Rješavanje sustava jednadžbi s USE parametrima. "metode rješavanja problema s parametrima"

Izvješće o GMO-u profesorice matematike MBOU SŠ br.9

Molchanova Elena Vladimirovna

"Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike: problemi s parametrima."

Budući da u školskim udžbenicima nema definicije parametra, predlažem da se kao osnova uzme sljedeća najjednostavnija verzija.

Definicija . Parametar je nezavisna varijabla čija se vrijednost u problemu smatra danim fiksnim ili proizvoljnim realnim brojem ili brojem koji pripada unaprijed određenom skupu.

Što znači "riješiti problem s parametrom"?

Naravno, to ovisi o pitanju u problemu. Ako je, na primjer, potrebno riješiti jednadžbu, nejednadžbu, sustav ili njihov skup, onda to znači davanje obrazloženog odgovora bilo za bilo koju vrijednost parametra ili za vrijednost parametra koji pripada unaprijed određenom skupu .

Ako trebate pronaći vrijednosti parametara za koje skup rješenja jednadžbe, nejednadžbe itd. zadovoljava deklarirani uvjet, tada se, očito, rješenje problema sastoji u pronalaženju navedene vrijednosti parametar.

Čitatelj će razviti transparentnije razumijevanje o tome što znači riješiti problem s parametrom nakon što pročita primjere rješavanja problema na sljedećim stranicama.

Koje su glavne vrste problema s parametrima?

Tip 1. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i skupovi koji se moraju riješiti za bilo koju vrijednost parametra (parametara) ili za vrijednosti parametra koji pripadaju unaprijed određenom skupu.

Ova vrsta problema je osnovna pri savladavanju teme “Zadaci s parametrima”, jer uloženi rad predodređuje uspjeh u rješavanju problema svih ostalih osnovnih vrsta.

Tip 2. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i skupovi, za koje je potrebno odrediti broj rješenja ovisno o vrijednosti parametra (parametara).

Skrećem vam pozornost da prilikom rješavanja problema ove vrste nema potrebe rješavati zadane jednadžbe, nejednadžbe, njihove sustave i kombinacije itd., niti dati ta rješenja; U većini slučajeva takav nepotreban rad je taktička pogreška koja dovodi do nepotrebnog gubljenja vremena. Međutim, ovo ne treba apsolutizirati, jer ponekad je izravno rješenje u skladu s tipom 1 jedini razuman način da se dobije odgovor pri rješavanju problema tipa 2.

Tip 3. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i skupovi, za koje je potrebno pronaći sve one vrijednosti parametara za koje gornje jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i zbirke imaju zadani broj rješenja (konkretno, nemaju ili imaju beskonačan broj rješenja).

Lako je vidjeti da su problemi tipa 3 na neki način inverzni problemima tipa 2.

Tip 4. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i skupovi, za koje, za tražene vrijednosti parametra, skup rješenja zadovoljava zadane uvjete u domeni definiranja.

Na primjer, pronađite vrijednosti parametara pri kojima:

1) jednadžba je zadovoljena za bilo koju vrijednost varijable iz zadanog intervala;
2) skup rješenja prve jednadžbe je podskup skupa rješenja druge jednadžbe itd.

Komentar. Raznolikost zadataka s parametrom pokriva cijeli tijek školske matematike (i algebre i geometrije), ali velika većina njih na završnim i prijamnim ispitima pripada jednoj od četiri navedene vrste, koje se zbog toga nazivaju osnovnima.

Najraširenija klasa problema s parametrom su problemi s jednom nepoznanicom i jednim parametrom. Sljedeći odlomak ukazuje na glavne načine rješavanja problema ove klase.

Koji su glavni načini (metode) rješavanja problema s parametrom?

Metoda I (analitički). Ovo je metoda tzv. izravnog rješenja, ponavljanje standardne procedure pronalaženje odgovora u problemima bez parametra. Ponekad kažu da je to metoda nasilnog, u dobrom smislu riječi, “arogantnog” rješenja.

Komentar. Analitička metoda rješavanja problema s parametrom je najteža metoda, koja zahtijeva visoku pismenost i najveći napor da se njome ovlada.

Metoda II (grafički). Ovisno o zadatku (s varijablom x i parametroma ) grafovi se razmatraju ili u koordinatnoj ravnini (x; y), ili u koordinatnoj ravnini (x;a ).

Komentar. Izuzetna jasnoća i ljepota grafičke metode rješavanja problema s parametrom toliko osvaja učenike teme “Problemi s parametrom” da počinju ignorirati druge metode rješavanja, zaboravljajući dobro poznatu činjenicu: za bilo koju klasu problema , njihovi autori mogu formulirati jedan koji je briljantno riješen na ovaj način i uz ogromne poteškoće na druge načine. Stoga je u početnoj fazi studija opasno započeti grafičke tehnike rješavanje problema s parametrom.

Metoda III (odluka o parametru). Pri ovakvom rješavanju pretpostavlja se da su varijable x i a jednake, a odabire se varijabla u odnosu na koju se analitičko rješenje smatra jednostavnijim. Nakon prirodnih pojednostavljenja vraćamo se na izvorno značenje varijabli x i a i dovršavamo rješenje.

Sada ću prijeći na demonstraciju ovih metoda za rješavanje problema s parametrom, budući da je ovo moja omiljena metoda za rješavanje problema ove vrste.

Nakon analize svih zadataka s riješenim parametrima grafička metoda, počinjem svoje upoznavanje s parametrima sa zadacima Jedinstvenog državnog ispita V7 2002:

Na kolika je cjelobrojna vrijednost za jednadžbu 45x – 3x 2 - X 3 + 3k = 0 ima točno dva korijena?

Ovi zadaci omogućuju, prvo, da se prisjete kako konstruirati grafove pomoću derivata, i drugo, da objasne značenje ravne linije y = k.

U sljedećim razredima koristim izbor lakih i srednjih natjecateljskih problema s parametrima za pripremu za Jedinstveni državni ispit, jednadžbe s modulom. Ovi se zadaci mogu preporučiti učiteljima matematike kao polazna skupina vježbi za učenje rada s parametrom koji se nalazi ispod oznake modula. Većina brojeva riješena je grafički i predana učitelju spreman plan sat (ili dva sata) s jakim učenikom. Početna priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike pomoću vježbi bliskih složenosti stvarnim C5 brojevima. Mnogi od predloženih zadataka preuzeti su iz materijala za pripremu Jedinstvenog državnog ispita 2009., a neki su s Interneta iz iskustva kolega.

1) Navedite sve vrijednosti parametarastr , za koju je jednadžba ima 4 korijena?
Odgovor:

2) Na kojim vrijednostima parametraA jednadžba nema rješenja?
Odgovor:

3) Nađite sve vrijednosti a, za svaku od njih jednadžba ima točno 3 korijena?
Odgovor: a=2

4) Na koje vrijednosti parametrab jednadžba ima jedno rješenje? Odgovor:

5) Pronađite sve vrijednostim , za koju je jednadžba nema rješenja.
Odgovor:

6) Pronađite sve vrijednosti a za koje jednadžba ima točno 3 različita korijena. (Ako postoji više od jedne vrijednosti a, tada zapišite njihov zbroj u svoj odgovor.)

Odgovor: 3

7) Na koje vrijednostib jednadžba ima točno 2 rješenja?
Odgovor:

8) Navedite ove parametrek , za koju je jednadžba ima najmanje dva rješenja.
Odgovor:

9) Na kojim vrijednostima parametarastr jednadžba ima samo jedno rješenje?
Odgovor:

10) Pronađite sve vrijednosti a, za svaku od kojih je jednadžba (x + 1)ima točno 2 korijena? Ako postoji nekoliko vrijednosti a, tada zapišite njihov zbroj kao odgovor.

Odgovor: - 3

11) Pronađite sve vrijednosti a za koje jednadžba ima točno 3 korijena? (Ako postoji više od jedne vrijednosti a, tada zapišite njihov zbroj kao odgovor).

Odgovor: 4

12) Koja je najmanja prirodna vrijednost parametra a, jednadžba – = 11 ima samo pozitivne korijene?

Odgovor: 19

13) Pronađite sve vrijednosti od a, za svaku od njih jednadžba = 1 ima točno 3 korijena? (Ako postoji više od jedne vrijednosti a, tada zapišite njihov zbroj u svoj odgovor).

Odgovor: - 3

14) Navedite sljedeće vrijednosti parametarat , za koju je jednadžba ima 4 razna rješenja. Odgovor:

15) Pronađite ove parametrem , za koju je jednadžba ima dva različita rješenja. Odgovor:

16) Na kojim vrijednostima parametrastr jednadžba ima točno 3 ekstrema? Odgovor:

17) Navedite sve moguće parametre n za koje funkcija ima točno jedan minimalni bod. Odgovor:

Objavljeni skup redovito koristim za rad sa sposobnim, ali ne i najjačim učenikom, koji ipak teži visokom rezultatu na Jedinstvenom državnom ispitu rješavajući broj C5. Nastavnik priprema takvog učenika u nekoliko faza, izdvajajući zasebne sate za osposobljavanje individualnih vještina potrebnih za pronalaženje i implementaciju dugoročnih rješenja. Ovaj odabir je prikladan za fazu formiranja ideja o plutajućim uzorcima, ovisno o parametru. Brojevi 16 i 17 temelje se na modelu realne jednadžbe s parametrom na Jedinstvenom državnom ispitu 2011. Zadaci su poredani prema rastućoj težini.

Zadatak C5 iz matematike Jedinstveni državni ispit 2012

Ovdje imamo tradicionalni problem s parametrima koji zahtijeva umjereno svladavanje materijala i primjenu nekoliko svojstava i teorema. Ovaj zadatak je jedan od najtežih zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Namijenjen je prvenstveno onima koji namjeravaju nastaviti svoje obrazovanje na sveučilištima s povećanim zahtjevima za matematičku pripremu kandidata. Za uspješno rješavanje problema važno je slobodno operirati proučavanim definicijama, svojstvima, teoremima, primjenjivati ih u različitim situacijama, analizirati stanje i pronalaziti moguća rješenja.

Na mjestu pripreme za jedinstveni državni ispit Aleksandra Larina od 11. svibnja 2012. mogućnosti treninga Br. 1 – 22 sa zadacima razine “C”, C5 od kojih su neki bili slični zadacima koji su bili na pravom ispitu. Na primjer, pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih su grafikoni funkcijaf(x) = Ig(x) = a(x + 5) + 2 nemaju zajedničkih točaka?

Pogledajmo rješenje zadatka C5 s ispita 2012.

Zadatak C5 s Jedinstvenog državnog ispita 2012

Za koje vrijednosti parametra a vrijedi jednadžba ima najmanje dva korijena.

Riješimo ovaj problem grafički. Nacrtajmo lijevu stranu jednadžbe: i grafikon na desnoj strani:i formulirajte problemsko pitanje na sljedeći način: pri kojim vrijednostima parametra a su grafovi funkcija Iimaju dvije ili više zajedničkih točaka.

Na lijevoj strani izvorne jednadžbe nema parametra, tako da možemo iscrtati funkciju.

Ovaj graf ćemo izgraditi pomoću funkcije:

1. Pomaknite graf funkcije3 jedinice prema dolje duž osi OY, dobivamo graf funkcije:

2. Nacrtajmo funkciju . Da biste to učinili, dio grafa funkcije , koji se nalazi ispod osi OX, bit će prikazan simetrično u odnosu na ovu os:

Dakle, graf funkcijeima oblik:

Graf funkcije

MKOU "Lodeynopolskaya secondary". sveobuhvatna škola br. 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Govor na sastanku Moskovske regije

Metode rješavanja problema

s parametrima

Prokusheva Natalya Gennadievna

Lodeynoye Pole

2013-2014

Problemi s parametrima

Problemi s parametrima među najtežim su problemima koji se nude i na Jedinstvenom državnom ispitu i na dodatnim natjecateljskim ispitima na sveučilištima.

Imaju važnu ulogu u formiranju logično mišljenje i matematičke kulture. Poteškoće koje se javljaju pri njihovom rješavanju posljedica su činjenice da svaki problem s parametrima predstavlja čitavu klasu običnih problema od kojih se za svaki mora dobiti rješenje.

Ako u jednadžbi (nejednadžbi) neki koeficijenti nisu dati određenim brojčanim vrijednostima, nego su označeni slovima, tada se nazivaju parametrima, a jednadžba (nejednadžba) je parametarska.

U pravilu, nepoznanice se označavaju zadnjim slovima latinice: x, y, z, ..., a parametri prvima: a, b, c, ...

Riješiti jednadžbu (nejednadžbu) s parametrima znači naznačiti pri kojim vrijednostima parametara rješenja postoje i kakva su. Dvije jednadžbe (nejednadžbe) koje sadrže iste parametre nazivamo ekvivalentnim ako:

a) imaju smisla za iste vrijednosti parametara;

b) svako rješenje prve jednadžbe (nejednadžbe) rješenje je druge i obrnuto.

Naravno, tako mala klasa problema ne dopušta mnogima da shvate glavnu stvar: parametar, budući da je fiksni, ali nepoznati broj, ima dvojaku prirodu. Prvo, navodna slava omogućuje vam da "komunicirate" s parametrom kao brojem, a drugo, stupanj slobode komunikacije ograničen je njegovom nejasnošću. Dakle, dijeljenje s izrazom koji sadrži parametar i izdvajanje korijena parnog stupnja iz takvih izraza zahtijeva preliminarno istraživanje. Tipično, rezultati ovih studija utječu i na odluku i na odgovor.

Kako krenuti u rješavanje takvih problema? Nemojte se bojati problema s parametrima. Prije svega, trebate učiniti ono što se radi pri rješavanju bilo koje jednadžbe ili nejednadžbe - dovesti zadanu jednadžbu (nejednadžbu) na više jednostavan pogled, ako je moguće: faktorizirajte racionalni izraz, faktorizirajte trigonometrijski polinom, riješite se modula, logaritama, itd.. onda trebate pažljivo čitati zadatak uvijek iznova.

Kod rješavanja problema koji sadrže parametar postoje problemi koji se mogu podijeliti u dvije velike klase. Prva klasa uključuje probleme u kojima je potrebno riješiti nejednadžbu ili jednadžbu za sve moguće vrijednosti parametra. U drugu klasu spadaju zadaci u kojima ne treba sve pronaći. moguća rješenja, ali samo one koje zadovoljavaju neke dodatni uvjeti.

Školarcima je najrazumljiviji način rješavanja takvih problema da prvo pronađu sva rješenja, a zatim izaberu ona koja zadovoljavaju dodatne uvjete. Ali to nije uvijek moguće. Upoznajte se veliki broj probleme u kojima je nemoguće pronaći cijeli skup rješenja, a od nas se to ne traži. Stoga moramo tražiti način da riješimo problem bez da imamo na raspolaganju čitav niz rješenja zadane jednadžbe ili nejednadžbe, na primjer, tražiti svojstva funkcija uključenih u jednadžbu koja će nam omogućiti da prosudimo postojanje određenog skupa rješenja.

Glavne vrste zadataka s parametrima

Ova vrsta problema je osnovna pri savladavanju teme “Zadaci s parametrima”, budući da uloženi rad predodređuje uspjeh u rješavanju problema svih ostalih osnovnih vrsta.

Tip 2. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i skupovi, za koje je potrebno odrediti broj rješenja ovisno o vrijednosti parametra (parametara).

Skrećemo Vam pozornost na činjenicu da pri rješavanju zadataka ovog tipa nema potrebe rješavati zadane jednadžbe, nejednadžbe, njihove sustave i kombinacije itd., niti davati ta rješenja; U većini slučajeva takav nepotreban rad je taktička pogreška koja dovodi do nepotrebnog gubljenja vremena. Međutim, ovo ne treba apsolutizirati, jer je ponekad izravno rješenje u skladu s tipom 1 jedini razuman način da se dobije odgovor pri rješavanju problema tipa 2.

Tip 3. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i zbirke, za koje je potrebno pronaći sve one vrijednosti parametara za koje navedene jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i zbirke imaju zadani broj rješenja (konkretno, nemaju ili imaju beskonačan broj rješenja).

Lako je vidjeti da su problemi tipa 3 na neki način inverzni problemima tipa 2.

Tip 4. Jednadžbe, nejednadžbe, njihovi sustavi i skupovi, za koje, za tražene vrijednosti parametra, skup rješenja zadovoljava zadane uvjete u domeni definiranja.

Na primjer, pronađite vrijednosti parametara pri kojima:

1) jednadžba je zadovoljena za bilo koju vrijednost varijable iz zadanog intervala;
2) skup rješenja prve jednadžbe je podskup skupa rješenja druge jednadžbe itd.

Komentar. Raznolikost zadataka s parametrom pokriva cijeli tijek školske matematike (i algebre i geometrije), ali velika većina njih na završnim i prijamnim ispitima pripada jednoj od četiri navedene vrste, koje se zbog toga nazivaju osnovnima.

Najraširenija klasa problema s parametrom su problemi s jednom nepoznanicom i jednim parametrom. Sljedeći odlomak ukazuje na glavne načine rješavanja problema ove klase.

Osnovne metode rješavanja problema s parametrom

Metoda I(analitički). Ovo je metoda tzv. izravnog rješenja, ponavljanje standardnih postupaka za traženje odgovora u problemima bez parametra. Ponekad kažu da je to metoda nasilnog, u dobrom smislu riječi, “arogantnog” rješenja.

Metoda II(grafički). Ovisno o zadatku (s varijablom x i parametar a) grafovi se razmatraju ili u koordinatnoj ravnini ( x; g), odnosno u koordinatnoj ravnini ( x; a).

Komentar. Izuzetna jasnoća i ljepota grafičke metode rješavanja problema s parametrom toliko osvaja učenike teme “Problemi s parametrom” da počinju ignorirati druge metode rješavanja, zaboravljajući dobro poznatu činjenicu: za bilo koju klasu problema , njihovi autori mogu formulirati jedan koji je briljantno riješen na ovaj način i uz ogromne poteškoće na druge načine. Stoga je u početnoj fazi proučavanja opasno započeti s grafičkim tehnikama za rješavanje problema s parametrom.

Metoda III(odluka o parametru). Pri ovakvom rješavanju varijable x I a prihvaćaju se jednakima i odabire se varijabla u odnosu na koju se analitičko rješenje smatra jednostavnijim. Nakon prirodnih pojednostavljenja, vraćamo se izvornom značenju varijabli x I a i završi rješenje.

Prijeđimo sada na demonstraciju ovih metoda za rješavanje problema s parametrom.

1. Linearne jednadžbe i nejednadžbe s parametrima

Linearna funkcija: – jednadžba pravca s koeficijentom nagiba . Kutni koeficijent jednak je tangensu kuta nagiba pravca na pozitivan smjer osi .

Linearne jednadžbe s parametrima oblika

Ako , jednadžba ima jedina stvar riješenje.

Ako , ta jednadžba nema rješenja, Kada , a jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, Kada .

Primjer 1. Riješite jednadžbu | x | = a .

Riješenje:

a > 0, => x 1,2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>nema rješenja.

Odgovor: x 1,2 = ± a na a > 0; x= 0 at a= 0; nema rješenja za a < 0.

Primjer 2. Riješite jednadžbu |3 – x | = a .

Riješenje:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>nema rješenja.

Odgovor: x 1,2 = 3 ± a na a > 0; x= 3 at a= 0; nema rješenja za a < 0.

Primjer 3. Riješite jednadžbu m ² x – m = x + 1.

Riješenje:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Odgovor:
na m ≠ ± 1; x Є R na m= –1; nema rješenja za m = 1.

Primjer 4. A riješi jednadžbu: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

Riješenje: Faktorizirajmo koeficijent. .

Ako , jednadžba ima jedina stvar riješenje: .

Ako , jednadžba nema rješenja.

Ako , tada jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja .

Primjer 6. Za sve vrijednosti parametara a riješi jednadžbu:
.

Riješenje: ODZ: . Pod ovim uvjetom, jednadžba je ekvivalentna sljedećem: . Provjerimo pripadate li ODZ-u: , Ako . Ako , zatim jednadžba nema rješenja.

Primjer 7. Za sve vrijednosti parametara A riješiti jednadžbu: | x + 3| – a | x – 1| = 4.

Riješenje: Podijelimo brojevni pravac na 3 dijela po točkama u kojima izrazi pod znakom modula nestaju i riješimo 3 sustava:

1) , Ako . Pronađeno će biti rješenje ako .

2) , Ako . Pronađena zadovoljava traženu nejednakost, dakle, rješenje je za . Ako , onda je rješenje bilo koje .

3) , Ako . Pronađeno Ne zadovoljava traženu nejednakost, dakle, Ne je rješenje kada . Ako , tada je rješenje bilo koji x > 1.

Odgovor: u ; na ;

P ri ; također je rješenje za sve .

Primjer 8. Pronađi sve A, za svaki od njih barem jedno od rješenja jednadžbe 15 x – 7a = 2 – 3sjekira + 6a manje 2 .

Riješenje: Nađimo rješenja jednadžbe za svaku . , Ako . Riješimo nejednadžbu: .

Kada jednadžba nema rješenja.

Odgovor : AÎ (–5 , 4) .

Linearne nejednadžbe s parametrima

Na primjer: Riješite nejednadžbu: kx < b .

Ako k> 0, dakle
. Ako k < 0, то
. Ako k= 0, onda kada b> 0 rješenje je bilo koje x Є R, i kada
nema rješenja.

Na isti način riješite preostale nejednadžbe u okviru.

Primjer 1. Za sve vrijednosti parametra a riješite nejednadžbu
.

Riješenje:

. Ako je zagrada prije x je pozitivan, tj. na
, To
. Ako je zagrada prije x negativno, tj. na
, To
. Ako a= 0 ili a = , tada nema rješenja.

Odgovor:
na
;
na
;

nema rješenja za a= 0 ili a = .

Primjer 2. Za sve vrijednosti parametara A riješiti nejednadžbu | x– a| – | x + a| < 2a .

Riješenje:

Na a=0 imamo netočnu nejednakost 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, zatim na x< –a oba modula proširujemo minusom i dobivamo netočnu nejednakost 2 a < 2a, tj. nema rješenja. Ako x Є [– a ; a] , tada se prvi modul otvara minusom, a drugi plusom i dobivamo nejednadžbu –2 x < 2a, tj. x > –a, tj. rješenje je bilo koje x Є (– a ; a]. Ako x > a oba modula otvaraju se plusom i dobivamo točnu nejednadžbu –2 a < 2a, tj. , rješenje je bilo koje x Є ( a; +∞). Kombinirajući oba odgovora, dobivamo kada a > 0 x Є (– a ; +∞).

Neka a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Dakle, sa a < 0 решений нет.

Odgovor: x Є (– a; +∞) pri a> 0, nema rješenja za
.

Komentar. Rješenje ovog problema je brže i jednostavnije ako se koristi geometrijska interpretacija modula razlike dvaju brojeva kao udaljenosti između točaka. Tada se izraz na lijevoj strani može protumačiti kao razlika udaljenosti od točke x na bodove A i - A .

Primjer 3. Pronađi sve A, za svaki od kojih su sva rješenja nejednadžbe
zadovoljiti nejednakost 2 x – a² + 5< 0.

Riješenje:

Rješenje nejednadžbe |x | ≤ 2 je skup A=[–2; 2], te rješenje nejednadžbe 2 x – a² + 5< 0 является множество B = (–∞;
) . Da bi se zadovoljili uvjeti problema, potrebno je da skup A bude uključen u skup B (). Ovaj će uvjet biti zadovoljen ako i samo ako .

Odgovor: a Ê (–∞; –3)U (3; +∞).

Primjer 4. Pronađite sve vrijednosti a za koje vrijedi nejednakost
trči za sve x iz segmenta.

Riješenje:

Razlomak je manji od nule između korijena, pa morate otkriti koji je korijen veći.

–3a + 2 < 2a + 4
i –3 a + 2 > 2a + 4
. Dakle, sa
xÊ (–3 a + 2; 2a+ 4) a da nejednakost vrijedi za sve x iz segmenta , potrebno je da

Na
xÊ (2 a + 4; –3a+ 2) i to tako da nejednakost vrijedi za sve x iz segmenta , potrebno je da

Kada je a = – (kada se korijeni poklapaju) nema rješenja, jer u ovom slučaju nejednakost ima oblik: .

Odgovor:
.

Primjer 5. A nejednakost vrijedi za sve negativne vrijednosti x?

Riješenje:

Funkcija monotono raste ako je koeficijent pri x nenegativan, a monotono opada ako je koeficijent pri x negativan.

Odredimo predznak koeficijenta pri

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Neka a≥ 1. Tada funkcija f (x ) ne opada monotono, a uvjet zadatka bit će zadovoljen ako f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Uz uvjete a≥ 1; dobivamo:

Neka -3< a < 1. Тогда функция f (x ) monotono opada, a uvjet problema nikada ne može biti zadovoljen.

Odgovor:
.

2. Kvadratne jednadžbe i nejednakosti s parametrima

Kvadratna funkcija:
.

U skupu realnih brojeva ova se jednadžba proučava pomoću sljedeće sheme.

Primjer 1. U kojim vrijednostima a jednadžbax ² – sjekira + 1 = 0 nema pravih korijena?

Riješenje:

x ² – sjekira + 1 = 0

D = a ² – 4 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Odgovor: naa Ê (–2; 2)

Primjer 2.Za koje vrijednosti a vrijedi jednadžba A (x ² – x + 1) = 3 x + 5 ima dva različita prava korijena?

Riješenje:

A (x ² – x + 1) = 3 x + 5, A ≠ 0

Oh ² – ah+ a – 3 x – 5 = 0

Oh ² – ( A + 3) x + A – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Odgovor:naaÊ (–1/3; 0)U (0; 9)

Primjer 3: Riješite jednadžbu
.

Riješenje:

ODZ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Odgovor:
naa Ê (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

nema rješenja zaa = –1; 3.

Primjer4 . Riješite jednadžbu | x ²–2 x –3 | = a .

Riješenje:

Pogledajmo funkcije g = | x ²–2 x –3 | Ig = a .

Na a < 0 nema rješenja;
na a = 0 i a> 4 dva rješenja;
na 0< a < 4 – четыре решения;
na a= 4 – tri rješenja.

Odgovor:

na a < 0 нет решений;
na a= 0 i a> 4 dva rješenja;
na 0< a < 4 – четыре решения;
na a= 4 – tri rješenja.

Primjer 5.Pronađite sve vrijednosti a , za svaki od njih jednadžba | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
ima točno dva korijena. Ako takve vrijednosti a više od jednog, navedite njihov proizvod u svom odgovoru.

Riješenje:

Proširimo kvadratni trinom x ²–( a +2) x +2 a po množiteljima.
;
;
;

Dobivamo | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Ova jednadžba je ekvivalentna skupu

Stoga ova jednadžba ima točno dva korijena if a+ 3 = 2 i a – 3 = 2.
Odavde nalazimo da su željene vrijednosti a su a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Odgovor: –5.

Primjer 6.Pronađite sve vrijednosti a , za koje su korijeni jednadžbe sjekira ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 su pozitivni.

Riješenje:

Kontrolna točka a= 0, jer mijenja bit jednadžbe.

1. a = 0 –2x + = 0;

Odgovor: a Ê U .

Primjer 7.Nakoje vrijednosti parametara a jednadžba | x ² – 4 x + 3 | = sjekira ima 3 korijena.

Riješenje:

Izgradimo grafove funkcija g = | x ² – 4 x + 3 | I g = sjekira .

Funkcija je grafički prikazana na segmentu
.
Ova jednadžba će imati tri korijena ako je graf funkcije g = sjekiraće biti tangenta na graf g = x ²+ 4 x – 3 na
segment

Jednadžba tangente ima oblik g = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),

Jer tangentna jednadžba g = a, dobivamo sustav jednadžbi

Jer x 0 Є ,

Odgovor: na a = 4 – 2
.

Kvadratne nejednadžbe s parametrima

Primjer.Pronađite sve vrijednosti parametara a , za svaki od kojih među rješenjima nejednakosti
nema točaka na dužini.

Riješenje:

Najprije riješimo nejednadžbu za sve vrijednosti parametra, a zatim pronađemo one za koje među rješenjima nema niti jedne točke segmenta .
Neka
, sjekira = t ²

t ≥ 0

Ovakvom zamjenom varijabli automatski se izvodi ODZ nejednakosti. x može se izraziti kroz t, Ako a≠ 0. Stoga je slučaj kada a = 0, razmotrit ćemo odvojeno.
1.Neka a = 0, tada x> 0, a zadani segment je rješenje.
2.Neka a≠ 0, dakle
i nejednakost
poprimit će oblik
,

Rješenje nejednadžbe ovisi o vrijednostima a, pa moramo razmotriti dva slučaja.
1) Ako a>0, dakle
na
, ili u starim varijablama,

Rješenje ne sadrži niti jednu točku zadanog segmenta ako i samo ako su ispunjeni uvjeti a ≤ 7,

16a≥ 96. Dakle, a Є .
2). Ako A< 0, то
;
; tÊ (4 a ; a). Jer t≥ 0, tada nema rješenja.

Odgovor: .

Iracionalne jednadžbe s parametrima

Prilikom odlučivanja iracionalne jednadžbe i nejednakosti s parametrom, prvo treba uzeti u obzir regiju prihvatljive vrijednosti. Drugo, ako su obje strane nejednakosti nenegativni izrazi, tada se takva nejednakost može kvadrirati uz zadržavanje predznaka nejednakosti.
U mnogim slučajevima iracionalne jednadžbe i nejednadžbe se nakon promjene varijabli svode na kvadratne.

Primjer 1. Riješite jednadžbu
.

Riješenje:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

Ako x = a² – 1, tada je uvjet zadovoljen.

Odgovor: x = a² – 1 at A≥ 0; nema rješenja za a < 0.

Primjer 2: Riješite jednadžbu
.

Riješenje:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

sjekira ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = sjekira,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Odgovor:
na a≥ –3; nema rješenja za a < –3.

Primjer 3. Koliko korijena ima jednadžba?
ovisno o vrijednostima parametara A?

Riješenje:

Raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe: x Ê [–2; 2]

Izgradimo grafove funkcija. Graf prve funkcije je gornja polovica kruga x² + g² = 4. Graf druge funkcije je simetrala prvog i drugog koordinatnog kuta. Od grafa prve funkcije oduzmite graf druge i dobijete graf funkcije
. Ako zamijenite na na A, tada je posljednji graf funkcije skup točaka (x; a) koje zadovoljavaju izvornu jednadžbu.

Prema grafu vidimo odgovor.

Odgovor: na AÊ (–∞; –2) U (1; +∞), bez korijena;

na AÊ [–2; 2), dva korijena;

na A= 1, jedan korijen.

Primjer 4. Na kojim vrijednostima parametara A jednadžba
ima jedno rješenje?

Riješenje:

Metoda 1 (analitička):

Odgovor:

Metoda 2 (grafički):

Odgovor: za a ≥ –2 jednadžba ima jedinstveno rješenje

Primjer 5. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba = 2 + x ima jedinstveno rješenje.

Riješenje:

Razmotrimo grafičku verziju rješenja ove jednadžbe, to jest, konstruirat ćemo dvije funkcije:
na 1 = 2 + x I na 2 =

Prva funkcija je linearna i prolazi kroz točke (0; 2) i (–2; 0).
Graf druge funkcije sadrži parametar. Razmotrimo najprije graf ove funkcije pri A= 0 (slika 1). Prilikom promjene vrijednosti parametra, grafikon će se pomicati duž osi OH odgovarajućom vrijednošću lijevo (za pozitivno A) ili udesno (za negativno A) (slika 2)

Iz slike je jasno da kada A < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Odgovor: na a≥ –2 jednadžba ima jedinstveno rješenje.

Trigonometrijske jednadžbe s parametrima.

Primjer 1.Riješite jednadžbu grijeh (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Riješenje:

S obzirom na neparnost funkcije
, ovu jednadžbu svodimo na ekvivalentnu
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Nema rješenja.

5. bÊ(–1; 0)

6. bÊ(–2; –1)

Primjer 2.Pronađite sve vrijednosti parametra p za koje je jednadžba
nema rješenja.

Riješenje:

Izrazimo cos 2 x kroz sinx.

Neka
tada se zadatak sveo na pronalaženje svih vrijednosti str, za koje jednadžba nema rješenja na [–1; 1]. Jednadžba se ne može riješiti algoritamski, pa ćemo problem riješiti pomoću grafa. Napišimo jednadžbu u obliku , a sada skicu grafa lijeve strane
lako se gradi.
Jednadžba nema rješenja ako je ravna linija g = str+ 9 ne siječe graf na intervalu [–1; 1], tj.

Odgovor:str Ê (–∞; –9) U (17; +∞).

Sustavi jednadžbi s parametrima

Sustavi dviju linearnih jednadžbi s parametrima

Sustav jednadžbi

Rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi su točke presjeka dviju ravnih linija: i .

Postoje 3 moguća slučaja:

1. Pravci nisu paralelni . Tada njihovi normalni vektori nisu paralelni, tj. . U ovom slučaju sustav ima jedina odluka.

2. Pravci su paralelni i ne podudaraju se. Tada su im normalni vektori paralelni, ali su pomaci različiti, tj. .

U ovom slučaju sustav nema rješenja .

3. Ravne linije se poklapaju. Tada su njihovi normalni vektori paralelni i pomaci se poklapaju, tj. . U ovom slučaju sustav ima beskonačno mnogo rješenja - sve točke pravca .

Svrha ovog rada je proučavanje na razne načine rješavanje problema s parametrima. Sposobnost i sposobnost rješavanja problema s parametrima pokazuju vladanje metodama rješavanja jednadžbi i nejednadžbi, smisleno razumijevanje teorijskih informacija, razinu logičkog mišljenja i potiču kognitivnu aktivnost. Za razvoj ovih vještina potrebni su dulji napori, zbog čega je u specijaliziranim razredima 10-11 s produbljenim proučavanjem egzaktnih znanosti uveden kolegij „Matematički praktikum“, čiji je dio rješavanje jednadžbi i nejednadžbi s parametri. Tečaj je jedna od disciplina uključenih u sastavnicu školskog kurikuluma.

Uspješnom proučavanju metoda rješavanja problema s parametrima mogu pomoći izborni ili izborni kolegiji, odnosno sastavnica iza mreže na temu: “Problemi s parametrima”.

Razmotrimo četiri velike klase problema s parametrima:

Jednadžbe, nejednadžbe i njihovi sustavi koji se moraju riješiti za bilo koju vrijednost parametra ili za vrijednosti parametra koji pripadaju određenom skupu.
Jednadžbe, nejednadžbe i njihovi sustavi za koje je potrebno odrediti broj rješenja ovisno o vrijednosti parametra.
Jednadžbe, nejednadžbe i njihovi sustavi, za koje je potrebno pronaći sve one vrijednosti parametara za koje navedene jednadžbe (sustavi, nejednadžbe) imaju zadani broj rješenja.
Jednadžbe, nejednadžbe i njihovi sustavi za koje za tražene vrijednosti parametra skup rješenja zadovoljava zadane uvjete u domeni definiranja.

Metode rješavanja problema s parametrima.

1. Analitička metoda.

Ovo je metoda izravnog rješavanja koja ponavlja standardne postupke za pronalaženje odgovora u problemima bez parametra.

Primjer 1: Pronađite sve vrijednosti parametra a, za koju vrijedi jednadžba:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 ima najviše jedan korijen.

U 2 a– 1 = 0 ova jednadžba nije kvadratna, pa je slučaj a=1/2 razvrstava se zasebno.

Ako a= 1/2, tada jednadžba ima oblik 1/2 x– 2 = 0, ima jedan korijen.

Ako a≠ 1/2, tada je jednadžba kvadratna; da nema više od jednog korijena potrebno je i dovoljno da diskriminanta bude nepozitivna:

D= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Da biste zapisali konačan odgovor, morate razumjeti

2. Grafička metoda.

Ovisno o zadatku (s varijablom x i parametar a) grafovi u koordinatnoj ravnini ( x;y) ili u avionu ( x;a).

Primjer 2. Za svaku vrijednost parametra a odrediti broj rješenja jednadžbe .

Imajte na umu da je broj rješenja jednadžbe jednak broju sjecišnih točaka grafova funkcija I y = a.

Graf funkcije prikazano na sl. 1.

y = a je vodoravna linija. Pomoću grafa lako je odrediti broj sjecišta ovisno o a(na primjer, kada a= 11 – dvije točke presjeka; na a= 2 – osam točaka presjeka).

Odgovor: kada a < 0 – решений нет; при a= 0 i a= 25/4 – četiri rješenja; na 0< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – sedam rješenja; na

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 – dva rješenja.

3. Metoda rješavanja s obzirom na parametar.

Pri ovakvom rješavanju varijable x I A prihvaćaju se jednakima, a odabire se varijabla s obzirom na koju analitičko rješenje postaje jednostavnije. Nakon pojednostavljenja, morate se vratiti na izvorno značenje varijabli x I A i završi rješenje.

Primjer 3: Pronađite sve vrijednosti parametra A, za svaku od njih jednadžba = - sjekira +3a+2 ima jedinstveno rješenje.

Ovu jednadžbu ćemo riješiti mijenjanjem varijabli. Neka = t , t≥ 0, dakle x = t 2 + 8 i jednadžba postaje na 2 +t + 5a– 2 = 0. Sada je izazov pronaći sve A, za koju je jednadžba na 2 +t + 5a– 2 = 0 ima jedinstveno nenegativno rješenje. To se događa u sljedećim slučajevima.

1) Ako A= 0, onda jednadžba ima jedinstveno rješenje t = 2.

Rješavanje nekih vrsta jednadžbi i nejednadžbi s parametrima.

Problemi s parametrima pomažu u formiranju logičkog mišljenja i u stjecanju istraživačkih vještina.

Rješenje svakog problema je jedinstveno i zahtijeva individualni, nestandardni pristup, jer ne postoji jedinstveni način rješavanja takvih problema.

. Linearne jednadžbe.

Problem br. 1. Na kojim vrijednostima parametra b jednadžba nema korijena?

. Jednadžbe potencije, nejednadžbe i njihovi sustavi.

Zadatak br. 2. Pronađite sve vrijednosti parametara a, za koji je skup rješenja nejednadžbe:

sadrži broj 6, a sadrži i dva odsječka duljine 6 koji nemaju zajedničkih točaka.

Transformirajmo obje strane nejednakosti.

Da bi skup rješenja nejednadžbe sadržavao broj 6, potrebno je i dovoljno da bude ispunjen sljedeći uvjet:

sl.4

Na a> 6 skupova rješenja nejednadžbe: .

Interval (0;5) ne može sadržavati nijedan segment duljine 6. To znači da dva disjunktna segmenta duljine 6 moraju biti sadržana u intervalu (5; a).

. Eksponencijalne jednadžbe, nejednakosti i sustavi.

Problem br. 3. U području definiranja funkcije uzmite sve pozitivne cijele brojeve i zbrojite ih. Pronađite sve vrijednosti za koje je ovaj zbroj veći od 5, ali manji od 10.

1) Graf linearne razlomljene funkcije je hiperbola. Po stanju x> 0. S neograničenim povećanjem x razlomak monotono opada i približava se nuli, a vrijednosti funkcije z porasti i približiti se 5. Štoviše, z(0) = 1.

2) Po definiciji stupnja, domena definicije D(y) sastoji se od rješenja nejednadžbe. Na a= 1 dobivamo nejednadžbu koja nema rješenja. Stoga funkcija na nije nigdje definirano.

3) Na 0< a< 1 показательная функция с основанием A smanjuje i nejednakost je ekvivalentna nejednakosti. Jer x> 0, dakle z(x) > z(0) = 1. To znači da svaka pozitivna vrijednost x je rješenje nejednadžbe. Stoga, za takve A Iznos naveden u uvjetu nije moguće pronaći.

4) Kada a> 1 eksponencijalna funkcija s bazom A povećava i nejednakost je ekvivalentna nejednakosti. Ako a≥ 5, tada je svaki pozitivan broj njegovo rješenje, a zbroj naveden u uvjetu nije moguće pronaći. Ako 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), gdje a = z(x 0) .

5) U ovom intervalu redom se nalaze cijeli brojevi, počevši od 1. Izračunajmo zbrojeve uzastopnih brojeva prirodni brojevi počevši od 1:1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... Dakle, naznačeni iznos će biti veći od 5 i manji od 10 samo ako se broj 3 nalazi u intervalu (0; x 0), a broj 4 ne leži u tom intervalu. dakle 3< x 0 ≤ 4. Budući da se povećava za , tada z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

Rješavanje iracionalnih jednadžbi i nejednadžbi, kao i jednadžbi, nejednadžbi i sustava koji sadrže module raspravlja se u Dodatak 1.

Problemi s parametrima su složeni jer ne postoji jedinstveni algoritam za njihovo rješavanje. Specifičnost ovakvih problema je u tome što uz nepoznate veličine sadrže parametre čije numeričke vrijednosti nisu posebno naznačene, ali se smatraju poznatima i specificiranima na određenom numeričkom skupu. U ovom slučaju vrijednosti parametara značajno utječu na logički i tehnički tijek rješavanja problema i formu odgovora.

Prema statistikama, mnogi diplomanti ne počinju rješavati probleme s parametrima na Jedinstvenom državnom ispitu. Prema FIPI-ju, samo 10% maturanata počinje rješavati takve probleme, a postotak njihova točnog rješenja je nizak: 2-3%, tako da je stjecanje vještina za rješavanje teških, nestandardnih zadataka, uključujući probleme s parametrima, u školi slabo. studenti i dalje ostaje relevantan.