Квадратні тригонометричні нерівності приклади розв'язання. Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей


Нерівності – це співвідношення виду a › b, де a та b – є вирази, що містять як мінімум одну змінну. Нерівності можуть бути строгими – ‹, › та нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометричні нерівності є виразами виду: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в яких F(x) представлено однією або декількома тригонометричними функціями.

Прикладом найпростішої тригонометричної нерівності є: sin x ‹ 1/2. Вирішувати подібні завдання прийнято графічно, для цього розроблено два способи.

Спосіб 1 - Вирішення нерівностей за допомогою побудови графіка функції

Щоб знайти проміжок, що задовольняє умовам нерівність sin x ‹ 1/2, необхідно виконати такі дії:

  1. На координатній осі побудувати синусоїду y = sin x.
  2. На тій же осі накреслити графік числового аргументу нерівності, тобто пряму, що проходить через точку ординати ОY.
  3. Відзначити точки перетину двох графіків.
  4. Заштрихувати відрізок є рішенням прикладу.

Коли у виразі є суворі знаки, точки перетину не є рішеннями. Оскільки найменший позитивний період синусоїди дорівнює 2π, то запишемо відповідь так:

Якщо знаки виразу несуворі, то інтервал рішень необхідно укласти у квадратні дужки — . Відповідь завдання можна також записати у вигляді чергової нерівності:

Спосіб 2 - Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

Подібні завдання легко вирішуються і за допомогою тригонометричного кола. Алгоритм пошуку відповідей дуже простий:

  1. Спочатку варто накреслити одиничне коло.
  2. Потім слід зазначити значення аркфункції аргументу правої частини нерівності на дузі кола.
  3. Потрібно провести пряму проходить через значення аркфункції паралельно осі абсциси (ОХ).
  4. Після залишиться тільки виділити дугу кола, що є безліччю розв'язків тригонометричної нерівності.
  5. Записати відповідь у потрібній формі.

Розберемо етапи розв'язання з прикладу нерівності sin x › 1/2. На колі відмічені точки α та β – значення

Точки дуги, розташовані вище α та β, є інтервалом розв'язання заданої нерівності.

Якщо потрібно вирішити приклад для cos, то дуга відповідей розташовуватиметься симетрично осі OX, а не OY. Розглянути різницю між інтервалами рішень для sin та cos можна на схемах, наведених нижче за текстом.

Графічні рішення для нерівностей тангенсу та котангенсу відрізнятимуться і від синуса, і від косинуса. Це зумовлено властивостями функцій.

Арктангенс і арккотангенс є дотичні до тригонометричного кола, а мінімальний позитивний період для обох функцій дорівнює π. Щоб швидко і правильно користуватися другим способом, потрібно запам'ятати на якій осі відкладаються значення sin, cos, tg і ctg.

Дотична тангенс проходить паралельно осі OY. Якщо відкласти значення arctg a на одиничному колі, друга необхідна точка буде розташовано в діагональній чверті. Кути

Є точками розриву для функції, оскільки графік прагне них, але не досягає.

Що стосується котангенсом дотична проходить паралельно осі OX, а функція переривається у точках π і 2π.

Складні тригонометричні нерівності

Якщо аргумент функції нерівності представлений не просто змінною, а цілим виразом, що містить невідому, то мова вже йде про складній нерівності. Хід і порядок його вирішення дещо відрізняються від способів, описаних вище. Допустимо необхідно знайти рішення наступної нерівності:

Графічне рішення передбачає побудову звичайної синусоїди y = sin x за довільно вибраними значеннями x. Розрахуємо таблицю з координатами для опорних точок графіка:

В результаті має вийти красива крива.

Для простоти пошуку рішення замінимо складний аргумент функції

вирішення нерівностів режимі онлайн Рішеннямайже будь-якої заданої нерівності онлайн. Математичні нерівності онлайндля вирішення математики. Швидко знайти вирішення нерівностів режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє знайти Рішеннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентної нерівності онлайн. При вивченні практично будь-якого розділу математики на різних етапахдоводиться вирішувати нерівності онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення нерівності онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних нерівності онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчні нерівності онлайн, тригонометричні нерівності онлайн, трансцендентні нерівності онлайн, а також нерівностіз невідомими параметрами в режимі онлайн. Нерівностіслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних нерівностейможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини нерівностейможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді нерівностейі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчна нерівність, тригонометрична нерівністьабо нерівностімістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання нерівностей. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для розв'язання математичних нерівностей онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором розв'язання алгебраїчних нерівностей онлайн, тригонометричних нерівностей онлайн, а також трансцендентних нерівностей онлайнабо нерівностейіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження інетравол рішень різних математичних нерівностейресурсу www.. Вирішальна нерівності онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішеннянерівностейна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати нерівність і миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим розв'язанням нерівності. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити нерівність онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні нерівностей онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо нерівністьіз невідомими параметрами.

МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НЕРАВЕНСТВ

Актуальність. Історично склалося, що тригонометричним рівнянням та нерівностям приділялося особливе місце у шкільному курсі. Можна сміливо сказати, що тригонометрія одна із найважливіших розділів шкільного курсу і всієї математичної науки загалом.

Тригонометричні рівняння та нерівності займають одне з центральних місць у курсі математики середньої школи, як за змістом навчального матеріалу, так і за способами навчально-пізнавальної діяльності, які можуть і повинні бути сформовані при їх вивченні та застосовані до вирішення великої кількості завдань теоретичного та прикладного характеру .

Рішення тригонометричних рівняньі нерівностей створює передумови для систематизації знань учнів, що з усім навчальним матеріаломпо тригонометрії (наприклад, властивості тригонометричних функцій, прийоми перетворення тригонометричних виразів і т.д.) і дає можливість встановити дієві зв'язки з вивченим матеріалом з алгебри (рівняння, рівносильність рівнянь, нерівності, тотожні перетворення алгебраїчних виразів тощо).

Інакше висловлюючись, розгляд прийомів розв'язання тригонометричних рівнянь і нерівностей передбачає свого роду перенесення цих умінь нового зміст.

Значимість теорії та її численні застосування є підтвердженням актуальності обраної теми. Це у свою чергу дозволяє визначити цілі, завдання та предмет дослідження курсової роботи.

Мета дослідження: узагальнити наявні типи тригонометричних нерівностей, основні та спеціальні методи їх вирішення, підібрати комплекс завдань для вирішення тригонометричних нерівностей школярами.

Завдання дослідження:

1. На основі аналізу наявної літератури на тему дослідження систематизувати матеріал.

2. Навести комплекс завдань, необхідний закріплення теми «Тригонометричні нерівності».

Об'єктом дослідження є тригонометричні нерівності у шкільному курсі математики.

Предмет дослідження: типи тригонометричних нерівностей та методи їх вирішення.

Теоретична значимість полягає у систематизації матеріалу.

Практична значимість: застосування теоретичних знань у вирішенні завдань; аналіз основних часто зустрічаються способів розв'язання тригонометричних нерівностей.

Методи дослідження : аналіз наукової літератури, синтез та узагальнення отриманих знань, аналіз вирішення завдань, пошук оптимального методу розв'язання нерівностей.

§1. Типи тригонометричних нерівностей та основні методи їх вирішення

1.1. Найпростіші тригонометричні нерівності

Два тригонометричні вирази, з'єднані між собою знаком або >, називаються тригонометричними нерівностями.

Вирішити тригонометричну нерівність – це означає, знайти безліч значень невідомих, які входять у нерівність, у яких нерівність виконується.

Основна частина тригонометричних нерівностей вирішується зведенням їх до вирішення найпростіших:


Це може бути метод розкладання на множники, заміни змінного (
,
і т.д.), де спочатку вирішується звичайна нерівність, а потім нерівність виду
і т.д., чи інші способи.

Найпростіші нерівності вирішуються двома способами: за допомогою одиничного кола або графічно.

Нехайf(х - Одна з основних тригонометричних функцій. Для вирішення нерівності
досить визначити його рішення одному періоді, тобто. на будь-якому відрізку, довжина якого дорівнює періоду функціїf x . Тоді рішенням вихідної нерівності будуть усі знайденіx , і навіть ті значення, які від знайдених будь-яку цілу кількість періодів функції. У цьому зручно використовувати графічний метод.

Наведемо приклад алгоритму розв'язання нерівностей
(
) та
.

Алгоритм розв'язання нерівності
(
).

1. Сформулюйте визначення синуса числаx на одиничному колі.

3. На осі ординат позначте крапку з координатоюa .

4. Через цю точку проведіть пряму, паралельну до осі OX, і позначте точки перетину її з колом.

5. Виділіть дугу кола, всі точки якого мають ординату, меншуa .

6. Вкажіть напрямок обходу (проти годинникової стрілки) та запишіть відповідь, додавши до кінців проміжку період функції2πn ,
.

Алгоритм розв'язання нерівності
.

1. Сформулюйте визначення тангенсу числаx на одиничному колі.

2. Намалюйте одиничне коло.

3. Проведіть лінію тангенсів і позначте крапку з ординатоюa .

4. З'єднайте цю точку з початком координат і позначте точку перетину отриманого відрізка з одиничним колом.

5. Виділіть дугу кола, всі точки якого мають на лінії тангенсів ординату, меншуa .

6. Вкажіть напрямок обходу та запишіть відповідь з урахуванням області визначення функції, додавши періодπn ,
(число, що стоїть у записі зліва, завжди менше числа, що стоїть праворуч).

Графічна інтерпретація рішень найпростіших рівнянь та формули розв'язання нерівностей у загальному виглядівказані у додатку (Додатки 1 та 2).

приклад 1. Розв'яжіть нерівність
.

На одиничному колі проводимо пряму
, яка перетинає коло в точках A та B.

Усі значенняy на проміжку NM більше , всі точки дуги AMB задовольняють цю нерівність. При всіх кутах повороту, великих , але менших ,
прийматиме значення більше (Але не більше одиниці).

Рис.1

Таким чином, розв'язанням нерівності будуть усі значення на інтервалі
, тобто.
. Для того, щоб отримати всі рішення цієї нерівності, достатньо до кінця цього проміжку додати
, де
, тобто.
,
. Зауважимо, що значення
і
є корінням рівняння
,

тобто.
;
.

Відповідь:
,
.

1.2. Графічний метод

Насправді досить часто виявляється корисним графічний спосіб розв'язання тригонометричних нерівностей. Розглянемо сутність методу з прикладу нерівності
:

1. Якщо аргумент – складний (відмінний відх ), то замінюємо його наt .

2. Будуємо в одній координатній площиніtOy графіки функцій
і
.

3. Знаходимо такідві сусідні точки перетину графіків, між якимисинусоїдарозташовуєтьсявище прямий
. Знаходимо абсциси цих точок.

4. Записуємо подвійну нерівність для аргументуt , враховуючи період косинуса (t буде між знайденими абсцисами).

5. Робимо зворотну заміну (повертаємося до початкового аргументу) та виражаємо значеннях з подвійної нерівності, записуємо відповідь у вигляді числового проміжку.

приклад 2. Вирішити нерівність: .

При розв'язанні нерівностей графічним методомнеобхідно якомога точніше побудувати графіки функцій. Перетворимо нерівність до виду:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій
і
(Рис. 2).

Рис.2

Графіки функцій перетинаються у точціА з координатами
;
. На проміжку
точки графіка
нижче точок графіка
. А при
Значення функції збігаються. Тому
при
.

Відповідь:
.

1.3. Алгебраїчний метод

Досить часто вихідна тригонометрична нерівність шляхом вдало обраної підстановки вдається звести до алгебраїчної (раціональної або ірраціональної) нерівності. Цей методпередбачає перетворення нерівності, введення підстановки або заміну змінної.

Розглянемо на прикладах застосування цього методу.

приклад 3. Приведення до найпростішого вигляду
.

(Рис. 3)

Рис.3

,
.

Відповідь:
,

приклад 4. Вирішити нерівність:

ОДЗ:
,
.

Використовуючи формули:
,

запишемо нерівність у вигляді:
.

Або, вважаючи
після нескладних перетворень отримаємо

,

,

.

Вирішуючи останню нерівність методом інтервалів, отримуємо:

Рис.4

відповідно
. Тоді із рис. 4 слід
, де
.

Рис.5

Відповідь:
,
.

1.4. Метод інтервалів

Загальна схемарозв'язання тригонометричних нерівностей методом інтервалів:

    За допомогою тригонометричних формул розкласти на множники.

    Знайти точки розриву та нулі функції, поставити їх на коло.

    Взяти будь-яку точкуДо (але не знайдену раніше) та з'ясувати знак твору. Якщо твір позитивно, то поставити крапку за одиничним колом на промені, що відповідає куту. Інакше точку поставити всередині кола.

    Якщо точка зустрічається парне число разів, назвемо її точкою парної кратності, якщо непарне число разів – точкою непарної кратності. Провести дуги наступним чином: почати з точкиДо Якщо наступна точка непарної кратності, то дуга перетинає коло в цій точці, якщо ж точка парної кратності, то не перетинає.

    Дуги за колом – позитивні проміжки; всередині кола - негативні проміжки.

Приклад 5. Розв'язати нерівність

,
.

Крапки першої серії:
.

Точки другої серії:
.

Кожна точка зустрічається непарне число разів, тобто всі точки непарної кратності.

З'ясуємо знак твору при
: . Зазначимо всі точки на одиничному колі (рис.6):

Мал. 6

Відповідь:
,
;
,
;
,
.

Приклад 6 . Розв'яжіть нерівність.

Рішення:

Знайдемо нулі вирази .

Отримайaeм :

,
;

,
;

,
;

,
;

На одиничному колі значення серіїх 1 представлені точками
. Серіях 2 дає крапки
. Із серіїх 3 отримуємо дві точки
. Зрештою, серіюх 4 будуть представляти точки
. Нанесемо всі ці крапки на одиничне коло, вказавши в дужках поруч із кожною їх кратність.

Нехай тепер число буде рівним. Робимо прикидку за знаком:

Значить, точкуA слід вибрати на промені, що утворює кут з променемОх, поза одиничного кола. (Зауважимо, що допоміжний проміньПро A зовсім не обов'язково зображати малюнку. КрапкаA вибирається приблизно.)

Тепер від точкиA ведемо хвилеподібну безперервну лінію послідовно до всіх зазначених точок. Причому в точках
наша лінія переходить з однієї області в іншу: якщо вона знаходилася поза одиничним колом, то переходить усередину неї. Підійшовши до точки , Лінія повертається у внутрішню область, так як кратність цієї точки парна. Аналогічно у точці (з парною кратністю) лінію доводиться повернути до зовнішньої області. Отже, накреслили якусь картинку, зображену на рис. 7. Вона допомагає виділити на одиничному колі шукані області. Вони позначені знаком «+».

Рис.7

Остаточна відповідь:

Примітка. Якщо хвилеподібну лінію після обходу нею всіх зазначених на одиничному колі точок не вдається повернути до точкиA , не перетинаючи коло в «незаконному» місці, то це означає, що у рішенні допущено помилку, а саме пропущено непарну кількість коренів.

Відповідь: .

§2. Комплекс завдань щодо розв'язання тригонометричних нерівностей

У процесі формування у школярів умінь вирішувати тригонометричні нерівності, також можна виділити 3 етапи.

1. підготовчий,

2. формування умінь вирішувати найпростіші тригонометричні нерівності;

3. запровадження тригонометричних нерівностей інших видів.

Мета підготовчого етапу полягає в тому, що необхідно сформувати у школярів вміння використовувати тригонометричне коло або графік для вирішення нерівностей, а саме:

Вміння вирішувати найпростіші нерівності виду
,
,
,
, за допомогою властивостей функцій синус та косинус;

Вміння складати подвійні нерівності для дуг числового кола або для дуг графіків функцій;

Вміння виконувати різні перетворення тригонометричних виразів.

Реалізувати цей етап рекомендується у процесі систематизації знань школярів про властивості тригонометричних функцій. Основним засобом можуть бути завдання, пропоновані учням і виконувані або під керівництвом вчителя, або самостійно, а як і навички напрацьовані під час вирішення тригонометричних рівнянь.

Наведемо приклади таких завдань:

1 . Позначте на одиничному колі крапку , якщо

.

2. У якій чверті координатної площини розташована точка , якщо одно:

3. Позначте на тригонометричному колі точки , якщо:

4. Наведіть вираз до тригонометричних функційIчверті.

а)
, б)
, в)

5. Дано дугу МР.М – серединаI-ї чверті,Р – серединаII-ї чверті. Обмежити значення змінноїt для: (скласти подвійну нерівність) а) дуги МР; б) дуги РМ.

6. Записати подвійну нерівність для виділених ділянок графіка:

Мал. 1

7. Розв'яжіть нерівності
,
,
,
.

8. Перетворити вираз .

На другому етапі навчання розв'язанню тригонометричних нерівностей можна запропонувати наступні рекомендації, пов'язані з методикою організації діяльності учнів При цьому потрібно орієнтуватися на вміння, що вже є у учнів, працювати з тригонометричним колом або графіком, сформовані під час вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

По-перше, мотивувати доцільність отримання загального прийому вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей можна, звернувшись, наприклад, до нерівності виду
. Використовуючи знання та вміння, набуті на підготовчому етапі, учні приведуть запропоновану нерівність до виду
, але може бути важко знайти множини рішень отриманого нерівності, т.к. Тільки використовуючи властивості функції синус вирішити його неможливо. Ці труднощі можна уникнути, якщо звернутися до відповідної ілюстрації (рішення рівняння графічно або за допомогою одиничного кола).

По-друге, вчитель повинен звернути увагу учнів на різні способивиконання завдання, дати відповідний зразок розв'язання нерівності та графічним способом та за допомогою тригонометричного кола.

Розглянемо такі варіанти розв'язання нерівності
.

1. Вирішення нерівності за допомогою одиничного кола.

На першому занятті за розв'язанням тригонометричних нерівностей запропонуємо учням докладний алгоритм розв'язання, який у покроковому поданні відбиває всі основні вміння, необхідні вирішення нерівності.

Крок 1.Накреслимо одиничне коло, відзначимо на осі ординат крапку і проведемо через неї пряму, паралельну осі абсцис. Ця пряма перетне одиничне коло у двох точках. Кожна з цих точок зображує числа, синус яких дорівнює .

Крок 2Ця пряма розділила коло на дві дуги. Виділимо ту їх, де зображуються числа, мають синус більший, ніж . Звичайно, ця дуга розташована вище проведеної прямої.

Мал. 2

Крок 3Виберемо один із кінців зазначеної дуги. Запишемо одне з чисел, яке зображується цією точкою одиничного кола .

Крок 4.Для того щоб вибрати число, що відповідає другому кінцю виділеної дуги, "пройдемо" цією дугою з названого кінця до іншого. При цьому нагадаємо, що при русі проти годинникової стрілки числа, які ми проходитимемо, збільшуються (при русі в протилежному напрямку числа б зменшувалися). Запишемо число, яке зображується на одиничному колі другим кінцем зазначеної дуги .

Таким чином, ми бачимо, що нерівність
задовольняють числа, котрим справедлива нерівність
. Ми вирішили нерівність для чисел, що розташовані на одному періоді функції синус. Тому всі рішення нерівності можуть бути записані у вигляді

Учням потрібно запропонувати уважно розглянути малюнок та розібратися, чому всі рішення нерівності
можуть бути записані у вигляді
,
.

Мал. 3

Необхідно звернути увагу учнів те що, що за розв'язання нерівностей для функції косинус, пряму проводимо паралельно осі ординат.

    Графічний спосіб розв'язання нерівності.

Будуємо графіки
і
, враховуючи що
.

Мал. 4

Потім записуємо рівняння
та його рішення
,
,
, знайдене за допомогою формул
,
,
.

(Надаючиn значення 0, 1, 2, знаходимо три корені складеного рівняння). Значення
є трьома послідовними абсцисами точок перетину графіків
і
. Очевидно, що завжди на інтервалі
виконується нерівність
, а на інтервалі
– нерівність
. Нас цікавить перший випадок, і тоді додавши до кінців цього проміжку число, кратне періоду синуса, отримаємо розв'язання нерівності
у вигляді:
,
.

Мал. 5

Підведемо підсумок. Щоб вирішити нерівність
, Треба скласти відповідне рівняння та вирішити його. З отриманої формули знайти коріння і , і записати відповідь нерівності у вигляді: ,
.

По-третє, факт безлічі коренів відповідного тригонометричного нерівності дуже наочно підтверджується під час вирішення його графічним способом.

Мал. 6

Необхідно продемонструвати учням, що виток, який є розв'язком нерівності, повторюється через один і той же проміжок, що дорівнює періоду тригонометричної функції. Також можна розглянути аналогічну ілюстрацію для графіка функції синус.

По-четверте, доцільно провести роботу з актуалізації в учнів прийомів перетворення суми (різниці) тригонометричних функцій на твір, звернути увагу школярів на роль цих прийомів під час вирішення тригонометричних нерівностей.

Організувати таку роботу можна через самостійне виконання учнями запропонованих вчителем завдань, серед яких виділимо такі:

По-п'яте, від учнів необхідно вимагати обов'язкової ілюстрації розв'язання кожної найпростішої тригонометричної нерівності за допомогою графіка або тригонометричного кола. Обов'язково слід звернути увагу на її доцільність, особливо на застосування кола, тому що при розв'язанні тригонометричних нерівностей відповідна ілюстрація є дуже зручним засобом фіксації множини рішень даної нерівності.

Знайомство учнів із прийомами розв'язання тригонометричних нерівностей, які є найпростішими, доцільно здійснювати за такою схемою: звернення до конкретному тригонометричному нерівності звернення до відповідного тригонометричного рівняння спільний пошук (вчитель – учні) прийому рішення самостійне перенесення знайденого прийому.

Щоб систематизувати знання учнів про тригонометрію, рекомендуємо спеціально підібрати такі нерівності, розв'язання яких потребує різних перетворень, які можуть бути реалізовані в процесі його вирішення, акцентувати учнів на їх особливостях.

Як такі продуктивні нерівності можна запропонувати, наприклад, такі:

На закінчення наведемо приклад комплексу завдань щодо розв'язання тригонометричних нерівностей.

1. Розв'яжіть нерівності:

2. Розв'яжіть нерівності: 3. Знайдіть усі розв'язки нерівностей: 4. Знайдіть усі розв'язки нерівностей:

а)
, які задовольняють умові
;

б)
, які задовольняють умові
.

5. Знайдіть усі розв'язки нерівностей:

а) ;

б) ;

в)
;

г)
;

д)
.

6. Розв'яжіть нерівності:

а) ;

б) ;

в);

г)
;

д);

е);

ж)
.

7. Розв'яжіть нерівності:

а)
;

б) ;

в);

г).

8. Розв'яжіть нерівності:

а) ;

б) ;

в);

г)
;

д)
;

е);

ж)
;

з).

Завдання 6 і 7 доцільно запропонувати учням, які вивчають математику підвищеному рівні, Завдання 8 - учням класів з поглибленим вивченням математики.

§3. Спеціальні методирозв'язання тригонометричних нерівностей

Спеціальні методи розв'язання тригонометричних рівнянь - тобто ті методи, які можна використовувати тільки для розв'язання тригонометричних рівнянь. Ці методи ґрунтуються на використанні властивостей тригонометричних функцій, а також на використанні різних тригонометричних формул та тотожностей.

3.1. Метод секторів

Розглянемо метод секторів на вирішення тригонометричних нерівностей. Вирішення нерівностей виду

, деP ( x ) іQ ( x ) – раціональні тригонометричні функції (синуси, косинуси, тангенси та котангенси входять до них раціонально), аналогічно рішенню раціональних нерівностей. Раціональні нерівностізручно вирішувати методом інтервалів на числовій осі. Його аналогом при вирішенні раціональних тригонометричних нерівностей є метод секторів у тригонометричному колі,sinx іcosx (
) або тригонометричному півкрузі дляtgx іctgx (
).


У методі інтервалів кожному лінійному множнику чисельника та знаменника виду
на числовій осі відповідає точка , і при переході через цю точку
змінює знак. У методі секторів кожному множнику виду
, де
- одна з функційsinx абоcosx і
, у тригонометричному колі відповідають два кути. і
які ділять коло на два сектори. При переході через і функція
змінює знак.

Необхідно пам'ятати таке:

а) Множники виду
і
, де
, зберігають знак для всіх значень . Такі множники чисельника та знаменника відкидають, змінюючи (якщо
) при кожному такому відкиданні знак нерівності на протилежний.

б) Множники виду
і
також відкидаються. При цьому, якщо це множники знаменника, то до еквівалентної системи нерівностей додаються нерівності виду
і
. Якщо це множники чисельника, то в еквівалентній системі обмежень їм відповідають нерівності
і
у разі суворої вихідної нерівності та рівності
і
у разі не суворої вихідної нерівності. При відкиданні множника
або
знак нерівності змінюється протилежний.

приклад 1. Вирішити нерівності: а)
, б)
. маємо функція; б) . Розв'язати нерівність Маємо,

3.2. Метод концентричних кіл

Цей метод є аналогом методу паралельних числових осей під час вирішення систем раціональних нерівностей.

Розглянемо приклад системи нерівностей.

Приклад 5. Вирішити систему найпростіших тригонометричних нерівностей

Спочатку вирішимо кожну нерівність окремо (рисунок 5). У правому верхньому куткумалюнка будемо вказувати для якого аргументу розглядається тригонометричне коло.

Рис.5

Далі будуємо систему концентричних кіл для аргументух . Малюємо коло і заштриховуємо його згідно з рішенням першої нерівності, потім малюємо коло більшого радіусу і заштриховуємо його згідно з рішенням другого, далі будуємо коло для третьої нерівності та базове коло. З центру системи через кінці дуг проводимо промені так, щоб вони перетинали всі кола. На базовому колі формуємо рішення (рисунок 6).

Рис.6

Відповідь:
,
.

Висновок

Усі завдання курсового дослідження було виконано. Систематизовано теоретичний матеріал: наведено основні типи тригонометричних нерівностей та основні методи їх вирішення (графічний, алгебраїчний, метод інтервалів, секторів та метод концентричних кіл). До кожного методу було наведено приклад розв'язання нерівності. За теоретичною частиною слідувала практична. У ній складено комплекс завдань у вирішенні тригонометричних нерівностей.

Ця курсова може бути використана учнями для самостійної роботи. Школярі можуть проконтролювати рівень засвоєння цієї теми, потренуватися у виконанні завдань різної складності.

Пропрацювавши відповідну літературу з цього питання, очевидно, можна дійти невтішного висновку у тому, що вміння і навички вирішувати тригонометричні нерівності у шкільному курсі алгебри і почав аналізу є дуже важливими, розвиток яких потребує значних зусиль з боку вчителя математики.

Тому дана роботабуде корисна вчителям математики, оскільки дає можливість ефективно організувати підготовку учнів на тему «Тригонометричні нерівності».

Дослідження можна продовжити, розширивши його до випускної кваліфікаційної роботи.

Список використаної літератури

    Богомолов, Н.В. Збірник завдань з математики [Текст]/Н.В. Богомолов. - М.: Дрофа, 2009. - 206 с.

    Вигодський, М.Я. Довідник з елементарної математики [Текст]/М.Я. Вигодський. - М.: Дрофа, 2006. - 509 с.

    Журбенка, Л.М. Математика в прикладах та завданнях [Текст] / Л.М. Журбенка. - М.: Інфра-М, 2009. - 373 с.

    Іванов, О.А. Елементарна математикадля школярів, студентів та викладачів [Текст]/О.А. Іванов. - М.: МЦНМО, 2009. - 384 с.

    Карп, А.П. Завдання з алгебри та початків аналізу для організації підсумкового повторення та проведення атестації в 11 класі [Текст]/А.П. Короп. - М.: Просвітництво, 2005. - 79 с.

    Куланін, О.Д. 3000 конкурсних завдань з математики [Текст]/Є.Д. Куланін. - М.: Айріс-прес, 2007. - 624 с.

    Лейбсон, К.Л. Збірник практичних завдань з математики [Текст]/К.Л. Лейбсон. - М.: Дрофа, 2010. - 182 с.

    Лікоть, В.В. Завдання з параметрами та їх вирішення. Тригонометрія: рівняння, нерівності, системи. 10 клас [Текст]/В.В. Лікоть. - М.: АРКТІ, 2008. - 64 с.

    Манова, О.М. Математика. Експрес-репетитор для підготовки до ЄДІ: навч. посібник [Текст]/О.М. Манова. - Ростов-на-Дону: Фенікс, 2012. - 541 с.

    Мордковіч, А.Г. Алгебра та початки математичного аналізу. 10-11 класи. Підручник для учнів загальноосвітніх установ [Текст]/А.Г. Мордкович. - М.: Айріс-прес, 2009. - 201 с.

    Новіков, А.І. Тригонометричні функції, рівняння та нерівності [Текст]/А.І. Новіков. - М.: ФІЗМАТЛІТ, 2010. - 260 с.

    Оганесян, В.А. Методика викладання математики у неповній середній школі: Загальна методика. Навч. посібник для студентів фіз. - мат. фак. пед. ін-тов. [Текст]/В.А. Оганесян. - М.: Просвітництво, 2006. - 368 с.

    Олехнік, С.М. Рівняння та нерівності. Нестандартні методи вирішення [Текст]/С.М. Олехник. - М.: Вид-во Факторіал, 1997. - 219 с.

    Севрюков, П.Ф. Тригонометричні, показові та логарифмічні рівняннята нерівності [Текст] / П.Ф. Севрюків. - М.: Народна освіта, 2008. - 352 с.

    Сергєєв, І.М. ЄДІ: 1000 завдань з відповідями та рішеннями з математики. Усі завдання групи С [Текст]/І.М. Сергєєв. - М.: Іспит, 2012. - 301 с.

    Соболєв, А.Б. Елементарна математика [Текст]/А.Б. Соболєв. - Єкатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПІ, 2005. - 81 с.

    Фенько, Л.М. Метод інтервалів у вирішенні нерівностей та дослідженні функцій [Текст]/Л.М. Фенько. - М.: Дрофа, 2005. - 124 с.

    Фрідман, Л.М. Теоретичні основиметодики навчання математики [Текст]/Л.М. Фрідман. - М.: Книжковий дім «ЛІБРОКОМ», 2009. - 248 с.

Додаток 1

Графічна інтерпретація рішень найпростіших нерівностей

Мал. 1

Мал. 2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Додаток 2

Вирішення найпростіших нерівностей

1.5 Тригонометричні нерівності та методи їх вирішення

1.5.1 Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей

Більшість авторів сучасних підручників з математики пропонують почати розгляд цієї теми з вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей. Принцип розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей заснований на знаннях і вміннях визначати на тригонометричному колі значення не лише основних тригонометричних кутів, а й інших значень.

Тим часом, рішення нерівностей виду , , , можна здійснювати наступним чином: спочатку знаходимо якийсь проміжок (), на якому виконується дана нерівність, а потім записуємо остаточну відповідь, додавши до кінців знайденого проміжку число кратне періоду синуса або косинуса: ( ). У цьому значення легко, т.к. або . Пошук же значення спирається на інтуїцію учнів, їхнє вміння помітити рівність дуг або відрізків, скориставшись симетрією окремих частинграфіка синуса чи косинуса. А це досить великому числуучнів іноді виявляється не під силу. З метою подолання зазначених труднощів у підручниках Останніми рокамизастосовувався різний підхід до вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей, але поліпшення результати навчання це давало.

Ми протягом кількох років для виявлення розв'язання тригонометричних нерівностей досить успішно застосовуємо формули коренів відповідних рівнянь.

Вивчення цієї теми здійснюємо таким чином:

1. Будуємо графіки і у = а, вважаючи, що .

Потім записуємо рівняння та його рішення. Надаючи n 0; 1; 2, знаходимо три корені складеного рівняння: . Значення є абсцисами трьох послідовних точок перетину графіків та у = а. Зрозуміло, що у інтервалі () виконується нерівність , але в інтервалі () – нерівність .

Додавши до кінців цих проміжків число, кратне періоду синуса, у разі отримаємо розв'язання нерівності як: ; а у другому випадку – вирішення нерівності у вигляді:

Тільки на відміну синуса з формули , що є рішенням рівняння , при n = 0 отримуємо два корені , а третій корінь при n = 1 як . І знову є трьома послідовними абсцисами точок перетину графіків та . В інтервалі () виконується нерівність, в інтервалі () – нерівність

Тепер неважко записати розв'язання нерівностей та . У першому випадку отримаємо: ;

а в другому: .

Підведемо підсумок. Щоб розв'язати нерівність або , треба скласти відповідне рівняння і розв'язати його. З отриманої формули знайти коріння і , і записати відповідь нерівності як: .

За розв'язання нерівностей , з формули коренів відповідного рівняння знаходимо коріння і , і записуємо відповідь нерівності як: .

Цей прийом дозволяє навчити вирішувати тригонометричні нерівності всіх учнів, т.к. цей прийом повністю спирається на вміння, якими учні мають міцно. Це вміння вирішувати найпростіші та знаходити значення змінної за формулою. Крім того, стає абсолютно необов'язковим ретельне прорішування під керівництвом вчителя великої кількостівправ у тому, щоб продемонструвати всілякі прийоми міркувань залежно від знака нерівності, значення модуля числа a та її знака. Та й сам процес розв'язання нерівності стає коротким і, що дуже важливо, одноманітним.

Ще одним із переваг даного способу є те, що він дозволяє легко вирішувати нерівності навіть у тому випадку, коли права частина не є табличним значенням синуса чи косинуса.

Продемонструємо це на конкретному прикладі. Нехай потрібно вирішити нерівність. Складемо відповідне рівняння і вирішимо його:

Знайдемо значення та .

При n = 1

При n = 2

Записуємо остаточну відповідь даної нерівності:

У розглянутому прикладі вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей недолік може бути лише один – наявність певної частки формалізму. Але якщо все оцінювати тільки з цих позицій, то тоді можна буде звинуватити у формалізмі та формулі коріння квадратного рівняння, і всіх формул розв'язання тригонометричних рівнянь, і багато іншого.

Запропонований метод хоч і займає гідне місце у формуванні умінь та навичок розв'язання тригонометричних нерівностей, але не можна і применшувати важливість та особливості інших методів розв'язання тригонометричних нерівностей. До них належить і метод інтервалів.

Розглянемо його суть.



Комплект за редакцією А.Г. Мордковича, хоча залишати поза увагою решту підручників теж не варто. § 3. Методика викладання теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри та почав аналізу У вивченні тригонометричних функцій у школі можна виділити два основні етапи: ü Початкове знайомство з тригонометричними функціями...

Проведенні дослідження було вирішено такі задачи: 1) Проаналізовано діючі підручники алгебри та початку математичного аналізу виявлення представленої у яких методики решения ірраціональних рівняньта нерівностей. Проведений аналіз дозволяє зробити такі висновки: · У середній школі недостатня увага приділяється методам розв'язання різних ірраціональних рівнянь, в основному.

1. Якщо аргумент - складний (відмінний від х), то замінюємо його на t.

2. Будуємо в одній координатній площині tOyграфіки функцій y=costі y=a.

3. Знаходимо такі дві сусідні точки перетину графіківміж якими розташовується вище за пряму у=а. Знаходимо абсциси цих точок.

4. Записуємо подвійну нерівність для аргументу t, враховуючи період косинуса ( tбуде між знайденими абсцисами).

5. Робимо зворотну заміну (повертаємося до початкового аргументу) та виражаємо значення хз подвійної нерівності, записуємо відповідь у вигляді числового проміжку.

приклад 1.

Далі, за алгоритмом, визначаємо ті значення аргументу t, при яких синусоїда розташовується вище прямий. Випишемо ці значення у вигляді подвійної нерівності, враховуючи періодичність функції косинуса, а потім повернемося до початкового аргументу х.

приклад 2.

Виділяємо проміжок значень t, При яких синусоїда знаходиться вище за пряму.

Записуємо у вигляді подвійної нерівності значення t,які задовольняють умові. Не забуваймо, що найменший період функції y=costдорівнює 2π. Повертаємось до змінної хпоступово спрощуючи всі частини подвійної нерівності.

Відповідь записуємо у вигляді закритого числового проміжку, оскільки нерівність була суворою.

приклад 3.

Нас цікавитиме проміжок значень t, При яких точки синусоїди будуть лежати вище за пряму.

Значення tзапишемо у вигляді подвійної нерівності, перезапишемо ці ж значення для 2хі висловимо х. Відповідь запишемо у вигляді числового проміжку.

І знову формула cost>a.

Якщо cost>a, (-1≤а≤1), то - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Застосовуйте формули для вирішення тригонометричних нерівностей, і ви заощадите час на екзаменаційному тестуванні.

А зараз формула , якою вам слід скористатися на іспиті ЕНТ або ЄДІ при вирішенні тригонометричної нерівності виду cost

Якщо cost , (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Застосуйте цю формулу для вирішення розглянутих у цій статті нерівностей, і ви отримаєте відповідь набагато швидше та без будь-яких графіків!

Враховуючи періодичність функції синуса, запишемо подвійну нерівність для значень аргументу t, що задовольняє останню нерівність. Повернемося до первісної змінної. Перетворимо отриману подвійну нерівність і висловимо змінну х.Відповідь запишемо у вигляді проміжку.

Вирішуємо другу нерівність:

При розв'язанні другої нерівності нам довелося перетворити ліву частину даної нерівності за формулою синуса подвійного аргументу, щоб отримати нерівність виду: sint≥a.Далі ми слідували алгоритму.

Вирішуємо третю нерівність:

Дорогі випускники та абітурієнти! Майте на увазі, що такі способи розв'язання тригонометричних нерівностей, як наведений вище графічний спосіб і, напевно, вам відомий, спосіб розв'язання за допомогою одиничного тригонометричного кола (тригонометричного кола) застосовні лише на перших етапах вивчення розділу тригонометрії «Рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей». Думаю, ви пригадаєте, що найпростіші тригонометричні рівняння ви спочатку вирішували за допомогою графіків або кола. Однак, зараз вам не спаде на думку вирішувати таким чином тригонометричні рівняння. А як ви їх вирішуєте? Правильно, за формулами. Ось і тригонометричні нерівності слід вирішувати за формулами, тим більше на тестуванні, коли дорога кожна хвилина. Отже, розв'яжіть три нерівності цього уроку за відповідною формулою.

Якщо sint>aде -1≤ a≤1, то arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Вчіть формули!

І, насамкінець: чи знаєте ви, що математика — це визначення, правила та ФОРМУЛИ?!

Звісно, ​​знаєте! І найцікавіші, вивчивши цю статтю та переглянувши відео, вигукнули: «Як довго і складно! А чи немає формули, що дозволяє вирішувати такі нерівності без будь-яких графіків та кіл?» Так, певна річ, є!

Для вирішення нерівностей виду: sint (-1≤а≤1) справедлива формула:

- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Застосуйте її до розглянутих прикладів і ви отримаєте відповідь набагато швидше!

Висновок: ВЧИТЕ ФОРМУЛИ, ДРУЗІ!

Сторінка 1 з 1 1