Розв'язання рівнянь із заміною змінної. Інтегрування методом заміни змінної
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Урок та презентація на тему: "Метод заміни змінної. Приклади"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
1С: Школа. Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10–11 класів
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
Цей метод досить часто зустрічається при розв'язанні рівнянь, і ми з вами ним не раз користувалися. Його можна використовувати у таких випадках:
- Якщо вихідне рівняння $f(x)=0$ має складний вигляд, але його вдалося перетворити на рівняння виду $h(g(x))=0$.
- Потрібно зробити заміну змінних $u=g(x)$.
- Вирішити рівняння $h(u)=0$, знайти коріння $u_1$, $u_2$, $u_n$.
- Ввести зворотну заміну $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Вирішити кожне із рівнянь $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Коріння кожного із рівнянь і будуть рішеннями вихідного рівняння.
приклад.
Розв'язати рівняння: $8x^6+7x^3-1=0$.
Рішення.
Введемо заміну $y=x^3$. Тоді наше рівняння зводиться до квадратного рівняння:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ і $y_2=-1$.
На даному етапі при вирішенні складніших рівнянь слід перевірити отримані корені.
Введемо зворотну заміну: $x^3=\frac(1)(8)$ і $x^3=-1$.
Коріння даних рівнянь знайти легко: $x_1=\frac(1)(2)$ і $x_2=-1$.
Відповідь: $ х = 0,5 $ і $ х = -1 $.
приклад.
Вирішити рівняння: $ sqrt (frac (2x + 3) (2x-1)) + 4 sqrt (frac (2x-1) (2x +3)) = 4 $.
Рішення.
Проведемо рівносильні перетворення:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3)(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( -1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Введемо заміну: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, тоді наше рівняння зводиться до $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, звідки $u=2$.
Введемо зворотну заміну: $ sqrt (frac (2x + 3) (2x-1)) = 2 $.
$2x+3=4(2x-1)$, вирішивши лінійне рівняння $х=1\frac(1)(6)$.
приклад.
Розв'язати рівняння: $2^x+2^(1-x)=3$.
Рішення.
Наше рівняння зводиться до рівносильному рівнянню: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Введемо заміну: $ t = 2 ^ x $.
$ t + \ frac (2) (t) = 3 $,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ і $t_2=1$.
Введемо зворотну заміну: $2^x=2$ і $2^x=1$. Звідки: $ х = 1 $ і $ х = 0 $.
Відповідь: $ х = 1 $ і $ х = 0 $.
приклад.
Розв'язати рівняння: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Рішення.
Перетворимо наше рівняння.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Вихідне рівняння дорівнює рівнянню: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Введемо заміну: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$ (4u + 5) (u-1) = 0 $.
Введемо зворотну заміну: $lgx=-1,25$ і $lgx=1$.
Відповідь: $x=10^(-\frac(5)(4))$ і $x=10$.
приклад.
Розв'язати рівняння: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Рішення.
Введемо заміну: $ cos (x) - sin (x) = y $.
Тоді: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
Вихідне рівняння рівносильне:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Введемо зворотну заміну: $cos(x)-sin(x)=13$ - зрозуміло, що рішень немає, оскільки косинус і синус обмежені по модулю одиницею.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - помножимо обидві частини рівняння на $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (cases) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end (cases)$
$\begin (cases) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end (cases)$
Відповідь: $x=\frac(π)(2)+2πn$ і $π+2πn$.
Завдання для самостійного вирішення
Розв'язати наступні рівняння:1. $ x ^ 8 +3 x ^ 4-4 = 0 $.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Розв'язання рівнянь методом заміни змінних
Більшість життєвих завдань
вирішуються як рівняння алгебри:
приведенням їх до найпростішого вигляду.
Л.Н.Толстой.
Мета уроку: організувати навчальну діяльність учнів з освоєння ними способів вирішення цілих рівнянь вищих ступенів шляхом заміни змінної; познайомити учнів із поняттями, прийомами розв'язання поворотних і симетричних рівнянь.
Завдання:освітня:продовжувати розвивати вміння застосовувати метод заміни
змінної під час вирішення рівнянь; формування вміння бачити той самий метод розв'язання рівнянь у різних ситуаціях; сформувати уявлення про методи та способи вирішення нестандартних завдань та рівнянь алгебри на рівні, що перевищує рівень державних освітніх стандартів;
розвиваюча:розвиток мислення учнів; розвиток пам'яті; розвиток
логічного мислення, здатність чітко формулювати свої думки; розвиток уяви учнів; розвиток мовлення.
виховна:виховання спостережливості; виховання акуратності
при виконанні записів на дошці та у зошиті; виховання самостійності і під час практичних работ.
Хід уроку
Організаційний момент.
Актуалізація та систематизація знань.
Завдання №1. Розгадайте кросворд. Відповіді записуйте тільки в називному відмінку.
По горизонталі:4.Чим є вираз для квадратного рівняння? (дискримінант)
6.Значення змінної, коли він рівняння звертається у правильне рівність. (корінь)
8.Рівняння виду 
, де 
. (біквадратне)
9.Французький математик, що має відношення до квадратних рівнянь. (Вієт)
10.Рівняння, в якому ліва і права частини є цілими виразами. (ціле)
11. Рівняння з однією змінною, що мають однакову кількість коренів. (рівносильні)
По вертикалі:
1.Багато коренів рівняння. (Рішення)
2.Рішення рівняння 
. (нуль)
3.Рівність, що містить змінну. (Рівняння)
5.Квадратне рівняння, в якому один з коефіцієнтів b або дорівнює 0. (Неповне)
7. Квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює одиниці. (наведене)
Чому ми сьогодні присвятимо наше заняття? (Вирішення рівнянь )
Завдання №2. Яким чином ви б вирішували рівняння кожної з груп?
ВІДПОВІДІ:Приклади групи 1) краще вирішувати розкладанням на множники за допомогою винесення загального множника за дужки або формул скороченого множення.
Приклади групи 2) краще вирішувати способом угруповання та розкладання на множники.
Приклади групи 3) краще вирішувати введенням нової змінної та переходом до квадратного рівняння.
1 Який множник ви винесли б за дужки у прикладах групи 1?
ВІДПОВІДІ:
Як ви згрупували б доданки в прикладах групи 2?
ВІДПОВІДІ:
Що ви позначили б через нову змінну в прикладах групи 3?
ВІДПОВІДІ:
Як можна розкласти на множники багаточленів 
?
ВІДПОВІДІ: .
Сьогодні на уроці ви покажете свої знання на тему «Рішення рівнянь методом заміни змінної»
Запишіть у зошитах тему уроку.
Сьогодні на занятті ми розглянемо один із способів розв'язання рівнянь вищих ступенів – метод заміни змінної; познайомимося з поняттями, прийомами розв'язання поворотних та симетричних рівнянь.
Мистецтво проводити заміну змінних полягає в тому, щоб побачити, яка заміна буде раціональніша і швидше призведе до успіху.
Завдання №3.
Розв'яжіть рівняння.(Завдання біля дошки одночасно вирішують 2 учні.)
а) (Перший учень вирішує біля дошки з поясненням.)
б) (Другий учень вирішує рівняння мовчки, потім пояснює рішення, клас слухає і запитує, якщо щось незрозуміло.)
1 ученьЗаміна: 
.
2 ученьЗаміна: 
.
(Додатково для тих, хто раніше впорався з попередніми рівняннями).
. .
3 учень
(Хід рішення учнями коментується з місця.)
РІШЕННЯ: Винесемо загальний множник: ,
звідки 
або 
, тобто. 
Відповідь: 
Поглиблення та розширення знань
Продовжуємо роботу. Ви бачите на слайді рівняння: х 4-5х3+6х2-5х+1=0.
Яким чином ви запропонуєте його вирішити? Як нам бути?
Чи можливо вирішити його в рамках шкільних програмз математики? Можна відповісти ні. Адже стандартні методирішення рівнянь у школі передбачають розв'язання рівнянь не вище другого ступеня. Але можна згадати, що окремі рівняння більш високих ступеніву школі таки вирішувалися. Щоправда, способи їх вирішення є творчим застосуванням. відомих способів, зведення їх до вирішення одного або декількох рівнянь ступеня не вище за другий.
Подивіться дуже уважно це рівняння? Що ви помітили ?(у цьому рівнянні коефіцієнти рівновіддалені від кінців рівні)
Діти, рівняння такого виду, коли коефіцієнти, рівновіддалені від кінців збігаються, називаються зворотними. Це рівняння зводиться до квадратного за допомогою підстановки.
Пропоную вам наступний алгоритм їх вирішення:
Алгоритм розв'язання поворотних рівнянь.
1. Розділити обидві частини рівняння на х 2 .
2. Згрупувати доданки (перший з останнім, другий з четвертим).
Привести рівняння до вигляду а
+ с = 0
3.Ввести нову змінну t = , Тоді виконано t 2 = , тобто. = t 2 - 2.
4. Виконати підстановку та розв'язати квадратне рівняння.
5. Повернутися до заміни і розв'язати рівняння.
6. Записати відповідь.
Діти вивчають алгоритм.
Учень біля дошки за алгоритмом та за допомогою вчителя вирішує рівняння, решта пишуть у зошитах.
6х 4 - 5х 3 - 38x 2 - 5х + 6 = 0.
Рішення.
6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.
6 (х 2 + 1 / х 2) - 5 (х + 1 / х) - 38 = 0.
Вводимо t: підстановка (x+1/x) = t. Заміна: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, маємо:
6t 2 - 5t - 50 = 0.
t = -5/2 чи t = 10/3.
Повернемося до змінної х. Після зворотної заміни вирішимо два отримані рівняння:
1) x + 1/x = -5/2;
х 2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 чи х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
х 2 - 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 чи х = 1/3.
Відповідь: -2; -1/2; 1/3; 3.
У проблему рівнянь 3-го і 4-го ступенів великий внесок зробили італійські математики 16 століття Н.Тарталья, А.Фіоре, Д.Кардано та ін. останній здобув перемогу. Він за 2 години вирішив 30 завдань, запропонованих Фіоре, а сам Фіоре не зміг вирішити жодної, заданої йому Тарталля.
Хлопці, і ще одне рівняння, я хочу вам сьогодні запропонувати, я його взяла зі збірки завдань для підготовки до ОДЕ.
. ((х + 1) (x + 4)) ((х + 2) (x + 3)) = 24,
(Х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х + 6) = 24.
Зробивши заміну х 2 + 5х + 4 = t, маємо рівняння
t(t + 2) = 24, воно є квадратним:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 чи t = 4.
Після виконання зворотної заміни легко знаходимо коріння вихідного рівняння.
Відповідь: -5; 0.
Творче перенесення знань та навичок у нові умови.
На початку уроку говорили про те, що якщо в рівнянні є елементи, що повторюються, то можна застосовувати метод заміни змінної. Ми ще не вміємо вирішувати тригонометричні та ірраціональні рівняння. Давайте подивимося, чи зможемо ми застосовувати до них цей метод, якщо знатимемо, як вирішувати найпростіші тригонометричні та ірраціональні рівняння.
Завдання 1:Назвати заміну змінної у наступних рівняннях.
Завдання 2:Скласти кілька рівнянь, основу розв'язання яких лежить метод заміни змінної.
Підбиття підсумків.
Отже, хлопці, наш урок добіг кінця. Давайте підіб'ємо підсумки нашого уроку.
Яку мету ми ставили на початку уроку?
Наших цілей досягнуто?
Що нового ми дізналися на уроці?
Домашнє завдання.
4х 4 - 8х 3 + 3х 2 - 8х + 4 = 0
(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40
. (Рівняння італійських математиків)
А закінчити урок мені хочеться словами великого вченого Ейнштейна А.:
«Мені доводиться ділити свій час між політикою та рівняннями. Проте рівняння, на мою думку, набагато важливіше, тому що політика існує тільки для цього моменту, а рівняння існуватиме вічно».
Дякую за урок! До побачення!
Математика – це свердловина, якою логічний розум може підглядати за ідеальним світом.
Кротов Віктор
У школі чільне місце у курсі алгебри займають раціональні рівняння. Саме на їх вивчення часу приділяється більше, ніж на будь-які інші теми. Пов'язано це насамперед із тим, що рівняння мають як важливе теоретичне значення, а й служать багатьом практичним цілям. Величезна кількість завдань реального світузводяться саме до розв'язання різних рівнянь, і тільки після того, як ви опануєте способи їх вирішення, ви знайдете відповіді на різні питання науки і техніки.
Для формування вміння вирішувати раціональні рівняння самостійна робота учня має величезне значення. Однак перед тим як переходити саме до самостійної роботи, необхідно чітко знати та вміти застосовувати на практиці все можливі методирозв'язання раціональних рівнянь.
Розглянемо докладно на прикладах метод заміни зміннихдля розв'язання раціональних рівнянь.
приклад 1.
Розв'язати рівняння (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Рішення.
Перепишемо рівняння у вигляді
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Зробимо заміну. Нехай 2x 2 – 3x = t, тоді рівняння набуде вигляду:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Тепер розкриємо дужки та наведемо подібні, отримаємо:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
У неповному, що вийшов квадратному рівняннівинесемо спільний множник за дужки, матимемо:
t = 0 чи t = 9.
Тепер необхідно зробити зворотну заміну та вирішити кожне з отриманих рівнянь:
2x 2 – 3x = 0 або 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 або x = 3/2 x = 3 або x = -3/2
Відповідь: -1,5; 0; 1,5; 3.
приклад 2.
Розв'язати рівняння (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Рішення.
Застосуємо формулу квадрата різниці (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Запишемо вихідне рівняння у вигляді
(x 2 - 6x) 2 - 2 (x 2 - 6x + 9) = 81. Тепер можна зробити заміну.
Нехай x 2 – 6x = t, тоді рівняння матиме вигляд:
t 2 - 2 (t + 9) = 81.
t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t 2 - 2t - 99 = 0.
По теоремі Вієта корінням отриманого рівняння будуть числа -9 та 11.
Зробимо зворотну заміну:
x 2 - 6x = -9 або x 2 - 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 - 2√5.
Відповідь: 3 – 2√5; 3; 3+2√5.
приклад 3.
Розв'язати рівняння (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 і знайти добуток його коріння.
Рішення.
Знайдемо «вигідний» спосіб угруповання множників і розкриємо пари дужок:
((x - 1) (x + 5)) ((x - 3) (x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Зробимо заміну x 2 + 4x = t, тоді рівняння виглядатиме так:
(t - 5) (t - 21) = 297.
Розкриємо дужки, наведемо такі складові:
t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t 2 - 26t - 192 = 0.
За теоремою Вієта визначаємо, що корінням отриманого рівняння будуть числа -6 та 32.
Після зворотної заміни матимемо:
x 2 + 4x = -6 або x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Немає коріння x 1 = -8; x 2 = 4
Знайдемо добуток коріння: -8 · 4 = -32.
Відповідь: -32.
приклад 4.
Знайти суму коренів рівняння (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x2.
Рішення.
Нехай x 2 – 2x + 2 = t, тоді рівняння набуде вигляду:
t 2 + 3xt - 10x 2 = 0.
Розглянемо отримане рівняння як квадратне щодо t.
D = (3x) 2 - 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2; ≥≤
t 1 = (-3x - 7x) / 2 і t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x та t 2 = 2x.
Так як t = x 2 - 2x + 2, то
x 2 - 2x + 2 = -5x або x 2 - 2x + 2 = 2x. Вирішимо кожне з отриманих рівнянь.
x 2 + 3x + 2 = 0 або x 2 - 4x + 2 = 0.
Обидва рівняння мають коріння, т.к. D> 0.
За допомогою теореми Вієта можна дійти невтішного висновку, що сума коренів першого рівняння дорівнює -3, а другого рівняння 4. Отримуємо, що сума коренів вихідного рівняння дорівнює -3 + 4 = 1
Відповідь: 1.
Приклад 5.
Знайти корінь рівняння (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, що належить проміжку [-5; 10].
Рішення.
Нехай x = t - 3, тоді x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 і вихідне рівняння набуває вигляду:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Для зведення виразів у четвертий ступінь можна скористатися трикутником Паскаля (рис. 1); 
(t - 2) 4 = t 4 - 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 - 4t · 2 3 + 2 4;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 + 4t · 2 3 + 2 4 .
Після приведення подібних доданків отримаємо:
2t 4 - 2 · 6t 2 · 2 2 + 2 · 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 або t 2 = -24.
Друге рівняння немає коренів, отже t = 0 і після зворотної заміни
x = t - 3 = 0 - 3 = -3. Корінь рівняння -3 належить проміжку [-5; 10].
Відповідь: -3.
Як бачимо, при вирішенні раціональних рівнянь необхідно знати наведені вище формули та вміти правильно рахувати. Помилки ж найчастіше виникають при виборі заміни та при зворотній підстановці. Щоб цього уникнути, потрібно докладно розписувати кожну дію, тоді помилок у ваших рішеннях не буде.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.