Багато хто з нас стикався з незрозумілими термінами в різних науках. Але знаходиться дуже мало людей, яких не лякають незрозумілі слова, а навпаки, підбадьорюють і змушують все більше заглибитися в предмет, що вивчається. Сьогодні мова піде про таку річ, як інтерполяція. Це спосіб побудови графіків за відомими точками, що дозволяє з мінімальною кількістю інформації про функцію передбачити її поведінку на конкретних ділянках кривої.

Перед тим як перейти до суті самого визначення та розповісти про нього докладніше, трохи заглибимося в історію.

Історія

Інтерполяція була відома ще з найдавніших часів. Проте своїм розвитком це явище завдячує декільком найвидатнішим математикам минулого: Ньютону, Лейбніцу та Грегорі. Саме вони розвинули це поняття за допомогою більш сучасних математичних способів, доступних на той час. До цього інтерполяцію, звичайно, застосовували та використовували у обчисленнях, але робили це абсолютно неточними способами, що вимагають великої кількостіданих для побудови моделі, більш-менш наближеної до реальності.

Сьогодні ми можемо навіть вибирати, який із способів інтерполяції підходить більше. Все переведено на комп'ютерну мову, яка з величезною точністю може передбачати поведінку функції певній ділянці, обмеженій відомими точками.

Інтерполяція є досить вузьке поняття, тому її історія не така багата фактами. У наступному розділі розберемося, що таке інтерполяція насправді та чим вона відрізняється від своєї протилежності – екстраполяції.

Що таке інтерполяція?

Як ми вже говорили, ця загальна назва способів, що дозволяють побудувати графік по точках. У школі в основному це роблять за допомогою складання таблиці, виявлення точок на графіку та зразкової побудови ліній, що їх з'єднують. Остання діяробиться з міркувань схожості досліджуваної функції інші, вид графіків яких відомий.

Однак є інші, складніші і точніші способи виконати поставлене завдання побудови графіка по точках. Отже, інтерполяція - це власне " передбачення " поведінки функції конкретному ділянці, обмеженому відомими точками.

Існує схоже поняття, пов'язане з цією ж областю - екстраполяція. Вона є також передбачення графіка функції, але поза відомих точок графіка. При такому способі пророцтво робиться на основі поведінки функції на відомому проміжку, і потім ця функція застосовується і для невідомого проміжку. Такий спосіб дуже зручний для практичного застосуваннята активно використовується, наприклад, в економіці для прогнозування зльотів та падіння на ринку та для передбачення демографічної ситуації в країні.

Але ми відійшли від основної теми. У наступному розділі розберемося, яка буває інтерполяція та за допомогою яких формул можна зробити цю операцію.

Види інтерполяції

Самим простим виглядомє інтерполяція шляхом найближчого сусіда. За допомогою цього способу ми отримуємо приблизний графік, що складається з прямокутників. Якщо ви бачили хоч раз пояснення геометричного сенсу інтеграла на графіку, то зрозумієте, про який графічний вигляд мова йде.

Крім цього, існують інші методи інтерполяції. Найвідоміші та найпопулярніші пов'язані з багаточленами. Вони більш точні і дозволяють передбачати поведінку функції за досить мізерного набору значень. Першим методом інтерполяції, що ми розглянемо, буде лінійна інтерполяція багаточленами. Це найпростіший спосіб із даної категорії, і ним напевно кожен із вас користувався у школі. Суть його полягає у побудові прямих між відомими точками. Як відомо, через дві точки площини проходить єдина пряма, рівняння якої можна знайти, виходячи з координат даних точок. Побудувавши ці прямі, ми отримуємо ламаний графік, який так-сяк, але відображає приблизні значення функцій і в загальних рисах збігається з реальністю. Так здійснюється лінійна інтерполяція.

Ускладнені види інтерполяції

Є цікавіший, але при цьому більше складний спосібінтерполяції. Його вигадав французький математик Жозеф Луї Лагранж. Саме тому розрахунок інтерполяції за цим методом названо його ім'ям: інтерполяція за методом Лагранжа. Фокус тут ось у чому: якщо спосіб, викладений у попередньому абзаці, використовує для розрахунку лише лінійну функцію, то розкладання методом Лагранжа передбачає також використання багаточленів більше високих ступенів. Але не так просто знайти самі формули інтерполяції для різних функцій. І що більше точок відомо, то точніше виходить формула інтерполяції. Але є й безліч інших методів.

Існує і більш досконалий та наближений до реальності метод розрахунку. Формула інтерполяції, що використовується в ньому, є сукупністю многочленів, застосування кожного з яких залежить від ділянки функції. Такий метод називається сплайн-функцією. Крім того, є ще й способи, що дозволяють провести таку річ, як інтерполяція двох змінних функцій. Тут лише два методи. Серед них є білінійна або подвійна інтерполяція. Цей спосіб дозволяє легко побудувати графік по точках в тривимірному просторі. Інші методи торкатися не будемо. Взагалі, інтерполяція - це універсальне називання всім цих методів побудови графіків, але різноманіття методів, якими можна здійснити цю дію, змушує ділити їх у групи залежно від виду функції, яка підлягає цьому дії. Тобто інтерполяція, приклад якої ми розглянули вище, стосується прямих способів. Існує також зворотна інтерполяція, яка відрізняється тим, що дозволяє обчислити не пряму, а зворотну функцію (тобто x від y). Розглядати останні варіанти ми не будемо, оскільки це досить складно і потребує хорошої математичної бази знань.

Перейдемо до, мабуть, одного з найважливіших розділів. З нього ми дізнаємося, як і де обговорювана нами сукупність методів застосовується у житті.

Застосування

Математика, як відомо, є царицею наук. Тому навіть якщо ви спершу не бачите сенсу в тих чи інших операціях, це не означає, що вони марні. Ось, наприклад, здається, що інтерполяція – це марна річ, за допомогою якої тільки графіки будувати можна, які зараз мало кому потрібні. Проте за будь-яких розрахунках у техніці, фізиці та багатьох інших науках (наприклад, біології), дуже важливо представляти досить повну картину явище, маючи у своїй певний набір значень. Самі значення, розкидані за графіком, який завжди дають чіткі ставлення до поведінці функції конкретному ділянці, значеннях її похідних і точок перетину з осями. А це дуже важливо для багатьох областей нашого з вами життя.

А як це знадобиться у житті?

На подібне запитання дуже складно відповісти. Але відповідь проста: ніяк. Саме ці знання вам не знадобляться. А от якщо ви зрозумієте цей матеріал і методи, за допомогою яких здійснюються ці дії, ви потренуєте свою логіку, яка в житті стане в нагоді. Головне - не самі знання, а ті навички, які людина набуває у процесі вивчення. Адже недарма існує приказка: "Століття живи - століття вчися".

Суміжні поняття

Ви можете самі зрозуміти, наскільки важливою була (і досі не втрачає свою важливість) ця галузь математики, глянувши на різноманітність інших концепцій, пов'язаних із цією. Ми вже говорили про екстраполяцію, але є ще й апроксимація. Можливо, ви вже чули це слово. У будь-якому разі те, що воно означає, ми теж розбирали у цій статті. Апроксимація, як і інтерполяція, - це поняття, пов'язані з побудовою графіків функцій. Але відмінність першої від другої в тому, що вона є приблизною побудовою графіка на основі подібних відомих графіків. Ці два поняття дуже схожі між собою і тим цікавіше вивчати кожне з них.

Висновок

Математика – не така складна наука, як здається на перший погляд. Вона радше цікава. І у цій статті ми спробували вам це довести. Ми розглянули поняття, пов'язані з побудовою графіків, дізналися, що таке подвійна інтерполяція, і розібрали на прикладах, де вона застосовується.

Це розділ із книги Білла Джелена.

Завдання: деякі інженерні проблеми проектування вимагають використання таблиць для обчислення параметрів. Оскільки таблиці дискретні, дизайнер використовує лінійну інтерполяцію для отримання проміжного значення параметра. Таблиця (рис. 1) включає висоту над землею (керуючий параметр) і швидкість вітру (параметр, що розраховується). Наприклад, якщо треба знайти швидкість вітру, що відповідає висоті 47 метрів, слід застосувати формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.

Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі

Як бути, якщо існує два параметри, що управляють? Чи можна виконати обчислення за допомогою однієї формули? У таблиці (рис. 2) показано значення тиску вітру для різних висот та величин прольоту конструкцій. Потрібно обчислити тиск вітру на висоті 25 метрів та величині прольоту 300 метрів.

Рішення: проблему вирішуємо шляхом розширення методу, що використовується для випадку з одним параметром, що управляє. Виконайте наступні дії.

Почніть із таблиці, зображеної на рис. 2. Додайте вихідні осередки для висоти та прольоту в J1 та J2 відповідно (рис. 3).

Мал. 3. Формули в осередках J3: J17 пояснюють роботу мегаформули

Для зручності використання формул визначте імена (рис. 4).

Прослідкуйте за роботою формули послідовно переходячи від комірки J3 до комірки J17.

Шляхом зворотного послідовного встановлення зберіть мегаформулу. Скопіюйте текст формули з комірки J17 до J19. Замініть у формулі посилання на J15 значення в осередку J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. І так далі. Вийде формула, що складається з 984 символів, яку неможливо сприйняти в такому вигляді. Ви можете подивитися на неї у доданому Excel-файлі. Не впевнений, що такі мегаформули корисні у використанні.

Резюме: лінійна інтерполяція використовується для отримання проміжного значення параметра, якщо табличні значення задані лише меж діапазонів; запропоновано метод розрахунку за двома керуючими параметрами.

Існують випадки, коли потрібно дізнатися про результати обчислення функції за межами відомої області. Особливо актуальне це питання для процедури прогнозування. В Екселі є кілька способів, за допомогою яких можна здійснити цю операцію. Давайте розглянемо їх у конкретних прикладах.

Спосіб 2: екстраполяція для графіка

Виконати процедуру екстраполяції для графіка можна шляхом побудови лінії тренду.

1. Насамперед, будуємо сам графік. Для цього курсором при лівій кнопці миші виділяємо всю область таблиці, включаючи аргументи і відповідні значення функції. Потім, перемістившись у вкладку "Вставка", клацаємо по кнопці «Графік». Цей значок розташований у блоці «Діаграми»на стрічці інструментів. З'являється список доступних варіантівграфіків. Вибираємо найбільш підходящий з них на власний розсуд.



2. Після того, як графік побудований, видаляємо з нього додаткову лінію аргументу, виділивши її та натиснувши кнопку Deleteна клавіатурі комп'ютера.



3. Далі нам необхідно змінити поділки горизонтальної шкали, оскільки в ній відображаються не значення аргументів, як нам того необхідно. Для цього, клацаємо правою кнопкою миші по діаграмі і в списку зупиняємося на значенні «Вибрати дані».



4. У вікні вибору джерела даних, що запустилося, клацаємо по кнопці «Змінити»у блоці редагування підпису горизонтальної осі.



5. Відкриється вікно встановлення підпису осі. Ставимо курсор у полі даного вікна, а потім виділяємо всі дані стовпця «X»без його найменування. Потім тиснемо на кнопку "OK".



6. Після повернення до вікна вибору джерела даних повторюємо ту саму процедуру, тобто тиснемо на кнопку "OK".



7. Тепер наш графік підготовлений і можна безпосередньо приступати до побудови лінії тренду. Клацаємо за графіком, після чого на стрічці активується додатковий набір вкладок – «Робота з діаграмами». Переміщуємося у вкладку «Макет»і тиснемо на кнопку «Лінія тренду»у блоці «Аналіз». Клацаємо по пункту «Лінійне наближення»або «Експоненційне наближення».



8. Лінія тренду додана, але вона повністю знаходиться під лінією самого графіка, оскільки ми не вказали значення аргументу, якого вона повинна прагнути. Щоб це зробити знову послідовно клацаємо по кнопці «Лінія тренду», але тепер вибираємо пункт "Додаткові параметри лінії тренду".



9. Запускається вікно формату лінії тренду. В розділі "Параметри лінії тренду"є блок налаштувань "Прогноз". Як і в попередньому способі, давайте для екстраполяції візьмемо аргумент 55 . Як бачимо, поки що графік має довжину до аргументу 50 включно. Виходить, нам потрібно буде його продовжити ще на 5 одиниць. На горизонтальній осі видно, що 5 одиниць дорівнює одному поділу. Це означає один період. В полі "Вперед на"вписуємо значення «1». Тиснемо на кнопку «Закрити»у нижньому правому кутку вікна.



10. Як бачимо, графік продовжили на зазначену довжину за допомогою лінії тренда.

Отже, ми розглянули найпростіші приклади екстраполяції для таблиць та графіків. У першому випадку використовується функція ПЕРЕДСКАЗ, а у другому – лінія тренду. Але на основі цих прикладів можна вирішувати і набагато складніші завдання прогнозування.

Буває ситуація, коли в масиві відомих значеньНеобхідно знайти проміжні результати. У математиці це називається інтерполяцією. В Excel даний методможна застосовувати як табличних даних, так побудови графіків. Розберемо кожен із цих способів.

Головна умова, за якої можна застосовувати інтерполяцію – це те, що потрібне значення має бути всередині масиву даних, а не виходити за його межу. Наприклад, якщо ми маємо набір аргументів 15, 21 та 29, то при знаходженні функції аргументу 25 ми можемо використовувати інтерполяцію. А для пошуку відповідного значення для аргументу 30 вже немає. У цьому є головна відмінність цієї процедури від екстраполяції.

Спосіб 1: інтерполяція для табличних даних

Насамперед, розглянемо застосування інтерполяції для даних, які у таблиці. Наприклад візьмемо масив аргументів і відповідних їм значень функції, співвідношення яких можна описати лінійним рівнянням. Ці дані розміщені у таблиці нижче. Нам потрібно знайти відповідну функцію для аргументу 28 . Зробити це найпростіше за допомогою оператора ПЕРЕДСКАЗ.

Спосіб 2: інтерполяція графіка за допомогою його налаштувань

Процедуру інтерполяції можна використовувати і при побудові графіків функції. Актуальна вона у тому випадку, якщо в таблиці, на основі якої побудовано графік, до одного з аргументів не зазначено відповідне значення функції, як на зображенні нижче.

Як бачимо, графік скоригований, а розрив за допомогою інтерполяції вилучено.

Спосіб 3: інтерполяція графіка за допомогою функції

Здійснити інтерполяцію графіка можна також за допомогою спеціальної функції НД. Вона повертає невизначені значення у вказану комірку.

Можна зробити навіть простіше, не запускаючи Майстер функцій, а просто з клавіатури вбити в порожню комірку значення «#Н/Д»без лапок. Але це вже залежить від того, як користувачеві зручніше.

Як бачимо, у програмі Ексель можна виконати інтерполяцію як табличних даних, використовуючи функцію ПЕРЕДСКАЗ, і графіка. В останньому випадку це можливо за допомогою налаштувань графіка або застосування функції НД, що викликає помилку «#Н/Д». Вибір того, який метод використовувати, залежить від постановки завдання, а також від особистих переваг користувача.

Інтерполяція. Вступ. Загальна постановка задачі

При вирішенні різних практичних завдань результати досліджень оформляються у вигляді таблиць, що відображають залежність однієї або кількох вимірюваних величин від визначального параметра (аргументу). Такі таблиці представлені зазвичай у вигляді двох або більше рядків (стовпців) і використовуються для формування математичних моделей.

Таблично задані в математичних моделях функції зазвичай записуються у таблиці виду:

Y1 (X)	Y(Х0)	Y(Х1)		Y(Хn)
Ym (X)	Y(Х0)	Y(Х1)		Y(Хn)

Обмеженість інформації, представленої такими таблицями, часом вимагає отримати значення функцій Y j (X) (j=1,2,…,m) в точкахХ , які збігаються з вузловими точками таблиціХ i (i=0,1,2,…). , N). У таких випадках необхідно визначити деякий аналітичний вираз φ j (Х) для обчислення наближених значень досліджуваної функції Y j (X) в довільно точках, що задаються. Функція φ j (Х) використовується для визначення наближених значень функції Y j (X) називається апроксимуючою функцією (від латинського approximo - наближаюся). Близькість апроксимуючої функції j (Х) до апроксимованої функції Y j (X) забезпечується вибором відповідного алгоритму апроксимації.

Всі подальші розгляду та висновки ми робитимемо для таблиць, що містять вихідні дані однієї досліджуваної функції (тобто для таблиць з m=1).

1. Методи інтерполяції

1.1 Постановка задачі інтерполяції

Найчастіше визначення функції φ(Х) використовується постановка, звана постановкою завдання інтерполяції.

У цій класичній постановці завдання інтерполяції потрібно визначити наближену аналітичну функцію φ(Х), значення якої у вузлових точках збігаються зі значеннями Y(Х i ) вихідної таблиці, тобто. умов

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Побудована таким чином апроксимуюча функція φ(Х) дозволяє отримати досить близьке наближення до функції, що інтерполюєтьсяY(X) в межах інтервалу значень аргументу [Х 0 ; Х n], що визначається таблицею. При заданні значень аргументу Х , не належатьцьому інтервалу, завдання інтерполяції перетворюється на задачу екстраполяції. У цих випадках точність

значень, одержуваних при обчисленні значень функції φ(Х), залежить від відстані значення аргументу Х від Х 0 якщо Х<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Х n.

При математичному моделюванні інтерполююча функція може бути використана для обчислення наближених значень досліджуваної функції у проміжних точках підінтервалів [Х i ; Х i +1]. Така процедура називається ущільненням таблиці.

Алгоритм інтерполяції визначається способом обчислення значень функції (Х). Найбільш простим і очевидним варіантом реалізації інтерполюючої функції є заміна досліджуваної функції Y(Х) на інтервалі [Х i; Х i+1 ] відрізком прямої, що з'єднує точки Y i , Y i +1 . Цей метод називається методом лінійної інтерполяції.

1.2 Лінійна інтерполяція

При лінійній інтерполяції значення функції в точці Х , що знаходиться між вузлами Х i і Х i + 1 визначається за формулою прямої, що з'єднує дві сусідні точки таблиці

Y(X) = Y(Xi)+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(X - Xi) (i = 0,1,2, ..., n),
	X i+ 1− X i

На рис. 1 наведено приклад таблиці, отриманої в результаті вимірювання деякої величини Y(X) . Рядки вихідної таблиці виділені заливкою. Праворуч від таблиці побудовано точкову діаграму, що відповідає цій таблиці. Ущільнення таблиці виконано завдяки обчисленню за формулою

(3) значень апроксимованої функції в точках Х , відповідних серединам підінтервалів (i = 0, 1, 2, ..., n).

Рис.1. Ущільнена таблиця функції Y(X) та відповідна їй діаграма

Під час розгляду графіка на рис. 1 видно, що точки, отримані в результаті ущільнення таблиці методом лінійної інтерполяції, лежать на відрізках прямих, що з'єднують точки вихідної таблиці. Точність лінійної

інтерполяції, істотно залежить від характеру інтерполюваної функції і від відстані між вузлами таблиці X i, X i +1 .

Очевидно, що якщо функція плавна, то навіть при порівняно великій відстаніміж вузлами графік, побудований шляхом з'єднання точок відрізками прямих, дозволяє досить точно оцінити характер функції Y(Х). Якщо функція змінюється досить швидко, а відстані між вузлами великі, то лінійна інтерполююча функція не дозволяє отримати досить точне наближення до реальної функції.

Лінійна інтерполююча функція може бути використана для загального попереднього аналізу та оцінки коректності результатів інтерполяції, одержуваних потім іншими більш точними методами. Особливо актуальною така оцінка стає у випадках, коли обчислення виконуються вручну.

1.3 Інтерполяція канонічним поліномом

Метод інтерполяції функції канонічним поліномом ґрунтується на побудові інтерполюючої функції як полінома у вигляді [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Коефіцієнти з i полінома (4) є вільними параметрами інтерполяції, що визначаються з умов Лагранжа:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, ..., n)

Використовуючи (4) та (5) запишемо систему рівнянь

	C x+ c x2				C xn = Y
	C x+ c x2				C xn
			C x2			C xn = Y

Вектор рішення з i (i = 0, 1, 2, …, n) системи лінійних рівнянь алгебри (6) існує і може бути знайдений, якщо серед вузлів i немає збігаються. Визначник системи (6) називається визначником Вандермонда1 і має аналітичний вираз [2].

1 Визначником Вандермонда називається визначник

Він дорівнює нулю і тоді, коли xi = xj для деяких. (Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії)

Для визначення значень коефіцієнтів з i (i = 0, 1, 2, …, n)

рівнянь (5) можна записати у векторно-матричній формі

A * C = Y,

де А, матриця коефіцієнтів, що визначаються таблицею ступенів вектора аргументівX=

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

С - вектор-стовпець коефіцієнтів i (i = 0, 1, 2, …, n), а Y - вектор-стовпець значень Y i (i = 0, 1, 2, …, n) інтерполюваної функції у вузлах інтерполяції.

Рішення цієї системи лінійних рівнянь алгебри може бути отримано одним з методів, описаних в [ 3 ]. Наприклад, за формулою

С = A−1 Y,

де А -1 - матриця зворотна матриціА. Для отримання зворотної матриці А-1 можна скористатися функцією МОБР(), що входить до набору стандартних функцій Microsoft Excel.

Після того, як будуть визначені значення коефіцієнтів з i , використовуючи функцію (4), можуть бути обчислені значення інтерполюваної функції для будь-якого значення аргументів .

Запишемо матрицю для таблиці, наведеної на рис.1, без урахування рядків ущільнюючих таблицю.

Рис.2 Матриця системи рівнянь для обчислення коефіцієнтів канонічного полінома

Використовуючи функцію МОБР(), отримаємо матрицю А -1 зворотну матрицю (рис. 3). Після чого, за формулою (9) отримаємо вектор коефіцієнтів С = (c0, c1, c2, …, cn) T, наведений на рис. 4.

Для обчислення значень канонічного полінома в комірку стовпця Y канонич , що відповідає значенням 0 , введемо перетворену до наступного виду формулу, що відповідає нульовому рядку системи (6)

=((((c 5	* х 0 + c 4) * х 0 + c 3) * х 0 + c 2) * х 0 + c 1) * х 0 + c 0

C0 + x * (c1 + x * (c2 + x * (c3 + x * (c4 + x * c5))))

Замість запису "ci" у формулі, що вводиться в комірку таблиці Excel, має стояти абсолютне посилання на відповідну комірку, що містить цей коефіцієнт (див. рис. 4). Замість "х 0" - відносне посилання на комірку стовпця Х (див. рис. 5).

Y канонич (0) значення, що збігається зі значенням в комірці Y лін (0) . При протягуванні формули, записаної в комірку Y каноніч (0), повинні також збігтися і значення Y каноніч (i) , відповідні вузловим точкам вихідної

таблиці (див. рис.5).

Мал. 5. Діаграми, побудовані за таблицями лінійної та канонічної інтерполяції

Порівняння графіків функцій, побудованих за таблицями, обчисленими за формулами лінійної та канонічної інтерполяції, бачимо у низці проміжних вузлів істотне відхилення значень, отриманих за формулами лінійної та канонічної інтерполяції. Більш обґрунтовано судити про точність інтерполяції можна на підставі отримання додаткової інформаціїпро характер модельованого процесу.