Vi pružate online interpolaciju. Interpolacijska formula između dviju vrijednosti


Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Interpolacija. O funkciji vidi: Interpolant.

Interpolacija, interpolacija (iz lat. inter-polis - « izglađen, obnovljen, obnovljen; pretvoreni") - u računalnoj matematici, metoda pronalaženja srednjih vrijednosti veličine iz postojećeg diskretnog skupa poznate vrijednosti. Pojam "interpolacija" prvi je upotrijebio John Wallis u svojoj raspravi "Aritmetika beskonačnog" (1656.).

U funkcionalnoj analizi, interpolacija linearnih operatora dio je koji tretira Banachove prostore kao elemente neke kategorije.

Mnogi od onih koji se bave znanstvenim i inženjerskim izračunima često moraju raditi sa skupovima vrijednosti dobivenih empirijski ili nasumičnim uzorkovanjem. U pravilu je na temelju tih skupova potrebno konstruirati funkciju u koju bi ostale dobivene vrijednosti mogle pasti s visokom točnošću. Ovaj problem se naziva aproksimacija. Interpolacija je vrsta aproksimacije u kojoj krivulja konstruirane funkcije prolazi točno kroz dostupne podatkovne točke.

Postoji i zadatak blizak interpolaciji, koji se sastoji u aproksimaciji složene funkcije drugom, jednostavnijom funkcijom. Ako je određena funkcija presložena za produktivne izračune, možete pokušati izračunati njezinu vrijednost u nekoliko točaka, te iz njih konstruirati, odnosno interpolirati, jednostavniju funkciju. Naravno, korištenje pojednostavljene funkcije neće dati rezultate tako točne kao izvorna funkcija. Ali u nekim klasama problema, postignuti dobitak u jednostavnosti i brzini izračuna može nadmašiti rezultirajuću pogrešku u rezultatima.

Također vrijedi spomenuti potpuno drugačiji tip matematičke interpolacije poznat kao operatorska interpolacija. Klasični radovi o operatorskoj interpolaciji uključuju Riesz-Thorin teorem i Marcinkiewiczev teorem, koji su osnova za mnoge druge radove.

Definicije

Razmotrimo sustav točaka koje se ne podudaraju x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) iz nekog područja D ( \displaystyle D) . Neka su vrijednosti funkcije f (\displaystyle f) poznate samo u ovim točkama:

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Problem interpolacije je pronaći funkciju F (\displaystyle F) iz dane klase funkcija tako da

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

  • Pozivaju se točke x i (\displaystyle x_(i)). interpolacijski čvorovi, a njihova ukupnost je interpolacijska mreža.
  • Parovi (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) nazivaju se podatkovne točke ili bazne točke.
  • Razlika između “susjednih” vrijednosti Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - korak interpolacijske mreže. Može biti varijabilna ili konstantna.
  • Funkcija F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolirajuća funkcija ili interpolant.

Primjer

1. Neka nam bude funkcija tablice, poput one opisane u nastavku, koja za nekoliko vrijednosti x (\displaystyle x) određuje odgovarajuće vrijednosti f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 −0,7568
5 −0,9589
6 −0,2794

Interpolacija nam pomaže da znamo koju bi vrijednost takva funkcija mogla imati u točki različitoj od navedenih točaka (na primjer, kada x = 2,5).

Do sada ih je mnogo na razne načine interpolacija. Odabir najprikladnijeg algoritma ovisi o odgovorima na pitanja: koliko je točna odabrana metoda, kolika je cijena njezine uporabe, koliko je glatka funkcija interpolacije, koliko podatkovnih točaka zahtijeva itd.

2. Pronađite međuvrijednost (linearnom interpolacijom).

6000 15.5
6378 ?
8000 19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19.2- 15.5))(1))=16.1993)

U programskim jezicima

Primjer linearne interpolacije za funkciju y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Korisnik može unijeti broj od 1 do 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimenzija x(10) dimenzija y(10) poziv prisv(x, i) poziv funkcija(x, y, i) zapis(*,*) "unesi broj: " čitaj(*,*) xv ako ((xv >= 1).i.(xv xv)) tada yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end potprogram

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, koliko, status; system("echo Interpolation X1 - X2 "); system("echo Enter broj: "); cin >> ob; sustav ("echo Na primjer 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Metode interpolacije

Interpolacija najbližeg susjeda

Najjednostavnija metoda interpolacije je metoda interpolacije najbližeg susjeda.

Interpolacija polinomima

U praksi se najčešće koristi interpolacija polinomima. To je prvenstveno zbog činjenice da je polinome lako izračunati, njihove derivacije lako pronaći analitički, a skup polinoma je gust u prostoru neprekidnih funkcija (Weierstrassov teorem).

  • Linearna interpolacija
  • Newtonova interpolacijska formula
  • Metoda konačnih razlika
  • IMN-1 i IMN-2
  • Lagrangeov polinom (interpolacijski polinom)
  • Aitkenova shema
  • Spline funkcija
  • Kubični spline

Inverzna interpolacija (izračunavanje x danog y)

  • Lagrangeov polinom
  • Obrnuta interpolacija pomoću Newtonove formule
  • Inverzna interpolacija pomoću Gaussove formule

Interpolacija funkcije više varijabli

  • Bilinearna interpolacija
  • Bikubična interpolacija

Ostale metode interpolacije

  • Racionalna interpolacija
  • Trigonometrijska interpolacija

Povezani pojmovi

  • Ekstrapolacija - metode pronalaženja točaka izvan zadanog intervala (proširenje krivulje)
  • Aproksimacija - metode za konstruiranje aproksimativnih krivulja

Obrnuta interpolacija

na klasi funkcija iz prostora C2 čiji grafovi prolaze kroz točke niza (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Riješenje. Među svim funkcijama koje prolaze kroz referentne točke (xi, f(xi)) i pripadaju spomenutom prostoru, to je kubni spline S(x), koji zadovoljava rubne uvjete S00(a) = S00(b) = 0 , koji osigurava ekstremni (minimalni) funkcional I(f).

Često se u praksi javlja problem traženja vrijednosti argumenta pomoću zadane vrijednosti funkcije. Ovaj problem se rješava metodama inverzne interpolacije. Ako dana funkcija je monoton, tada se obrnuta interpolacija najlakše postiže zamjenom funkcije argumentom i obrnuto i zatim interpolacijom. Ako dana funkcija nije monotona, tada se ova tehnika ne može koristiti. Zatim, bez mijenjanja uloga funkcije i argumenta, zapisujemo jednu ili drugu formulu interpolacije; Koristeći poznate vrijednosti argumenta i, uz pretpostavku da je funkcija poznata, rješavamo dobivenu jednadžbu s obzirom na argument.

Procjena člana ostatka pri korištenju prve tehnike bit će ista kao kod izravne interpolacije, samo se derivacije izravne funkcije moraju zamijeniti derivacijama inverzne funkcije. Procijenimo pogrešku druge metode. Ako nam je dana funkcija f(x) i Ln (x) je Lagrangeov interpolacijski polinom konstruiran za ovu funkciju iz čvorova x0, x1, x2, . . . , xn, tada

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .

Pretpostavimo da trebamo pronaći vrijednost x¯ za koju je f (¯x) = y¯ (y¯ je dano). Riješit ćemo jednadžbu Ln (x) = y¯. Uzmimo neku vrijednost x¯. Zamjenom u prethodnu jednadžbu dobivamo:


Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =

Primjenom Langrangeove formule dobivamo

(x¯ − x¯) f0 (η) =

gdje je η između x¯ i x¯. Ako je interval koji sadrži x¯ i x¯ i min

Iz posljednjeg izraza slijedi:

|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .

U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da smo točno riješili jednadžbu Ln (x) = y¯.

Korištenje interpolacije za izradu tablica

Teorija interpolacije ima primjenu u sastavljanju tablica funkcija. Dobivši takav problem, matematičar mora riješiti niz pitanja prije nego što započne s izračunima. Mora se odabrati formula po kojoj će se izvršiti izračuni. Ova se formula može razlikovati od mjesta do mjesta. Tipično, formule za izračunavanje vrijednosti funkcije su glomazne i stoga se koriste za dobivanje nekih referentnih vrijednosti, a zatim se podtabulacijom tablica sažima. Formula koja daje referentne vrijednosti funkcije mora osigurati traženu točnost tablica, uzimajući u obzir sljedeću podtabelu. Ako trebate izraditi tablice s konstantnim korakom, prvo morate odrediti njegov korak.

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Idi na indeks


Najčešće se tablice funkcija sastavljaju tako da je moguća linearna interpolacija (odnosno interpolacija pomoću prva dva člana Taylorove formule). U ovom slučaju, preostali član će imati oblik

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Ovdje ξ pripada intervalu između dviju susjednih tabličnih vrijednosti argumenta, u kojem se nalazi x, a t je između 0 i 1. Umnožak t(t − 1) uzima najveći modulo

vrijednost pri t = 12. Ova vrijednost je 14. Tako,

Treba imati na umu da će uz ovu pogrešku - pogrešku metode - u praktičnom izračunu međuvrijednosti također nastati neuklonjiva pogreška i pogreška zaokruživanja. Kao što smo vidjeli ranije, fatalna pogreška tijekom linearne interpolacije bit će jednaka pogrešci tabličnih vrijednosti funkcije. Pogreška zaokruživanja ovisit će o računalnim mogućnostima i programu za izračun.

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Idi na indeks


Indeks predmeta

odvojene razlike drugog reda, 8 prvog reda, 8

spline, 15

interpolacijski čvorovi, 4

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Idi na indeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Kako izvesti interpolaciju

Formula za interpolaciju tabličnih podataka

Koristi se u 2. radnji, kada je količina NHR (Q, t) iz stanja je posrednik između 100 t i 300 t.

(Iznimka: ako je Q prema uvjetu jednak 100 ili 300, tada interpolacija nije potrebna).

g o- Vaša početna količina NHR iz stanja, u tonama

(odgovara slovu Q)

g 1 – manji

(iz tablica 11-16, obično iznosi 100).

g 2 – više vrijednost količine NHR najbliže vašoj, u tonama

(iz tablica 11-16, obično iznosi 300).

x 1 g 1 (x 1 smješten nasuprot g 1 ), km.

x 2 – tablična vrijednost dubine distribucije oblaka onečišćenog zraka (Gt), odn g 2 (x 2 smješten nasuprot g 2 ), km.

x 0 – tražena vrijednost G T prikladno g o(prema formuli).

Primjer.

NHR – klor; Q = 120 t;

Tip SVSP (stupanj vertikalnog otpora zraka) – inverzija.

Pronaći G T- tablična vrijednost dubine distribucije oblaka kontaminiranog zraka.

    Pregledavamo tablice 11-16 i nalazimo podatke koji odgovaraju vašem stanju (klor, inverzija).

Tablica 11 je prikladna.

    Odabir vrijednosti g 1 , g 2, x 1 , x 2 . Važno – uzmite brzinu vjetra od 1 m/s, uzmite temperaturu od 20 °C.

    Zamjenjujemo odabrane vrijednosti u formulu i pronalazimo x 0 .

Važno – izračun je točan ako x 0 će imati vrijednost negdje između x 1 , x 2 .

1.4. Lagrangeova interpolacijska formula

Algoritam koji je predložio Lagrange za konstruiranje interpolacije

funkcije iz tablica (1) omogućuje konstrukciju interpolacijskog polinoma Ln(x) u obliku

Očito, ispunjenje uvjeta (11) za (10) određuje ispunjenje uvjeta (2) za postavljanje problema interpolacije.

Polinomi li(x) pišu se na sljedeći način

Imajte na umu da niti jedan faktor u nazivniku formule (14) nije jednak nuli. Nakon što ste izračunali vrijednosti konstanti ci, možete ih koristiti za izračunavanje vrijednosti interpolirane funkcije u danim točkama.

Formula za Lagrangeov interpolacijski polinom (11), uzimajući u obzir formule (13) i (14), može se napisati kao

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizacija ručnih izračuna pomoću Lagrangeove formule

Izravna primjena Lagrangeove formule dovodi do velikog broja sličnih izračuna. Za tablice male veličine, ti se izračuni mogu izvesti ili ručno ili u programskom okruženju

U prvoj fazi razmotrit ćemo algoritam za ručne izračune. U budućnosti bi te iste izračune trebalo ponoviti u okruženju

Microsoft Excel ili OpenOffice.org Calc.

Na sl. Slika 6 prikazuje primjer izvorne tablice interpolirane funkcije definirane s četiri čvora.

sl.6. Tablica koja sadrži početne podatke za četiri čvora interpolirane funkcije

U treći stupac tablice upisujemo vrijednosti koeficijenata qi izračunate pomoću formula (14). Ispod je zapis ovih formula za n=3.


q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Sljedeći korak u implementaciji ručnih izračuna je izračunavanje vrijednosti li(x) (j=0,1,2,3), izvedeno prema formulama (13).

Napišimo ove formule za verziju tablice s četiri čvora koju razmatramo:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Izračunajmo vrijednosti polinoma li(xj) (j=0,1,2,3) i upišimo ih u ćelije tablice. Vrijednosti funkcije Ycalc(x), prema formuli (11), dobit će se kao rezultat zbrajanja vrijednosti li(xj) po redu.

Format tablice, uključujući stupce izračunatih vrijednosti li(xj) i stupac vrijednosti Ycalc(x), prikazan je na slici 8.

Riža. 8. Tablica s rezultatima ručnih izračuna izvedenih pomoću formula (16), (17) i (11) za sve vrijednosti argumenta xi

Generirajući tablicu prikazanu na Sl. 8, pomoću formula (17) i (11) možete izračunati vrijednost interpolirane funkcije za bilo koju vrijednost argumenta X. Na primjer, za X=1 izračunavamo vrijednosti li(1) (i=0, 1,2,3):

l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Zbrajanjem vrijednosti li(1) dobivamo vrijednost Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementacija interpolacijskog algoritma pomoću Lagrangeovih formula u programskom okruženju Microsoft Excel

Implementacija algoritma interpolacije počinje, kao i kod ručnih izračuna, ispisivanjem formula za izračunavanje koeficijenata qi Na sl. Na slici 9 prikazani su stupci tablice sa zadanim vrijednostima argumenta, interpolirane funkcije i koeficijenata qi. Desno od ove tablice nalaze se formule napisane u ćelijama stupca C za izračunavanje vrijednosti koeficijenata qi.

VS2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ž q0

VS3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ž q1

VS4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ž q2

VS5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Ž q3

Riža. 9 Tablica koeficijenata qi i formule za izračun

Nakon unosa formule q0 u ćeliju C2, ona se proširuje kroz ćelije C3 do C5. Nakon toga se formule u tim ćelijama prilagođavaju u skladu s (16) u oblik prikazan na sl. 9.


Ycalc(xi),

Implementacijom formule (17) u ćelije stupaca D, E, F i G upisujemo formule za izračunavanje vrijednosti li(x) (i=0,1,2,3). U ćeliji D2 za izračunavanje vrijednosti l0(x0) zapisujemo formulu:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

dobivamo vrijednosti l0 (xi) (i=0,1,2,3).

$A2 format veze omogućuje vam da protegnete formulu preko stupaca E, F, G kako biste formirali računalne formule za izračun li(x0) (i=1,2,3). Kada povučete formulu preko retka, indeks stupca argumenata se ne mijenja. Za izračun li(x0) (i=1,2,3) nakon crtanja formule l0(x0) potrebno ih je korigirati prema formulama (17).

U stupac H stavljamo Excel formule za zbrajanje li(x) prema formuli

(11) algoritam.

Na sl. Na slici 10 prikazana je tablica implementirana u programskom okruženju Microsoft Excel. Znak ispravnosti formula zapisanih u ćelijama tablice i izvršenih računskih operacija jesu dobivena dijagonalna matrica li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), ponavljajući rezultate prikazane na sl. 8, i stupac vrijednosti koje se podudaraju s vrijednostima interpolirane funkcije u čvorovima izvorne tablice.

Riža. 10. Tablica vrijednosti li(xj) (j=0,1,2,3) i Ycalc(xj)

Dovoljno je izračunati vrijednosti u nekim srednjim točkama

U ćelije stupca A, počevši od ćelije A6, unesite vrijednosti argumenta X za koje želite odrediti vrijednosti interpolirane funkcije. Izaberi

u zadnjem (5.) retku tablice, ćelije od l0(xn) do Ycalc(xn) i rastegnite formule napisane u odabranim ćelijama do retka koji sadrži posljednju

navedena vrijednost argumenta x.

Na sl. 11 prikazuje tablicu u kojoj je vrijednost funkcije izračunata u tri točke: x=1, x=2 i x=3. U tablicu je uveden dodatni stupac s brojevima redaka tablice izvornih podataka.

Riža. 11. Izračunavanje vrijednosti interpoliranih funkcija pomoću Lagrangeovih formula

Radi veće jasnoće u prikazivanju rezultata interpolacije, izgradit ćemo tablicu koja uključuje stupac vrijednosti argumenata X poredanih uzlaznim redoslijedom, stupac početnih vrijednosti funkcije Y(X) i stupac

Recite mi kako koristiti formulu interpolacije i koju u rješavanju problema u termodinamici (toplinska tehnika)

Ivan Šestakovič

Najjednostavnija, ali često nedovoljno precizna interpolacija je linearna. Kada već imate dvije poznate točke (X1 Y1) i (X2 Y2) i trebate pronaći vrijednosti Y dana nekog X koji se nalazi između X1 i X2. Tada je formula jednostavna.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+U1
Usput, ova formula također radi za X vrijednosti izvan intervala X1..X2, ali to se već zove ekstrapolacija i na značajnoj udaljenosti od ovog intervala daje vrlo veliku pogrešku.
Ima još mnogo drugih psovki. metode interpolacije - savjetujem vam da pročitate udžbenik ili pretražite internet.
Moguća je i metoda grafičke interpolacije - ručno nacrtati graf kroz poznate točke i pronaći Y iz grafa za traženi X. ;)

Roman

Imate dva značenja. I približno ovisnost (linearna, kvadratna,..)
Graf ove funkcije prolazi kroz vaše dvije točke. Potrebna vam je vrijednost negdje između. Pa ti to izrazi!
Na primjer. U tablici, na temperaturi od 22 stupnja, tlak zasićene pare je 120 000 Pa, a na 26 124 000 Pa. Zatim na temperaturi od 23 stupnja 121000 Pa.

Interpolacija (koordinate)

Na karti (slika) nalazi se koordinatna mreža.
Na njoj se nalaze neke dobro poznate referentne točke (n>3), od kojih svaka ima po dvije vrijednosti x,y- koordinate u pikselima, a koordinate u metrima.
Potrebno je pronaći srednje vrijednosti koordinata u metrima, znajući koordinate u pikselima.
Linearna interpolacija nije prikladna - pogreška izvan linije je prevelika.
Ovako: (Xc je koordinata u metrima duž ox, Xp je koordinata u pikselima duž ox, Xc3 je željena vrijednost u ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Kako pronaći istu formulu za pronalaženje Xc i Yc, uzimajući u obzir ne dvije (kao ovdje), već N poznatih referentnih točaka?

Joka paprat lowd

Sudeći po napisanim formulama, poklapaju li se osi koordinatnih sustava u pikselima i metrima?
To jest, Xp -> Xc je interpoliran neovisno, a Yp -> Yc je neovisno interpoliran. Ako nije, tada morate koristiti dvodimenzionalnu interpolaciju Xp,Yp->Xc i Xp,Yp->Yc, što donekle komplicira zadatak.
Nadalje se pretpostavlja da su koordinate Xp i Xc povezane nekom ovisnošću.
Ako je priroda ovisnosti poznata (ili se pretpostavlja, npr. pretpostavimo da je Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), tada je moguće dobiti parametre ove ovisnosti (za danu ovisnost a, b, c) korištenjem regresijske analize (Metoda najmanjih kvadrata). U ovoj metodi, ako navedete određenu ovisnost Xc(Xp), možete dobiti formulu za parametre ovisnosti o referentnim podacima. Ova metoda omogućuje, posebice, pronalaženje linearnog odnosa koji najbolje zadovoljava ovaj skup podaci.
Nedostatak: U ovoj metodi, koordinate Xc dobivene iz podataka kontrolnih točaka Xp mogu se razlikovati od navedenih. Na primjer, aproksimativna ravna crta povučena kroz eksperimentalne točke ne prolazi točno kroz same te točke.
Ako je potrebna točna podudarnost, a priroda ovisnosti je nepoznata, moraju se koristiti metode interpolacije. Najjednostavniji matematički je Lagrangeov interpolacijski polinom, koji prolazi točno kroz referentne točke. Međutim, zbog visokog stupnja ovog polinoma pri veliki broj referentnih točaka i loše kvalitete interpolacije, bolje je ne koristiti ga. Prednost je relativno jednostavna formula.
Bolje je koristiti spline interpolaciju. Bit ove metode je da se u svakom odsječku između dvije susjedne točke, ovisnost koja se proučava interpolira polinomom, a uvjeti glatkoće se zapisuju na spojnim točkama dvaju intervala. Prednost ove metode je kvaliteta interpolacije. Nedostaci - gotovo je nemoguće izvesti opću formulu; morate pronaći koeficijente polinoma u svakom odjeljku algoritamski. Još jedan nedostatak je teškoća generalizacije na dvodimenzionalnu interpolaciju.

Postoji situacija kada trebate pronaći međurezultate u nizu poznatih vrijednosti. U matematici se to zove interpolacija. U Excelu ovu metodu može se koristiti i za tablične podatke i za izradu grafikona. Pogledajmo svaku od ovih metoda.

Glavni uvjet pod kojim se interpolacija može koristiti je da željena vrijednost mora biti unutar podatkovnog polja, a ne izvan njegovog ograničenja. Na primjer, ako imamo skup argumenata 15, 21 i 29, tada možemo koristiti interpolaciju da pronađemo funkciju za argument 25. Ali više ne postoji način da se pronađe odgovarajuća vrijednost za argument 30. Ovo je glavna razlika između ovog postupka i ekstrapolacije.

Metoda 1: Interpolacija za tablične podatke

Prije svega, pogledajmo primjene interpolacije za podatke koji se nalaze u tablici. Na primjer, uzmimo niz argumenata i njihovih odgovarajućih funkcijskih vrijednosti, čiji se odnos može opisati linearnom jednadžbom. Ovi podaci prikazani su u donjoj tablici. Moramo pronaći odgovarajuću funkciju za argument 28 . Najlakši način da to učinite je pomoću operatora PREDVIĐANJE.


Metoda 2: Interpolirajte grafikon pomoću njegovih postavki

Postupak interpolacije također se može koristiti kod konstruiranja grafova funkcija. Relevantno je ako tablica na kojoj se temelji grafikon ne pokazuje odgovarajuću vrijednost funkcije za jedan od argumenata, kao na slici ispod.


Kao što vidite, grafikon je ispravljen, a praznina je uklonjena pomoću interpolacije.

Metoda 3: Interpolirajte grafikon pomoću funkcije

Također možete interpolirati grafikon pomoću posebne funkcije ND. Vraća nedefinirane vrijednosti u navedenoj ćeliji.


Možete to učiniti još lakše bez trčanja Čarobnjak za funkcije, i samo pomoću tipkovnice unesite vrijednost u praznu ćeliju "#N/A" bez navodnika. Ali ovisi što je kom korisniku zgodnije.

Kao što vidite, u Excelu možete interpolirati kao tablične podatke pomoću funkcije PREDVIĐANJE, i grafika. U potonjem slučaju, to se može učiniti pomoću postavki grafikona ili pomoću funkcije ND uzrokujući grešku "#N/A". Izbor metode koja će se koristiti ovisi o postavci problema, kao io osobnim preferencijama korisnika.

Mnogi od nas susreli su se s nerazumljivim pojmovima u raznim znanostima. Ali malo je ljudi koje nerazumljive riječi ne plaše, već ih, naprotiv, potiču i tjeraju da dublje uđu u predmet koji proučavaju. Danas ćemo govoriti o takvoj stvari kao što je interpolacija. Ovo je metoda konstruiranja grafova pomoću poznatih točaka, koja omogućuje, uz minimalnu količinu informacija o funkciji, predviđanje njenog ponašanja na određenim dijelovima krivulje.

Prije nego što prijeđemo na suštinu same definicije i detaljnije govorimo o njoj, zaronimo malo dublje u povijest.

Priča

Interpolacija je poznata od davnina. Međutim, ovaj fenomen svoj razvoj duguje nekolicini najistaknutijih matematičara prošlosti: Newtonu, Leibnizu i Gregoryju. Upravo su oni razvili ovaj koncept koristeći naprednije matematičke tehnike dostupne u to vrijeme. Prije toga se interpolacija, naravno, primjenjivala i koristila u izračunima, ali su to radili na potpuno netočne načine koji su zahtijevali velika količina podatke za izgradnju modela više ili manje bliskog stvarnosti.

Danas čak možemo izabrati koja je metoda interpolacije prikladnija. Sve je prevedeno u računalni jezik, koji s velikom točnošću može predvidjeti ponašanje funkcije u određenom području ograničenom poznatim točkama.

Interpolacija je prilično uzak pojam, pa njezina povijest nije toliko bogata činjenicama. U sljedećem odjeljku otkrit ćemo što je zapravo interpolacija i kako se razlikuje od svoje suprotnosti - ekstrapolacije.

Što je interpolacija?

Kao što smo već rekli, ovo je opći naziv za metode koje vam omogućuju da izgradite grafikon po točkama. U školi se to uglavnom radi sastavljanjem tablice, identificiranjem točaka na grafikonu i grubim crtanjem linija koje ih povezuju. Zadnja akcija radi se na temelju razmatranja sličnosti funkcije koja se proučava s ostalima, čiji nam je tip grafova poznat.

Međutim, postoje i drugi, složeniji i točniji načini da se izvrši zadatak iscrtavanja grafa od točke do točke. Dakle, interpolacija je zapravo “predviđanje” ponašanja funkcije u određenom području ograničenom poznatim točkama.

Postoji sličan koncept povezan s istim područjem - ekstrapolacija. Također predstavlja predviđanje grafa funkcije, ali izvan poznatih točaka grafa. Ovom se metodom predviđanje temelji na ponašanju funkcije u poznatom intervalu, a zatim se ta funkcija primjenjuje na nepoznati interval. Ova metoda je vrlo prikladna za praktična aplikacija a aktivno se koristi, primjerice, u ekonomiji za predviđanje uspona i padova na tržištu te za predviđanje demografske situacije u zemlji.

No, udaljili smo se od glavne teme. U sljedećem odjeljku otkrit ćemo što se interpolacija događa i koje se formule mogu koristiti za izvođenje ove operacije.

Vrste interpolacije

Najviše jednostavan pogled je interpolacija korištenjem metode najbližeg susjeda. Koristeći ovu metodu, dobivamo vrlo grubi grafikon koji se sastoji od pravokutnika. Ako ste ikada vidjeli objašnjenje geometrijskog značenja integrala na grafu, shvatit ćete o kakvom grafičkom obliku govorimo.

Osim toga, postoje i druge metode interpolacije. Najpoznatiji i najpopularniji povezani su s polinomima. Oni su točniji i omogućuju vam predviđanje ponašanja funkcije s prilično oskudnim skupom vrijednosti. Prva metoda interpolacije koju ćemo pogledati je linearna polinomska interpolacija. Ovo je najjednostavnija metoda u ovoj kategoriji i vjerojatno ju je svatko od vas koristio u školi. Njegova suština je konstruirati ravne linije između poznatih točaka. Kao što znate, jedna ravna linija prolazi kroz dvije točke na ravnini, čija se jednadžba može pronaći na temelju koordinata tih točaka. Konstruirajući ove ravne linije, dobivamo slomljeni grafikon, koji, u najmanju ruku, odražava približne vrijednosti funkcija i općenito se podudara sa stvarnošću. Tako se provodi linearna interpolacija.

Napredne vrste interpolacije

Ima jedan zanimljiviji, ali u isto vrijeme i više teži način interpolacija. Izumio ga je francuski matematičar Joseph Louis Lagrange. Zato je izračun interpolacije ovom metodom nazvan po njoj: interpolacija Lagrangeovom metodom. Ovdje je trik sljedeći: ako metoda navedena u prethodnom odlomku koristi samo linearnu funkciju za izračun, tada proširenje Lagrangeovom metodom također uključuje korištenje polinoma više visoki stupnjevi. Ali nije lako pronaći same interpolacijske formule za različite funkcije. I što je više točaka poznato, točnija je interpolacijska formula. Ali postoje mnoge druge metode.

Postoji naprednija metoda izračuna koja je bliža stvarnosti. Interpolacijska formula koja se u njoj koristi je skup polinoma, od kojih primjena svakog ovisi o dijelu funkcije. Ova metoda se naziva spline funkcija. Osim toga, postoje i načini da se napravi nešto poput interpolacije funkcija dviju varijabli. Postoje samo dvije metode. Među njima su bilinearna ili dvostruka interpolacija. Ova metoda vam omogućuje da jednostavno izgradite grafikon pomoću točaka u trodimenzionalnom prostoru. Nećemo dirati druge metode. Općenito, interpolacija je univerzalni naziv za sve te metode konstruiranja grafova, ali raznolikost načina na koje se ta radnja može izvesti tjera nas da ih podijelimo u skupine ovisno o vrsti funkcije koja je predmet ove akcije. Odnosno, interpolacija, čiji smo primjer pogledali gore, odnosi se na izravne metode. Postoji i inverzna interpolacija, koja se razlikuje po tome što vam omogućuje izračunavanje ne izravne, već inverzne funkcije (to jest, x iz y). Nećemo razmatrati potonju opciju, jer je prilično komplicirana i zahtijeva dobru bazu matematičkog znanja.

Prijeđimo na možda jedan od najvažnijih odjeljaka. Iz nje saznajemo kako i gdje se skup metoda o kojima raspravljamo primjenjuje u životu.

Primjena

Matematika je, kao što znamo, kraljica znanosti. Stoga, čak i ako isprva ne vidite smisao u određenim operacijama, to ne znači da su beskorisne. Na primjer, čini se da je interpolacija beskorisna stvar, uz pomoć koje se mogu graditi samo grafikoni, koji sada malo kome trebaju. Međutim, za bilo kakve izračune u tehnologiji, fizici i mnogim drugim znanostima (na primjer, biologiji), iznimno je važno predstaviti prilično cjelovitu sliku fenomena, a pritom imati određeni skup vrijednosti. Same vrijednosti, razbacane po grafikonu, ne daju uvijek jasnu ideju o ponašanju funkcije u određenom području, vrijednostima njezinih derivata i točkama sjecišta s osi. A to je vrlo važno za mnoga područja našeg života.

Kako će to biti korisno u životu?

Na ovakvo pitanje može biti vrlo teško odgovoriti. Ali odgovor je jednostavan: nema šanse. Ovo znanje vam neće biti od koristi. Ali ako razumijete ovaj materijal i metode kojima se te radnje izvode, trenirat ćete svoju logiku, što će vam biti vrlo korisno u životu. Glavna stvar nije samo znanje, već vještine koje osoba stječe u procesu studiranja. Ne postoji uzalud izreka: "Živi zauvijek, uči zauvijek."

Povezani pojmovi

Sami možete shvatiti koliko je ovo područje matematike bilo (i još uvijek jest) važno ako pogledate niz drugih koncepata povezanih s njim. Već smo govorili o ekstrapolaciji, ali postoji i aproksimacija. Možda ste već čuli ovu riječ. U svakom slučaju, također smo razgovarali o tome što to znači u ovom članku. Aproksimacija, kao i interpolacija, pojmovi su povezani s konstrukcijom grafova funkcija. Ali razlika između prvog i drugog je u tome što je to aproksimativna konstrukcija grafa na temelju sličnih poznatih grafova. Ova su dva pojma vrlo slična jedan drugome, što čini još zanimljivijim proučavati svaki od njih.

Zaključak

Matematika nije tako komplicirana znanost kako se na prvi pogled čini. Prilično je zanimljiva. I u ovom članku pokušali smo vam to dokazati. Pogledali smo pojmove vezane uz iscrtavanje, naučili što je dvostruka interpolacija i pogledali primjere gdje se koristi.

Ovo je poglavlje iz knjige Billa Jelena.

Izazov: Neki problemi inženjerskog dizajna zahtijevaju korištenje tablica za izračunavanje vrijednosti parametara. Budući da su tablice diskretne, dizajner koristi linearnu interpolaciju za dobivanje srednje vrijednosti parametra. Tablica (slika 1) uključuje visinu iznad tla (kontrolni parametar) i brzinu vjetra (izračunati parametar). Na primjer, ako trebate pronaći brzinu vjetra koja odgovara visini od 47 metara, tada biste trebali primijeniti formulu: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/s.

Preuzmite bilješku u ili formatu, primjere u formatu

Što ako postoje dva kontrolna parametra? Je li moguće izvesti izračune pomoću jedne formule? Tablica (slika 2) prikazuje vrijednosti tlaka vjetra za različite visine i raspone konstrukcija. Potrebno je izračunati tlak vjetra na visini od 25 metara i rasponu od 300 metara.

Rješenje: Problem rješavamo proširenjem metode korištene za slučaj s jednim kontrolnim parametrom. Prati ove korake:

Počnite s tablicom prikazanom na sl. 2. Dodajte izvorne ćelije za visinu i raspon u J1 odnosno J2 (Slika 3).

Riža. 3. Formule u ćelijama J3:J17 objašnjavaju rad megaformule

Radi lakšeg korištenja formula, definirajte imena (slika 4).

Gledajte kako formula radi uzastopno od ćelije J3 do ćelije J17.

Upotrijebite obrnutu sekvencijalnu zamjenu za konstruiranje megaformule. Kopirajte tekst formule iz ćelije J17 u J19. Zamijenite referencu na J15 u formuli s vrijednošću u ćeliji J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. I tako dalje. Rezultat je formula koja se sastoji od 984 znaka, koja se ne mogu percipirati u ovom obliku. Možete ga pogledati u priloženoj Excel datoteci. Nisam siguran da je ova vrsta megaformule korisna za korištenje.

Sažetak: Linearna interpolacija koristi se za dobivanje srednje vrijednosti parametra ako su tablične vrijednosti navedene samo za granice raspona; Predložena je metoda izračuna koja koristi dva kontrolna parametra.