Paglutas ng mga sistema ng mga equation na may mga parameter ng PAGGAMIT. "mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter"

Ulat sa GMO ng isang guro sa matematika sa MBOU Secondary School No. 9

Molchanova Elena Vladimirovna

"Paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika: mga problema sa mga parameter."

Dahil walang kahulugan ng parameter sa mga aklat-aralin sa paaralan, ipinapanukala kong gawin ang sumusunod na pinakasimpleng bersyon bilang batayan.

Kahulugan . Ang isang parameter ay isang independiyenteng variable, ang halaga nito sa problema ay itinuturing na isang naibigay na fixed o arbitrary na tunay na numero, o isang numero na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay.

Ano ang ibig sabihin ng "malutas ang isang problema sa isang parameter"?

Natural, depende ito sa tanong sa problema. Kung, halimbawa, kinakailangan upang malutas ang isang equation, isang hindi pagkakapantay-pantay, isang sistema o isang hanay ng mga ito, nangangahulugan ito ng pagpapakita ng isang makatwirang sagot alinman para sa anumang halaga ng isang parameter o para sa isang halaga ng isang parameter na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay. .

Kung kailangan mong makahanap ng mga halaga ng parameter kung saan ang hanay ng mga solusyon sa isang equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp. ay nakakatugon sa ipinahayag na kondisyon, kung gayon, malinaw naman, ang solusyon sa problema ay binubuo ng paghahanap tinukoy na mga halaga parameter.

Ang mambabasa ay bubuo ng isang mas malinaw na pag-unawa sa kung ano ang ibig sabihin ng paglutas ng problema sa isang parameter pagkatapos basahin ang mga halimbawa ng paglutas ng problema sa mga sumusunod na pahina.

Ano ang mga pangunahing uri ng mga problema sa mga parameter?

Uri 1. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, kanilang mga system at set na dapat lutasin alinman para sa anumang halaga ng parameter (parameter) o para sa mga halaga ng parameter na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay.

Ang ganitong uri ng problema ay pangunahing kapag pinagkadalubhasaan ang paksang "Mga problema sa mga parameter", dahil ang namuhunan na trabaho ay paunang natukoy ang tagumpay sa paglutas ng mga problema ng lahat ng iba pang mga pangunahing uri.

Uri 2. Ang mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga system at set, kung saan kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng parameter (mga parameter).

Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na kapag nilulutas ang mga problema ng ganitong uri hindi na kailangang lutasin ang mga ibinigay na equation, hindi pagkakapantay-pantay, kanilang mga sistema at kumbinasyon, atbp., o ibigay ang mga solusyong ito; Sa karamihan ng mga kaso, ang gayong hindi kinakailangang gawain ay isang taktikal na pagkakamali na humahantong sa hindi kinakailangang pag-aaksaya ng oras. Gayunpaman, hindi dapat gawin ng isa itong ganap, dahil kung minsan ang isang direktang solusyon alinsunod sa uri 1 ay ang tanging makatwirang paraan upang makakuha ng sagot kapag nilulutas ang isang problema ng uri 2.

Uri 3. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, kanilang mga system at set, kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang mga equation sa itaas, mga hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga sistema at mga koleksyon ay may ibinigay na bilang ng mga solusyon (sa partikular, wala sila o may walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Madaling makita na ang mga uri ng 3 na problema ay sa ilang kahulugan ang kabaligtaran ng mga uri 2 na problema.

Uri 4. Ang mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga system at set, kung saan, para sa mga kinakailangang halaga ng parameter, ang hanay ng mga solusyon ay nakakatugon sa tinukoy na mga kondisyon sa domain ng kahulugan.

Halimbawa, hanapin ang mga halaga ng parameter kung saan:

1) ang equation ay nasiyahan para sa anumang halaga ng variable mula sa isang ibinigay na pagitan;
2) ang hanay ng mga solusyon sa unang equation ay isang subset ng hanay ng mga solusyon sa pangalawang equation, atbp.

Magkomento. Ang iba't ibang mga problema sa isang parameter ay sumasaklaw sa buong kurso ng matematika ng paaralan (parehong algebra at geometry), ngunit ang napakaraming karamihan sa mga ito sa final at entrance exam ay nabibilang sa isa sa apat na nakalistang uri, na para sa kadahilanang ito ay tinatawag na basic.

Ang pinakalaganap na klase ng mga problema sa isang parameter ay mga problema sa isang hindi alam at isang parameter. Ang susunod na talata ay nagpapahiwatig ng mga pangunahing paraan upang malutas ang mga problema ng partikular na klase na ito.

Ano ang mga pangunahing paraan (paraan) ng paglutas ng mga problema sa isang parameter?

Pamamaraan I (analitikal). Ito ay isang paraan ng tinatawag na direktang solusyon, paulit-ulit karaniwang mga pamamaraan paghahanap ng sagot sa mga problema na walang parameter. Minsan sinasabi nila na ito ay isang paraan ng malakas, sa isang mabuting kahulugan, "mapagmataas" na solusyon.

Magkomento. Ang analytical na paraan ng paglutas ng mga problema sa isang parameter ay ang pinakamahirap na paraan, na nangangailangan ng mataas na literacy at ang pinakamalaking pagsisikap na makabisado ito.

Pamamaraan II (graphic). Depende sa gawain (na may variable na x at parametera ) ang mga graph ay isinasaalang-alang alinman sa coordinate plane (x; y), o sa coordinate plane (x;a ).

Magkomento. Ang pambihirang kalinawan at kagandahan ng graphical na paraan ng paglutas ng mga problema sa isang parameter ay nakakaakit sa mga mag-aaral ng paksang "Mga Problema sa isang parameter" nang labis na sinimulan nilang huwag pansinin ang iba pang mga paraan ng solusyon, nalilimutan ang kilalang katotohanan: para sa anumang klase ng mga problema , ang kanilang mga may-akda ay maaaring bumalangkas ng isang mahusay na nalutas sa ganitong paraan at may napakalaking kahirapan sa iba pang mga paraan. Samakatuwid, sa paunang yugto ng pag-aaral ay mapanganib na magsimula mga graphic na pamamaraan paglutas ng mga problema gamit ang isang parameter.

Pamamaraan III (pagpasya patungkol sa parameter). Kapag nilulutas sa ganitong paraan, ang mga variable na x at a ay ipinapalagay na pantay, at ang variable na kung saan ang analytical na solusyon ay itinuturing na mas simple ay pinili. Pagkatapos ng natural na pagpapasimple, bumalik tayo sa orihinal na kahulugan ng mga variable na x at a at kumpletuhin ang solusyon.

Magpapatuloy ako sa pagpapakita ng mga pamamaraang ito para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter, dahil ito ang paborito kong paraan para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri.

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa lahat ng mga gawain na may mga parameter na nalutas graphical na pamamaraan, sinimulan ko ang aking kakilala sa mga parameter na may mga gawain ng Unified State Exam V7 2002:

Sa ano ang halaga ng integer para sa equation na 45x – 3x 2 - X 3 Ang + 3k = 0 ay may eksaktong dalawang ugat?

Ang mga gawaing ito ay nagbibigay-daan, una, na matandaan kung paano bumuo ng mga graph gamit ang derivative, at pangalawa, upang ipaliwanag ang kahulugan ng tuwid na linya y = k.

Sa kasunod na mga klase, gumagamit ako ng seleksyon ng madali at katamtamang antas na mga problema sa kompetisyon na may mga parameter para sa paghahanda para sa Pinag-isang State Exam, mga equation na may module. Ang mga gawaing ito ay maaaring irekomenda sa mga guro ng matematika bilang panimulang hanay ng mga pagsasanay para sa pag-aaral na magtrabaho kasama ang parameter na nakapaloob sa ilalim ng module sign. Karamihan sa mga numero ay graphical na nalutas at ibinibigay sa guro handa na plano aralin (o dalawang aralin) na may isang malakas na mag-aaral. Paunang paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika gamit ang mga pagsasanay na malapit sa pagiging kumplikado sa mga tunay na numero ng C5. Marami sa mga iminungkahing gawain ay kinuha mula sa mga materyales para sa paghahanda para sa Unified State Exam 2009, at ang ilan ay mula sa Internet mula sa karanasan ng mga kasamahan.

1) Tukuyin ang lahat ng value ng parameterp , kung saan ang equation may 4 na ugat?
Sagot:

2) Sa anong mga halaga ng parameterA equation walang solusyon?
Sagot:

3) Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation may eksaktong 3 ugat?
Sagot: a=2

4) Sa anong mga halaga ng parameterb equation may iisang solusyon? Sagot:

5) Hanapin ang lahat ng mga halagam , kung saan ang equation walang solusyon.
Sagot:

6) Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang equation may eksaktong 3 magkaibang ugat. (Kung mayroong higit sa isang halaga ng a, pagkatapos ay isulat ang kanilang kabuuan sa iyong sagot.)

Sagot: 3

7) Sa anong mga halagab equation may eksaktong 2 solusyon?
Sagot:

8) Tukuyin ang mga parameter na itok , kung saan ang equation may hindi bababa sa dalawang solusyon.
Sagot:

9) Sa anong mga halaga ng parameterp equation isa lang ang solusyon?
Sagot:

10) Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation (x + 1)may eksaktong 2 ugat? Kung mayroong ilang mga halaga ng a, pagkatapos ay isulat ang kanilang kabuuan bilang tugon.

Sagot: - 3

11) Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang equation may eksaktong 3 ugat? (Kung mayroong higit sa isang halaga ng a, pagkatapos ay isulat ang kanilang kabuuan bilang tugon).

Sagot: 4

12) Sa anong pinakamaliit na natural na halaga ng parameter a ang equation – = 11 ay may positibong ugat lamang?

Sagot: 19

13) Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation = 1 ay may eksaktong 3 ugat? (Kung mayroong higit sa isang halaga ng a, pagkatapos ay isulat ang kanilang kabuuan sa iyong sagot).

Sagot:- 3

14) Tukuyin ang mga sumusunod na value ng parametert , kung saan ang equation may 4 iba't ibang solusyon. Sagot:

15) Hanapin ang mga parameter na itom , kung saan ang equation ay may dalawang magkaibang solusyon. Sagot:

16) Sa anong mga halaga ng parameterp equation may eksaktong 3 extrema? Sagot:

17) Ipahiwatig ang lahat ng posibleng mga parameter n kung saan ang function may eksaktong isang minimum na punto. Sagot:

Ang nai-publish na set ay regular kong ginagamit upang magtrabaho kasama ang isang may kakayahan, ngunit hindi ang pinakamalakas na mag-aaral, na gayunpaman ay naghahangad ng isang mataas na marka ng Unified State Exam sa pamamagitan ng paglutas ng numero C5. Inihahanda ng guro ang gayong mag-aaral sa maraming yugto, na naglalaan ng magkakahiwalay na mga aralin para sa pagsasanay ng mga indibidwal na kasanayan na kinakailangan para sa paghahanap at pagpapatupad ng mga pangmatagalang solusyon. Ang pagpipiliang ito ay angkop para sa yugto ng pagbuo ng mga ideya tungkol sa mga lumulutang na pattern, depende sa parameter. Ang mga numero 16 at 17 ay batay sa modelo ng isang tunay na equation na may parameter sa Unified State Exam 2011. Ang mga gawain ay inayos ayon sa pagtaas ng kahirapan.

Takdang-aralin C5 sa matematika Unified State Exam 2012

Narito mayroon kaming isang tradisyunal na problema sa parameter na nangangailangan ng isang katamtamang mastery ng materyal at ang aplikasyon ng ilang mga katangian at theorems. Ang gawaing ito ay isa sa pinakamahirap na gawain ng Unified State Exam sa Mathematics. Pangunahin itong idinisenyo para sa mga nagnanais na ipagpatuloy ang kanilang pag-aaral sa mga unibersidad na may mas mataas na mga kinakailangan para sa paghahanda sa matematika ng mga aplikante. Upang matagumpay na malutas ang isang problema, mahalagang malayang gumana sa mga pinag-aralan na mga kahulugan, katangian, teorema, ilapat ang mga ito sa iba't ibang sitwasyon, pag-aralan ang kondisyon at maghanap ng mga posibleng solusyon.

Sa site ng paghahanda para sa Unified State Exam ni Alexander Larin mula Mayo 11, 2012, mga opsyon sa pagsasanay No. 1 - 22 na may mga gawain sa antas "C", C5 ng ilan sa mga ito ay katulad ng mga gawain na nasa totoong pagsusulit. Halimbawa, hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa kung saan ang mga graph ng mga functionf(x) = Atg(x) = a(x + 5) + 2 ay walang mga karaniwang puntos?

Tingnan natin ang solusyon sa gawain C5 mula sa pagsusulit sa 2012.

Gawain C5 mula sa Unified State Exam 2012

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation may hindi bababa sa dalawang ugat.

Solusyonan natin ang problemang ito nang grapiko. I-plot natin ang kaliwang bahagi ng equation: at ang graph sa kanang bahagi:at bumalangkas ng problemang tanong tulad ng sumusunod: sa anong mga halaga ng parameter a ang mga graph ng mga function Atmay dalawa o higit pang mga puntong magkatulad.

Walang parameter sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation, kaya maaari naming i-plot ang function.

Bubuo kami ng graph na ito gamit ang mga function:

1. Ilipat ang graph ng function3 unit pababa sa kahabaan ng OY axis, nakukuha namin ang graph ng function:

2. I-plot natin ang function . Upang gawin ito, bahagi ng graph ng function , na matatagpuan sa ibaba ng OX axis, ay ipapakita sa simetriko na nauugnay sa axis na ito:

Kaya, ang graph ng functionay may anyo:

Graph ng isang function

MKOU "Lodeynopolskaya pangalawa sekondaryang paaralan Hindi. 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Talumpati sa isang pulong ng Rehiyon ng Moscow

Mga pamamaraan sa paglutas ng problema

may mga parameter

Prokusheva Natalya Gennadievna

Lodeynoye Pole

2013-2014

Mga problema sa mga parameter

Ang mga problema sa mga parameter ay kabilang sa pinakamahirap sa mga problemang inaalok kapwa sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit at sa karagdagang mapagkumpitensyang pagsusulit sa mga unibersidad.

Malaki ang papel nila sa pagbuo lohikal na pag-iisip at kultura ng matematika. Ang mga paghihirap na lumitaw kapag nilutas ang mga ito ay dahil sa ang katunayan na ang bawat problema sa mga parameter ay kumakatawan sa isang buong klase ng mga ordinaryong problema, para sa bawat isa kung saan ang isang solusyon ay dapat makuha.

Kung sa isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) ang ilang mga coefficient ay hindi ibinibigay ng mga tiyak na halaga ng numero, ngunit itinalaga ng mga titik, kung gayon ang mga ito ay tinatawag na mga parameter, at ang equation (hindi pagkakapantay-pantay) ay parametric.

Bilang isang patakaran, ang mga hindi alam ay tinutukoy ng mga huling titik ng alpabetong Latin: x, y, z, ..., at mga parameter ng una: a, b, c, ...

Upang malutas ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may mga parameter ay nangangahulugang ipahiwatig kung anong mga halaga ng mga solusyon ang umiiral at kung ano ang mga ito. Dalawang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na naglalaman ng parehong mga parameter ay tinatawag na katumbas kung:

a) may katuturan sila para sa parehong mga halaga ng parameter;

b) bawat solusyon sa unang equation (hindi pagkakapantay-pantay) ay isang solusyon sa pangalawa at kabaliktaran.

Naturally, ang gayong maliit na klase ng mga problema ay hindi nagpapahintulot sa marami na maunawaan ang pangunahing bagay: ang parameter, bilang isang nakapirming ngunit hindi kilalang numero, ay may dalawahang katangian. Una, ang dapat na katanyagan ay nagpapahintulot sa iyo na "makipag-usap" sa parameter bilang isang numero, at pangalawa, ang antas ng kalayaan sa komunikasyon ay limitado sa pamamagitan ng kalabuan nito. Kaya, ang paghahati sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng isang parameter at pagkuha ng ugat ng isang kahit na antas mula sa naturang mga expression ay nangangailangan ng paunang pananaliksik. Karaniwan, ang mga resulta ng mga pag-aaral na ito ay nakakaimpluwensya sa parehong desisyon at sagot.

Paano simulan ang paglutas ng gayong mga problema? Huwag matakot sa mga problema sa mga parameter. Una sa lahat, kailangan mong gawin kung ano ang ginawa kapag nilulutas ang anumang equation o hindi pagkakapantay-pantay - dalhin ang ibinigay na equation (hindi pagkakapantay-pantay) sa higit pa simpleng view, kung maaari: i-factor ang isang rational expression, factor ang isang trigonometric polynomial, alisin ang mga module, logarithms, atbp.. pagkatapos ay kailangan mong maingat na basahin ang gawain nang paulit-ulit.

Kapag nilulutas ang mga problema na naglalaman ng isang parameter, may mga problema na maaaring hatiin sa dalawang malalaking klase. Kasama sa unang klase ang mga problema kung saan kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay o equation para sa lahat ng posibleng mga halaga ng isang parameter. Kasama sa pangalawang klase ang mga gawain kung saan hindi lahat ay kailangang hanapin. posibleng solusyon, ngunit ang mga nakakatugon lamang sa ilan karagdagang mga kondisyon.

Ang pinaka-naiintindihan na paraan para sa mga mag-aaral na malutas ang mga naturang problema ay ang unang hanapin ang lahat ng mga solusyon at pagkatapos ay piliin ang mga nakakatugon sa mga karagdagang kondisyon. Ngunit hindi ito laging posible. Magkita malaking bilang mga problema kung saan imposibleng mahanap ang buong hanay ng mga solusyon, at hindi kami hinihiling na gawin ito. Samakatuwid, kailangan nating maghanap ng isang paraan upang malutas ang problema nang hindi nasa ating pagtatapon ang buong hanay ng mga solusyon sa isang naibigay na equation o hindi pagkakapantay-pantay, halimbawa, hanapin ang mga katangian ng mga function na kasama sa equation na magpapahintulot sa atin na hatulan. ang pagkakaroon ng isang tiyak na hanay ng mga solusyon.

Mga pangunahing uri ng mga gawain na may mga parameter

Uri 2. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, kanilang mga system at set, kung saan kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng parameter (mga parameter).

Ibinibigay namin ang pansin sa katotohanan na kapag nilulutas ang mga problema ng ganitong uri, hindi na kailangang lutasin ang mga ibinigay na equation, hindi pagkakapantay-pantay, kanilang mga sistema at kumbinasyon, atbp., o upang magbigay ng mga solusyong ito; Sa karamihan ng mga kaso, ang gayong hindi kinakailangang gawain ay isang taktikal na pagkakamali na humahantong sa hindi kinakailangang pag-aaksaya ng oras. Gayunpaman, hindi dapat gawin ng isa itong ganap, dahil kung minsan ang isang direktang solusyon alinsunod sa uri 1 ay ang tanging makatwirang paraan upang makakuha ng sagot kapag nilulutas ang isang problema ng uri 2.

Uri 3. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, kanilang mga sistema at mga koleksyon, kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang mga tinukoy na equation, hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga system at mga koleksyon ay may ibinigay na bilang ng mga solusyon (sa partikular, wala sila o mayroon isang walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Madaling makita na ang mga uri ng 3 na problema ay sa ilang kahulugan ang kabaligtaran ng mga uri 2 na problema.

Halimbawa, hanapin ang mga halaga ng parameter kung saan:

Magkomento. Ang iba't ibang mga problema sa isang parameter ay sumasaklaw sa buong kurso ng matematika ng paaralan (parehong algebra at geometry), ngunit ang napakaraming karamihan sa mga ito sa final at entrance exam ay nabibilang sa isa sa apat na nakalistang uri, na para sa kadahilanang ito ay tinatawag na basic.

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter

Pamamaraan I(analitikal). Ito ay isang paraan ng tinatawag na direktang solusyon, na inuulit ang mga karaniwang pamamaraan para sa paghahanap ng sagot sa mga problema na walang parameter. Minsan sinasabi nila na ito ay isang paraan ng malakas, sa isang mabuting kahulugan, "mapagmataas" na solusyon.

Pamamaraan II(graphic). Depende sa gawain (na may variable x at parameter a) ang mga graph ay isinasaalang-alang o nasa coordinate plane ( x; y), o sa coordinate plane ( x; a).

Magkomento. Ang pambihirang kalinawan at kagandahan ng graphical na paraan ng paglutas ng mga problema sa isang parameter ay nakakaakit sa mga mag-aaral ng paksang "Mga Problema sa isang parameter" nang labis na sinimulan nilang huwag pansinin ang iba pang mga paraan ng solusyon, nalilimutan ang kilalang katotohanan: para sa anumang klase ng mga problema , ang kanilang mga may-akda ay maaaring bumalangkas ng isang mahusay na nalutas sa ganitong paraan at may napakalaking kahirapan sa iba pang mga paraan. Samakatuwid, sa paunang yugto ng pag-aaral, mapanganib na magsimula sa mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter.

Pamamaraan III(pagpasya patungkol sa parameter). Kapag ang paglutas sa ganitong paraan, ang mga variable x At a ay tinatanggap bilang pantay at ang variable kung saan ang analytical na solusyon ay itinuturing na mas simple ay pinili. Pagkatapos ng natural na pagpapasimple, bumalik tayo sa orihinal na kahulugan ng mga variable x At a at tapusin ang solusyon.

Magpatuloy tayo ngayon sa pagpapakita ng mga pamamaraang ito para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter.

1. Mga linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter

Linear function: – equation ng isang tuwid na linya na may slope coefficient . Ang angular coefficient ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa positibong direksyon ng axis .

Mga linear na equation na may mga parameter ng form

Kung , ang equation ay may ang tanging bagay solusyon.

Kung , na equation walang solusyon, Kailan , at ang equation ay may walang katapusang maraming solusyon, Kailan .

Halimbawa 1. Lutasin ang equation | x | = a .

Solusyon:

a > 0, => x 1.2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>walang solusyon.

Sagot: x 1.2 = ± a sa a > 0; x= 0 sa a= 0; walang solusyon para sa a < 0.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation |3 – x | = a .

Solusyon:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>walang solusyon.

Sagot: x 1.2 = 3 ± a sa a > 0; x= 3 sa a= 0; walang solusyon para sa a < 0.

Halimbawa 3. Lutasin ang equation m ² x – m = x + 1.

Solusyon:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Sagot:
sa m ≠ ± 1; x Є R sa m= –1; walang solusyon para sa m = 1.

Halimbawa 4. A lutasin ang equation: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

Solusyon: I-factorize natin ang coefficient. .

Kung , ang equation ay may ang tanging bagay solusyon: .

Kung , equation walang solusyon.

Kung , pagkatapos ay ang equation ay may walang katapusang maraming solusyon .

Halimbawa 6. Para sa lahat ng value ng parameter a lutasin ang equation:
.

Solusyon: ODZ: . Sa ilalim ng kondisyong ito, ang equation ay katumbas ng sumusunod: . Tingnan natin kung kabilang ka sa ODZ: , Kung . Kung , tapos yung equation walang solusyon.

Halimbawa 7. Para sa lahat ng value ng parameter A lutasin ang equation: | X + 3| – a | x – 1| = 4.

Solusyon: Hatiin natin ang linya ng numero sa 3 bahagi sa pamamagitan ng mga punto kung saan ang mga expression sa ilalim ng modulus sign ay nawawala at malulutas ang 3 system:

1) , Kung . Matatagpuan ang magiging solusyon kung .

2) , Kung . Ang isang natagpuan ay nakakatugon sa kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay, samakatuwid, ay isang solusyon para sa . Kung , kung gayon ang solusyon ay anuman .

3) , Kung . Natagpuan Hindi natutugunan ang kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay, samakatuwid, Hindi ay isang solusyon kapag . Kung , kung gayon ang solusyon ay anumang x > 1.

Sagot: sa ; sa ;

n ri ; ay isa ring solusyon para sa lahat .

Halimbawa 8. Hanapin lahat A, para sa bawat isa kung saan hindi bababa sa isa sa mga solusyon sa equation 15 x – 7a = 2 – 3palakol + 6a mas kaunti 2 .

Solusyon: Maghanap tayo ng mga solusyon sa equation para sa bawat isa . , Kung . Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: .

Kapag ang equation ay walang solusyon.

Sagot : AÎ (–5 , 4) .

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay may mga parameter

Halimbawa: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: kx < b .

Kung k> 0, pagkatapos
. Kung k < 0, то
. Kung k= 0, pagkatapos ay kailan b> 0 solusyon ay anuman x Є R, at kailan
walang solusyon.

Lutasin ang natitirang mga hindi pagkakapantay-pantay sa kahon sa parehong paraan.

Halimbawa 1. Para sa lahat ng mga halaga ng parameter a, lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Solusyon:

. Kung ang panaklong ay bago x ay positibo, i.e. sa
, Iyon
. Kung ang panaklong ay bago x negatibo, i.e. sa
, Iyon
. Kung a= 0 o a = , pagkatapos ay walang mga solusyon.

Sagot:
sa
;
sa
;

walang solusyon para sa a= 0 o a = .

Halimbawa 2. Para sa lahat ng value ng parameter A lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | X– isang| – | x + a| < 2a .

Solusyon:

Sa a=0 mayroon tayong maling hindi pagkakapantay-pantay 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, pagkatapos ay sa x< –a ang parehong mga module ay pinalawak na may minus at nakuha namin ang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay 2 a < 2a, ibig sabihin. walang solusyon. Kung x Є [– a ; a] , pagkatapos ay magbubukas ang unang module na may minus, at ang pangalawa ay may plus, at nakuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay -2 x < 2a, ibig sabihin. x > –a, ibig sabihin, ang solusyon ay anuman x Є (– a ; a]. Kung x > a ang parehong mga module ay bukas na may plus at nakuha namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay -2 a < 2a, ibig sabihin. , ang solusyon ay anuman x Є ( a; +∞). Pagsasama-sama ng parehong mga sagot, nakukuha natin iyon kapag a > 0 x Є (– a ; +∞).

Hayaan a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Kaya, kasama a < 0 решений нет.

Sagot: x Є (– a; +∞) sa a> 0, walang mga solusyon para sa
.

Magkomento. Ang solusyon sa problemang ito ay mas mabilis at mas simple kung gagamitin mo ang geometric na interpretasyon ng modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero bilang distansya sa pagitan ng mga puntos. Pagkatapos ang expression sa kaliwang bahagi ay maaaring bigyang-kahulugan bilang pagkakaiba sa mga distansya mula sa punto X sa mga puntos A At- A .

Halimbawa 3. Hanapin lahat A, para sa bawat isa kung saan ang lahat ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay
matugunan ang hindi pagkakapantay-pantay 2 x – a² + 5< 0.

Solusyon:

Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay |x | ≤ 2 ay isang set A=[–2; 2], at ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 2 x – a² + 5< 0 является множество B = (–∞;
). Upang matugunan ang mga kondisyon ng problema, kinakailangan na ang set A ay isama sa set B (). Ang kundisyong ito ay masisiyahan kung at kung .

Sagot: isang Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Halimbawa 4. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay
tumatakbo para sa lahat x mula sa segment.

Solusyon:

Ang isang fraction ay mas mababa sa zero sa pagitan ng mga ugat, kaya kailangan mong malaman kung aling ugat ang mas malaki.

–3a + 2 < 2a + 4
at –3 a + 2 > 2a + 4
. Kaya, kasama
xЄ (–3 a + 2; 2a+ 4) at para manatili ang hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng x mula sa segment , kinakailangan iyon

Sa
xЄ (2 a + 4; –3a+ 2) at upang ang hindi pagkakapantay-pantay ay mananatili para sa lahat x mula sa segment , ito ay kinakailangan na

Kapag ang isang = – (kapag ang mga ugat ay nagtutugma) walang mga solusyon, dahil sa kasong ito ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo: .

Sagot:
.

Halimbawa 5. A ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa lahat ng mga negatibong halaga X?

Solusyon:

Ang function ay tumataas nang monotonically kung ang coefficient sa x non-negative, at bumababa ito nang monotonically kung ang coefficient sa x negatibo.

Alamin natin ang sign ng coefficient sa

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Hayaan a≥ 1. Pagkatapos ay ang function f (x ) ay hindi monotonically bumababa, at ang kondisyon ng problema ay masisiyahan kung f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Kasama ang mga kondisyon a≥ 1; makuha namin:

Hayaan -3< a < 1. Тогда функция f (x ) monotonically bumababa, at ang kalagayan ng problema ay hindi kailanman masisiyahan.

Sagot:
.

2. Quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter

Quadratic function:
.

Sa hanay ng mga tunay na numero, ang equation na ito ay pinag-aralan gamit ang sumusunod na scheme.

Halimbawa 1. Sa anong halaga a equationx ² – palakol + 1 = 0 walang tunay na ugat?

Solusyon:

x ² – palakol + 1 = 0

D = a ² – 4 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Sagot: saisang Є (–2; 2)

Halimbawa 2.Para sa anong mga halaga ng isang ginagawa ang equation A (X ² – X + 1) = 3 X + 5 may dalawang magkaibang tunay na ugat?

Solusyon:

A (X ² – X + 1) = 3 X + 5, A ≠ 0

Oh ² – ah+ a – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( A + 3) X + A – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Sagot:saaЄ (–1/3; 0)U (0; 9)

Halimbawa 3: Lutasin ang equation
.

Solusyon:

ODZ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Sagot:
saa Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

walang solusyon para saa = –1; 3.

Halimbawa4 . Lutasin ang equation | x ²–2 x –3 | = a .

Solusyon:

Tingnan natin ang mga pag-andar y = | x ²–2 x –3 | Aty = a .

Sa a < 0 walang solusyon;
sa a = 0 at a> 4 dalawang solusyon;
sa 0< a < 4 – четыре решения;
sa a= 4 – tatlong solusyon.

Sagot:

sa a < 0 нет решений;
sa a= 0 at a> 4 dalawang solusyon;
sa 0< a < 4 – четыре решения;
sa a= 4 – tatlong solusyon.

Halimbawa 5.Hanapin ang lahat ng mga halaga a , para sa bawat isa kung saan ang equation | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
may eksaktong dalawang ugat. Kung ang mga naturang halaga a higit sa isa, ipahiwatig ang kanilang produkto sa iyong sagot.

Solusyon:

Palawakin natin ang quadratic trinomial x ²–( a +2) x +2 a sa pamamagitan ng multipliers.
;
;
;

Nakukuha namin | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Ang equation na ito ay katumbas ng set

Samakatuwid, ang equation na ito ay may eksaktong dalawang ugat kung a+ 3 = 2 at a – 3 = 2.
Mula dito nakita namin na ang mga nais na halaga a ay a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Sagot: –5.

Halimbawa 6.Hanapin ang lahat ng mga halaga a , kung saan ang mga ugat ng equation palakol ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 ay positibo.

Solusyon:

Checkpoint a= 0, dahil binabago ang kakanyahan ng equation.

1. a = 0 –2x + = 0;

Sagot: isang Є U .

Halimbawa 7.Saanong mga halaga ng parameter a equation | x ² – 4 x + 3 | = palakol may 3 ugat.

Solusyon:

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function y = | x ² – 4 x + 3 | At y = palakol .

Ang function ay naka-graph sa segment
.
Ang equation na ito ay magkakaroon ng tatlong ugat kung ang graph ng function y = palakol magiging padaplis sa graph y = x ²+ 4 x – 3 sa
segment

Ang tangent equation ay may anyo y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),

kasi tangent equation y = a, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

kasi x 0 Є ,

Sagot: sa a = 4 – 2
.

Quadratic inequalities may mga parameter

Halimbawa.Hanapin ang lahat ng value ng parameter a , para sa bawat isa sa mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
walang isang punto sa segment ng linya.

Solusyon:

Una, lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga halaga ng parameter, at pagkatapos ay hanapin ang mga kung saan walang isang solong punto ng segment sa mga solusyon. .
Hayaan
, palakol = t ²

t ≥ 0

Sa gayong pagpapalit ng mga variable, awtomatikong ginagawa ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay. x maaaring ipahayag sa pamamagitan ng t, Kung a≠ 0. Samakatuwid, ang kaso kapag a = 0, isasaalang-alang namin nang hiwalay.
1.Hayaan a = 0, pagkatapos X> 0, at ang ibinigay na segment ay isang solusyon.
2.Hayaan a≠ 0, pagkatapos
at hindi pagkakapantay-pantay
kukuha ng form
,

Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay nakasalalay sa mga halaga a, kaya kailangan nating isaalang-alang ang dalawang kaso.
1) Kung a>0, pagkatapos
sa
, o sa mga lumang variable,

Ang solusyon ay hindi naglalaman ng isang punto ng ibinigay na segment kung at lamang kung ang mga kundisyon ay natutugunan a ≤ 7,

16a≥ 96. Samakatuwid, a Є .
2). Kung A< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). kasi t≥ 0, pagkatapos ay walang mga solusyon.

Sagot: .

Mga hindi makatwirang equation na may mga parameter

Kapag nagpapasya hindi makatwirang equation at mga hindi pagkakapantay-pantay na may parameter, una, dapat isaalang-alang ang rehiyon mga katanggap-tanggap na halaga. Pangalawa, kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay mga di-negatibong pagpapahayag, ang gayong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-squad habang pinapanatili ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Sa maraming mga kaso, ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay ay binabawasan sa mga parisukat pagkatapos ng pagbabago ng mga variable.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation
.

Solusyon:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

Kung x = a² – 1, pagkatapos ay nasiyahan ang kundisyon.

Sagot: x = a² – 1 sa A≥ 0; walang solusyon para sa a < 0.

Halimbawa 2: Lutasin ang equation
.

Solusyon:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a–x ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = a–x,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Sagot:
sa a≥ –3; walang solusyon para sa a < –3.

Halimbawa 3. Ilang ugat mayroon ang equation?
depende sa mga halaga ng parameter A?

Solusyon:

Saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga ng equation: x Є [–2; 2]

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function. Ang graph ng unang function ay ang itaas na kalahati ng bilog x² + y² = 4. Ang graph ng pangalawang function ay ang bisector ng una at ikalawang coordinate angle. Mula sa graph ng unang function, ibawas ang graph ng pangalawa at kunin ang graph ng function
. Kung papalitan mo sa sa A, kung gayon ang huling graph ng function ay ang set ng mga puntos (x; a) na nagbibigay-kasiyahan sa orihinal na equation.

Ayon sa graph makikita natin ang sagot.

Sagot: sa AЄ (–∞; –2) U (1; +∞), walang ugat;

sa AЄ [–2; 2), dalawang ugat;

sa A= 1, isang ugat.

Halimbawa 4. Sa anong mga halaga ng parameter A equation
may iisang solusyon?

Solusyon:

Paraan 1 (analytical):

Sagot:

Paraan 2 (graphical):

Sagot: para sa isang ≥ –2 ang equation ay may natatanging solusyon

Halimbawa 5. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation = 2 + x ay may natatanging solusyon.

Solusyon:

Isaalang-alang natin ang isang graphical na bersyon ng solusyon sa equation na ito, iyon ay, gagawa tayo ng dalawang function:
sa 1 = 2 + X At sa 2 =

Ang unang function ay linear at dumadaan sa mga puntos (0; 2) at (–2; 0).
Ang graph ng pangalawang function ay naglalaman ng isang parameter. Isaalang-alang muna natin ang graph ng function na ito sa A= 0 (Larawan 1). Kapag binabago ang halaga ng parameter, lilipat ang graph sa kahabaan ng axis OH sa pamamagitan ng katumbas na halaga sa kaliwa (para sa positibo A) o sa kanan (para sa negatibo A) (Larawan 2)

Mula sa pigura ay malinaw na kung kailan A < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Sagot: sa a≥ –2 ang equation ay may natatanging solusyon.

Trigonometric equation may mga parameter.

Halimbawa 1.Lutasin ang equation kasalanan (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Solusyon:

Dahil sa kakaiba ng function
, binabawasan namin ang equation na ito sa katumbas
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Walang mga solusyon.

5. bЄ(–1; 0)

6. bЄ(–2; –1)

Halimbawa 2.Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter p kung saan ang equation
walang solusyon.

Solusyon:

Ipahayag natin ang cos 2 x sa pamamagitan ng sinx.

Hayaan
pagkatapos ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng lahat ng mga halaga p, kung saan ang equation ay walang mga solusyon sa [–1; 1]. Ang equation ay hindi malulutas ayon sa algorithm, kaya malulutas namin ang problema gamit ang isang graph. Isulat natin ang equation sa form , at ngayon ay isang sketch ng graph ng kaliwang bahagi
madaling itayo.
Ang equation ay walang solusyon kung ang tuwid na linya y = p+ 9 ay hindi bumalandra sa graph sa pagitan [–1; 1], ibig sabihin.

Sagot:p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Mga sistema ng mga equation na may mga parameter

Mga sistema ng dalawang linear na equation na may mga parameter

Sistema ng mga equation

Ang mga solusyon sa isang sistema ng dalawang linear na equation ay ang mga punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya: at .

Mayroong 3 posibleng kaso:

1. Ang mga linya ay hindi parallel . Pagkatapos ang kanilang mga normal na vector ay hindi parallel, i.e. . Sa kasong ito, ang sistema ay may ang tanging solusyon.

2. Ang mga linya ay parallel at hindi nagtutugma. Pagkatapos ang kanilang mga normal na vector ay parallel, ngunit ang mga shift ay naiiba, i.e. .

Sa kasong ito walang solusyon ang sistema .

3. Nagtutugma ang mga tuwid na linya. Pagkatapos ang kanilang mga normal na vectors ay parallel at ang mga shift ay nag-tutugma, i.e. . Sa kasong ito, ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon - lahat ng mga punto ng isang linya .

Ang layunin ng gawaing ito ay mag-aral sa iba't ibang paraan paglutas ng mga problema sa mga parameter. Ang kakayahan at kakayahang malutas ang mga problema sa mga parameter ay nagpapakita ng karunungan ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, isang makabuluhang pag-unawa sa teoretikal na impormasyon, ang antas ng lohikal na pag-iisip, at pasiglahin ang aktibidad ng nagbibigay-malay. Upang mabuo ang mga kasanayang ito, kinakailangan ang mas mahabang pagsisikap, kaya naman sa mga dalubhasang grado 10-11 na may malalim na pag-aaral ng mga eksaktong agham, ang kursong "Mathematical Practicum" ay ipinakilala, na bahagi nito ay ang solusyon ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter. Ang kurso ay isa sa mga disiplina na kasama sa bahagi ng kurikulum ng paaralan.

Ang matagumpay na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter ay maaaring matulungan ng mga elective o elective na kurso, o isang bahagi sa likod ng grid sa paksang: "Mga problema sa mga parameter."

Isaalang-alang natin ang apat na malalaking klase ng mga problema sa mga parameter:

Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga system na dapat lutasin para sa anumang halaga ng parameter, o para sa mga halaga ng parameter na kabilang sa isang tiyak na hanay.
Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema kung saan kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng parameter.
Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema, kung saan kinakailangan na hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang mga tinukoy na equation (mga sistema, hindi pagkakapantay-pantay) ay may isang naibigay na bilang ng mga solusyon.
Ang mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema kung saan, para sa mga kinakailangang halaga ng parameter, ang hanay ng mga solusyon ay nakakatugon sa tinukoy na mga kondisyon sa domain ng kahulugan.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter.

1. Paraan ng pagsusuri.

Ito ay isang direktang paraan ng solusyon na inuulit ang mga karaniwang pamamaraan para sa paghahanap ng sagot sa mga problema na walang parameter.

Halimbawa 1: Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang parameter a, kung saan ang equation:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 ay may hindi hihigit sa isang ugat.

Sa 2 a– 1 = 0 ang equation na ito ay hindi quadratic, kaya ang kaso a=1/2 ay pinagsunod-sunod nang hiwalay.

Kung a= 1/2, pagkatapos ang equation ay kumukuha ng form na 1/2 x– 2 = 0, mayroon itong isang ugat.

Kung a≠ 1/2, kung gayon ang equation ay parisukat; para magkaroon ito ng hindi hihigit sa isang ugat ito ay kinakailangan at sapat para sa discriminant na maging hindi positibo:

D= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Upang isulat ang huling sagot, kailangan mong maunawaan

2. Paraan ng graphic.

Depende sa gawain (na may variable x at parameter a) mga graph sa coordinate plane ( x;y) o sa eroplano ( x;a).

Halimbawa 2. Para sa bawat halaga ng parameter a tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation .

Tandaan na ang bilang ng mga solusyon sa equation katumbas ng bilang ng mga intersection point ng mga function graph At y = a.

Graph ng isang function ipinapakita sa Fig. 1.

y = a ay isang pahalang na linya. Gamit ang graph, madaling matukoy ang bilang ng mga intersection point depende sa a(halimbawa, kapag a= 11 – dalawang punto ng intersection; sa a= 2 – walong punto ng intersection).

Sagot: kailan a < 0 – решений нет; при a= 0 at a= 25/4 – apat na solusyon; sa 0< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – pitong solusyon; sa

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 – dalawang solusyon.

3. Paraan ng paglutas patungkol sa isang parameter.

Kapag ang paglutas sa ganitong paraan, ang mga variable X At A ay tinatanggap bilang pantay, at ang variable na kung saan ang analytical na solusyon ay nagiging mas simple ay pinili. Pagkatapos ng mga pagpapasimple, kailangan mong bumalik sa orihinal na kahulugan ng mga variable X At A at tapusin ang solusyon.

Halimbawa 3: Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang parameter A, para sa bawat isa kung saan ang equation = - palakol +3a Ang +2 ay may natatanging solusyon.

Lutasin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable. Hayaan = t , t≥ 0, pagkatapos x = t 2 + 8 at ang equation ay nagiging sa 2 +t + 5a– 2 = 0. Ngayon ang hamon ay hanapin ang lahat A, kung saan ang equation sa 2 +t + 5a– Ang 2 = 0 ay may natatanging di-negatibong solusyon. Ito ay nangyayari sa mga sumusunod na kaso.

1) Kung A= 0, kung gayon ang equation ay may natatanging solusyon t = 2.

Paglutas ng ilang uri ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter.

Ang mga problema sa mga parameter ay nakakatulong sa pagbuo ng lohikal na pag-iisip at sa pagkuha ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Ang solusyon sa bawat problema ay natatangi at nangangailangan ng isang indibidwal, hindi karaniwang diskarte, dahil walang solong paraan upang malutas ang mga naturang problema.

. Mga linear na equation.

Problema No. 1. Sa anong mga halaga ng parameter b wala bang ugat ang equation?

. Mga equation ng kapangyarihan, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema.

Gawain Blg. 2. Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay:

naglalaman ng numero 6, at naglalaman din ng dalawang segment ng haba 6 na walang mga karaniwang puntos.

Ibahin natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay.

Upang ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng numero 6, kinakailangan at sapat na ang sumusunod na kondisyon ay matugunan:

Fig.4

Sa a> 6 na hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay: .

Ang pagitan (0;5) ay hindi maaaring maglaman ng anumang bahagi ng haba 6. Nangangahulugan ito na ang dalawang magkahiwalay na bahagi ng haba 6 ay dapat na nasa pagitan (5; a).

. Exponential equation, hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema.

Problema Blg. 3. Sa lugar ng pagtukoy ng isang function kunin ang lahat ng positive integer at idagdag ang mga ito. Hanapin ang lahat ng mga halaga kung saan ang kabuuan na ito ay higit sa 5 ngunit mas mababa sa 10.

1) Graph ng isang linear fractional function ay isang hyperbole. Sa pamamagitan ng kondisyon x> 0. Sa walang limitasyong pagtaas X ang fraction ay monotonically bumababa at lumalapit sa zero, at ang mga halaga ng function z dagdagan at lapitan ang 5. Bukod dito, z(0) = 1.

2) Sa pamamagitan ng kahulugan ng antas, domain ng kahulugan D(y) binubuo ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Sa a= 1 nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na walang mga solusyon. Samakatuwid ang pag-andar sa hindi tinukoy kahit saan.

3) Sa 0< a< 1 показательная функция с основанием A bumababa at ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. kasi x> 0, pagkatapos z(x) > z(0) = 1 . Nangangahulugan ito na ang bawat positibong halaga X ay isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, para sa mga tulad A Hindi mahanap ang halagang tinukoy sa kundisyon.

4) Kailan a> 1 exponential function na may base A tumataas at ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Kung a≥ 5, pagkatapos ay anumang positibong numero ang solusyon nito, at ang kabuuan na tinukoy sa kundisyon ay hindi mahanap. Kung 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), saan a = z(x 0) .

5) Ang mga integer ay matatagpuan sa pagitan na ito nang sunud-sunod, simula sa 1. Kalkulahin natin ang mga kabuuan ng magkakasunod na natural na mga numero simula sa 1:1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... Samakatuwid, ang ipinahiwatig na halaga ay magiging mas malaki sa 5 at mas mababa sa 10 lamang kung ang numero 3 ay nasa pagitan (0; x 0), at ang numero 4 ay hindi namamalagi sa pagitan na ito. Kaya 3< x 0 ≤ 4. Dahil tumaas ito ng , kung gayon z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

Ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, gayundin ang mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at mga sistemang naglalaman ng mga module ay tinatalakay sa Appendix 1.

Ang mga problema sa mga parameter ay kumplikado dahil walang solong algorithm para sa paglutas ng mga ito. Ang pagtitiyak ng naturang mga problema ay na, kasama ang hindi kilalang dami, naglalaman ang mga ito ng mga parameter na ang mga numerong halaga ay hindi partikular na ipinahiwatig, ngunit itinuturing na kilala at tinukoy sa isang tiyak na hanay ng numero. Sa kasong ito, ang mga halaga ng parameter ay makabuluhang nakakaimpluwensya sa lohikal at teknikal na kurso ng paglutas ng problema at ang anyo ng sagot.

Ayon sa mga istatistika, maraming mga nagtapos ay hindi nagsisimula sa paglutas ng mga problema sa mga parameter sa Unified State Exam. Ayon sa FIPI, 10% lamang ng mga nagtapos ang nagsisimulang malutas ang mga naturang problema, at ang porsyento ng kanilang tamang solusyon ay mababa: 2-3%, kaya ang pagkuha ng mga kasanayan para sa paglutas ng mahirap, hindi karaniwang mga gawain, kabilang ang mga problema sa mga parameter, sa pamamagitan ng paaralan nananatiling may kaugnayan pa rin ang mga mag-aaral.