Чи може бути дві точки мінімуму. Як обчислити мінімум чи максимум за допомогою математичних операцій

Алгоритм знаходження даних точок обговорювався вже неодноразово, коротко повторюся:

1. Знаходимо похідну функції.

2. Знаходимо нулі похідної (прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо рівняння).

3. Далі будуємо числову вісь, на ній відзначаємо знайдені точки та визначаємо похідні знаки на отриманих інтервалах. *Це робиться шляхом підстановки довільних значень з інтервалів у похідну.

Якщо ви зовсім не знайомі з властивостями похідної для дослідження функцій, обов'язково вивчіть статтю« ». Також повторіть таблицю похідних та правила диференціювання (є в цій статті). Розглянемо завдання:

77431. Знайдіть точку максимуму функції у = х 3 –5х 2 +7х–5.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

3х 2 - 10х + 7 = 0

у(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

у(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

у(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

У точці х = 1 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

Відповідь: 1

77432. Знайдіть точку мінімуму функції у = х 3 +5х 2 +7х–5.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

3х 2 + 10х + 7 = 0

Вирішуючи квадратне рівнянняотримаємо:

Визначаємо знаки похідної функції на інтервалах та відзначимо їх на ескізі. Підставляємо довільне значення з кожного інтервалу у вираз похідної:

у(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

у(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

у(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

У точці х = –1 похідна змінює свій знак з негативного на позитивний, отже це шукана точка мінімуму.

Відповідь: -1

77435. Знайдіть точку максимуму функції у = 7+12х-х 3

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

12 - 3х 2 = 0

х 2 = 4

Вирішуючи рівняння отримаємо:

*Це точки можливого максимуму (мінімуму) функції.

у(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

у(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

у( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

У точці х = 2 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

Відповідь: 2

*Для цієї функції точкою мінімуму є точка х = – 2.

77439. Знайдіть точку максимуму функції у = 9х2 – х3.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

18х -3х 2 = 0

3х (6 - х) = 0

Вирішуючи рівняння отримаємо:

у(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

у(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

у(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

У точці х = 6 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

Відповідь: 6

*Для цієї функції точкою мінімуму є точка х = 0.

77443. Знайдіть точку максимуму функції у = (х 3 /3)–9х–7.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо нулі похідної:

х 2 – 9 = 0

х 2 = 9

Вирішуючи рівняння отримаємо:

у(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

у(0) "= 0 2 – 9 < 0

у(4) "= 4 2 – 9 > 0

У точці х = – 3 похідна змінює свій знак з позитивного на негативний, отже це шукана точка максимуму.

Відповідь: – 3

9 - х 2 = 0

х 2 = 9

Вирішуючи рівняння отримаємо:

у(–4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0

у(0 Рішення.

На цьому все. Успіху вам!

З повагою, Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Вітаю! Вдаримо по ЄДІ, що наближається, якісною систематичною підготовкою, і завзятістю в подрібненні граніту науки! УНаприкінці посту є конкурсне завдання, будьте першим! В одній із статей даної рубрики ми з вами, в яких був дано графік функції, і ставилися різні питання, що стосуються екстремумів, проміжків зростання (зменшення) та інші.

У цій статті розглянемо завдання, що входять до ЄДІ з математики, в яких дано графік похідної функції, і ставляться такі питання:

1. У якій точці заданого відрізка функція набуває найбільшого (або найменшого) значення.
2. Знайти кількість точок максимуму (або мінімуму) функції, що належать заданому відрізку.
3. Знайти кількість точок екстремуму функції, що належать заданому відрізку.
4. Знайти точку екстремуму функції, що належить заданому відрізку.
5. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції й у відповіді вказати суму цілих точок, які входять у ці проміжки.
6. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції. У відповіді вказати довжину найбільшого із цих проміжків.
7. Знайти кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямого виду у = kx + b або збігається з нею.
8. Знайти абсцис точки, в якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Можуть стояти й інші питання, але вони не викликають у вас труднощів, якщо ви зрозуміли і (посилання вказані на статті, в яких представлена необхідна для вирішення інформація, рекомендую повторити).

Основна інформація (коротко):

1. Похідна на інтервалах зростання має позитивний знак.

Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має позитивне значення, то графік функції цьому інтервалі зростає.

2. На інтервалах спадання похідна має негативний знак.

Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має негативне значення, то графік функції цьому інтервалі зменшується.

3. Похідна в точці х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у цій точці.

4. У точках екстремуму (максимуму-мінімуму) функції похідна дорівнює нулю. Стосовна графіку функції у цій точці паралельна осі ох.

Це потрібно чітко усвідомити та пам'ятати!!!

Багатьох графік похідної «бентежить». Дехто з неуважності приймає його за графік самої функції. Тому в таких будинках, де бачите, що дано графік, відразу ж акцентуйте свою увагу в умові того, що дано: графік функції або графік похідної функції?

Якщо це графік похідної функції, то ставтеся до нього як би до «віддзеркалення» самої функції, яке дає вам інформацію про цю функцію.

Розглянемо завдання:

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-2; 21).

Відповімо на такі питання:

1. У якій точці відрізка функція f(х)приймає найбільше значення.

На заданому відрізку похідна функції негативна, отже функція цьому відрізку зменшується (вона зменшується від лівої межі інтервалу до правої). Отже, найбільше значення функції досягається лівій межі відрізка, т. е. у точці 7.

Відповідь: 7

2. У якій точці відрізка функція f(х)

За цим графіком похідної можемо сказати таке. На заданому відрізку похідна функції позитивна, отже функція цьому відрізку зростає (вона зростає від лівої межі інтервалу до правої). Таким чином, найменше значення функції досягається на лівій межі відрізка, тобто у точці х = 3.

Відповідь: 3

3. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(х)

Точки максимуму відповідають точкам зміни похідної знака з позитивного на негативний. Розглянемо, де в такий спосіб змінюється знак.

На відрізку (3; 6) похідна позитивна, на відрізку (6; 16) негативна.

На відрізку (16; 18) похідна позитивна, на відрізку (18; 20) негативна.

Таким чином, на заданому відрізку функція має дві точки максимуму х = 6 та х = 18.

Відповідь: 2

4. Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(х), що належать до відрізку .

Точки мінімуму відповідають точкам зміни знака похідної з негативного на позитивний. У нас на інтервалі (0; 3) похідна негативна, на інтервалі (3; 4) позитивна.

Таким чином, на відрізку функція має одну точку мінімуму х = 3.

*Будьте уважні при записі відповіді – записується кількість точок, а не значення х, таку помилку можна припустити через неуважність.

Відповідь: 1

5. Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х), що належать до відрізку .

Зверніть увагу, що необхідно знайти кількістьточок екстремуму (це і точки максимуму та точки мінімуму).

Крапки екстремуму відповідають точкам зміни знака похідної (з позитивного на негативний чи навпаки). На цьому за умови графіку це нулі функції. Похідна перетворюється на нуль у точках 3, 6, 16, 18.

Таким чином, на відрізку функція має 4 точки екстремуму.

Відповідь: 4

6. Знайдіть проміжки зростання функції f(х)

Проміжки зростання цієї функції f(х)відповідають проміжкам, на яких її похідна позитивна, тобто інтервалам (3; 6) та (16; 18). Зверніть увагу, що межі інтервалу не входять до нього (круглі дужки – межі не включені до інтервалу, квадратні – включені). Дані інтервали містять цілі точки 4, 5, 17. Їхня сума дорівнює: 4 + 5 + 17 = 26

Відповідь: 26

7. Знайдіть проміжки зменшення функції f(х)на заданому інтервалі. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Проміжки зменшення функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції негативна. У цьому завдання це інтервали (–2;3), (6;16), (18;21).

Дані інтервали містять такі цілі точки: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Їх сума дорівнює:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Відповідь: 140

*Звертайте увагу в умови: чи включені межі в інтервал чи ні. Якщо кордони будуть включені, то і в інтервалах, що розглядаються в процесі вирішення, ці кордони також необхідно враховувати.

8. Знайдіть проміжки зростання функції f(х)

Проміжки зростання функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції позитивна. Ми вже вказували їх: (3; 6) та (16; 18). Найбільшим є інтервал (3;6), його довжина дорівнює 3.

Відповідь: 3

9. Знайдіть проміжки зменшення функції f(х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Проміжки зменшення функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції негативна. Ми вже вказували їх, це інтервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21), їх довжини відповідно дорівнюють 5, 10, 3.

Довжина найбільшого дорівнює 10.

Відповідь: 10

10. Знайдіть кількість точок, у яких стосується графіка функції f(х)паралельна прямий у = 2х + 3 чи збігається з нею.

Значення похідної у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Так як дотична паралельна прямий у = 2х + 3 або збігається з нею, то їх кутові коефіцієнти дорівнюють 2. Значить, необхідно знайти кількість точок, в яких у х (х 0) = 2. Геометрично це відповідає кількості точок перетину графіка похідної з прямою у = 2. На цьому інтервалі таких точок 4.

Відповідь: 4

11. Знайдіть точку екстремуму функції f(х), що належить відрізку.

Точка екстремуму функції це така точка, в якій її похідна дорівнює нулю, причому в околиці цієї точки похідна змінює знак (з позитивного на негативний або навпаки). На відрізку графік похідної перетинає вісь абсцис, похідна змінює знак із негативного на позитивний. Отже, точка х = 3 є точкою екстремуму.

Відповідь: 3

12. Знайдіть абсциси точок, у яких дотичні до графіка у = f(x) паралельні осі абсцис або збігаються з нею. У відповіді наведіть найбільшу з них.

Дотична до графіка у = f(x) може бути паралельна осі абсцис або збігатися з нею, тільки в точках, де похідна дорівнює нулю (це можуть бути точки екстремуму або стаціонарні точки, в околицях яких похідна свій знак не змінює). За цим графіком видно, що похідна дорівнює нулю в точках 3, 6, 16,18. Найбільша дорівнює 18.

Можна побудувати міркування таким чином:

Значення похідної у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Оскільки дотична паралельна осі абсцис або збігається з нею, її кутовий коефіцієнт дорівнює 0 (дійсно тангенс кута в нуль градусів дорівнює нулю). Отже, ми шукаємо точку, в якій кутовий коефіцієнт дорівнює нулю, а значить, і похідна дорівнює нулю. Похідна дорівнює нулю у тій точці, у якій її графік перетинає вісь абсцис, але це точки 3, 6, 16,18.

Відповідь: 18

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-8; 4). У якій точці відрізка [-7; -3] функція f(х)набуває найменшого значення.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-7; 14). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(х), Що належать відрізку [-6; 9].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-18; 6). Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(х), Що належать відрізку [-13; 1].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-11; -11). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х), Що належать відрізку [-10; -10].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-7; 4). Знайдіть проміжки зростання функції f(х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-5; 7). Знайдіть проміжки зменшення функції f(х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-11; 3). Знайдіть проміжки зростання функції f(х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

F На малюнку зображено графік

Умова завдання те саме (яку ми розглядали). Знайдіть суму трьох чисел:

1. Сума квадратів екстремумів функції f(х).

2. Різниця квадратів суми точок максимуму та суми точок мінімуму функції f(х).

3. Кількість дотичних до f(х), паралельних до прямої у = –3х + 5.

Перший, хто дасть правильну відповідь, отримає заохочувальний приз – 150 рублів. Відповіді пишіть у коментарях. Якщо це ваш перший коментар на блозі, то відразу він не з'явиться трохи пізніше (не турбуйтеся, час написання коментаря реєструється).

Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицих.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Точки максимуму та мінімуму є точками екстремуму функції, що знаходяться за певним алгоритмом. Це є основним показником при дослідженні функції. Точка x0 є точкою мінімуму, якщо всім x з певної околиці x0 виконується нерівність f(x) ? f(x0) (для точки максимуму об'єктивно зворотна нерівність f(x) ? f(x0)).

Інструкція

1. Виявіть похідну функції. Похідна характеризує метаморфозу функції у певній точці і визначається як межа відношення збільшення функції до збільшення доводу, що тяжиться до нуля. Для знаходження скористайтеся таблицею похідних. Скажімо, похідна функції y = x3 дорівнюватиме y' = x2.

2. Прирівняйте цю похідну нанівець (у разі x2=0).

3. Визначте значення змінної цього виразу. Це будуть ті значення, при яких ця похідна дорівнюватиме 0. Для цього підставте до виразу довільні цифри замість x, при яких весь вираз стане нульовим. Скажімо: 2-2×2 = 0 (1-x) (1 + x) = 0x1 = 1, x2 = -1

4. Отримані значення нанесіть на координатну пряму і вирахуйте похідний знак для всього з отриманих інтервалів. На координатній прямій відзначаються точки, що приймаються за передмову відліку. Щоб вирахувати значення на інтервалах підставте довільні значення, відповідні за критеріями. Скажімо, для попередньої функції до інтервалу -1 можна віддати перевагу значення -2. На інтервалі від -1 до 1 можна віддати перевагу 0, а для значень більше 1 виберіть 2. Підставте ці цифри в похідну і дізнаєтеся знак похідної. У разі похідна з x = -2 дорівнюватиме -0,24, тобто. негативно і цьому інтервалі стоятиме знак мінус. Якщо x=0, то значення дорівнюватиме 2, а значить на даному інтервалі ставиться позитивний знак. Якщо x=1, то похідна також дорівнюватиме -0,24 і тому ставиться мінус.

5. Якщо при проходженні через точку на координатній прямій похідна змінює свій знак з мінусу на плюс, то це точка мінімуму, а якщо з плюса на мінус, то точка максимуму.

Точки максимуму функції нарівні з точками мінімуму називаються точками екстремуму. У цих точках функція змінює характер поведінки. Екстремуми визначаються на обмежених числових проміжках і є локальними.

Інструкція

1. Процес знаходження локальних екстремумів називається пошуком функції і виконується шляхом огляду першої та другої похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що цей проміжок значень аргументу належить до можливих значень. Скажімо, для функції F=1/x значення аргументу х=0 неприйнятне. Або для функції Y=tg(x) аргумент не може мати значення х=90°.

2. Перевірте, чи функція Y диференційована на кожному заданому відрізку. Виявіть першу похідну Y'. Мабуть, що до досягнення точки локального максимуму функція підвищується, а при переході через максимум функція стає меншою. Перша похідна за своїм фізичним змістом характеризує швидкість метаморфоз функції. Поки функція наростає, швидкість цього процесу є позитивною величиною. При переході через локальний максимум функція починає зменшуватись, і швидкість процесу метаморфози функції стає негативною. Перехід швидкості метаморфози функції через нуль відбувається у точці локального максимуму.

3. Отже, на ділянці зростання функції її перша похідна є позитивною для всіх значень доводу на цьому проміжку. І навпаки - на ділянці зменшення функції значення першої похідної менше нуля. У точці локального максимуму значення першої похідної дорівнює нулю. Мабуть, щоб знайти локальний максимум функції, необхідно виявити точку х?, у якій перша похідна цієї функції дорівнює нулю. За будь-якого значення доводу на досліджуваному відрізку хх? - Негативною.

4. Для знаходження х? розв'яжіть рівняння Y'=0. Значення Y(х?) буде локальним максимумом, якщо друга похідна функції у цій точці менша за нуль. Виявіть другу похідну Y», підставте в отриманий вираз значення доводу х = х? і порівняйте результат обчислень з нулем.

5. Скажімо, функція Y=-x?+x+1 на відрізку від -1 до 1 має постійну похідну Y'=-2x+1. При х=1/2 похідна дорівнює нулю, причому при переході через цю точку похідна змінює знак з + на -. Друга похідна функції Y»=-2. Побудуйте за точками графік функції Y=-x?+x+1 і перевірте, чи точка з абсцисою х=1/2 локальним максимумом на заданому відрізку числової осі.

Відео на тему

Корисна порада
Для перебування похідної існують онлайн-сервіси, які підраховують необхідні значення і підсумовують. На таких сайтах можна знайти похідну до 5 порядку.

З цієї статті читач дізнається про те, що таке екстремум функціонального значення, а також особливості його використання в практичній діяльності. Вивчення такого концепту вкрай важливе розуміння основ вищої математики. Ця тема є основною для глибшого вивчення курсу.

Вконтакте

Що таке екстремум?

У шкільному курсі дається безліч визначень поняття «екстремум». Ця стаття покликана дати найглибше і найточніше уявлення про термін для необізнаних у питанні осіб. Отже, під терміном розуміють, наскільки функціональний проміжок набуває мінімального або максимального значення на тій чи іншій множині.

Екстремум – це мінімальне значення функції, і максимальне одночасно. Розрізняють точку мінімуму та точку максимуму, тобто крайні значення аргументу на графіку. Основні науки, в яких використовують цей концепт:

статистика;
машинне керування;
економетрики.

Крапки екстремуму відіграють важливу роль у визначенні послідовності заданої функції. Система координат на графіку в кращому виглядіпоказує зміну екстремального становища залежно від зміни функціональності.

Екстремуми похідної функції

Має також таке явище, як «похідна». Вона необхідна визначення точки екстремуму. Важливо не плутати точки мінімуму чи максимуму з максимальним і меншим значенням. Це різні поняття, хоча можуть видатися схожими.

Значення функції є основним чинником визначення того, як знайти точку максимуму. Похідна не утворюється від значень, а виключно від крайнього її положення в тому чи іншому порядку.

Сама ж по собі похідна визначається на основі даних точок екстремуму, а не найбільшого чи найменшого значення. У російських школах недостатньо чітко проводять межу між цими двома концептами, що впливає розуміння цієї теми взагалі.

Давайте розглянемо тепер таке поняття як «гострий екстремум». На сьогоднішній день виділяють гострий мінімум значення та гострий максимум значення. Визначення дано відповідно до російської класифікації критичних точок функції. Концепт точки екстремуму є основою знаходження критичних точок на графіці.

Для визначення такого поняття вдаються до теореми Ферма. Вона є найважливішою в ході вивчення крайніх точок і дає чітке уявлення про їхнє існування в тому чи іншому їхньому вигляді. Для забезпечення екстремальності важливо створити певні умови для спадання чи зростання графіку.

Для точного відповісти на запитання «як знайти точку максимуму», необхідно дотримуватися таких положень:

Знаходження точної області визначення на графіку.
Пошук похідної функції та точки екстремуму.
Вирішувати стандартні нерівності на область знаходження аргументу.
Вміти доводити, у яких функціях точка на графіку визначена і безперервна.

Увага!Пошук критичної точки функції можливий лише у разі існування похідної щонайменше другого порядку, що забезпечується високою часткою наявності точки екстремуму.

Необхідна умова екстремуму функції

Для того, щоб існував екстремум, важливо, щоб були як точки мінімуму, так і точки максимуму. Якщо це правило дотримано лише частково, то умова існування екстремуму порушується.

Кожна функція у будь-якому положенні має бути продиференційована з метою виявлення її нових значень. Важливо розуміти, що випадок звернення точки в нуль не є основним принципом знаходження точки, що диференціюється.

Гострий екстремум, як і мінімум функції – це вкрай важливий аспект розв'язання математичної задачі з використанням екстремальних значень. Для того, щоб краще розуміти цю складову, важливо звернутися до табличних значень за завданням функціоналу.

Повне дослідження значення

Побудова графіка значення

1. Визначення точок зростання та зменшення значень.

2. Знаходження точок розриву, екстремуму та перетин з координатними осями.

3. Процес визначення змін становища на графіці.

4. Визначення показника та напрями опуклості та вигнутості з урахуванням наявності асимптот.

5. Створення зведеної таблиці дослідження з погляду визначення її координат.

6. Знаходження проміжків зростання та зменшення крайніх і гострих точок.

7. Визначення опуклості та увігнутості кривої.

8. Побудова графіка з урахуванням дослідження дозволяє визначити мінімум чи максимум.

Основним елементом у разі потреби роботи з екстремумами є точна побудова його графіка.

Шкільні вчителі не часто приділяють такому важливому аспекту максимум уваги, що є грубим порушенням навчального процесу.

Побудова графіка відбувається за підсумками дослідження функціональних даних, визначення гострих екстремумів, і навіть точок на графіці.

Гострі екстремуми похідної функції відображаються на графіку точних значень з використанням стандартної процедуривизначення асимптот.