Kupite diplomu visokog obrazovanja povoljno. Derivacija prirodnog logaritma i logaritma na bazu a

Najčešća pitanja

Da li je moguće izraditi pečat na ispravu prema priloženom uzorku? Odgovor Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu e-mail adresu dobra kvaliteta, a mi ćemo izraditi potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvaćate? Odgovor Dokument možete platiti po primitku od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popunjavanja i kvalitete izrade diplome. To se također može učiniti u uredu poštanskih tvrtki koje nude usluge plaćanja pouzećem.
Svi uvjeti dostave i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Također smo spremni saslušati vaše prijedloge vezane uz uvjete dostave i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovor Imamo dosta dugo iskustvo u području izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući više od 10 dokumenata dnevno. Tijekom godina, naši su dokumenti pomogli mnogim ljudima riješiti probleme zaposlenja ili preseliti na drugo mjesto visoko plaćen posao. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to činimo. Štoviše, to je jednostavno fizički nemoguće učiniti: svoju narudžbu plaćate kada je primite u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu bilo kojeg fakulteta? Odgovor Općenito, da. Na ovom polju radimo skoro 12 godina. Tijekom tog vremena formirana je gotovo cjelovita baza dokumenata koje izdaju gotovo sva sveučilišta u zemlji i šire. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati sveučilište, specijalnost, dokument i ispuniti narudžbenicu.

Što učiniti ako pronađete tipfelere i pogreške u dokumentu? Odgovor Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske tvrtke, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ukoliko se pronađe tipfeler, pogreška ili netočnost, imate pravo ne preuzeti diplomu, ali uočene nedostatke morate osobno naznačiti kuriru ili pismeno slanjem pisma na elektronička pošta.
U čim prije Ispravit ćemo dokument i ponovno ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša tvrtka.
Kako bismo izbjegli takve nesporazume, prije ispunjavanja izvornog obrasca kupcu e-poštom šaljemo model budućeg dokumenta na provjeru i odobrenje. završna verzija. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, također radimo dodatna fotografija i video (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predodžbu o tome što ćete na kraju dobiti.

Što trebam učiniti da naručim diplomu od vaše tvrtke? Odgovor Za narudžbu dokumenta (svjedodžba, diploma, akademska svjedodžba i sl.) morate ispuniti online narudžbenicu na našoj web stranici ili dati svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati prijavnicu koju trebate ispuniti i poslati natrag nama.
Ako ne znate što navesti u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ga prazna. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti putem telefona.

Najnovije recenzije

Aleksej:

Trebala sam steći diplomu da bih dobila posao menadžera. I najvažnije je da imam i iskustvo i vještine, ali ne mogu dobiti posao bez dokumenta. Kad sam naišao na vašu stranicu, konačno sam odlučio kupiti diplomu. Diploma gotova za 2 dana!! Sada imam posao o kojem prije nisam ni sanjao!! Hvala vam!

Izvedeni izračuni često se nalaze u Zadaci Jedinstvenog državnog ispita. Ova stranica sadrži popis formula za pronalaženje izvedenica.

Pravila razlikovanja

(k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
(f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
Derivacija složene funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), tada se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako y′(x)=Fu′⋅ ux′.
Derivacija implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) naziva se implicitna funkcija definirana relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
Derivacija inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, tada se funkcija g(x) naziva inverznom funkcijom funkcije y=f(x).
Derivacija parametarski definirane funkcije. Neka su x i y specificirani kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kažu da je y=y(x) parametarski dana funkcija na intervalu x∈ (a;b), ako se na tom intervalu jednadžba x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x) može se definirati.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije. Nađeno uzimanjem logaritma na bazu prirodni logaritam.

Savjetujemo vam da spremite poveznicu jer bi ova tablica mogla biti potrebna mnogo puta. Izračun derivacija- jedna od najvažnijih operacija u diferencijalnom računu. Ispod je tablica za pronalaženje izvedenica jednostavnih funkcija. Za složenija pravila razlikovanja pogledajte druge lekcije:

Tablica derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije

Koristite navedene formule kao referentne vrijednosti. Oni će pomoći u rješavanju diferencijalnih jednadžbi i problema. Na slici, u tablici izvedenica jednostavnih funkcija, nalazi se “cheat sheet” glavnih slučajeva pronalaženja derivata u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored njega su objašnjenja za svaki slučaj.

Izvodi jednostavnih funkcija

1. Izvodnica broja je nula
s´ = 0
Primjer:
5´ = 0

Obrazloženje:
Derivacija pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se mijenja njen argument. Budući da se broj ne mijenja ni na koji način ni pod kojim uvjetima, stopa njegove promjene uvijek je nula.

2. Derivacija varijable jednako jedan
x´ = 1

Obrazloženje:
Svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat izračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x točno je jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Derivacija varijable i faktora jednaka je ovom faktoru
sx´ = s
Primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Obrazloženje:
U ovom slučaju, svaki put kada se promijeni argument funkcije ( x) njegova vrijednost (y) raste u S jednom. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta točno je jednaka vrijednosti S.

Odakle slijedi da
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu pravca (k).

4. Modulo derivacija varijable jednaka kvocijentu ove varijable i njenog modula
|x|"= x / |x| uz uvjet da je x ≠ 0
Obrazloženje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedinici, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno kada se pređe ishodište (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se sami. To je točno koja vrijednost i vraća izraz x / |x|. Kada x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, za negativne vrijednosti varijable x, sa svakim povećanjem argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za točno istu vrijednost, a za pozitivne vrijednosti, naprotiv, povećava se, ali za točno istu vrijednost .

5. Derivacija varijable na potenciju jednak umnošku broja ove potencije i varijable na potenciju umanjenu za jedan
(x c)"= cx c-1, uz uvjet da su x c i cx c-1 definirani i c ≠ 0
Primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Pomaknite stupanj varijable prema dolje kao faktor, a zatim smanjite sam stupanj za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) jednostavno dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - trojku “pomaknemo prema dolje”, smanjimo je za jedan i umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2. Malo "neznanstveno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat razlomka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Primjer:
Budući da se razlomak može prikazati kao podizanje na negativnu potenciju
(1/x)" = (x -1)", tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tablice izvedenica
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat razlomka s varijablom proizvoljnog stupnja u nazivniku
(1 / x c)" = - c / x c+1
Primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Izvedenica korijena(derivacija varijable pod kvadratnim korijenom)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
Primjer:
(√x)" = (x 1/2)" znači da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivacija varijable ispod korijena proizvoljnog stupnja
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju prirodnog logaritma i logaritma po bazi a. Primjeri izračunavanja derivacija od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za derivaciju logaritma n-tog reda metodom matematičke indukcije.

Derivacija formula za izvodnice prirodnog logaritma i logaritma po bazi a

Derivacija prirodnog logaritma od x jednaka je jedan podijeljeno s x:
(1) (ln x)′ =.

Derivacija logaritma na bazu a jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom x pomnoženom s prirodnim logaritmom od a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jedan. Razmotrimo funkciju koja ovisi o varijabli x, koja je logaritam baze:
.
Ova je funkcija definirana na . Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to učinili, moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo limita za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
U) Značenje druge izvanredne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primijenimo svojstva (4) i (5).

.

Iskoristimo svojstvo (7) i drugo izvanredna granica (8):
.

I konačno, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Zatim ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za derivaciju logaritma.

Derivacija prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za derivaciju logaritma na bazi a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji je , . Zatim
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam je vrlo široko korišten u matematička analiza i u drugim granama matematike vezanim uz diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti u terminima prirodnog logaritma pomoću svojstva (6):
.

Derivacija logaritma s obzirom na bazu može se pronaći iz formule (1), ako konstantu izvadite iz znaka diferencijacije:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za derivaciju eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju. Funkcija inverzna prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov derivat je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x s y:
.
Od tad
.
Zatim
.
Formula je dokazana.

Sada ćemo dokazati formulu za izvod prirodnog logaritma pomoću pravila za razlikovanje složenih funkcija. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
.
Razlikujmo ovu jednadžbu s obzirom na varijablu x:
(10) .
Derivacija od x jednaka je jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:
.
ovdje . Zamijenimo u (10):
.
Odavde
.

Primjer

Pronađite izvedenice od U 2x, U 3x I lnnx.

Riješenje

Izvorne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći izvod funkcije y = log nx. Zatim zamijenimo n = 2 i n = 3. I, tako, dobivamo formule za derivate U 2x I U 3x .

Dakle, tražimo izvod funkcije
y = log nx .
Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije ovisne o varijabli: ;
2) Funkcije ovisne o varijabli: .
Tada je izvorna funkcija sastavljena od funkcija i :
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo izvod funkcije s obzirom na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije.
.
Ovdje smo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne ovisi o n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo izvornu funkciju pomoću formule za logaritam umnoška:
.
- ovo je konstanta. Njegova derivacija je nula. Tada prema pravilu diferenciranja zbroja imamo:
.

Odgovor

; ; .

Derivacija logaritma modula x

Nađimo izvod još jedne vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov derivat je određen formulom (1):
.

Razmotrimo sada slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali također smo pronašli izvod ove funkcije u gornjem primjeru. Ne ovisi o n i jednako je
.
Zatim
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivacije viših redova prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njegovu derivaciju prvog reda:
(13) .

Nađimo izvod drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da izvod n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da je , onda kada je n = 1 , vrijedi formula (14).

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da ovo implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Doista, za n = k imamo:
.
Diferenciraj s obzirom na varijablu x:

.
Pa smo dobili:
.
Ova formula se podudara s formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Stoga formula (14), za derivaciju n-tog reda, vrijedi za bilo koji n.

Derivacije viših redova logaritma na bazu a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na bazu a, morate ga izraziti u smislu prirodnog logaritma:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-tu derivaciju:
.

Prilikom izvođenja prve formule tablice, poći ćemo od definicije funkcije izvoda u točki. Uzmimo gdje x– bilo koji realni broj, tj. x– bilo koji broj iz domene definiranosti funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na :

Treba napomenuti da se pod graničnim znakom dobiva izraz koji nije nesigurnost nule podijeljene s nulom, budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula.

Tako, izvod konstantne funkcijejednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Derivacija funkcije potencije.

Formula za derivaciju potencne funkcije ima oblik , gdje je eksponent str– bilo koji realni broj.

Dokažimo najprije formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, …

Koristit ćemo se definicijom derivacije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, okrećemo se Newtonovoj binomnoj formuli:

Stoga,

Ovo dokazuje formulu za derivaciju potencije za prirodni eksponent.

Derivacija eksponencijalne funkcije.

Predstavljamo izvođenje formule derivata na temelju definicije:

Došli smo do neizvjesnosti. Kako bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu, a na . Zatim . U prošlom prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu logaritamsku bazu.

Zamijenimo u izvornu granicu:

Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za derivaciju eksponencijalne funkcije:

Derivacija logaritamske funkcije.

Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz domene definicije i sve važeće vrijednosti baze a logaritam Po definiciji derivata imamo:

Kao što ste primijetili, tijekom dokaza transformacije su provedene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost je istinito zbog druge značajne granice.

Derivacije trigonometrijskih funkcija.

Da bismo izveli formule za derivacije trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve značajne granice.

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju imamo .

Upotrijebimo formulu razlike sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj značajnoj granici:

Dakle, izvod funkcije grijeh x Tamo je cos x.

Formula za derivaciju kosinusa dokazuje se na potpuno isti način.

Prema tome, izvod funkcije cos x Tamo je – grijeh x.

Izvest ćemo formule za tablicu derivacija za tangens i kotangens koristeći provjerena pravila diferenciranja (derivacija razlomka).

Derivacije hiperboličkih funkcija.

Pravila diferenciranja i formula za derivaciju eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija omogućuju nam izvođenje formula za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Derivacija inverzne funkcije.

Da ne bude zabune tijekom izlaganja, označimo u indeksu argument funkcije po kojoj se vrši diferenciranje, odnosno to je derivacija funkcije f(x) Po x.

Sada formulirajmo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije.

Neka funkcije y = f(x) I x = g(y) međusobno inverzni, definirani na intervalima i redom. Ako u točki postoji konačna derivacija funkcije različita od nule f(x), tada u točki postoji konačna derivacija inverzne funkcije g (y), i . U drugom postu .

Ovo se pravilo može preformulirati za bilo koje x iz intervala , tada dobivamo .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam (Ovdje g je funkcija, i x- argument). Nakon što smo riješili ovu jednadžbu za x, dobivamo (ovdje x je funkcija, i g– njezin argument). To je, a međusobno inverzne funkcije.

Iz tablice izvedenica vidimo da I .

Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvodnica inverzne funkcije vode do istih rezultata: