Об'ємна щільність енергії електростатичного поля кулі

(Приклади розв'язання задач)

Енергія взаємодії зарядів

приклад 1.

Визначте електричну енергію взаємодії точкових зарядів, що розташовані у вершинах квадрата зі стороною a(Див. рис.2).

Рішення.

На рис.3 умовно зображені двонаправленими стрілками всі парні взаємодії зарядів. Враховуючи енергію всіх цих взаємодій, отримаємо:

приклад 2.

Визначте електричну енергію взаємодії зарядженого кільця з диполем, розташованим його осі, як показано на рис.4. Відомі відстані a, l, заряди Q, qта радіус кільця R.

Рішення.

При розв'язанні задачі слід врахувати всі енергії парних взаємодій зарядів одного тіла (кільця) із зарядами іншого тіла (диполя). Енергія взаємодії точкового заряду qіз зарядом Q, розподіленим по кільцю, визначається сумою

де

- заряд нескінченно малого фрагмента кільця, - відстань від цього фрагмента до заряду q. Оскільки всі однакові та рівні

, то

Аналогічно знайдемо енергію взаємодії точкового заряду - qіз зарядженим кільцем:

Підсумовуючи W 1 і W 2 отримаємо для енергії взаємодії кільця з диполем:

Електрична енергія заряджених провідників

приклад 3.

Визначте роботу електричних силпри зменшенні у 2 рази радіусу однорідно зарядженої сфери. Заряд сфери q, її початковий радіус R.

Рішення.

Електрична енергія відокремленого провідника визначається формулою

, де q- Заряд провідника, - його потенціал. Враховуючи, що потенціал однорідно зарядженої сфери радіусу Rдорівнює

, знайдемо її електричну енергію:

Після зменшення вдвічі радіусу сфери її енергія стає рівною

Електричні сили при цьому виконують роботу

приклад 4.

Дві металеві кулі, радіуси яких rі 2 r, а відповідні заряди 2 qі – qрозташовані у вакуумі на великій відстані один від одного. У скільки разів зменшиться електрична енергіясистеми, якщо кулі з'єднати тонким дротом?

Рішення.

Після з'єднання куль тонким дротом їх потенціали стають однаковими.

а заряди куль, що встановилися Q 1 і Q 2 виходять в результаті перетікання заряду з однієї кулі на іншу. При цьому сумарний заряд куль залишається незмінним:

З цих рівнянь знайдемо

,

.

Енергія куль до з'єднання їх дротом дорівнює

а після з'єднання

Підставляючи останній вираз значення Q 1 і Q 2 , отримаємо після простих перетворень

Приклад 5.

В одну кулю злилися N= 8 однакових кульок ртуті, заряд кожної з яких q. Вважаючи, що в початковому стані ртутні кульки знаходилися на великій відстані один від одного, визначте, скільки разів збільшилася електрична енергія системи.

Рішення.

При злитті ртутних кульок зберігається їх сумарний заряд та об'єм:

де Q- Заряд кулі, R- Його радіус, r– радіус кожної маленької ртутної кульки. Сумарна електрична енергія Nвідокремлених кульок дорівнює

Електрична енергія отриманої внаслідок злиття кулі

Після алгебраїчних перетворень отримаємо

= 4.

Приклад 6.

Металева кулька радіусу R= 1 мм та заряду q= 0,1 нКл з великої відстаніповільно наближають до незарядженого провідника і зупиняють, коли потенціал кульки стає рівним  = 450 В. Яку роботу для цього слід здійснити?

Рішення.

де q 1 і q 2 – заряди провідників,  1 та  2 – їх потенціали. Оскільки провідник за умовою завдання не заряджений, то

де q 1 і 1 заряд та потенціал кулі. Коли куля та незаряджений провідник знаходяться на великій відстані один від одного,

та електрична енергія системи

У кінцевому стані системи, коли потенціал кулі став рівним , електрична енергія системи:

Робота зовнішніх сил дорівнює приросту електричної енергії:

= -0,0225 мкДж.

Зауважимо, що електричне полеу кінцевому стані системи створюється зарядами, індукованими на провіднику, а також зарядами, неоднорідно розподіленими поверхнею металевої кулі. Розрахувати це поле за відомої геометрії провідника і заданому положенні металевої кулі дуже непросто. Нам не потрібно цього робити, оскільки в задачі задана не геометрична конфігурація системи, а потенціал кулі в кінцевому стані.

приклад 7 .

Система складається з двох концентричних тонких металевих оболонок із радіусами. R 1 і R 2 (

та відповідними зарядами q 1 і q 2 . Знайдіть електричну енергію Wсистеми. Розгляньте також спеціальний випадок, коли

.

Рішення.

Електрична енергія системи із двох заряджених провідників визначається формулою

Для вирішення завдання необхідно знайти потенціали внутрішньої (1) та зовнішньої (2) сфер. Це неважко зробити (див. відповідний розділ посібника):

,

.

Підставляючи ці висловлювання у формулу для енергії, отримаємо

При

енергія дорівнює

Власна електрична енергія та енергія взаємодії

Приклад 8.

Дві провідні сфери, заряди яких qі – q, радіуси R 1 і R 2 розташовані у вакуумі на великій відстані один від одного. Сфера більшого радіусу R 2 складається із двох напівсфер. Півсфери роз'єднують, підносять їх до сфери радіусу. R 1 і знову з'єднують, утворюючи таким чином сферичний конденсатор. Визначте роботу електричних сил при такому складанні конденсатора.

Рішення.

Електрична енергія двох віддалених один від одного заряджених сфер дорівнює

Електрична енергія отриманого сферичного конденсатора:

Потенціал внутрішньої сфери,

- Потенціал зовнішньої сфери. Отже,

Робота електричних сил при такому складанні конденсатора:

Зауважимо, що електрична енергія сферичного конденсатора W 2 дорівнює роботі зовнішніх сил із зарядки конденсатора. При цьому електричні сили виконують роботу.

. Ця робота здійснюється не тільки при зближенні заряджених обкладок, але і при нанесенні заряду на кожну з обкладок. Тому AЕЛ відрізняється від знайденої вище роботи A, досконалої електричними силами тільки при зближенні обкладок.

Приклад 9.

Точковий заряд q= 1,5 мкКл розташований у центрі сферичної оболонки, поверхнею якої однорідно розподілений заряд Q= 5 мкКл. Знайдіть роботу електричних сил при розширенні оболонки – збільшенні її радіусу R 1 = 50 мм до R 2 = 100 мм.

Рішення.

Енергія взаємодії точкового заряду qіз зарядами, розташованими на сферичній оболонці радіусу Rдорівнює

Власна електрична енергія оболонки (енергія взаємодії зарядів оболонки між собою) дорівнює:

Робота електричних сил при розширенні оболонки:

Після перетворень отримаємо

1,8 Дж.

Інший спосіб вирішення

Точковий заряд представимо у вигляді однорідно зарядженої сфери малого радіусу rта заряду q. Повна електрична енергія системи дорівнює

Потенціал сфери радіусу r,

Потенціал сфери радіусу R. При розширенні зовнішньої сфери електричні сили виконують роботу

Після підстановок та перетворень отримаємо відповідь.

Об'ємна щільність енергії електричного поля

приклад 10 .

Яка частина електричної енергії зарядженої провідної кулі, розташованої у вакуумі, укладена в межах концентричної з кулею уявної сфери, радіус якої в nразів більше за радіус кулі?

Рішення.

Об'ємна щільність енергії електричного поля

визначає електричну енергію

локалізовану в нескінченно малому обсязі

(E– модуль вектора напруженості електричного поля у цьому обсязі,  - діелектрична проникність). Щоб обчислити повну електричну енергію зарядженої провідної кулі, подумки розіб'ємо весь простір на нескінченно тонкі шарові шари, концентричні із зарядженою кулею. Розглянемо один із таких шарів радіусу rта товщини dr(Див. рис.5). Його обсяг дорівнює

а зосереджена у шарі електрична енергія

Напруженість Eполя зарядженої провідної кулі залежить, як відомо, від відстані rдо центру кулі. Усередині кулі

тому при обчисленні енергії достатньо розглядати тільки ті шарові шари, радіус. rяких перевищує радіус кулі R.

При

напруженість поля

діелектрична проникність

і, отже

де q- Заряд кулі.

Повна електрична енергія зарядженої кулі визначається інтегралом

а енергія, зосереджена всередині уявної сфери радіусу nR, дорівнює

Отже,

Приклад 11.

Визначте електричну енергію системи, що складається із зарядженої провідної кулі і концентричної з ним незарядженої провідної кульової шару (рис.6). Внутрішній та зовнішній радіуси шару aі b, радіус кулі

, заряд q, система знаходиться у вакуумі.

Рішення.

На внутрішній та зовнішній поверхнікульового шару розподілено індуковані заряди. Їх алгебраїчна сума дорівнює нулю, тому індуковані заряди не створюють електричного поля при

, де r- Відстань від центру системи. В області

напруженість поля індукованих зарядів також дорівнює нулю, оскільки вони розподілені однорідно по сферичних поверхнях. Таким чином, електричне поле системи збігається з полем однорідно зарядженої по поверхні сфери, за винятком внутрішньої області шарового шару, де E= 0. На рис.7 наведено зразковий графік залежності

. Опускаючи докладні викладки (див. приклад 10), запишемо для електричної енергії системи:

де

,

,

. Після інтегрування отримаємо

приклад 12.

Спочатку заряд qрозподілено однорідно за обсягом кулі радіусу R. Потім внаслідок взаємного відштовхування заряди переходять поверхню кулі. Яку роботу виконують при цьому електричні сили? Діелектричну проникність вважайте рівною одиниці.

Рішення.

Робота електричних сил дорівнює спаду електричної енергії:

де W 1 – електрична енергія однорідно зарядженої за обсягом кулі, W 2 - енергія тієї ж кулі, однорідно зарядженого по поверхні. Оскільки сумарний заряд в обох випадках однаковий, то електричне поле поза кулею під час переходу заряду з об'єму на поверхню не змінюється. Електричне поле та енергія змінюються лише всередині кулі.

За допомогою теореми Гауса можна вивести формулу для напруженості поля всередині однорідно зарядженої кулі на відстані rвід його центру:

Електрична енергія, зосереджена всередині кулі, визначається інтегралом:

Коли всі заряди перейшли на поверхню кулі, електричне поле, отже, і енергія електричного поля всередині кулі стали рівними нулю. Таким чином,

Одне з найцікавіших і найкорисніших відкриттів у механіці - це закон збереження енергії. Знаючи формули для кінетичної та потенційної енергій механічної системи, ми здатні виявляти зв'язок між станами системи у два різні моменти часу, не вникаючи в подробиці того, що відбувається між цими моментами. Ми хочемо визначити тепер енергію електростатичних систем. В електриці збереження енергії виявиться так само корисним для виявлення багатьох цікавих фактів.

Закон, яким змінюється енергія при електростатичному взаємодії, дуже простий; насправді ми його вже обговорювали. Нехай є заряди і розділені проміжком. Ця система має якусь енергію, бо знадобилася якась робота, щоб зблизити заряди. Ми підраховували роботу, яку провадили при зближенні двох зарядів з великої відстані; вона дорівнює

Ми знаємо з принципу накладення, що якщо зарядів багато, то загальна сила, що діє на будь-який із зарядів, дорівнює сумі сил, що діють з боку інших зарядів. Звідси випливає, що повна енергія системи кількох зарядів є сумою членів, що виражають взаємодію кожної пари зарядів окремо. Якщо і - якісь два із зарядів, а відстань між ними (фіг. 8.1), то енергія саме цієї пари дорівнює

Фігура 8.1. Електростатична енергія системи часток є сумою електростатичних енергійкожної пари

Повна електростатична енергія є сумою енергій різних пар зарядів:

(8.3)

Якщо розподіл задається щільністю заряду, то суму (8.3) потрібно, звичайно, замінити інтегралом.

Ми розповімо тут про енергію з двох поглядів. Перша – застосування поняття енергії до електростатичних завдань; друга - різні способиоцінки величини енергії Іноді легше буває підрахувати виконану у разі роботу, ніж оцінити величину суми (8.3) чи величину відповідного інтеграла. Для зразка підрахуємо енергію, необхідну для того, щоб зібрати із зарядів однорідно заряджену кулю. Енергія тут є не що інше, як робота, яка витрачається на збирання зарядів із нескінченності.

Уявіть, що ми споруджуємо кулю, послідовно нашаровуючи один на одного сферичні шари нескінченно малої товщини. На кожній стадії процесу ми збираємо невелику кількість електрики та розміщуємо його тонким шаром від до . Ми продовжуємо цей процес до тих пір, поки не дістанемося до заданого радіусу (фіг. 8.2). Якщо - це заряд кулі в той момент, коли куля доведена до радіусу, то робота, необхідна для доставки на кулю заряду, дорівнює

Фігура 8.2. Енергію однорідно зарядженої кулі можна розрахувати, уявивши, що її зліпили, послідовно нашаровуючи один на одного сферичні шари.

Якщо щільність заряду всередині кулі є , то заряд дорівнює

а заряд дорівнює по всіх парах точок усередині кулі дорівнює.

Нехай електричний заряд Qрівномірно розподілений по поверхні сфери радіусу R. Поза сферою електричне поле, створюване зарядами на сфері, еквівалентне полю точкового заряду, розміщеного в центрі сфері (рис. 350).

Мал. 350
Усередині сфери поле відсутнє. Так, напруженість поля в точці, що знаходиться на відстані rвід центру сфери, дорівнює

зокрема, безпосередньо біля поверхні сфери, напруженість поля дорівнює
(15)
Звернімо увагу, що твір S = 4πR 2є площа сфери, тоді відношення

є поверхневою щільністю заряду на сфері, тому напруженість поля біля поверхні сфери виражається тією ж формулою, що і напруженість поля між пластинами, розглянутими в попередньому розділі E o = σ/ε o. Потенціал поверхні сфери також було обчислено нами раніше

Розрахуємо тепер енергію поля, яке створюється зарядами на сфері. Подумки розділимо заряд сфери на Nрівних малих частин, величини яких рівні

Розглянемо один із цих малих зарядів. У точці його розташування потенціал поля, створюваного всіма іншими (N − 1)зарядами, дорівнює

З використанням симетричної формули

вираз для енергії взаємодії набуває вигляду

дана сума містить Nоднакових доданків, тому дорівнює

Оскільки кількість частин N, на які розбивається сфера, може бути зроблено як завгодно великим, то в межі N → ∞доданок 1/Nзникає, тому остаточне вираження енергії взаємодії зарядів сфери має вигляд

Зауважимо, що отриманий вираз має вигляд

Якщо відразу заявити, що зменшення заряду на малу величину δQзневажливо мало змінює потенціал сфери, то результат (17) виходить прямим застосуванням формули енергії взаємодії зарядів. Однак, поводження з малими величинами потребує певної суворості, тому ми й навели дещо «подовжений» висновок.
Наведемо ще один висновок цієї ж формули 1. Для цього енергію системи розрахуємо як роботу, яку потрібно здійснити, щоб зарядити сферу. Подумки заряджатимемо сферу малими рівними порціями заряду

які переноситимемо на сферу з «нескінченності». Якщо сфера не заряджена, то перенесення першої «порції» заряду не потребує жодної роботи. Після того, як сфера придбала деякий електричний заряд, перенесення наступної порції заряду вимагає виконання подолання сил відштовхування з боку зарядів сфери. Якщо на сферу перенесено (k − 1)порції заряду, то її потенціал дорівнює

Тому для того, щоб перенести на сферу наступну порцію заряду, необхідно здійснити роботу

Повна робота із зарядки сфери (рівна енергії електричного поля сфери) виражається сумою геометричної прогресії

Як і слід очікувати, ми отримали вираз, що повністю збігається з (17), при нескінченному зменшенні порцій зарядів, що переносяться, ми знову приходимо до формули (14).
У цьому немає нічого дивного, тому що в першому випадку ми підрахували енергію, яка виділиться при розбіганні зарядів зі сфери, а в другому – енергію, яку потрібно витратити, щоб зібрати їх назад.
Покажемо, що енергію взаємодії зарядів і в цьому випадку можна витлумачити як енергію електричного поля, розмазану по всьому простору, де існує поле. Припустимо, що радіус сфери збільшився на малу величину ΔR, А її заряд при цьому не змінився. Згідно з формулою (14), енергія взаємодії зарядів при цьому зменшиться. У просторі, поза сферою збільшеного радіусу, електричне поле не змінилося, а в тонкому сферичному шарі між початковою та розширеною сферами – зникло (рис. 351).

Мал. 351
Тому слід вважати, що зменшення енергії взаємодії зарядів зі збільшенням радіусу сфери дорівнює енергії, яка полягає в цьому тонкому сферичному шарі. При малій товщині шару його обсяг можна обчислити як добуток площі сфери на товщину шару

Нехтуючи зміною напруженості поля в межах тонкого шару, енергію, укладену в ньому, запишемо у вигляді

де w− щільність енергії поля. З іншого боку, ця енергія дорівнює зміні енергії взаємодії зарядів зі збільшенням радіусу сфери

на останньому кроціми знехтували малою зміною радіусу ΔR. Нарешті, виразимо заряд кулі через напруженість електричного поля біля його поверхні

тоді

З порівняння з формулою (16) випливає, що і в даному випадку щільність енергії електричного поля виражається формулою