vodu, a ako želite naučiti rješavati probleme, morate ih riješiti!”

Dodatak 1 (osnovne formule trigonometrije)

1) osnovni trigonometrijski identitetgrijeh 2 α + cos 2 α= 1,

Podijelimo li ovu jednadžbu kvadratom kosinusa i sinusa, imamo

2) dvostruke argumentske formulegrijeh2α =2grijehα cos α,

jer 2α =cos 2 α -grijeh 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) formule za smanjenje stupnja:

4) formule za zbroj i razliku dva argumenta:

grijeh(α+ β )= grijehα cosβ + cos α grijehβ

grijeh(α- β )= grijehα cos β - cos α grijeh β

cos(α+ β )= cosα cos β + grijeh α grijeh β

cos(α- β )= grijehα cos β + grijehα grijeh β

5) Formule redukcije

Formule redukcije su formule sljedećeg oblika:

Zbrojevi i razlike trigonometrijskih jednadžbi

Paritet

Kosinus-parni, sinus, tangens i kotangens, to je:

Kontinuitet

Sinus i kosinus - . Tangenta i has

,kotangens 0; ±π; ±2π;…

Periodičnost

Funkcijeg = cosx, g = grijehx -

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.