Даєш інтерполяцію онлайн. Формула інтерполяції між двома значеннями
Інтерполяція, інтерпретування (відлат. inter-polis - « розгладжений, підновлений, оновлений; перетворений») - у обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретним набором відомих значень. Термін "інтерполяція" вперше вжив Джон Валліс у своєму трактаті "Арифметика нескінченних" (1656).
У функціональному аналізі інтерполяція лінійних операторів є розділом, що розглядає банахові простори як елементи деякої категорії.
Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками, часто доводиться оперувати наборами значень, набутих дослідним шляхом або методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б з високою точністю потрапляти інші значення. Таке завдання називається апроксимацією. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через точки даних.
Існує також близька до інтерполяції завдання, яке полягає в апроксимації будь-якої складної функції іншою, більш простою функцією. Якщо деяка функція надто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в кількох точках, а за ними побудувати, тобто інтерполювати більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі самі точні результати, які давала б початкова функція. Але в деяких класах завдань досягнутий виграш у простоті та швидкості обчислень може переважити отримувану похибку в результатах.
Слід також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відомий під назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт з інтерполяції операторів відносяться теорема Рісса - Торіна (Riesz-Thorin theorem) та теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для багатьох інших робіт.
Визначення
Розглянемо систему неспівпадаючих точок x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) з деякої області D (\displaystyle D) . Нехай значення функції f (\displaystyle f) відомі лише у цих точках:
Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)
Завдання інтерполяції полягає у пошуку такої функції F (\displaystyle F) із заданого класу функцій, що
F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)
- Точки x i (\displaystyle x_(i)) називають вузлами інтерполяції, А їх сукупність - інтерполяційною сіткою.
- Пари (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) називають точками данихабо базовими точками.
- Різниця між «сусідними» значеннями Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - кроком інтерполяційної сітки. Він може бути як змінним, і постійним.
- Функцію F(x) (\displaystyle F(x)) - інтерполюючою функцієюабо інтерполянтом.
приклад
1. Нехай ми маємо табличну функцію на кшталт описаної нижче, яка для кількох значень x (\displaystyle x) визначає відповідні значення f (\displaystyle f) :
X (\displaystyle x) f(x) (\displaystyle f(x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Інтерполяція допомагає нам дізнатися, яке значення може мати така функція в точці, яка відрізняється від зазначених точок (наприклад, при x = 2,5).
На сьогодні існує безліч різних способівінтерполяції. Вибір найбільш відповідного алгоритму залежить від відповіді питання: як точний вибирається метод, які витрати з його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, якої кількості точок даних вона і т.п.
2. Знайти проміжне значення (методом лінійної інтерполяції).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-60) 15.5)) (1)) = 16.1993)
У мовах програмування
Приклад лінійної інтерполяції функції y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Користувач може ввести число від 1 до 10.
Fortran
program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimension y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "enter number: read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) then yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end end do end subbroutineC++
int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Інтерполяція X1 - X2 "); system("echo Ввести число: "); cin >> ob; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko);Способи інтерполяції
Інтерполяція методом найближчого сусіда
Найпростішим способом інтерполяції є інтерполяція методом найближчого сусіда.
Інтерполяція багаточленами
Насправді найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами. Це пов'язано насамперед з тим, що багаточлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні та багато многочленів щільно у просторі безперервних функцій (теорема Вейєрштраса).
- Лінійна інтерполяція
- Інтерполяційна формула Ньютона
- Метод кінцевих різниць
- ІМН-1 та ІМН-2
- Багаточлен Лагранжа (інтерполяційний багаточлен)
- Схема Ейткена
- Сплайн-функція
- Кубічний сплайн
Зворотне інтерполювання (обчислення x за заданої y)
- Поліном Лагранжа
- Зворотне інтерполювання за формулою Ньютона
- Зворотне інтерполювання за формулою Гауса
Інтерполяція функції кількох змінних
- Білінійна інтерполяція
- Бікубічна інтерполяція
Інші способи інтерполяції
- Раціональна інтерполяція
- Тригонометрична інтерполяція
суміжні концепції
- Екстраполяція – методи знаходження точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої)
- Апроксимація - методи побудови наближених кривих
Зворотня інтерполяція
на класі функцій із простору C2 , графіки яких проходять через точки масиву (xi, yi), i = 0, 1, . . . m.
Рішення. Серед усіх функцій, що проходять через опорні точки (xi, f(xi)) і належать згаданому простору, саме кубічний сплайн S(x), що відповідає крайовим умовам S00(a) = S00(b) = 0, надає екстремум (мінімум) функціоналу I(f).
Часто на практиці виникає завдання пошуку за заданим значенням функції значення аргументу. Це завдання вирішується методами зворотної інтерполяції. Якщо задана функціямонотонна, то зворотну інтерполяцію найпростіше здійснити шляхом заміни функції аргументом і навпаки і подальшого інтерполювання. Якщо ця функція не монотонна, то цим прийомом скористатися не можна. Тоді, не змінюючи ролями функцію та аргумент, записуємо ту чи іншу інтерполяційну формулу; використовуючи відомі значення аргументу та, вважаючи функцію відомої, вирішуємо отримане рівняння щодо аргументу.
Оцінка залишкового члена при використанні першого прийому буде така сама, як і при прямій інтерполяції, тільки похідні від прямої функції потрібно замінити похідними від зворотної функції. Оцінимо помилку другого методу. Якщо нам задана функція f(x) та Ln(x) - інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований для цієї функції за вузлами x0, x1, x2, . . . , xn, то
f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x−x0). . . (x−xn) .
Припустимо, що нам треба знайти значення x, при якому f (x) = y (y задано). Розв'язуватимемо рівняння Ln (x) = y . Отримаємо деяке значення x. Підставляючи у попереднє рівняння, отримаємо:
Mn+1 |
f (x) - Ln (x) = f (x) - y = f (x) - f (x) = |
|||||||||||
|
Застосовуючи формулу Лангранжа, отримаємо |
|||||||||||
|
(x − x) f0 (η) = |
|||||||||||
|
де η знаходиться між x і x. Якщо - інтервал, який містить x і x і min |
|||||||||||
з останнього виразу випливає:
|x¯ − x¯| 6m1 (n+1)! |$n (x¯)| .
При цьому, звичайно, передбачається, що рівняння Ln (x) = y? ми вирішили точно.
Застосування інтерполяції для складання таблиць
Теорія інтерполяції має застосування при складанні таблиць функцій. Отримавши таке завдання, математик повинен вирішити перед початком обчислень низку питань. Повинна бути обрана формула, за якою проводитимуться обчислення. Ця формула може змінюватися від ділянки до ділянки. Зазвичай формули для обчислення значень функції бувають громіздкими і тому використовують для отримання деяких опорних значень і потім, шляхом субтабулювання, згущують таблицю. Формула, яка дає опорні значення функції, має забезпечувати потрібну точність таблиць з урахуванням наступного субтабулювання. Якщо потрібно скласти таблиці з постійним кроком, спочатку треба визначити її крок.
Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик
Найчастіше таблиці функцій складаються так, щоб була можлива лінійна інтерполяція (тобто інтерполяція з використанням перших двох членів формули Тейлора). У цьому випадку залишковий член матиме вигляд
R1(x) = f00 (ξ)h2t(t − 1).
Тут ξ належить інтервалу між двома сусідніми табличними значеннями аргументу, в якому знаходиться x, а t укладено між 0 і 1. Твір t(t − 1) приймає найбільший за модулем
значення при t = 12. Це значення дорівнює14. Отже,
Потрібно пам'ятати, що поруч із цією помилкою - помилкою методу, при практичному обчисленні проміжних значень виникатимуть ще непереборна похибка та похибка заокруглень. Як ми бачили раніше, непереборна похибка при лінійній інтерполяції буде рівною похибки табульованих значень функції. Похибка округлення залежатиме від обчислювальних засобів та від програми обчислень.
Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик
Предметний покажчик
розділені різниці другого порядку, 8 першого порядку, 8
сплайн, 15
вузли інтерполяції, 4
Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик
/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Як виконати інтерполяцію
Формула для інтерполяції табличних даних
Використовується у 2-ій дії, коли кількість НХР (Q, т) за умови має проміжне значення між 100 т та 300 т.
(Виняток:якщо Q за умовою дорівнює 100 або 300 – інтерполяція не потрібна).
y o- Ваша вихідна кількість НХР із умови, в тоннах
(відповідає букві Q)
y 1 – менше
(З табл.11-16, як правило одно 100).
y 2 – більше найближче до Вашого значення кількості НХР у тоннах
(З табл.11-16, як правило дорівнює 300).
x 1 y 1 (x 1 розташоване навпроти y 1 ), км.
x 2 - Табличне значення глибини поширення хмари зараженого повітря (Г т), відповідно y 2 (x 2 розташоване навпроти y 2 ), км.
x 0 - Шукане значення Г твідповідне y o(за формулою).
приклад.
НХР – хлор; Q = 120 т;
Вид СВСП (ступінь вертикальної стійкості повітря) – інверсія.
Знайти Г т- Табличне значення глибини поширення хмари зараженого повітря.
Переглядаємо таблиці 11-16 і знаходимо дані, що відповідають вашій умові (хлор, інверсія).
Підходить таблиця 11.
Вибираємо значення y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Важливо – швидкість вітру беремо 1 м/с., температуру беремо – 20 оС.
Підставляємо вибрані значення у формулу та знаходимо x 0 .
Важливо - Розрахунок правильний, якщо x 0 матиме значення десь між x 1 , x 2 .
1.4. Інтерполяційна формула Лагранжа
Запропонований Лагранжем алгоритм побудови інтерполюючих
функцій за таблицями (1) передбачає побудову інтерполяційного многочлена Ln(x) як
Очевидно, що виконання (10) умов (11) визначає виконання умов (2) постановки завдання інтерполяції.
Багаточлени li(x) записуються наступним чином
Зазначимо, що жоден множник у знаменнику формули (14) не дорівнює нулю. Обчисливши значення констант сi, можна використовувати їх для обчислення значень функції, що інтерполується в заданих точках.
Формула інтерполяційного багаточлена Лагранжа (11) з урахуванням формул (13) та (14) може бути записана у вигляді
|
qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn) |
1.4.1. Організація ручних обчислень за формулою Лагранжа
Безпосереднє застосування формули Лагранжа призводить до великої кількості однотипних обчислень. Для таблиць невеликої розмірності ці обчислення можуть бути виконані як вручну, так і серед програм
У першому етапі розглянемо алгоритм обчислень, виконуваних вручну. Надалі ці ж обчислення слід повторити у середовищі
Microsoft Excelабо OpenOffice.org Calc.
На рис. 6 наведено приклад вихідної таблиці інтерполюваної функції, що визначається чотирма вузлами.
Рис.6. Таблиця, що містить вихідні дані для чотирьох вузлів інтерполюваної функції
У третій стовпець таблиці запишемо значення коефіцієнтів qi, що обчислюються за формулами (14). Нижче наведено запис цих формул для n=3.
q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)
Наступним кроком реалізації ручних обчислення є обчислення значень li(x) (j=0,1,2,3), виконувані за формулами (13).
Запишемо ці формули для розглянутого нами варіанта таблиці з чотирма вузлами:
l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),
l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),
l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .
Обчислимо значення многочленів li(xj) (j=0,1,2,3) і запишемо їх у комірки таблиці. Значення функціїYрасч(x) згідно з формулою (11) будуть отримані в результаті підсумовування значеньli(xj) по рядках.
Формат таблиці, що включає стовпці обчислених значень li(xj) і стовпець значеньYрасч(x), показано на рис.8.
Мал. 8. Таблиця з результатами ручних обчислень, виконаних за формулами (16), (17) та (11) для всіх значень аргументу xi
Виконавши формування таблиці, наведеної на рис. 8 за формулами (17) і (11) можна обчислити значення інтерполюваної функції для будь-якого значення аргументу Х. Наприклад, для Х=1 обчислюємо значення li(1) (i=0,1,2,3):
l0 (1) = 0,7763; l1 (1) = 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.
Підсумовуючи значення li (1), отримаємо значення Y інтерп (1) = 3,1463.
1.4.2. Реалізація алгоритму інтерполяції за формулами Лагранжа серед програми Microsoft Excel
Реалізація алгоритму інтерполяції починається, як і за ручних обчисленнях із запису формул для обчислення коефіцієнтів qi На рис. 9 наведена стовпці таблиці із заданими значеннями аргументу, інтерполюваної функції та коефіцієнтів qi. Праворуч від цієї таблиці наведені формули, що записуються в комірки стовпця для обчислення значень коефіцієнтів qi.
вС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" q0
вС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))"Æ q1
вС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))"Æ q2
вС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3
Мал. 9 Таблиця коефіцієнтів qi та обчислювальні формули
Після введення формули q0 у комірку С2 вона простягається по комірках від С3 до С5. Після чого формули у цих осередках коригуються відповідно до (16) до виду, наведеному на рис. 9.
Yрасч(xi), Реалізуючи формули (17), запишемо формули для обчислення значень li(x) (i=0,1,2,3) у комірки стовпців D, E, F і G. У комірку D2 для обчислення значення l0(x0) запишемо формулу:
=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),
отримаємо значення l0 (xi) (i = 0,1,2,3).
Формат посилання $A2 дозволяє простягнути формулу по стовпцях E, F, G для формування обчислювальних формул для обчислення li (x0) (i = 1,2,3). При протягуванні формули по рядку індекс стовпця аргументів не змінюється. Для обчисленняli(x0) (i=1,2,3) після протягування формулиl0(x0) необхідно виконати їхнє коригування за формулами (17).
У стовпці Н помістимо формули Excel для підсумовування li(x) за формулою
(11) алгоритму.
На рис. 10 показана таблиця, реалізована серед програми Microsoft Excel. Ознакою правильності записаних у комірки таблиці формул та виконаних обчислювальних операцій є отримана діагональна матриця li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2,3), що повторює результати, наведені на рис. 8, і стовпець значень збігаються зі значеннями інтерполюваної функції у вузлах вихідної таблиці.
Мал. 10. Таблиця значень li(xj) (j=0,1,2,3) іYрасч(xj)
Для обчислення значень у деяких проміжних точках достатньо
вічка стовпця А, починаючи з осередку А6, ввести значення аргументу Х, для яких потрібно визначити значення інтерполюваної функції. Виділити
в останньому (5-му) рядку таблиці осередку отl0(xn) до Yрасч(xn) і протягнути формули, записані у виділених осередках до рядка, що містить останнє
задане значення аргументу x.
На рис. 11 наведена таблиця, в якій виконані обчислення значення функції у трьох точках: х=1, х=2 та х=3. У таблицю введено додатковий стовпець із номерами рядків таблиці вихідних даних.
Мал. 11. Обчислення значень інтерполюваних функцій за формулами Лагранжа
Для більшої наочності відображення результатів інтерполяції побудуємо таблицю, що включає стовпець упорядкованих за зростанням значень аргументу Х, стовпець вихідних значень функції Y(X) та стовпець
Підкажіть як використовувати формулу інтерполяції та яку у вирішенні задач з термодинаміки (теплотехніки)
Іван шестакович
Найпростіше, але й часто малоточна інтерполяція - це лінійна. Коли у тебе є вже дві відомі точки (Х1 У1) і (X2 Y2), а треба знайти значення У дня деякого Х який знаходиться між Х1 і Х2. Тоді формула проста.
У = (У2-У1) * (Х-Х1) / (Х2-Х1) + У1
До речі ця формула працює і при значеннях Х поза межами проміжку Х1..Х2, але це вже називається екстрополяцією і за значної відстані від цього проміжку дає дуже велику похибку.
Є багато інших матюків. методів інтерполяції – раджу почитати підручник чи поритися та інеті.
Не виключено так само метод графічної інтерполяції - вручну наріювати графік через відомі точки і для потрібного Х знаходити з графіка У.;)
Роман
У тебе є два значення. І приблизно залежність (лінійна, квадратична, ..)
Графік цієї функції проходить через дві точки. Тобі потрібне значення десь між. Ну, і висловлюєш!
Наприклад. У таблиці при температурі 22 градуси тиск насиченої пари 120000 Па, а при 26 124000 Па. Тоді при температурі 23 градуси 121 000 Па.
Інтерполяція (координат)
Є сітка координат на карті (зображенні).
На ній є деякі відомі опорні точки (n>3), що мають два значення x,y- координати у пікселах, та координати у метрах.
Необхідно знайти проміжні значення координат у метрах, знаючи координати пікселів.
Лінійна інтерполяція не підходить – надто велика похибка за межами лінії.
Ось так: (Xc – коорд. в метрах по ох, Xp – коорд. у пікселах по ох, Xc3 – шукане значення по ох)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2
Як знайти таку ж формулу для знаходження Xc та Yc, враховуючи не дві (як тут), а N відомих опорних точок?
Joka fern lowd
Судячи з виписаних формул, осі систем координат у пікселах та в метрах збігаються?
Тобто незалежно інтерполюється Xp->Xc і незалежно Yp->Yc. Якщо ні, треба використовувати двовимірну інтерполяцію Xp,Yp->Xc і Xp,Yp->Yc, що дещо ускладнює завдання.
Далі мається на увазі, що координати Xp і Xc пов'язані певною залежністю.
Якщо характер залежності відомий (або передбачається, наприклад, припускаємо, що Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), можна отримати параметри цієї залежності (для наведеної залежності a, b, c) за допомогою регресійного аналізу (Метод найменших квадратів). У цьому методі, якщо поставити певну залежність Xc(Xp) можна отримати формулу для параметрів залежності від опорних даних. Цей метод дозволяє, зокрема, знайти і лінійну залежність, що найкраще задовольняє даному наборуданих.
Недолік: У цьому методі координати Xc, отримані за даними опорних точок Xp можуть відрізнятися від заданих. Як наприклад, апроксимаційна пряма проведена за експериментальними точками, не проходить точно через самі ці точки.
Якщо ж потрібна точна відповідність і характеру залежності невідомий, потрібно використовувати інтерполяційні методи. Найпростішим математично є інтерполяційний поліном Лагранжа, який точно проходить через опорні точки. Однак через високий рівень цього полінома при великому числіопорних точок та поганої якості інтерполяції, краще його не використовувати. Перевагою є порівняно проста формула.
Найкраще використовувати інтерполяцію сплайнами. Суть цього у тому, що у кожному ділянці між двома сусідніми точками, досліджувана залежність інтерполується поліномом, а точках зшивки двох інтервалів записуються умови гладкості. Перевагою цього є якість інтерполяція. Недоліками - практично неможливо вивести загальну формулу, доводиться знаходити коефіцієнти полінома на кожній ділянці алгоритмічно. Іншим недоліком є складність узагальнення двомірну інтерполяцію.
Буває ситуація, коли у масиві відомих значень потрібно знайти проміжні результати. У математиці це називається інтерполяцією. В Excel даний методможна застосовувати як табличних даних, так побудови графіків. Розберемо кожен із цих способів.
Головна умова, за якої можна застосовувати інтерполяцію – це те, що потрібне значення має бути всередині масиву даних, а не виходити за його межу. Наприклад, якщо ми маємо набір аргументів 15, 21 та 29, то при знаходженні функції аргументу 25 ми можемо використовувати інтерполяцію. А для пошуку відповідного значення для аргументу 30 вже немає. У цьому є головна відмінність цієї процедури від екстраполяції.
Спосіб 1: інтерполяція для табличних даних
Насамперед, розглянемо застосування інтерполяції для даних, які у таблиці. Наприклад візьмемо масив аргументів і відповідних їм значень функції, співвідношення яких можна описати лінійним рівнянням. Ці дані розміщені у таблиці нижче. Нам потрібно знайти відповідну функцію для аргументу 28 . Зробити це найпростіше за допомогою оператора ПЕРЕДСКАЗ.
Спосіб 2: інтерполяція графіка за допомогою його налаштувань
Процедуру інтерполяції можна використовувати і при побудові графіків функції. Актуальна вона у тому випадку, якщо в таблиці, на основі якої побудовано графік, до одного з аргументів не зазначено відповідне значення функції, як на зображенні нижче.
Як бачимо, графік скоригований, а розрив за допомогою інтерполяції вилучено.
Спосіб 3: інтерполяція графіка за допомогою функції
Здійснити інтерполяцію графіка можна також за допомогою спеціальної функції НД. Вона повертає невизначені значення у вказану комірку.
Можна зробити навіть простіше, не запускаючи Майстер функцій, а просто з клавіатури вбити в порожню комірку значення «#Н/Д»без лапок. Але це вже залежить від того, як якому користувачеві зручніше.
Як бачимо, у програмі Ексель можна виконати інтерполяцію як табличних даних, використовуючи функцію ПЕРЕДСКАЗ, і графіка. В останньому випадку це можливо за допомогою налаштувань графіка або застосування функції НД, що викликає помилку «#Н/Д». Вибір того, який метод використовувати, залежить від постановки завдання, а також від особистих переваг користувача.
Багато хто з нас стикався з незрозумілими термінами в різних науках. Але знаходиться дуже мало людей, яких не лякають незрозумілі слова, а навпаки, підбадьорюють і змушують все більше заглибитися в предмет, що вивчається. Сьогодні мова піде про таку річ, як інтерполяція. Це спосіб побудови графіків за відомими точками, що дозволяє з мінімальною кількістю інформації про функцію передбачити її поведінку на конкретних ділянках кривої.
Перед тим як перейти до суті самого визначення та розповісти про нього докладніше, трохи заглибимося в історію.
Історія
Інтерполяція була відома ще з найдавніших часів. Проте своїм розвитком це явище завдячує декільком найвидатнішим математикам минулого: Ньютону, Лейбніцу та Грегорі. Саме вони розвинули це поняття за допомогою більш сучасних математичних способів, доступних на той час. До цього інтерполяцію, звичайно, застосовували та використовували у обчисленнях, але робили це абсолютно неточними способами, що вимагають великої кількостіданих для побудови моделі, більш-менш наближеної до реальності.
Сьогодні ми можемо навіть вибирати, який із способів інтерполяції підходить більше. Все переведено на комп'ютерну мову, яка з величезною точністю може передбачати поведінку функції певній ділянці, обмеженій відомими точками.
Інтерполяція є досить вузьке поняття, тому її історія не така багата фактами. У наступному розділі розберемося, що таке інтерполяція насправді та чим вона відрізняється від своєї протилежності – екстраполяції.
Що таке інтерполяція?
Як ми вже говорили, ця загальна назва способів, що дозволяють побудувати графік по точках. У школі в основному це роблять за допомогою складання таблиці, виявлення точок на графіку та зразкової побудови ліній, що їх з'єднують. Остання діяробиться з міркувань схожості досліджуваної функції інші, вид графіків яких відомий.
Однак є інші, складніші і точніші способи виконати поставлене завдання побудови графіка по точках. Отже, інтерполяція - це власне " передбачення " поведінки функції конкретному ділянці, обмеженому відомими точками.
Існує схоже поняття, пов'язане з цією ж областю - екстраполяція. Вона є також передбачення графіка функції, але поза відомих точок графіка. При такому способі пророцтво робиться на основі поведінки функції на відомому проміжку, і потім ця функція застосовується і для невідомого проміжку. Такий спосіб дуже зручний для практичного застосуваннята активно використовується, наприклад, в економіці для прогнозування зльотів та падіння на ринку та для передбачення демографічної ситуації в країні.
Але ми відійшли від основної теми. У наступному розділі розберемося, яка буває інтерполяція та за допомогою яких формул можна зробити цю операцію.
Види інтерполяції
Самим простим виглядомє інтерполяція шляхом найближчого сусіда. За допомогою цього способу ми отримуємо приблизний графік, що складається з прямокутників. Якщо ви бачили хоч раз пояснення геометричного сенсу інтеграла на графіку, то зрозумієте, про який графічний вигляд мова йде.
Крім цього, існують інші методи інтерполяції. Найвідоміші та найпопулярніші пов'язані з багаточленами. Вони більш точні і дозволяють передбачати поведінку функції за досить мізерного набору значень. Першим методом інтерполяції, що ми розглянемо, буде лінійна інтерполяція багаточленами. Це найпростіший спосіб із даної категорії, і ним напевно кожен із вас користувався у школі. Суть його полягає у побудові прямих між відомими точками. Як відомо, через дві точки площини проходить єдина пряма, рівняння якої можна знайти, виходячи з координат даних точок. Побудувавши ці прямі, ми отримуємо ламаний графік, який так-сяк, але відображає приблизні значення функцій і в загальних рисах збігається з реальністю. Так здійснюється лінійна інтерполяція.
Ускладнені види інтерполяції
Є цікавіший, але при цьому більше складний спосібінтерполяції. Його вигадав французький математик Жозеф Луї Лагранж. Саме тому розрахунок інтерполяції за цим методом названо його ім'ям: інтерполяція за методом Лагранжа. Фокус тут ось у чому: якщо спосіб, викладений у попередньому абзаці, використовує для розрахунку лише лінійну функцію, то розкладання методом Лагранжа передбачає також використання багаточленів більше високих ступенів. Але не так просто знайти самі формули інтерполяції для різних функцій. І що більше точок відомо, то точніше виходить формула інтерполяції. Але є й безліч інших методів.
Існує і більш досконалий та наближений до реальності метод розрахунку. Формула інтерполяції, що використовується в ньому, є сукупністю многочленів, застосування кожного з яких залежить від ділянки функції. Такий метод називається сплайн-функцією. Крім того, є ще й способи, що дозволяють провести таку річ, як інтерполяція двох змінних функцій. Тут лише два методи. Серед них є білінійна або подвійна інтерполяція. Цей спосіб дозволяє легко побудувати графік по точках в тривимірному просторі. Інші методи торкатися не будемо. Взагалі, інтерполяція - це універсальне називання всім цих методів побудови графіків, але різноманіття методів, якими можна здійснити цю дію, змушує ділити їх у групи залежно від виду функції, яка підлягає цьому дії. Тобто інтерполяція, приклад якої ми розглянули вище, стосується прямих способів. Існує також зворотна інтерполяція, яка відрізняється тим, що дозволяє обчислити не пряму, а зворотну функцію (тобто x від y). Розглядати останні варіанти ми не будемо, оскільки це досить складно і потребує хорошої математичної бази знань.
Перейдемо до, мабуть, одного з найважливіших розділів. З нього ми дізнаємося, як і де обговорювана нами сукупність методів застосовується у житті.
Застосування
Математика, як відомо, є царицею наук. Тому навіть якщо ви спершу не бачите сенсу в тих чи інших операціях, це не означає, що вони марні. Ось, наприклад, здається, що інтерполяція – це марна річ, за допомогою якої тільки графіки будувати можна, які зараз мало кому потрібні. Проте за будь-яких розрахунках у техніці, фізиці та багатьох інших науках (наприклад, біології), дуже важливо представляти досить повну картину явище, маючи у своїй певний набір значень. Самі значення, розкидані за графіком, який завжди дають чіткі ставлення до поведінці функції конкретному ділянці, значеннях її похідних і точок перетину з осями. А це дуже важливо для багатьох областей нашого з вами життя.
А як це знадобиться у житті?
На подібне запитання дуже складно відповісти. Але відповідь проста: ніяк. Саме ці знання вам не знадобляться. А от якщо ви зрозумієте цей матеріал і методи, за допомогою яких здійснюються ці дії, ви потренуєте свою логіку, яка в житті стане в нагоді. Головне - не самі знання, а ті навички, які людина набуває у процесі вивчення. Адже недарма існує приказка: "Століття живи - століття вчися".
Суміжні поняття
Ви можете самі зрозуміти, наскільки важливою була (і досі не втрачає свою важливість) ця галузь математики, глянувши на різноманітність інших концепцій, пов'язаних із цією. Ми вже говорили про екстраполяцію, але є ще й апроксимація. Можливо, ви вже чули це слово. У будь-якому разі те, що воно означає, ми теж розбирали у цій статті. Апроксимація, як і інтерполяція, - це поняття, пов'язані з побудовою графіків функцій. Але відмінність першої від другої в тому, що вона є приблизною побудовою графіка на основі подібних відомих графіків. Ці два поняття дуже схожі між собою і тим цікавіше вивчати кожне з них.
Висновок
Математика – не така складна наука, як здається на перший погляд. Вона радше цікава. І у цій статті ми спробували вам це довести. Ми розглянули поняття, пов'язані з побудовою графіків, дізналися, що таке подвійна інтерполяція, і розібрали на прикладах, де вона застосовується.
Це розділ із книги Білла Джелена.
Завдання: деякі інженерні проблеми проектування вимагають використання таблиць для обчислення параметрів. Оскільки таблиці дискретні, дизайнер використовує лінійну інтерполяцію для отримання проміжного значення параметра. Таблиця (рис. 1) включає висоту над землею (керуючий параметр) і швидкість вітру (параметр, що розраховується). Наприклад, якщо треба знайти швидкість вітру, що відповідає висоті 47 метрів, слід застосувати формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.
Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі
Як бути, якщо існує два параметри, що управляють? Чи можна виконати обчислення за допомогою однієї формули? У таблиці (рис. 2) показано значення тиску вітру для різних висот та величин прольоту конструкцій. Потрібно обчислити тиск вітру на висоті 25 метрів та величині прольоту 300 метрів.
Рішення: проблему вирішуємо шляхом розширення методу, що використовується для випадку з одним параметром, що управляє. Виконайте наступні дії.
Почніть із таблиці, зображеної на рис. 2. Додайте вихідні осередки для висоти та прольоту в J1 та J2 відповідно (рис. 3).
Мал. 3. Формули в осередках J3: J17 пояснюють роботу мегаформули
Для зручності використання формул визначте імена (рис. 4).
Прослідкуйте за роботою формули послідовно переходячи від комірки J3 до комірки J17.
Шляхом зворотного послідовного встановлення зберіть мегаформулу. Скопіюйте текст формули з комірки J17 до J19. Замініть у формулі посилання на J15 значення в осередку J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. І так далі. Вийде формула, що складається з 984 символів, яку неможливо сприйняти в такому вигляді. Ви можете подивитися на неї у доданому Excel-файлі. Не впевнений, що такі мегаформули корисні у використанні.
Резюме: лінійна інтерполяція використовується для отримання проміжного значення параметра, якщо табличні значення задані лише меж діапазонів; запропоновано метод розрахунку за двома керуючими параметрами.