Методика розв'язання показових нерівностей. Показові рівняння та нерівності
На даному уроці ми розглянемо різні показові нерівності та навчимося їх вирішувати, ґрунтуючись на методиці вирішення найпростіших показових нерівностей
1. Визначення та властивості показової функції
Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується розв'язання всіх показових рівнянь та нерівностей.
Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.
Мал. 1. Графік показової функції
На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.
Обидві криві проходять через точку (0; 1)
Властивості показової функції:
Область визначення: ;
Область значень: ;
Функція монотонна, при зростає, при зменшується.
Монотонна функція набуває кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.
При коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності, тобто при даних значеннях аргументу ми маємо монотонно зростаючу функцію (). При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно, тобто при даних значеннях аргументу ми маємо монотонно спадну функцію ().
2. Найпростіші показові нерівності, методика розв'язання, приклад
На підставі вищесказаного наведемо методику вирішення найпростіших показових нерівностей:
Методика розв'язання нерівностей:
Зрівняти основи ступенів;
Порівняти показники, зберігши або змінивши на протилежний знакнерівності.
Вирішення складних показових нерівностей полягає, як правило, у їх зведенні до найпростіших показових нерівностей.
Підстава ступеня більше одиниці, отже, знак нерівності зберігається:
Перетворимо праву частину відповідно до властивостей ступеня:
Підстава ступеня менше одиниці, знак нерівності необхідно поміняти на протилежний:
Для розв'язання квадратної нерівності розв'яжемо відповідне квадратне рівняння:
По теоремі Вієта знаходимо коріння:
Гілки параболи спрямовані нагору.
Таким чином, маємо розв'язання нерівності:
Неважко здогадатися, що праву частину можна як ступінь з нульовим показником:
Заснування ступеня більше одиниці, знак нерівності не змінюється, отримуємо:
Нагадаємо методику розв'язання таких нерівностей.
Розглядаємо дробово-раціональну функцію:
Знаходимо область визначення:
Знаходимо коріння функції:
Функція має єдиний корінь, 
Виділяємо інтервали знакостійності та визначаємо знаки функції на кожному інтервалі:
Мал. 2. Інтервали знакопостійності
Таким чином отримали відповідь.
Відповідь: 
3. Вирішення типових показових нерівностей
Розглянемо нерівності з однаковими показниками, але різними підставами.
Одне з властивостей показової функції - вона за будь-яких значеннях аргументу приймає суворо позитивні значення, отже, на показову функцію можна розділити. Виконаємо поділ заданої нерівності на праву його частину:
Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається.
Проілюструємо рішення:
На малюнку 6.3 зображено графіки функцій та . Очевидно, що коли аргумент більший за нуль, графік функції розташований вище, ця функція більша. Коли значення аргументу негативні, функція проходить нижче, вона менше. При значенні аргументу функції рівні, отже, дана точка є рішенням заданої нерівності.
Мал. 3. Ілюстрація наприклад 4
Перетворимо задану нерівність згідно з властивостями ступеня:
Наведемо такі члени:
Розділимо обидві частини на:
Тепер продовжуємо вирішувати аналогічно прикладу 4, розділимо обидві частини на:
Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається:
4. Графічне розв'язання показових нерівностей
Приклад 6 - розв'язати нерівність графічно:
Розглянемо функції, що стоять у лівій та правій частині та побудуємо графік кожної з них.
Функція - експонента, зростає по всій своїй області визначення, т. е. за всіх дійсних значеннях аргументу.
Функція - лінійна, зменшується по всій своїй області визначення, т. е. за всіх дійсних значеннях аргументу.
Якщо ці функції перетинаються, тобто система має рішення, таке рішення єдине і його можна вгадати. Для цього перебираємо цілі числа ()
Неважко помітити, що коренем цієї системи є:
Таким чином, графіки функцій перетинаються в точці з аргументом, що дорівнює одиниці.
Тепер потрібно отримати відповідь. Сенс заданої нерівності в тому, що експонента має бути більшою або дорівнює лінійній функції, тобто бути вищою або збігатися з нею. Очевидна відповідь: (рисунок 6.4)
Мал. 4. Ілюстрація наприклад 6
Отже, ми розглянули розв'язання різних типових показових нерівностей. Далі перейдемо до більш складних показових нерівностей.
Список літератури
Мордкович А. Г. Алгебра та початки математичного аналізу. - М: Мнемозіна. Муравін Г. К., Муравіна О. В. Алгебра та початку математичного аналізу. - М: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудніцин Ю. П. та ін Алгебра і початку математичного аналізу. - М: Просвітництво.
Math. md. Mathematics-репетиція. com. Diffur. Кемсу. ru .
Домашнє завдання
1. Алгебра та початку аналізу, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин) 1990 № 472, 473;
2. Вирішити нерівність:
3. Вирішити нерівність.
а x = b – найпростіше показове рівняння. В ньому aбільше нуля та ане дорівнює одиниці.
Розв'язання показових рівнянь
З властивостей показової функції знаємо, що область значень обмежена позитивними речовими числами. Тоді якщо b = 0, рівняння немає рішень. Така ж ситуація має місце, у рівнянні де b
Тепер припустимо, що b>0. Якщо у показовій функції основа aбільше одиниці, то функція буде зростаючою по всій області визначення. Якщо у показовій функції для основи авиконано таку умову 0 Виходячи з цього і застосовуючи теорему про коріння, отримаємо, що рівняння a x = b мати один єдиний корінь, при b>0 і позитивному aне дорівнює одиниці. Щоб знайти, необхідно уявити b як b = a c . Розглянемо наступний приклад: розв'язати рівняння 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Представимо 25 як 5 2 , отримаємо: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 . Або що рівносильно: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Вирішуємо отримане квадратне рівняння будь-яким з відомих способів. Отримуємо два корені x = 3 та x = -1. Відповідь: 3;-1. Розв'яжемо рівняння 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Зробимо заміну: t=2 x і отримаємо наступне квадратне рівняння: t 2 - 5 * t + 4 = 0. Тепер розв'язуємо рівняння 2 x = 1 та 2 x = 4. Відповідь: 0;2. Вирішення найпростіших показових нерівностей грунтується також на властивостях зростання і зменшення функції. Якщо в показовій функції основа a більше одиниці, то функція буде зростаючою по всій області визначення. Якщо у показовій функції для основи авиконано таку умову 0 Розглянемо приклад: розв'язати нерівність (0.5) (7 - 3*x)< 4. Зауважимо, що 4 = (0.5) 2 . Тоді нерівність набуде вигляду (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Отримаємо: 7 - 3*x>-2. Звідси: х<3. Відповідь: х<3. Якби в нерівності основу було більше одиниці, то при звільненні від основи знак нерівності змінювати було б не потрібно. Показовими рівняннями та нерівностями вважають такі рівняння та нерівності, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Розв'язання показових рівнянь часто зводиться до розв'язання рівняння а х = а b де а > 0, а ≠ 1, х – невідоме. Це рівняння має єдиний корінь х = b, оскільки справедлива така теорема: Теорема. Якщо а > 0, а ≠ 1 і а х 1 = а х 2 то х 1 = х 2 . Обґрунтуємо розглянуте твердження. Припустимо, що рівність x 1 = x 2 не виконується, тобто. х 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, то показова функція у = а х зростає і тому має виконуватися нерівність а х 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >а х 2 . В обох випадках ми отримали протиріччя умові а х 1 = а х 2. Розглянемо кілька завдань. Розв'язати рівняння 4 ∙ 2 х = 1. Рішення. Запишемо рівняння у вигляді 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 звідки отримуємо х + 2 = 0, тобто. х = -2. Відповідь. х = -2. Розв'язати рівняння 2 3х ∙ 3 х = 576. Рішення. Оскільки 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 то рівняння можна записати у вигляді 8 х ∙ 3 х = 24 2 або у вигляді 24 х = 24 2 . Звідси одержуємо х = 2. Відповідь. х = 2. Розв'язати рівняння 3 х+1 – 2∙3 х - 2 = 25. Рішення. Виносячи в лівій частині за дужки загальний множник 3 х - 2, отримуємо 3 х - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 х - 2 ∙ 25 = 25, звідки 3 x - 2 = 1, тобто. х - 2 = 0, х = 2. Відповідь. х = 2. Розв'язати рівняння 3 х = 7 х. Рішення. Оскільки 7 х ≠ 0, то рівняння можна записати як 3 х /7 х = 1, звідки (3/7) х = 1, х = 0. Відповідь. х = 0. Розв'язати рівняння 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0. Рішення. Заміною 3 х = а дане рівняння зводиться до квадратному рівняннюа 2 - 4а - 45 = 0. Вирішуючи це рівняння, знаходимо його коріння: а 1 = 9, а 2 = -5, звідки 3 х = 9, 3 х = -5. Рівняння 3 х = 9 має корінь 2, а рівняння 3 х = -5 немає коренів, оскільки показова функція неспроможна приймати негативні значення. Відповідь. х = 2. Вирішення показових нерівностей часто зводиться до розв'язання нерівностей х > а b або а х< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции. Розглянемо деякі завдання. Вирішити нерівність 3 х< 81. Рішення. Запишемо нерівність у вигляді 3 х< 3 4 . Так как 3 >1, то функція у = 3 х є зростаючою. Отже, при х< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 . Таким чином, при х< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство Відповідь. х< 4.
Вирішити нерівність 16 х +4 х – 2 > 0. Рішення. Позначимо 4 х = t, тоді отримаємо квадратна нерівність t2 + t - 2> 0. Ця нерівність виконується при t< -2 и при t > 1. Так як t = 4 х, то отримаємо дві нерівності 4 х< -2, 4 х > 1. Перша нерівність немає рішень, оскільки 4 х > 0 за всіх х € R. Другу нерівність запишемо у вигляді 4 х > 4 0, звідки х > 0. Відповідь. х > 0. Графічно розв'язати рівняння (1/3) х = х – 2/3. Рішення. 1) Побудуємо графіки функцій у = (1/3) х та у = х – 2/3. 2) Маючи наш малюнок, можна дійти невтішного висновку, що графіки розглянутих функцій перетинаються у точці з абсцисою х ≈ 1. Перевірка доводить, що х = 1 – корінь даного рівняння: (1/3) 1 = 1/3 та 1 – 2/3 = 1/3. Іншими словами, ми знайшли один із коренів рівняння. 3) Знайдемо інше коріння або доведемо, що таких немає. Функція (1/3) х спадна, а функція у = х - 2/3 зростаюча. Отже, при х > 1 значення першої функції менше 1/3, а другий більше 1/3; при х< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 і х< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1. Відповідь. х = 1. Зауважимо, що з вирішення цього завдання, зокрема, випливає, що нерівність (1/3) х > х – 2/3 виконується за х< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1. сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Тоді очевидно, що збуде рішенням рівняння a x = a c .
Вирішуємо це рівняння будь-яким із відомих способів. Отримуємо коріння t1 = 1 t2 = 4Вирішення показових нерівностей
3 х< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.