D 0 приклади. Квадратні рівняння


Копіївська сільська середня загальноосвітня школа

10 способів розв'язання квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеєва Галина Анатоліївна,

вчитель математики

с.Коп'єво, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівнянняв Стародавньому Вавилоні

1.2 Як становив та вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал- Хорезмі

1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII ст.

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Висновок

Література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та земляними роботамивійськового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до зв. е. вавилоняни.

Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівеньрозвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методирозв'язання квадратних рівнянь.

1.2 Як становив та вирішував Діофант квадратні рівняння.

В «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, що супроводжуються поясненнями та вирішуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одне з його завдань.

Завдання 11.«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір – 96»

Діофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що шукані числа не рівні, оскільки якби вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х, Інше менше, тобто. 10 - х. Різниця між ними 2х .

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х = -2для Діофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи як невідоме одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до вирішення рівняння

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)


Зрозуміло, що, вибираючи як невідомий напіврізність шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання розв'язання неповного квадратного рівняння (1).

1.3 Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком та астрономом Аріабхаттою. Інший індійський вчений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ах 2+ b х = с, а > 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцієнти, крім аможуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскар.

Завдання 13.

«Мавп швидких зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи.

Їх у квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, у цій зграї?

Рішення Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскар пише під виглядом:

х 2 - 64х = -768

і, щоб доповнити ліву частинуцього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал – Хорезмі

В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати рівні корінням», тобто. ах 2 + с = b х.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто. ах 2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто. ах = с.

4) «Квадрати та числа рівні коріння», тобто. ах 2 + с = b х.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто. ах 2+ bx = с.

6) «Коріння і числа дорівнюють квадратам», тобто. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а чи не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім і геометричні докази.

Завдання 14.«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 корінням. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: розділи навпіл число коренів, отримаєш 5, помножиш 5 саме на себе, від твору забери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хорезмі є першою книгою, що дійшла до нас, в якій систематично викладено класифікацію квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII вв

Формули розв'язання квадратних рівнянь на зразок ал - Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Ця об'ємна праця, в якій відображено вплив математики як країн ісламу, так і Стародавню Грецію, Відзначається і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із «Книги абака» переходили майже у всі європейські підручники XVI – XVII ст. та частково XVIII.

Загальне правилорозв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду:

х 2 + bx = с,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b , збуло сформульовано у Європі лише 1544 р. М. Штифелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння в загальному виглядіє у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. Враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. Завдяки праці Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

1.6 Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 наступним чином: «Якщо B + D, помножене на A - A 2 , одно BD, то Aодно Уі одно D ».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, як і будь-яка голосна буква, означало в нього невідоме (наше х), голосні ж В, D- Коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає: якщо має місце

(а + b ) х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Вієт встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Однак символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.

2. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому лежить велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосуванняпри розв'язанні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних та трансцендентних рівнянь та нерівностей. Усі ми вміємо розв'язувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вишу.

Деякі завдання математики вимагають вміння обчислювати значення кореня квадратного. До таких завдань належить вирішення рівнянь другого порядку. У цій статті наведемо ефективний методобчислення квадратних коренів та використовуємо його при роботі з формулами коренів квадратного рівняння.

Що таке квадратний корінь?

У математиці цьому поняттю відповідає символ √. Історичні дані кажуть, що він почав використовуватися вперше приблизно у першій половині XVI століття у Німеччині (перша німецька праця з алгебри Крістофа Рудольфа). Вчені вважають, що вказаний символ є трансформованою латинською літерою r (radix означає "корінь" латиною).

Корінь із якогось числа дорівнює такому значенню, квадрат якого відповідає підкореному виразу. На мові математики це визначення виглядатиме так: x = y, якщо y 2 = x.

Корінь із позитивного числа (x > 0) є також числом позитивним (y > 0), проте якщо беруть корінь із негативного числа (x< 0), то его результатом уже будет комплексне число, Що включає уявну одиницю i.

Наведемо два простих приклади:

√9 = 3, оскільки 32 = 9; √(-9) = 3i, оскільки i 2 = -1.

Ітераційна формула Герона для знаходження значень коріння квадратного

Наведені вище приклади є дуже простими, і обчислення коренів у них не становить жодних труднощів. Складнощі починають з'являтися вже при знаходженні значень кореня для будь-якого значення, яке не може бути представлене у вигляді квадрата натурального числанаприклад, √10, √11, √12, √13, не кажучи вже про те, що на практиці необхідно знаходити коріння для нецілих чисел: наприклад √(12,15), √(8,5) тощо.

У всіх вищезгаданих випадках слід застосовувати спеціальний методобчислення кореня квадратного. В даний час таких методів відомо кілька: наприклад, розкладання в ряд Тейлора, поділ стовпчиком і деякі інші. З усіх відомих методів, мабуть, найпростішим і найефективнішим є використання ітераційної формули Герона, яка також відома як вавилонський спосіб визначення квадратних коренів (існують свідчення, що давні вавилоняни застосовували її у своїх практичних обчисленнях).

Нехай необхідно визначити значення x. Формула знаходження квадратного кореня має такий вигляд:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), де lim n->∞ (a n) => x.

Розшифруємо цю математичний запис. Для обчислення √x слід взяти деяке число a 0 (воно може бути довільним, однак для швидкого отримання результату слід вибирати його таким, щоб (a 0) 2 було максимально близько до x. Потім підставити його у вказану формулу обчислення квадратного кореня і отримати нове число a 1 , яке вже буде ближчим до шуканого значення.

Приклад застосування ітераційної формули Герона

Описаний вище алгоритм отримання кореня квадратного з деякого заданого числа для багатьох може звучати досить складно і заплутано, насправді ж все набагато простіше, оскільки ця формула сходиться дуже швидко (особливо якщо вибрано вдале число a 0).

Наведемо простий приклад: необхідно обчислити √11. Виберемо a 0 = 3, тому що 3 2 = 9, що ближче до 11, ніж 4 2 = 16. Підставляючи у формулу, отримаємо:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Далі немає сенсу продовжувати обчислення, оскільки ми отримали, що a 2 і a 3 починають відрізнятись лише у 5-му знаку після коми. Таким чином, достатньо було застосувати лише 2 рази формулу, щоб обчислити √11 з точністю до 0,0001.

В даний час широко використовуються калькулятори та комп'ютери для обчислення коренів, проте зазначену формулу корисно запам'ятати, щоб мати можливість вручну обчислювати їх точне значення.

Рівняння другого порядку

Розуміння того, що таке квадратний корінь, і вміння його обчислювати використовується при вирішенні квадратних рівнянь. Цими рівняннями називають рівності з однією невідомою, загальний вигляд яких наведено на малюнку нижче.

Тут c, b і a є деякі числа, причому a не повинно дорівнювати нулю, а значення c і b можуть бути абсолютно довільними, в тому числі і рівними нулю.

Будь-які значення ікса, що задовольняють вказаній на малюнку рівність, називаються його корінням (слід не плутати це поняття з квадратним коренем √). Оскільки аналізоване рівняння має 2-й порядок (x 2), то коріння йому може бути більше, ніж дві числа. Розглянемо далі у статті, як знаходити це коріння.

Знаходження коріння квадратного рівняння (формула)

Цей спосіб розв'язання типу рівностей також називається універсальним, або методом через дискримінант. Його можна використовувати для будь-яких квадратних рівнянь. Формула дискримінанта і коріння квадратного рівняння має такий вигляд:

З неї видно, що коріння залежить від значення кожного з трьох коефіцієнтів рівняння. Більше того, обчислення x 1 відрізняється від розрахунку x 2 лише знаком перед коренем квадратним. Підкорене вираз, що дорівнює b 2 - 4ac, є чим іншим, як дискримінантом аналізованої рівності. Дискримінант у формулі коренів квадратного рівняння відіграє важливу роль, оскільки визначає число і тип рішень. Так, якщо він дорівнює нулю, то рішення буде всього одне, якщо він позитивний, то рівняння має два дійсні коріння, нарешті, негативний дискримінант призводить до двох комплексних коренів x 1 і x 2 .

Теорема Вієта або деякі властивості коренів рівнянь другого порядку

Наприкінці XVI століття один із основоположників сучасної алгебри француз вивчаючи рівняння другого порядку, зміг отримати властивості його коріння. Математично їх можна записати так:

x 1 + x 2 = -b/a та x 1 * x 2 = c/a.

Обидві рівності легко може отримати кожен, для цього необхідно лише виконати відповідні математичні операціїз корінням, отриманим через формулу з дискримінантом.

Сукупність цих двох виразів можна по праву назвати другою формулою коренів квадратного рівняння, що дає можливість вгадувати його рішення, не використовуючи у своїй дискримінант. Тут слід зазначити, що хоча обидва вирази справедливі завжди, застосовувати їх для вирішення рівняння зручно тільки в тому випадку, якщо воно може бути розкладене на множники.

Завдання на закріплення здобутих знань

Розв'яжемо математичне завдання, в якому продемонструємо всі прийоми, що обговорюються у статті. Умови завдання такі: необхідно знайти два числа, котрим твір дорівнює -13, а сума становить 4.

Ця умова відразу нагадує про теорему Вієта, застосовуючи формули суми квадратного коріння та їх твори, записуємо:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c/a = -13.

Якщо припустити, що a = 1, тоді b = -4 та c = -13. Ці коефіцієнти дозволяють скласти рівняння другого порядку:

x 2 – 4x – 13 = 0.

Скористаємося формулою з дискримінантом, отримаємо наступне коріння:

x 1,2 = (4±√D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тобто завдання звелося до знаходження числа √68. Зауважимо, що 68 = 4 * 17, тоді, використовуючи властивість квадратного кореня, отримаємо: √68 = 2√17.

Тепер скористаємося розглянутою формулою квадратного кореня: a 0 = 4 тоді:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

У обчисленні a 3 немає необхідності, оскільки знайдені значення відрізняються лише на 0,02. Таким чином, √68 = 8,246. Підставляючи його у формулу для x 1,2 отримаємо:

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 і x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Як бачимо, сума знайдених чисел дійсно дорівнює 4, якщо ж знайти їх добуток, то він дорівнює -12,999, що задовольняє умові завдання з точністю до 0,001.

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не самих простих формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

  • у рішенні буде два корені;
  • відповіддю буде одне число;
  • коріння рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формулаквадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різні корені. При негативному числі коріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня – це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спершу розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

  • Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.
  • Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.
  • Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другим корисною порадоюта помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.

Бібліографічний опис:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Єльков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмельова О. В. Способи розв'язання квадратних рівнянь // Юний вчений. 2016. №6.1. С. 17-20..3.2019).





Наш проект присвячений способам розв'язання квадратних рівнянь. Мета проекту: навчитися вирішувати квадратні рівняння способами, які не входять до шкільної програми. Завдання: знайти все можливі способивирішення квадратних рівнянь та навчитися їх використовувати самим та познайомити однокласників з цими способами.

Що таке «квадратні рівняння»?

Квадратне рівняння- Рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c- Деякі числа ( a ≠ 0), x- Невідоме.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами квадратного рівняння.

  • a називається першим коефіцієнтом;
  • b називається другим коефіцієнтом;
  • c – вільним членом.

А хто ж перший "винайшов" квадратні рівняння?

Деякі алгебраїчні прийоми розв'язання лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому у Стародавньому Вавилоні. Знайдені стародавні вавилонські глиняні таблички, датовані десь між 1800 і 1600 роками до н.е., є ранніми свідченнями про вивчення квадратних рівнянь. На цих табличках викладено методи розв'язання деяких типів квадратних рівнянь.

Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й другого ступеня ще давнини була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок і із земляними роботами військового характеру, і навіть з недостатнім розвитком астрономії і самої математики.

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Вавилонські математики приблизно з IV століття до н. використовували метод доповнення квадрата для вирішення рівнянь з позитивним корінням. Близько 300 року до н. Евклід придумав загальніший геометричний метод рішення. Першим математиком, який знайшов рішення рівняння з негативним корінням у вигляді алгебраїчної формули, був індійський учений Брахмагупта(Індія, VII століття нашої ери).

Брахмагупта виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ax2 + bх = с, а>0

У цьому рівнянні коефіцієнти можуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмідається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати дорівнюють корінням», тобто ах2 = bх.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах2 = с.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах2 + с = bх.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи розв'язання зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.

Форми розв'язання квадратних рівнянь на зразок Аль-Хорезмі у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел.

Ця книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із цієї книги переходили майже до всіх європейських підручників XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків та коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі у 1544 р. М. Штіфелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллісеред перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютоната інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Розглянемо кілька способів розв'язання квадратних рівнянь.

Стандартні способи розв'язання квадратних рівнянь з шкільної програми:

  1. Розкладання лівої частини рівняння на множники.
  2. Метод виділення повного квадрата.
  3. Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
  4. Графічне рішенняквадратного рівняння.
  5. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.

Зупинимося докладніше на розв'язання наведених та не наведених квадратних рівнянь за теоремою Вієта.

Нагадаємо, що для вирішення наведених квадратних рівнянь достатньо знайти два числа такі, добуток яких дорівнює вільному члену, а сума - другому коефіцієнту з протилежним знаком.

приклад.x 2 -5x+6=0

Потрібно знайти числа, добуток яких дорівнює 6, а сума 5. Такими числами будуть 3 та 2.

Відповідь: x 1 =2, x 2 =3.

Але можна використовувати цей спосіб і для рівнянь з першим коефіцієнтом не рівним одиниці.

приклад.3x 2 +2x-5=0

Беремо перший коефіцієнт та множимо його на вільний член: x 2 +2x-15=0

Корінням цього рівняння будуть числа, добуток яких дорівнює - 15, а сума дорівнює - 2. Ці числа - 5 і 3. Щоб знайти коріння вихідного рівняння, отримане коріння ділимо на перший коефіцієнт.

Відповідь: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Розв'язання рівнянь способом "перекидання".

Розглянемо квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 де а≠0.

Помножуючи обидві його частини на а, отримуємо рівняння а 2 х 2 + abх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння у 2 + by + ас = 0, рівносильному даному. Його коріння у 1 та у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо х 1 = у 1/а та х 2 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт a множиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом "перекидання". Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перекинемо" коефіцієнт 2 до вільного члена і зробивши заміну отримаємо рівняння у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до зворотної теореми Вієта

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 = 2,5; у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Відповідь: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Якщо a + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1.

2. Якщо а – b + с = 0, або b = а + с, то х 1 = – 1.

приклад.345х 2 - 137х - 208 = 0.

Так як а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Відповідь: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

приклад.132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b + с = 0 (132 - 247 +115 = 0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Існують інші властивості коефіцієнтів квадратного рівняння. але їх використання складніше.

8. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Рис 1. Номограма

Це старий і нині забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь, вміщений с.83 збірки: Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0. Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити коріння рівняння.

Криволинійна шкала номограми побудована за формулами (рис. 1):

Вважаючи ОС = р, ED = q, ОЕ = а(Все в см), з рис.1 подоби трикутників САНі CDFотримаємо пропорцію

звідки після підстановок та спрощень випливає рівняння z 2 + pz + q = 0,причому буква zозначає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Мал. 2 Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми

приклади.

1) Для рівняння z 2 - 9z + 8 = 0номограма дає коріння z 1 = 8,0 та z 2 = 1,0

Відповідь: 8,0; 1.0.

2) Вирішимо за допомогою номограми рівняння

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2 отримаємо рівняння z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 та z 2 = 0,5.

Відповідь: 4; 0,5.

9. Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

приклад.х 2 + 10х = 39.

В оригіналі це завдання формулюється так: "Квадрат і десять коренів дорівнюють 39".

Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже площа кожного дорівнює 2,5x. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата АВСD, добудовуючи в кутах чотири рівні квадрати, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25

Мал. 3 Графічний спосіб розв'язання рівняння х 2 + 10х = 39

Площа S квадрата ABCD можна як суму площ: початкового квадрата x 2 , чотирьох прямокутників (4∙2,5x = 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25∙ 4 = 25) , тобто. S = х 2 + 10х = 25. Замінюючи х 2 + 10х числом 39, отримаємо що S = 39 + 25 = 64, звідки випливає, що сторона квадрата АВСD, тобто. відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата отримаємо

10. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Безу.

Теорема Безу. Залишок від розподілу многочлена P(x) на двочлен x - α дорівнює P(α) (тобто значення P(x) при x = α).

Якщо число α є коренем многочлена P(x), цей многочлен ділиться на x -α без залишку.

приклад.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Розділимо Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1 = 0; х=1, або х-3=0, х=3; Відповідь: х1 =2, х2 =3.

Висновок:Вміння швидко і раціонально вирішувати квадратні рівняння просто необхідне для вирішення складніших рівнянь, наприклад, дробово-раціональних рівнянь, рівнянь вищих ступенів, біквадратних рівнянь, а у старшій школі тригонометричних, показових та логарифмічних рівнянь. Вивчивши всі знайдені способи розв'язання квадратних рівнянь, ми можемо порадити однокласникам, крім стандартних способів, Рішення способом перекидання (6) і рішення рівнянь за якістю коефіцієнтів (7), так як вони є більш доступними для розуміння.

Література:

  1. Брадіс В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.
  2. Алгебра 8 клас: підручник для 8 кл. загальноосвіт. установ Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков К. І., Суворова С. Б. за ред. С. А. Теляковського 15-те вид., Дораб. - М: Просвітництво, 2015
  3. https://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. / За ред. В.М. Молодшого. - М: Просвітництво, 1964.

Більше простим способом. Для цього винесіть z за дужки. Ви отримаєте : z(аz + b) = 0. Множники можна розписати: z = 0 і аz + b = 0, тому що обидва можуть давати в результаті нуль. У записі аz + b = 0 перенесемо другий праворуч з іншим знаком. Звідси одержуємо z1 = 0 і z2 = -b/а. Це і є коріння вихідного.

Якщо є неповне рівняння виду аz² + с = 0, в даному випадку знаходяться простим перенесеннямвільного члена у праву частину рівняння. Також поміняйте у своїй його знак. Вийде запис аz² = -с. Виразіть z² = -с/а. Візьміть корінь і запишіть два рішення – позитивне та негативне значення кореня квадратного.

Зверніть увагу

За наявності в рівнянні дробових коефіцієнтів помножте все рівняння на відповідний множник так, щоб позбавитися дробів.

Знання про те, як вирішувати квадратні рівняння, необхідно і школярам, ​​і студентам, іноді це може допомогти і дорослій людині звичайного життя. Є кілька певних методів рішень.

Розв'язання квадратних рівнянь

Квадратне рівняння виду a*x^2+b*x+c=0. Коефіцієнт х є шуканою змінною, a, b, c - числові коефіцієнти. Пам'ятайте, що знак "+" може змінюватися на знак "-".

Для того, щоб вирішити дане рівняння, необхідно скористатися теоремою Вієта або знайти дискримінант. Найпоширенішим способом є знаходження дискримінанта, тому що при деяких значеннях a, b, c скористатися теоремою Вієта неможливо.

Щоб знайти дискримінант (D) необхідно записати формулу D=b^2 - 4*a*c. Значення D може бути більшим, меншим або дорівнює нулю. Якщо D більше або менше нуля, то кореня буде два, якщо D = 0, то залишається лише один корінь, більш точно можна сказати, що D у цьому випадку має два рівнозначні корені. Підставте відомі коефіцієнти a, b, c формулу і обчисліть значення.

Після того, як ви знайшли дискримінант, для знаходження х скористайтеся формулами: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, де sqrt - це функція, що означає вилучення квадратного кореня з цього числа. Порахувавши ці вирази, ви знайдете два корені вашого рівняння, після чого рівняння вважається вирішеним.

Якщо D менше нуля, він все одно має коріння. У школі цей розділ практично не вивчається. Студенти вузів повинні знати, що з'являється негативне число під коренем. Від нього позбавляються виділяючи уявну частину, тобто -1 під коренем завжди дорівнює уявному елементу «i», який множиться на корінь з таким самим позитивним числом. Наприклад, якщо D=sqrt(-20), після перетворення виходить D=sqrt(20)*i. Після цього перетворення рішення рівняння зводиться до такого ж знаходження коренів, як було описано вище.

Теорема Вієта полягає у підборі значень x(1) та x(2). Використовується два тотожні рівняння: x(1) + x(2)=-b; x(1)*x(2)=с. Причому дуже важливим моментомє знак перед коефіцієнтом b, пам'ятайте, що цей знак протилежний тому, що стоїть у рівнянні. З першого погляду здається, що порахувати x(1) і x(2) дуже просто, але при вирішенні ви зіткнетеся з тим, що числа доведеться саме підбирати.

Елементи розв'язання квадратних рівнянь

За правилами математики деякі можна розкласти на множники: (a+x(1))*(b-x(2))=0, якщо за допомогою формул математики вдалося перетворити подібним чином це квадратне рівняння, то сміливо записуйте відповідь. x(1) і x(2) дорівнюватимуть поряд стоять коефіцієнтам у дужках, але з протилежним знаком.

Також не варто забувати про неповні квадратні рівняння. У вас може бути якийсь із доданків, якщо це так, то всі його коефіцієнти просто дорівнюють нулю. Якщо перед x^2 або x нічого не варте, то коефіцієнти а і b дорівнюють 1.