Rješavanje jednadžbi sa zamjenom varijabli online. Rješavanje jednadžbi supstitucijom

Promjena varijable u neodređenom integralu. Formula za pretvorbu diferencijala. Primjeri integracije. Primjeri linearnih supstitucija.

Metoda zamjene varijabli

Promjene varijabli mogu se koristiti za procjenu jednostavnih integrala i, u nekim slučajevima, za pojednostavljenje izračuna složenijih.

Metoda zamjene varijable je da smo iz izvornika integracijska varijabla, neka bude x, prijeđimo na drugu varijablu koju označavamo s t. U ovom slučaju smatramo da su varijable x i t povezane nekom relacijom x = x (t), odnosno t = t (x). Na primjer, x = u t, x = sint, t = 2 x + 1, i tako dalje. Naš zadatak je odabrati takav odnos između x i t da se izvorni integral ili svede na tablični ili da postane jednostavniji.

Osnovna formula zamjene varijabli

Razmotrimo izraz koji stoji ispod znaka integrala. Sastoji se od umnoška integranda, koji označavamo s f (x) a diferencijal dx: . Prijeđimo na novu varijablu t odabirom neke relacije x = x (t). Tada moramo izraziti funkciju f (x) a diferencijal dx kroz varijablu t.

Za izražavanje funkcije integranda f (x) kroz varijablu t samo trebate zamijeniti odabranu relaciju x = x umjesto varijable x (t).

Diferencijalna pretvorba se izvodi ovako:
.
To jest, diferencijal dx jednak je umnošku derivacije x u odnosu na t i diferencijala dt.

Zatim
.

U praksi je najčešći slučaj da zamjenu vršimo odabirom nove varijable u funkciji stare: t = t (x). Ako smo pogodili da se funkcija integranda može prikazati kao
,
gdje t' (x) je derivacija od t u odnosu na x, tada
.

Dakle, osnovna formula za zamjenu varijable može se prikazati u dva oblika.
(1) ,
gdje je x funkcija od t.
(2) ,
gdje je t funkcija od x.

Važna nota

U tablicama integrala integracijska varijabla se najčešće označava kao x. Međutim, vrijedi uzeti u obzir da se integracijska varijabla može označiti bilo kojim slovom. Štoviše, bilo koji izraz može se koristiti kao integracijska varijabla.

Kao primjer, razmotrite integral tablice
.

Ovdje se x može zamijeniti bilo kojom drugom varijablom ili funkcijom varijable. Evo primjera mogućih opcija:
;
;
.

U posljednjem primjeru morate uzeti u obzir da se prilikom prelaska na integracijsku varijablu x diferencijal transformira na sljedeći način:
.
Zatim
.

Ovaj primjer prikazuje bit integracije supstitucijom. Odnosno, to moramo pogoditi
.
Nakon toga se integral svodi na tablični.
.

Ovaj integral možete izračunati promjenom varijable pomoću formule (2) . Stavimo t = x 2+x. Zatim
;
;

.

Primjeri integracije promjenom varijable

1) Izračunajmo integral
.
Primjećujemo da (sin x)′ = cos x. Zatim

.
Ovdje smo upotrijebili zamjenu t = grijeh x.

2) Izračunajmo integral
.
Primjećujemo da . Zatim

.
Ovdje smo izvršili integraciju promjenom varijable t = arctan x.

3) Integrirajmo se
.
Primjećujemo da . Zatim

. Ovdje se tijekom integracije zamjenjuje varijabla t = x 2 + 1 .

Linearne supstitucije

Možda su najčešće linearne zamjene. Ovo je zamjena za varijablu oblika
t = ax + b,
gdje su a i b konstante. Kod takve zamjene diferencijali su povezani relacijom
.

Primjeri integracije linearnim supstitucijama

A) Izračunaj integral
.
Riješenje.
.

B) Pronađite integral
.
Riješenje.
Iskoristimo svojstva eksponencijalne funkcije.
.
u 2- ovo je konstanta. Računamo integral.

.

C) Izračunaj integral
.
Riješenje.
Svedimo kvadratni polinom u nazivniku razlomka na zbroj kvadrata.
.
Računamo integral.

.

D) Pronađite integral
.
Riješenje.
Transformirajmo polinom ispod korijena.

.
Integriramo metodom zamjene varijabli.

.
Prethodno smo primili formulu
.
Odavde
.
Zamjenom ovog izraza dobivamo konačni odgovor.

Matematika je rupa kroz koju logični um može proviriti u idealni svijet.

Krotov Viktor

U školi racionalne jednadžbe zauzimaju vodeće mjesto u tečaju algebre. Njihovom se proučavanju posvećuje više vremena nego bilo kojoj drugoj temi. To je prvenstveno zbog činjenice da jednadžbe nemaju samo važno teoretsko značenje, već služe i mnogim praktičnim svrhama. Ogroman broj zadataka stvarni svijet svode se na rješavanje raznih jednadžbi, a tek nakon što ovladate metodama rješavanja istih, pronaći ćete odgovore na razna pitanja znanosti i tehnologije.

Razvijanje sposobnosti rješavanja racionalnih jednadžbi ima samostalni rad učenika velika vrijednost. Međutim, prije prelaska na samostalan rad, morate jasno znati i moći sve primijeniti u praksi moguće metode rješavanje racionalnih jednadžbi.

Pogledajmo to detaljno koristeći primjere. metoda zamjene varijable za rješavanje racionalnih jednadžbi.

Primjer 1.

Riješite jednadžbu (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.

Riješenje.

Prepišimo jednadžbu u obliku

(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Izvršimo zamjenu. Neka je 2x 2 – 3x = t, tada će jednadžba imati oblik:

(t + 1) 2 = 11t + 1.

Sada otvorimo zagrade i dajmo slične, dobivamo:

t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;

U dobivenoj nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi, izvadimo zajednički faktor iz zagrada i imamo:

t = 0 ili t = 9.

Sada morate izvršiti obrnutu zamjenu i riješiti svaku od dobivenih jednadžbi:

2x 2 – 3x = 0 ili 2x 2 – 3x = 9

x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0

x = 0 ili x = 3/2 x = 3 ili x = -3/2

Odgovor: -1,5; 0; 1,5; 3.

Primjer 2.

Riješite jednadžbu (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.

Riješenje.

Primijenimo formulu za kvadrat razlike (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Zapišimo izvornu jednadžbu u obliku

(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Sada možete izvršiti zamjenu.

Neka je x 2 – 6x = t, tada će jednadžba izgledati ovako:

t 2 – 2(t + 9) = 81.

t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;

t 2 – 2t – 99 = 0.

Prema Vietinom teoremu, korijeni dobivene jednadžbe bit će brojevi -9 i 11.

Napravimo obrnutu zamjenu:

x 2 – 6x = -9 ili x 2 – 6x = 11

x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0

(x – 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.

Odgovor: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.

Primjer 3.

Riješite jednadžbu (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 i pronađite umnožak njezinih korijena.

Riješenje.

Pronađimo "profitabilan" način za grupiranje faktora i otvorimo parove zagrada:

((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;

(x 2 + 4x – 5) (x 2 + 4x – 21) = 297.

Napravimo zamjenu x 2 + 4x = t, tada će jednadžba izgledati ovako:

(t – 5)(t – 21) = 297.

Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove:

t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;

t 2 – 26t – 192 = 0.

Pomoću Vietinog teorema određujemo da će korijeni dobivene jednadžbe biti brojevi -6 i 32.

Nakon obrnute supstitucije imat ćemo:

x 2 + 4x = -6 ili x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0

D = 16 – 24< 0 D = 16 + 128 > 0

Bez korijena x 1 = -8; x 2 = 4

Nađimo umnožak korijena: -8 · 4 = -32.

Odgovor: -32.

Primjer 4.

Nađite zbroj korijena jednadžbe (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2.

Riješenje.

Neka je x 2 – 2x + 2 = t, tada će jednadžba imati oblik:

t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.

Promatrajmo dobivenu jednadžbu kao kvadratnu u odnosu na t.

D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤

t 1 = (-3x – 7x) / 2 i t 2 = (-3x + 7x) / 2;

t 1 = -5x i t 2 = 2x.

Kako je t = x 2 – 2x + 2, tada

x 2 – 2x + 2 = -5x ili x 2 – 2x + 2 = 2x. Riješimo svaku od dobivenih jednadžbi.

x 2 + 3x + 2 = 0 ili x 2 – 4x + 2 = 0.

Obje jednadžbe imaju korijene, jer D > 0.

Koristeći Vietin teorem, možemo zaključiti da je zbroj korijena prve jednadžbe -3, a druge 4. Nalazimo da je zbroj korijena izvorne jednadžbe -3 + 4 = 1

Odgovor: 1.

Primjer 5.

Nađite korijen jednadžbe (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, koji pripada intervalu [-5; 10].

Riješenje.

Neka je x = t – 3, tada je x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 i izvorna jednadžba ima oblik:

(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Da biste podigli izraze na četvrtu potenciju, možete koristiti Pascalov trokut (slika 1);

(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.

Nakon redukcije sličnih članova dobivamo:

2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t 4 + 24t 2 = 0;

t2 (t2 + 24) = 0;

t = 0 ili t 2 = -24.

Druga jednadžba nema korijena, što znači da je t = 0 čak i nakon obrnute supstitucije

x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Korijen jednadžbe -3 pripada intervalu [-5; 10].

Odgovor: -3.

Kao što vidite, kada rješavate racionalne jednadžbe, morate znati gornje formule i znati ispravno računati. Pogreške se najčešće javljaju kod odabira zamjene i tijekom obrnute zamjene. Da biste to izbjegli, morate detaljno opisati svaku radnju, tada neće biti pogrešaka u vašim odlukama.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Rješavanje jednadžbi metodom promjene varijabli

Većina životnih zadataka

rješavaju se kao algebarske jednadžbe:

dovodeći ih u njihov najjednostavniji oblik.

L. N. Tolstoj.

Svrha lekcije: organizirati obrazovne aktivnosti učenika za ovladavanje metodama rješavanja cijelih jednadžbi viših stupnjeva metodom supstitucije varijable; upoznati učenike s konceptima i tehnikama rješavanja recipročnih i simetričnih jednadžbi.

Zadaci:obrazovni: nastaviti razvijati sposobnost korištenja metode zamjene

varijabla pri rješavanju jednadžbi; razvijanje sposobnosti uočavanja iste metode rješavanja jednadžbi u različitim situacijama; stvoriti ideju o metodama i tehnikama rješavanja nestandardnih problema i algebarskih jednadžbi na razini koja prelazi razinu državnih obrazovnih standarda;

razvoj: razvoj mišljenja učenika; razvoj pamćenja; razvoj

logično mišljenje, sposobnost jasnog formuliranja svojih misli; razvijanje mašte učenika; razvoj usmenog govora.

obrazovni: obrazovanje sposobnosti zapažanja; odgoj urednosti

pri bilježenju na ploči iu bilježnici; njegovanje samostalnosti u izvođenju praktičnog rada.

Tijekom nastave

Organiziranje vremena.

Obnavljanje i usustavljivanje znanja.

Zadatak br. 1. Riješite križaljku. Odgovore napišite samo u nominativu.

Horizontalno:

4.Koji je izraz za kvadratnu jednadžbu? (diskriminirajući)

6. Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba prelazi u pravu jednakost. (korijen)

8. Jednadžba oblika
, Gdje
. (bikvadratan)

9.Francuski matematičar vezan za kvadratne jednadžbe. (viet)

10. Jednadžba u kojoj su lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi. (cijela)

11. Jednadžbe s jednom varijablom koje imaju isti skup korijena. (ekvivalent)

Okomito:

1. Mnogo korijena jednadžbe. (riješenje)

2. Rješenje jednadžbe
. (nula)

3. Jednakost koja sadrži varijablu. (jednadžba)

5. Kvadratna jednadžba u kojoj je jedan od koeficijenata b ili c jednak 0. (nepotpun)

7. Kvadratna jednadžba u kojoj je prvi koeficijent jednak jedinici. (dano)

Čemu ćemo danas posvetiti lekciju? ( Rješavanje jednadžbi )

Zadatak br. 2. Kako biste riješili jednadžbe za svaku grupu?

ODGOVORI: Primjeri skupine 1) najbolje se rješavaju rastavljanjem na faktore stavljanjem zajedničkog faktora izvan zagrada ili korištenjem skraćenih formula za množenje.

Primjere skupine 2) bolje je riješiti grupiranjem i faktoriziranjem.

Primjere skupine 3) bolje je riješiti uvođenjem nove varijable i prelaskom na kvadratnu jednadžbu.

1 Koji biste faktor stavili izvan zagrada u primjerima skupine 1?

ODGOVORI:

Kako biste grupirali pojmove u skupini 2 primjera?

ODGOVORI:

Što mislite pod novom varijablom u skupini 3 primjera?

ODGOVORI:

Kako možete faktorizirati polinom?
?

ODGOVORI: .

Danas ćete u lekciji pokazati svoje znanje o temi “Rješavanje jednadžbi metodom zamjene varijabli”

Zapišite temu lekcije u svoje bilježnice.

Danas ćemo na nastavi pogledati jedan od načina rješavanja jednadžbi viših stupnjeva – metodu zamjene varijable; Upoznajmo se s pojmovima i tehnikama rješavanja recipročnih i simetričnih jednadžbi.

Umijeće pravljenja varijabilnih zamjena je vidjeti koja zamjena ima najviše smisla i brže vodi do uspjeha.

Zadatak br. 3.

Riješite jednadžbu.(2 učenika istovremeno rješavaju zadatak za pločom.)

A) (Prvi učenik rješava na ploči uz objašnjenje.)

b) (Drugi učenik tiho rješava jednadžbu, zatim objašnjava rješenje, razred sluša i postavlja pitanja ako nešto nije jasno.)

1 student Zamjena:
.

2 student Zamjena:
.

(Dodatno za one koji su prethodno savladali prethodne jednadžbe).

. .

3 student

(Učenici iz mjesta komentiraju napredak rješavanja.)

RJEŠENJE: Dodajmo zajednički faktor: ,

gdje
ili
, tj.

Odgovor:

Produbljivanje i proširivanje znanja

Nastavljamo s radom. Vidite jednadžbu na slajdu: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x+1=0.

Kako biste predložili da se to riješi? Što da radimo?

Je li to moguće riješiti unutar školski programi matematika? Odgovor je ne. Nakon svega standardne metode rješavanje jednadžbi u školi uključuje rješavanje jednadžbi ne višeg od drugog stupnja. Ali možemo se prisjetiti da su pojedinačne jednadžbe više visoki stupnjevi u školi su ipak odlučili. Istina, načini za njihovo rješavanje su kreativne primjene poznate metode, svodeći ih na rješenje jedne ili više jednadžbi stupnja ne višeg od drugog.

Pogledajte vrlo pažljivo ovu jednadžbu? Što ste primijetili ?(u ovoj jednadžbi koeficijenti jednako udaljeni od krajeva su jednaki)

Ljudi, jednadžba ovog tipa, kada se koeficijenti jednako udaljeni od krajeva podudaraju, zove se povratna. Ova se jednadžba može reducirati na kvadratnu jednadžbu pomoću supstitucije.

Nudim vam sljedeći algoritam za njihovo rješavanje:

Algoritam za rješavanje recipročnih jednadžbi.

1. Podijelite obje strane jednadžbe s x 2.

2.Grupiraj pojmove (prvi s zadnjim, drugi s četvrtim).

Smanjite jednadžbu na oblik A + c = 0

3.Uvedite novu varijablu t = ,tada ispunjena t 2 = , tj. = t 2 – 2.

4. Zamijenite i riješite kvadratnu jednadžbu.

5.Vratite se na zamjenu i riješite dobivene jednadžbe.

6. Zapišite odgovor.

Dečki proučavaju algoritam.

Učenik za pločom rješava jednadžbu prema algoritmu i uz pomoć učitelja, ostali zapisuju u bilježnice.

6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.

Riješenje.

6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.

6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.

Unesite t: supstitucija (x + 1/x) = t. Zamjena: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, imamo:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 ili t = 10/3.

Vratimo se varijabli x. Nakon obrnute zamjene rješavamo dvije dobivene jednadžbe:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 ili x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 – 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 ili x = 1/3.

Odgovor: -2; -1/2; 1/3; 3.

Veliki doprinos problemu jednadžbi 3. i 4. stupnja dali su talijanski matematičari 16. st. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano i dr. Godine 1535. došlo je do znanstvenog dvoboja između A. Fiorea i N. Tartaglia, na kojoj je potonji pobijedio. U 2 sata riješio je 30 zadataka koje je predložio Fiore, a sam Fiore nije mogao riješiti niti jedan koji mu je zadao Tartaglia.

Ljudi, danas vam želim ponuditi još jednu jednadžbu; uzeo sam je iz zbirke zadataka za pripremu za OGE.

. ((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Zamjenom x 2 + 5x + 4 = t dobivamo jednadžbu

t(t + 2) = 24, to je kvadrat:

t 2 + 2t – 24 = 0.

t = -6 ili t = 4.

Nakon izvođenja obrnute supstitucije, lako ćemo pronaći korijene izvorne jednadžbe.

Odgovor: -5; 0.

Kreativni prijenos znanja i vještina u nove uvjete.

Na početku lekcije govorili smo o činjenici da ako u jednadžbi postoje elementi koji se ponavljaju, tada možete koristiti metodu zamjene varijable. Još uvijek ne znamo kako riješiti trigonometrijski i iracionalne jednadžbe. Da vidimo možemo li ovu metodu primijeniti na njih ako znamo kako riješiti jednostavne trigonometrijske i iracionalne jednadžbe.

Vježba 1: Imenujte promjenu varijable u sljedećim jednadžbama.

Zadatak 2: Sastavite nekoliko jednadžbi čije se rješavanje temelji na metodi zamjene varijabli.

Sažimajući.

Dakle, dečki, našoj lekciji je došao kraj. Sažmimo našu lekciju.

Koje smo ciljeve postavili na početku lekcije?

Jesu li naši ciljevi postignuti?

Što smo novo naučili u lekciji?

Domaća zadaća.

4x 4 – 8x 3 + 3x 2 – 8x + 4 = 0

(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40

. (jednadžba talijanskih matematičara)

I želio bih završiti lekciju riječima velikog znanstvenika Einsteina A.:

“Moram podijeliti svoje vrijeme između politike i jednadžbi. No, jednadžba je, po meni, mnogo važnija, jer politika postoji samo za ovaj trenutak, a jednadžba će postojati zauvijek.”

Hvala vam na lekciji! Doviđenja!

Uvod

Matematičko obrazovanje stečeno u Srednja škola, bitna je sastavnica općeg obrazovanja i opće kulture modernog čovjeka. Gotovo sve što okružuje modernog čovjeka na neki je način povezano s matematikom. A nedavni napredak u fizici, inženjerstvu i informacijskoj tehnologiji ne ostavlja nikakvu sumnju da će iu budućnosti stanje stvari ostati isto. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje različite vrste jednadžbe koje trebate naučiti rješavati.

U elementarnoj matematici postoje dvije vrste jednadžbi: algebarske i transcendentalne. Algebarske jednadžbe uključuju:

linearni; kvadrat; kubični; bikvadratan; jednadžba četvrtog stupnja opći pogled; binomna algebarska jednadžba nth stupnjevi; algebarska snaga; – refleksivna (algebarska); – algebarska jednadžba th stupnja općeg oblika;

10. frakcijske algebarske jednadžbe, t.j. jednadžbe koje sadrže polinome i algebarske razlomke (razlomke oblika

, gdje su i polinomi);

11. iracionalne jednadžbe, t.j. jednadžbe koje sadrže radikale, ispod kojih su polinomi i algebarski razlomci;

12. jednadžbe koje sadrže modul, ispod čijeg se modula nalaze polinomi i algebarski razlomci.

Jednadžbe koje sadrže transcendentne funkcije, kao što su logaritamske, eksponencijalne ili trigonometrijske funkcije, nazivaju se transcendentalnima. U našem radu ćemo detaljnije razmotriti algebarske jednadžbe.

U obrazovnim i metodička literatura Tradicionalno se razmatraju posebne tehnike za rješavanje jednadžbi. U međuvremenu, specifičnosti rješavanja jednadžbi svakog odjeljka su sekundarna stvar. U osnovi postoje četiri glavne metode:

Zamjena jednadžbe h (f(x))=h (g(x)) jednadžbom f(x)=g(x);

Metoda varijabilne zamjene;

Metoda faktorizacije;

Funkcionalno-grafičke metode i njihove različite modifikacije.

Najčešći od njih je metoda varijabilne zamjene.

Na temelju toga formuliramo cilj našeg rada: proučiti mogućnosti metode zamjene nepoznanica pri rješavanju algebarskih jednadžbi i pokazati njihovu primjenu u standardnim i nestandardnim situacijama. Za postizanje ovog cilja potrebno je riješiti sljedeće zadatke:

1. Otkriti sadržaj temeljnih pojmova i tvrdnji vezanih uz teoriju rješavanja jednadžbi: rješavanje jednadžbe, ekvivalencija i korolar, opće metode rješavanja jednadžbi.

2. Identificirati mogućnosti korištenja metode zamjene nepoznanice pri rješavanju algebarskih jednadžbi u standardnim i nestandardnim situacijama.

3. Tipizirati metode za uvođenje novih nepoznanica pri rješavanju algebarskih jednadžbi i identificirati kriterije njihove primjenjivosti.

4. Sastavite skup tipičnih zadataka koji se svode na korištenje metode supstitucije pri rješavanju jednadžbi i demonstrirajte njihovo rješavanje.

1. Osnovni pojmovi i tvrdnje vezane uz teoriju rješavanja jednadžbi

U prvom poglavlju našeg rada otkrit ćemo sadržaj osnovnih pojmova i tvrdnji vezanih uz teoriju rješavanja jednadžbi.

S pojmom "jednadžbe" upoznajemo se već u nastavi matematike osnovna škola, a problem “riješi jednadžbu” je vjerojatno problem koji se najčešće susreće. Međutim, dati preciznu definiciju koncepta "jednadžbe", točno definirati što znači "riješiti jednadžbu", a da ne idemo daleko izvan dosega kolegija elementarna matematika, ne možemo. Da bismo to učinili, potrebno je uključiti vrlo ozbiljne logičke, pa čak i filozofske kategorije. Poznavanje ovih pojmova na razini “zdravog razuma” sasvim nam je dovoljno.

Razmotrimo dvije jednadžbe A i B s istom nepoznanicom. Reći ćemo da je jednadžba B posljedica jednadžba A ako je bilo koji korijen jednadžbe A korijen jednadžbe B.

Jednadžbe se nazivaju ekvivalent, ako je bilo koji korijen jedne od njih korijen druge i obrnuto. Dakle, jednadžbe su ekvivalentne ako je svaka od njih posljedica druge.

Iz ovih definicija proizlazi, na primjer, da su dvije jednadžbe koje nemaju rješenja ekvivalentne. Ako A nema rješenja, onda B ima posljedica A, kakva god jednadžba B bila.

Definirajmo koncept "rješavanja jednadžbe". Riješite jednadžbu- znači pronalaženje svih vrijednosti nepoznanica uključenih u nju koje pretvaraju jednadžbu u identitet. Ove vrijednosti nazivaju se korijeni jednadžbe.

Proces rješavanja jednadžbi sastoji se uglavnom od zamjene dane jednadžbe drugom koja joj je ekvivalentna.

Kao što je ranije spomenuto, ima ih najviše četiri uobičajene metode, koristi se u rješavanju jednadžbi bilo koje vrste. Pogledajmo pobliže svaku metodu.

Metoda zamjene jednadžbe h (f(x))=h (g(x)) s jednadžbom f(x)=g(x) može se koristiti samo kada

- monotona funkcija koja svaku vrijednost uzima jednom. Ako ovu funkciju nemonotoni, tada se ova metoda ne može koristiti, jer je moguć gubitak korijena.

Suština metode faktorizacije je sljedeća: jednadžba

može se zamijeniti:

Nakon što ste riješili jednadžbe ovog skupa, trebate uzeti one korijene koji pripadaju domeni definicije izvorne jednadžbe, a ostale odbaciti kao suvišne. Ideja grafička metoda rješenja jednadžbe

je ovo: trebate izgraditi grafove funkcija i pronaći njihove sjecišne točke. Korijeni jednadžbe su apscise tih točaka. Ova metoda vam omogućuje da odredite broj korijena jednadžbe, pogodite vrijednost korijena, pronađete približne, a ponekad i točne vrijednosti korijena. U nekim slučajevima, konstrukcija grafova funkcija može se zamijeniti pozivanjem na neka svojstva funkcija (zato ne govorimo o grafičkoj, već o funkcionalno-grafičkoj metodi rješavanja jednadžbi). Ako je npr. jedna od funkcija raste, a druga opada, onda jednadžba ili nema korijena ili ima jedan korijen.Spomenimo još jednu dosta lijepu varijantu funkcionalno-grafičke metode: ako je na intervalu najveća vrijednost jedna od funkcija, jednaka je i najmanja vrijednost druga funkcija je također jednaka , tada je jednadžba ekvivalentna sustavu jednadžbi na intervalu.

Otkrijmo bit metode zamjene varijabli: ako jednadžba