Похідна функції заданої неявно.
Похідна параметрично заданої функції

У цій статті ми розглянемо ще два типові завдання, які часто зустрічаються в контрольні роботиз вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових урокахі Похідна складної функції. Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.

Похідна функції, заданої неявно

Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Давайте спочатку згадаємо саме визначення функції однієї змінної:

Функція однієї змінної-Це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення функції.

Змінна називається незалежної змінноїабо аргументом.
Змінна називається залежною змінноюабо функцією .

Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити "ігрок" тільки через "ікс". Що за способи? Перенесення доданків із частини у частину зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.

Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.

У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.

І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функцій залишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.

Так, і повідомлю гарну новину- Розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким і чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Отже, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції :

Твір диференціюємо за звичайному правилу :

Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:


Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину – переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, – ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під фразою "неявна функція" розуміють "класичну" неявну функцію, коли "ігрок" висловити не можна.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналізта чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі доданки в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Похідна функції однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішеннята зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.

Приклад 4

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності:

Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції та правило диференціювання приватного :

Розкриваємо дужки:

Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:

Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Це приклад для самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Похідна параметрично заданої функції

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

В даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Підставляємо знайдені похідні у формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу:

Функцію можна задати кількома способами. Це залежить від правила, яке використовується під час її завдання. Явний вид завдання функції має вигляд y = f(x). Бувають випадки, коли її опис неможливий чи незручний. Якщо є безліч пар (х; у), які необхідно обчислювати для параметра t по проміжку (а; b). Для вирішення системи x = 3 · cos t y = 3 · sin t з 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Визначення параметричної функції

Звідси маємо, що x = ? (t) , y = ? завдання параметричного рівняння функції виду y = ψ (Θ (x)) .

Бувають випадки, коли для дослідження функції потрібно займатися пошуком похідної з х. Розглянемо формулу похідної параметрично заданої функції виду y x " = ψ "(t) φ "(t), поговоримо про похідну 2 і n-ого порядку.

Висновок формули похідної параметрично заданої функції

Маємо, що x = φ (t) , y = ψ (t) , визначені і диференційовані при значенні a b , де x t " = φ "(t) ≠ 0 і x = φ (t) тоді існує зворотна функція виду t = Θ (x) .

Спочатку слід переходити від параметричного завдання до явного. Для цього потрібно отримати складну функцію виду y = ψ(t) = ψ(Θ(x)), де є аргумент x.

З правила знаходження похідної складної функції, отримуємо, що y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Звідси видно, що t = Θ(x) і x = φ(t) є оберненими функціями з формули зворотної функції Θ"(x) = 1 φ"(t) , тоді y "x = ψ" Θ(x) · Θ "(x) = ψ"(t) φ "(t).

p align="justify"> Перейдемо до розгляду рішення декількох прикладів з використанням таблиці похідних за правилом диференціювання.

Приклад 1

Знайти похідну для функції x = t 2 + 1 y = t.

Рішення

За умовою маємо, що φ (t) = t 2 + 1 , ψ (t) = t , звідси отримуємо, що φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1 . Необхідно використовувати виведену формулу та записати відповідь у вигляді:

y " x = ψ "(t) φ "(t) = 1 2 t

Відповідь: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При роботі з похідною функції ч параметром t вказується вираз аргументу x через цей параметр t , щоб не втратити зв'язок між значеннями похідної і параметрично заданої функції з аргументом, якому і відповідають ці значення.

Щоб визначити похідну другого порядку параметрично заданої функції, потрібно використовувати формулу похідної першого порядку отриманої функції, тоді отримуємо, що

y " " x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) · φ "(t) - ψ "(t) · φ "" (t) φ " ( t) 2 ?

Приклад 2

Знайти похідні 2 та 2 порядку заданої функції x = cos (2 t) y = t 2 .

Рішення

За умовою отримуємо, що φ(t) = cos(2 t) , ψ(t) = t 2 .

Тоді після перетворення

φ "(t) = cos (2 t)" = - sin (2 t) · 2 t "= - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Звідси випливає, що y x " = ψ "(t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t).

Отримаємо, що вид похідної 1 порядку x = cos (2 t) y x = - t sin (2 t).

Для вирішення необхідно застосувати формулу похідної другого порядку. Отримуємо вираз виду

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 · sin (2 t) - t · cos (2 t) · (2 ​​t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Тоді завдання похідної 2 порядку за допомогою параметричної функції

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Аналогічне рішення можна вирішити іншим способом. Тоді

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) · 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 · sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) · (2 ​​t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Звідси отримуємо, що

y "" x = ψ "" (t) · φ "(t) - ψ "(t) · φ "" (t) φ "(t) 3 = 2 · - 2 sin (2 t) - 2 t · (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Відповідь: y "" x = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Аналогічним чином виробляється перебування похідних вищих порядків з параметрично заданими функціями.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметром і може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права теж дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні і т.д. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, закачайте мою геометричну прогу на сторінці Математичні формули та таблиці.

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

В даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідною ми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Підставляє знайдені похідні формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу:

Я помітив, що в задачі на знаходження похідної параметричної функції досить часто з метою спрощень доводиться використовувати тригонометричні формули . Пам'ятайте їх або тримайте під рукою, і не упускайте можливість спростити кожен проміжний результат та відповіді. Навіщо? Зараз нам належить взяти похідну від , і це явно краще, ніж знаходити похідну від .

Знайдемо другу похідну.
Використовуємо формулу: .

Подивимося нашу формулу. Знаменника вже знайдено на попередньому кроці. Залишилося знайти чисельник – похідну від першої похідної до змінної «те»:

Залишилося скористатися формулою:

Для закріплення матеріалу пропоную ще кілька прикладів для самостійного вирішення.

Приклад 9

Приклад 10

Знайти і функції, заданої параметрически

Бажаю успіхів!

Сподіваюся, це заняття було корисним, і Ви тепер легко зможете знаходити похідні від функцій, заданих неявно і від параметричних функцій

Рішення та відповіді:

Приклад 3: Рішення:






Таким чином:

Формула похідної функції, заданої параметричним способом. Доказ та приклади застосування цієї формули. Приклади обчислення похідних першого, другого та третього порядку.

Нехай функція задана параметричним способом:
(1)
де деяка змінна, яка називається параметром. І нехай функції і мають похідні за певного значення змінної. Причому і функція має зворотну функцію в околиці точки. Тоді функція (1) має в похідній точці , яка, в параметричному вигляді, визначається за формулами:
(2)

Тут і - похідні функцій і за змінною (параметром). Їх часто записують у такому вигляді:
;
.

Тоді систему (2) можна записати так:

Доведення

За умовою, функція має зворотну функцію. Позначимо її як
.
Тоді вихідну функцію можна як складну функцію:
.
Знайдемо її похідну, застосовуючи правила диференціювання складної та зворотної функцій:
.

Правило підтверджено.

Доказ другим способом

Знайдемо похідну другим способом, виходячи з визначення похідної функції в точці:
.
Введемо позначення:
.
Тоді й попередня формула набуває вигляду:
.

Скористаємося тим, що функція має зворотну функцію в околиці точки .
Введемо позначення:
; ;
; .
Розділимо чисельник і знаменник дробу на:
.
При , . Тоді
.

Правило підтверджено.

Похідні вищих порядків

Щоб знайти похідні найвищих порядків, треба виконувати диференціювання кілька разів. Припустимо, нам треба знайти похідну другого порядку від функції, заданої параметричним способом наступного виду:
(1)

За формулою (2) знаходимо першу похідну, яка також визначається параметричним способом:
(2)

Позначимо першу похідну, за допомогою змінної:
.
Тоді, щоб знайти другу похідну від функції змінної , потрібно знайти першу похідну від функції змінної . Залежність змінної від змінної також задана параметричним способом:
(3)
Порівнюючи (3) з формулами (1) і (2), знаходимо:

Тепер виразимо результат через функції та . Для цього підставимо та застосуємо формулу похідного дробу:
.
Тоді
.

Звідси отримуємо другу похідну функції змінної :

Вона також задана у параметричному вигляді. Зауважимо, що перший рядок також можна записати так:
.

Продовжуючи процес, можна отримати похідні функції від змінної третього і вищих порядків.

Зауважимо, що можна вводити позначення для похідної . Можна записати так:
;
.

Приклад 1

Знайдіть похідну від функції, заданої параметричним способом:

Рішення

Знаходимо похідні та по .
З таблиці похідних знаходимо:
;
.
Застосовуємо:

.
Тут.

.
Тут.

Похідна:
.

Відповідь

Приклад 2

Знайдіть похідну від функції, вираженої через параметр :

Рішення

Розкриємо дужки, застосовуючи формули для статечних функцій і коріння:
.

Знаходимо похідну:

.

Знаходимо похідну. Для цього введемо змінну та застосуємо формулу похідної складної функції.

.

Знаходимо шукану похідну:
.

Відповідь

Приклад 3

Знайдіть похідні другого та третього порядків від функції, заданої параметричним способом у прикладі 1:

Рішення

У прикладі 1 ми знайшли похідну першого порядку:

Введемо позначення. Тоді функція є похідною . Вона задана параметричним способом:

Щоб знайти другу похідну по нам треба знайти першу похідну по .

Диференціюємо по .
.
Похідну ми знайшли в прикладі 1:
.
Похідна другого порядку за дорівнює похідній першого порядку за :
.

Отже, ми знайшли похідну другого порядку в параметричному вигляді:

Тепер знаходимо похідну третього порядку. Введемо позначення. Тоді нам потрібно знайти похідну першого порядку від функції, яка задана параметричним способом:

Знаходимо похідну по . Для цього перепишемо в еквівалентному вигляді:
.
З

.

Похідна третього порядку дорівнює похідній першого порядку по :
.

Зауваження

Можна не вводити змінні та , які є похідними та відповідно. Тоді можна записати так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Відповідь

У параметричному поданні похідна другого порядку має такий вигляд:

Похідна третього порядку: