Рівняння з параметрами: графічний метод розв'язання. Графічний метод вирішення завдань із параметрами

Рівняння з параметрами по праву вважаються одним із найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B та C на єдиному державному іспиті ЄДІ. Однак серед великої кількостірівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.

Знайти суму цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 2x – 3| = a має чотири корені.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, збудуємо на одній координатній площині графіки функцій

y = | x 2 - 2x - 3 | та y = a.

Графік першої функції y = | x 2 - 2x - 3 | буде отримано з графіка параболи y = x 2 – 2x – 3 шляхом симетричного відображення щодо осі абсцис тієї частини графіка, яка знаходиться нижче за осю Ox. Частина графіка, що знаходиться вище за осі абсцис, залишиться без змін.

Зробимо це поетапно. Графіком функції y = x 2 – 2x – 3 є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Щоб збудувати її графік, знайдемо координати вершини. Це можна зробити за формулою x0 = -b/2a. Таким чином, x 0 = 2/2 = 1. Щоб знайти координату вершини параболи по осі ординат, підставимо отримане значення для x 0 до рівняння функції, що розглядається. Отримаємо, що y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Отже, вершина параболи має координати (1; -4).

Далі потрібно знайти точки перетину гілок параболи з осями координат. У точках перетину гілок параболи з віссю абсцис значення функції дорівнює нулю. Тому вирішимо квадратне рівняння x 2 - 2x - 3 = 0. Його коріння і будуть шуканими точками. За теоремою Вієта маємо x 1 = -1, x 2 = 3.

У точках перетину гілок параболи з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Таким чином, точка y = -3 є точка перетину гілок параболи з віссю y. Отриманий графік зображено малюнку 1.

Щоб отримати графік функції y = | x 2 – 2x – 3 |, відобразимо симетрично щодо осі x частина графіка, що знаходиться нижче за осі абсцис. Отриманий графік зображено малюнку 2.

Графік функції y = a – це пряма, паралельна осі абсцис. Він зображений на малюнку 3. За допомогою малюнка і знаходимо, що графіки мають чотири загальні точки (а рівняння – чотири корені), якщо a належить інтервалу (0; 4).

Цілі значення числа a отриманого інтервалу: 1; 2; 3. Щоб відповісти на запитання задачі, знайдемо суму цих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Знайти середнє арифметичне цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 4|x| - 1 | = a має шість коренів.

Почнемо з побудови графіка функції y = | x 2 - 4 | x | - 1 |. І тому скористаємося рівністю a 2 = |a| 2 і виділимо повний квадрат у підмодульному виразі, написаному у правій частині функції:

x 2 – 4|x| - 1 = | x | 2 - 4 | x | - 1 = ( | x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = ( | x | - 2) 2 - 5.

Тоді вихідна функція матиме вигляд y = | ( | x | - 2) 2 - 5 |.

Для побудови графіка цієї функції будуємо послідовно графіки функцій:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - парабола з вершиною в точці з координатами (2; -5); (Мал. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - частина побудованої в пункті 1 параболи, яка знаходиться праворуч від осі ординат, симетрично відображається зліва від осі Oy; (Мал. 2).

3) y = | ( | x | - 2) 2 - 5 | – частина побудованого в пункті 2 графіка, яка знаходиться нижче за осі x, відображається симетрично щодо осі абсцис нагору. (Мал. 3).

Розглянемо малюнки, що вийшли:

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі абсцис.

За допомогою малюнка робимо висновок, що графіки функцій мають шість загальних точок (рівняння має шість коренів), якщо належить інтервалу (1; 5).

Це можна побачити на наступному малюнку:

Знайдемо середнє арифметичне цілих значень параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Відповідь: 3.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

1. Визначення особистісної мотивації учнів. Для продовження освіти, для саморозвитку та інтелектуального зростання необхідно старанно та усвідомлено вчитися та піклуватися про своє здоров'я. 2. Вихід поняття «параметр». Параметр - величина, що характеризує основні властивості зміни системи чи явища. ( тлумачний словник)

У рівняннях (нерівності) коефіцієнти при невідомих чи вільні члени задані не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами називаються параметрами. Приклад: Вирішити завдання з параметром – це означає, для кожного значення параметра знайти значення x, які відповідають умові цього завдання.

Х у х у a > 0 a 0, (2 корені) 0 a 0, (2 корені)"> 0 a 0, (2 корені)"> 0 a 0, (2 корені)" title="х у х у a > 0 a 0, (2 корені)"> title="х у х у a > 0 a 0, (2 корені)"> !}

Х ууууу хох

2. при рівнянні набуде вигляду, і має корінь х =0. 3. при знаходимо корені рівняння за формулою Відповідь: при коренях немає; за один корінь х =0. при два корені 1. ліва частинарівняння неотрицательна за будь-якому значенні невідомої х,. за рішень немає. х у 0 у = а «ДИВИСЬ!» 1 спосіб (аналітичний) 2 спосіб (графічний)

У При яких значеннях параметра рівняння має одне рішення? Запишемо рівняння у вигляді: х Побудуємо графіки функцій: Відповідь: а = 3 і рухому пряму у = а. а

При яких значеннях параметра рівняння немає рішень? х у Побудуємо графік По рисунку бачимо при пряму у = а. рішень немає. а Відповідь:

(Графічний спосіб розв'язання задач із параметром) Завдання з параметром можна розглядати як функцію f(x; a) =0 1. Будуємо графічний образ 2. Перетинаємо отриманий графік прямими паралельними осі абсцис 3. «Зчитуємо» потрібну інформацію Схема рішення: !!!

При яких значеннях параметра а рівняння має два корені? х у х

1)При а = 3, вершина прямого кута; Знайти суму цілих значень параметра, а при яких рівняння має три корені. Вихідне рівняння рівносильне сукупності Виражаючи параметр а, отримуємо: З малюнка видно, що рівняння має три корені в 3 випадках х а а 1 = 3 а 2 =? а 3 =? Тоді а = 5. Відповідь. 8. 2) При x 4, а 2 = 5 а 3 а 3 4, а 2 = 5 а 3 а 3">

Рівняння з параметрами по праву вважаються одним із найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B і C на єдиному державному іспиті ЄДІ. Однак серед великої кількості рівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.