Нестандартні методи розв'язання ірраціональних нерівностей та рівнянь. Нестандартні методи вирішення рівнянь та нерівностей

Нестандартні способирозв'язання квадратних рівнянь

учня 9 а класу

Керівник роботи:

Фірсова Дарина Євгенівна

вчитель математики

Людині, що вивчає алгебру, часто корисніше вирішити одну і ту ж задачу трьома у різний спосіб, Чим вирішувати три-чотири завдання. Вирішуючи одне завдання різними способами, можна шляхом порівняння з'ясувати, який із них коротший і ефективніший. Так виробляється досвід.

У.У. Сойєр (англійський математик XX століття)

Мета роботи

Вивчити все існуючі способирозв'язання квадратного рівняння. Навчитися використовувати ці методи.

Завдання

Зрозуміти, що називається квадратним рівнянням.
Дізнатися, які види квадратних рівнянь існують.
Знайти інформацію про способи розв'язання квадратного рівняння та вивчити її.

Актуальність теми: Вивченням квадратних рівнянь люди займалися ще з давніх-давен. Мені захотілося дізнатися історію розвитку квадратних рівнянь.

У шкільних підручниках дана не повна інформаціяпро квадратні рівняння та способи їх вирішення.

Об'єкт: Квадратні рівняння.

Предмет: Способи розв'язання даних рівнянь.

Методи дослідження: аналітичний.

Гіпотеза - якщо я при дослідженні даної теми зможу реалізувати постановлені мною цілі та завдання, то відповідно вийду і на реалізацію профільної підготовкиу галузі математичної освіти.

Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково-популярною літературою.
Спостереження, порівняння, аналіз.
Вирішення задач.

Очікувані результати: У ході вивчення даної роботи я реально зможу оцінити свій інтелектуальний потенціал і відповідно в майбутньому визначитися з профілем навчання, створити проектний продукт з досліджуваної теми у формі комп'ютерної презентації, вивчення даного питання дозволить мені компенсувати недостатність у знаннях із зазначеної теми.

Вважаю свою роботу перспективною, оскільки надалі цим матеріалом можуть скористатися і учні, для підвищення математичної грамотності, та вчителі на факультативних заняттях

Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру., а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до нашої ери вавилоняни. Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводячи лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівеньрозвитку алгебри у Вавилонії, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методирозв'язання квадратних рівнянь.

Як складав та вирішував Діофант

квадратні рівняння

РІВНЯННЯ:

«Знайти два числа, знаючи, що їхня сума дорівнює 20, а добуток 96»

Діофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що шукані числа нерівні, т.к. якби вони рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто. 10+X , інше ж менше, тобто. 10-X .

Різниця між ними 2 Х

Звідси Х = 2 . Одне з чисел, що шукають, дорівнює 12, інше 8. Рішення Х = -2 для Діофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

0 Одне із завдань знаменитого індійського математика XІІ століття Бхаскари Мавп швидких зграя Насолоду поївши, розважалася. Їх у квадраті частина восьма На галявині бавилася. А дванадцять по ліанах ... Стали стрибати повисаючи ... Скільки було мавпочок Ти скажи мені, в цій зграї? Відповідне завдання рівняння: Баскар пише під виглядом: Доповнив ліву частину до квадрата," width="640"

Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються і в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком та астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений Брахмагупта виклав загальне правилорозв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми: ax ² + bx = c, a0

Одне із завдань знаменитого індійського математика XІІ століття Бхаскари

Мавп швидких зграя

Насолоду поївши, розважалася.

Їх у квадраті частина восьма

На галявині бавилася.

А дванадцять по ліанах.

Стали стрибати повисаючи.

Скільки було мавпочок

Ти скажи мені, в цій зграї?

Відповідне завдання рівняння:

Баскара пише під виглядом:

Доповнив ліву частину до квадрата,

Квадратні рівняння у Стародавній Азії

х 2 +10 х = 39

Ось як вирішував це рівняння середньоазіатський учений ал-Хорезмі:

Він писав: "Правило таке:

роздвоє число коренів, х = 2х ·5

отримайте в цьому завданні п'ять, 5

помнож на це рівне йому, буде двадцять п'ять, 5 · 5 = 25

додай це до тридцяти дев'яти, 25+39

буде шістдесят чотири, 64

витягши з цього корінь, буде вісім, 8

і віднімай від цього половину числа коренів, тобто. 8-5

залишиться 3

це буде корінь квадрата, який ти шукав.

А друге коріння? Другий корінь не знаходили, оскільки негативні числа були відомі.

Квадратні рівняння у Європі XIII-XVII ст.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду х2+вх+с=0, було сформульовано в Європі лише у 1544 р. м. Штіфелем.

Формули розв'язання квадратних рівнянь у Європі були вперше викладені у 1202 р. італійським математиком

Леонардом Фібоначчі.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Лише у 17 ст. завдяки працям Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд

Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 р. Таким чином: «Якщо B+D, помножене на А-А, дорівнює BD, то А дорівнює В і дорівнює D» .

Щоб зрозуміти Вієта, слід пам'ятати, що А, як і будь-яка голосна буква, означало у нього невідоме (наше х), голосні ж B, D-коефіцієнти при невідомому.

Мовою сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає :

Якщо наведене квадратне рівняння x 2 +px+q=0має дійсне коріння, то їх сума дорівнює -p, а твір одно q, тобто x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q

(сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, А добуток коренів дорівнює вільному члену).

Розкладання лівої частини рівняння на множники
Теорема Вієта
Застосування властивостей коефіцієнтів квадратного рівняння
Розв'язання квадратних рівнянь способом «перекидання» старшого коефіцієнта
Метод виділення повного квадрата
Графічний спосіб розв'язання квадратних рівнянь
Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою циркуля та лінійки
Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми
Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь

Метод розкладання на множники

навести квадратне рівняння загального виглядудо вигляду:

А(х) В(х)=0,

де А(х) та В(х) – багаточлени щодо х.

Ціль:

Способи:

Винесення загального множника за дужки;
використання формул скороченого множення;
Спосіб угруповання.

Приклад:

: х 2 + 10х - 24 = 0

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = = (х + 12) (х - 2);

(х + 12) (х - 2) = 0;

х + 12 = 0 або х - 2 = 0;

х 1 = -12 х 2 = 2 ;

Числа – 12 та 2 є корінням даного рівняння.

Відповідь: х 1 = -12; х 2 = 2.

Розв'язання рівнянь за допомогою теореми Вієта

x 1 і х 2 – коріння рівняння

Наприклад :

Х 2 + 3Х – 10 = 0

Х 1 В·Х 2 = - 10, значить коріння мають різні

знаки

Х 1 + Х 2 = - 3, значить більший за модулем

корінь - негативний

Підбираємо коріння: Х 1 = - 5, Х 2 = 2

Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння

Нехай дано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0

Якщо а + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів

рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1 , х 2 = c/а

Якщо а - b + с = 0 , або b = а + с , то х 1 = – 1 , х 2 = – з/а .

приклад :

137х 2 + 20х – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b + c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Відповідь: 1;

0, по теоремі, зворотній теоремі Вієта, отримуємо коріння: 5; 6, далі повертаємося до коріння вихідного рівняння: 2,5; 3." width="640"

Розв'язання рівнянь способом «перекидання»

Коріння квадратних рівнянь ax 2 + bx + c = 0 і y 2 + by + ac = 0 пов'язані співвідношенням : х = y/а .

Розглянемо квадратне рівняння ax ² + bx + c = 0 , де a ≠ 0.Помножуючи обидві його частини на а , отримуємо рівняння а²х² + аbх + ас = 0. Нехай ах = у , звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння у² + bу + ас = 0 , рівносильного даному. Його коріння у 1 і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта. Остаточно отримуємо х 1 = y 1 /a і х 2 = y 2 /a .

Розв'яжіть рівняння: 2х 2 - 11х +15 = 0.

Перекинемо коефіцієнт 2 до вільного члена

у 2 - 11у +30 = 0. D0, по теоремі, зворотній теоремі Вієта, отримуємо коріння: 5; 6, далі повертаємося до коренів вихідного рівняння: 2,5; 3.

Метод виділення повного квадрата

х 2 + 6х - 7 = 0

Виділимо у лівій частині повний квадрат. Для цього запишемо вираз х 2 + 6ху наступному вигляді:

х 2 + 6х = х 2 + 2 · х · 3

В отриманому виразі перший доданок – квадрат числа х, а друге – подвоєний твір хна 3 , тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 , так як

х 2 + 2 · х · 3 + 3 2 = (х + 3) 2

Перетворимо тепер ліву частину рівняння х 2 + 6х - 7 = 0,додаючи до неї і віднімаючи 3 2 , маємо:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 · х · 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 – 16

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(х + 3) 2 –16 = 0 , тобто. (х + 3) 2 = 16 .

Отже, х + 3 - 4 = 0або х + 3 + 4 = 0

х 1 = 1 х 2 = -7

Відповідь: -7; 1.

Графічний спосіб розв'язання квадратного рівняння

Не використовуючи формул квадратне рівняння можна вирішити графічним

способом. Розв'яжемо рівняння

Для цього збудуємо два графіки:

Абсцис точок перетину графіків і буде корінням рівняння.

Якщо графіки перетинаються у двох точках, то рівняння має два корені.

Якщо графіки перетинаються в одній точці, рівняння має один корінь.

Якщо графіки не перетинаються, рівняння коренів немає.

Відповідь:

Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою

циркуля та лінійки

1. Виберемо систему координат.

2. Побудуємо точки S (-b/ 2 а; а+з/ 2 а) – центр кола та А( 0; 1 ) .

3. Проведемо коло з радіусом SA .

Абсциси точок перетину кола з віссю Ох є корінням цього квадратного рівняння.

x 1

x 2

Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми

Це старий та незаслужено забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь, вміщений на с.83 «Чотиризначні математичні таблиці» Брадіс В.М.

Для рівняння

номограма дає коріння

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння

Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити коріння рівняння.

Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь

Приклад, що став знаменитим, з Алгебри ал - Хорезмі: х 2 + 10х = 39. В оригіналі це завдання формулюється так: «Квадрат і десять коренів дорівнюють 39».

S = x 2 + 10 x + 25 (х 2 + 10 х = 39 )

S = 39 + 25 = 64 звідки слід,

що сторона квадрата АВСD ,

тобто. відрізок АВ = 8 .

х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

На підставі опитування встановлено, що:

Найбільш складними виявилися такі способи:

Розкладання лівої частини рівняння на множники,

Метод виділення повного квадрата.

Раціональні методи вирішення:

Розв'язання квадратних рівнянь за формулою;

Розв'язання рівнянь з використанням теореми Вієта

Практичного застосування не має

Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

Ніколи раніше не чули про способи:

застосування властивостей коефіцієнтів квадратного рівняння;

За допомогою номограми;

Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою циркуля та лінійки;

Спосіб «перекидання» (цей спосіб викликав інтерес у учнів).

Висновок

дані прийоми рішення заслуговують на увагу, оскільки вони не всі відображені в шкільних підручниках математики;

оволодіння даними прийомами допоможе учням економити час та ефективно вирішувати рівняння;

потреба у швидкому вирішенні обумовлена застосуванням тестової системи вступних іспитів;

ДЯКУЄМО ЗА УВАГА!

«Нестандартні методи розв'язування рівнянь»

Кубанова Ольга Миколаївна, вчитель математики,

МБОУ «Плесецька середня школа»

« Процес вирішення рівняння -

Існує просто акт приведення його до більш простої форми.

Але у деяких формах його нелегко прочитати.

Рішення його аналогічне перекладу

незнайомої фрази зрозумілою нам мовою»

Для вирішення більшості рівнянь, що зустрічаються на іспитах, достатньо володіти шкільним курсом математики, але при цьому необхідно вміти їх вирішувати не лише за допомогою стандартних прийомів, призначених для певних типів рівнянь, а й тими «нестандартними» методами, про які я хочу розповісти.

Суть цих методів – реалізувати «інший погляд» на завдання, що дозволяє, не виходячи за межі шкільної програмиСуттєво спростити вирішення деяких завдань, тобто ми будемо застосовувати добре відомі твердження, але в ситуаціях, де ними користуються порівняно рідко.

Поряд з основним завданням навчання математики – забезпеченням міцного та свідомого оволодіння учнями системою математичних знань та умінь, нестандартні методи передбачають формування сталого інтересу до предмета, виявлення та розвиток математичних здібностей у дітей, а також підвищення якості навчання математики.

Я зупинюся на методі, де для вирішення рівнянь використовуються властивості функцій, що входять до рівняння.

Дослідження області визначень та області значень функцій:

Зауважимо, що і і

Тому рівність неможлива.

Відповідь: немає коріння.

Властивості монотонності функцій:

Це рівняння можна вирішити стандартним способом, А можна простіше. У лівій частині рівняння – зростаюча функція, а правої – спадна. Отже, це рівняння не може мати більше одного кореня. Число 1 – корінь рівняння, що можна перевірити підстановкою.

Зводити в п'яту міру є безперспективним. Нехай тоді. Розглянемо функції: і . Ці функції взаємно зворотні, зростає, то рівнозначно рівнянню.

Корінь один, т.к. ліворуч – зростаюча функція, праворуч – спадна функція.

Використання «невід'ємності» функцій:

Всі складові лівої частини невід'ємні, отже рівність можлива, тільки якщо кожен із доданків дорівнює нулю.

Ці дві рівності суперечать одна одній. Система немає рішень.

Відповідь: рішень немає.

Щоб використовувати ці методи для вирішення рівнянь, необхідно добре знати теоретичний матеріал. Використовуючи ці методи, заощаджується час, що дозволяє вирішити більше завдань. А це важливо при написанні контрольних робіті здачі ЄДІ.

Властивості функцій:

Т-1:

Використання суперпозицій функцій:

Т -2:

"Невід'ємність" функцій.

Властивості функцій:

Область визначення та область значення квадратного кореня.

Властивості монотонності функції:

Т-1:Нехай у = f (х) - функція, що зростає на проміжку L , а у = g (x) - функція, що зменшується на цьому ж проміжку L . Тоді рівняння f (x) = g (x) має на проміжку L не більше одного кореня.

Використання суперпозицій функцій:

Т -2:Якщо функції f (x) і g (x) взаємно зворотні і функція f (x) зростає, то рівняння f (x) = g (x) і рівняння f (x) = x рівносильні.

"Невід'ємність" функцій.

Властивості функцій:

Область визначення та область значення квадратного кореня.

Властивості монотонності функції:

Використання суперпозицій функцій:

"Невід'ємність" функцій.

Російський філолог Дмитро Миколайович Ушаков у своєму тлумачному словникудає таке визначення поняття «метод» - шлях, спосіб, прийом теоретичного дослідження чи практичного здійснення чогось (Д. М. Ушаков, 2000).

Які ж методи навчання розв'язання задач з математики, які ми вважаємо зараз нестандартними? Універсального рецепту, на жаль, ніхто не вигадав, враховуючи унікальність даних завдань. Деякі вчителі натягують у шаблонних вправах. Відбувається це так: вчитель показує спосіб розв'язання, а потім учень повторює це при вирішенні завдань багаторазово. При цьому вбивається інтерес учнів до математики, що щонайменше сумно.

У математиці немає будь-яких загальних правил, що дозволяють вирішити будь-яку нестандартну задачу, оскільки такі завдання певною мірою неповторні. Нестандартне завдання здебільшого сприймається як «виклик інтелекту, і породжує потреба реалізувати себе у подоланні перешкоди, у розвитку творчих здібностей» .

Розглянемо кілька методів вирішення нестандартних завдань:

· Алгебраїчний;
· Арифметичний;
· Метод перебору;
· Метод міркування;
· Практичний;
· Метод припущення.

Алгебраїчний методвирішення завдань розвиває творчі здібності, Здатність до узагальнення, формує абстрактне мислення і має такі переваги, як стислість запису і міркувань при складанні рівнянь, економить час.

Для того щоб вирішити задачу методом алгебри необхідно:

· Провести розбір завдання з метою вибору основного невідомого та виявлення залежності між величинами, а також вираження цих залежностей математичною мовою у формі двох алгебраїчних виразів;
· Знайти основу для з'єднання цих виразів знаком «=» і скласти рівняння;
· Визначити рішення отриманого рівняння, організувати перевірку рішення рівняння.

Усі ці етапи розв'язання задачі логічно пов'язані між собою. Наприклад, про пошуки підстави для з'єднання двох виразів алгебри знаком рівності ми згадуємо як про особливий етап, але ясно, що на попередньому етапі зазначені вирази утворюються не довільно, а з урахуванням можливості з'єднати їх знаком «=».

Як виявлення залежностей між величинами, так і переклад цих залежностей математичною мовою вимагає напруженої аналітико-синтетичної розумової діяльності. Успіх у цій діяльності залежить, зокрема від того, чи знають учні, у яких відносинах взагалі можуть знаходитися ці величини, і чи розуміють вони реальний зміст цих відносин (наприклад, відносин, виражених термінами «пізніше на…», «старше в…раз») " і т.п.). Далі потрібно розуміння, якою саме математичною дією або, властивістю дії або яким зв'язком (залежністю) між компонентами та результатом дії може бути описано те чи інше конкретне відношення.

Наведемо приклад розв'язання нестандартного завдання методом алгебри.

Завдання. Рибалка спіймав рибу. Коли його запитали: «Яка її маса?», він відповів: «Маса хвоста - 1кг, маса голови така сама, як маса хвоста і половини тулуба. А маса тулуба така, як маса голови та хвоста разом». Яка маса риби?

Нехай х кг – маса тулуба; тоді (1+1/2х) кг – маса голови. Оскільки за умовою маса тулуба дорівнює сумі мас голови та хвоста, складаємо та вирішуємо рівняння:

х = 1 + 1/2х + 1,

4 кг - маса тулуба, тоді 1+1/2 4=3 (кг) - маса голови та 3+4+1=8 (кг) - маса всієї риби;

Відповідь: 8 кг.

Арифметичний методрішення також вимагає великого розумового напруження, що позитивно позначається розвитку розумових здібностей, математичної інтуїції, на формуванні вміння передбачати реальну життєву ситуацію.

Розглянемо приклад вирішення нестандартного завдання арифметичним методом:

Завдання. У двох рибалок запитали: Скільки риби у ваших кошиках?

«У моєму кошику половина того, що у кошику у нього, та ще 10», - відповів перший. «А у мене в кошику стільки, скільки в нього та ще 20», - підрахував другий. Ми порахували, а тепер порахуйте ви.

Побудуємо схему до завдання. Позначимо першим відрізком схеми кількість риби у першого рибалки. Другим відрізком позначимо кількість риби у другого рибалки.

В зв'язку з тим що сучасній людинінеобхідно мати уявлення про основні методи аналізу даних та ймовірнісні закономірності, що відіграють важливу роль у науці, техніці та економіці, у шкільний курс математики вводять елементи комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики, в яких зручно розбиратися за допомогою методу перебору.

Включення комбінаторних завдань у курс математики надає позитивний вплив в розвитку школярів. «Цілеспрямоване навчання рішенню комбінаторних завдань сприяє розвитку такої якості математичного мислення, як варіативність. Під варіативністю мислення ми розуміємо спрямованість мисленнєвої діяльності учня на пошук різних рішеньзавдання у разі, коли немає спеціальних вказівок цього» .

Комбінаторні завдання можна розв'язувати різними методами. Умовно ці методи можна розділити на «формальні» та «неформальні». При «формальному» методі рішення потрібно визначити характер вибору, вибрати відповідну формулу або комбінаторне правило (існують правила суми та твору), підставити числа та обчислити результат. Результат – це кількість можливих варіантівсамі ж варіанти в цьому випадку не утворюються.

При «неформальному» методі рішення першому плані виходить сам процес складання різних варіантів. І головне вже не скільки, а які варіанти можуть вийти. До таких методів належить метод перебору.Цей метод доступний навіть молодшим школярам, і дозволяє накопичувати досвід практичного вирішення комбінаторних завдань, що є основою запровадження надалі комбінаторних принципів і формул. З іншого боку, у житті людині доводиться як визначати кількість можливих варіантів, а й безпосередньо складати всі ці варіанти, а, володіючи прийомами систематичного перебору, це можна зробити раціональніше.

Завдання щодо складності здійснення перебору поділяються на три групи:

1 . Завдання, у яких необхідно зробити повний перебір всіх можливих варіантів.
2. Завдання, у яких використовувати прийом повного перебору недоцільно і треба відразу виключити деякі варіанти, не розглядаючи їх (тобто здійснити скорочений перебір).
3. Завдання, у яких операція перебору проводиться кілька разів і стосовно різного роду об'єктів.

Наведемо відповідні приклади завдань:

Завдання. Розставляючи знаки «+» та «-» між даними числами 9…2…4, склади всі можливі вирази.

Проводиться повний перебір варіантів:

а) два знаки у виразі можуть бути однаковими, тоді одержуємо:
- 9 + 2 + 4 або 9 - 2 - 4;
б) два знаки можуть бути різними, тоді одержуємо:
- 9+2 – 4 або 9 – 2+4.

Завдання. Вчитель каже, що він намалював у ряд 4 фігури: великий і маленький квадрати, великий і маленький кола отже першому місці перебуває коло і однакові формою фігури не стоять поруч, і пропонує учням відгадати, як і послідовності розставлені ці постаті.

Усього існує 24 різних розташування цих фігур. І складати їх усі, а потім вибирати відповідні цій умові недоцільно, тому проводиться скорочений перебір.

На першому місці може стояти велике коло, тоді маленьке може бути тільки на третьому місці, при цьому великий і маленький квадрати можна поставити двома способами - на друге та четверте місце.

Аналогічна міркування проводиться, якщо на першому місці стоїть невелике коло, і також складаються два варіанти.

Завдання. Три компаньйони однієї фірми зберігають цінні папери в сейфі, на якому 3 замки. Компаньйони хочуть розподілити між собою ключі від замків так, щоб сейф міг відкриватися тільки в присутності хоча б двох компаньйонів, але не одного. Як це можна зробити?

Спочатку перебираються усі можливі випадки розподілу ключів. Кожному компаньйону можна дати по одному ключі або по два різні ключі, або по три.

Припустимо, що у кожного компаньйона по три різні ключі. Тоді сейф зможе відкрити один приятель, а це не відповідає умові.

Припустимо, що кожен компаньйон по одному ключу. Тоді, якщо прийдуть двоє з них, вони не зможуть відкрити сейф.

Дамо кожному компаньйону по два різні ключі. Першому – 1 та 2 ключі, другому – 1 та 3 ключі, третьому – 2 та 3 ключі. Перевіримо, коли прийдуть будь-які два компаньйони, чи зможуть вони відкрити сейф.

Можуть прийти перший і другий компаньйони, вони будуть мати всі ключі (1 і 2, 1 і 3). Можуть прийти перший і третій компаньйони, також будуть усі ключі (1 і 2, 2 і 3). Нарешті можуть прийти другий і третій компаньйони, у них теж будуть всі ключі (1 і 3, 2 і 3).

Таким чином, щоб знайти відповідь у цій задачі, потрібно виконати операцію перебору кілька разів.

При відборі комбінаторних завдань слід звертати увагу до тематику і форму представлення цих завдань. Бажано, щоб завдання не виглядали штучними, а були зрозумілі та цікаві дітям, викликали у них позитивні емоції. Можна для складання завдань використовувати практичний матеріалз життя.

Зустрічаються й інші завдання, які можна вирішити шляхом перебору.

Як приклад вирішимо завдання: «Маркізу Карабасу було 31 рік, а його молодому енергійному Коту в Чобтах 3 роки, коли відбулися відомі за казкою події. Скільки років сталося з того часу, якщо зараз Кіт утричі молодший за свого господаря?» Перебір варіантів представимо таблицею.

Вік Маркіза Карабаса та Кота в Чобтах

14 - 3 = 11 (років)

Відповідь: 11 років минуло.

У цьому учень хіба що експериментує, спостерігає, зіставляє факти і підставі приватних висновків робить ті чи інші загальні висновки. У цих спостережень збагачується його реально-практичний досвід. Саме в цьому полягає практична цінність завдань на перебір. У цьому слово «перебір» використовують у сенсі розбору всіх можливих випадків, які задовольняють умовам завдання, показавши, що інших рішень не може.

Це завдання можна вирішити і методом алгебри.

Нехай Коту х років, тоді Маркізу 3х, виходячи з умови завдання, складемо рівняння:

3х - х = 28,
2х = 28,

Коту зараз 14 років, тоді пройшло 14 – 3 = 11 (років).

Відповідь: 11 років минуло.

Метод міркуваньможна використовуватиме вирішення математичних софізмів.

Помилки, допущені в софізмі, зазвичай зводяться до наступних: виконання «заборонених» дій, використання помилкових креслень, неправильного слововживання, неточності формулювань, «незаконним» узагальненням, неправильним застосуванням теорем.

Розкрити софізм - це, отже, вказати помилку в міркуванні, ґрунтуючись на якій було створено зовнішню видимість доказу.

Розбір софізмів, перш за все, розвиває логічне мисленняприщеплює навички правильного мислення. Виявити помилку в софізмі - це, отже, усвідомити її, а усвідомлення помилки попереджає від повторення їх у інших математичних міркуваннях. Крім критичності математичного мислення, цей вид нестандартних завдань виявляє гнучкість мислення. Чи зуміє учень «вирватися з лещат» цього строго логічного на перший погляд шляху, розірвати ланцюг умовиводів у тій самій ланці, яка є помилковою і робить помилковим усі подальші міркування?

Розбір софізмів допомагає також свідомому засвоєнню матеріалу, що вивчається, розвиває спостережливість і критичне ставлення до того, що вивчається.

а) Ось, наприклад, софізм із неправильним застосуванням теореми.

Доведемо, що 22 = 5.

Візьмемо як вихідне співвідношення таку очевидну рівність: 4: 4 = 5: 5 (1)

Винесемо за дужки загальний множник у лівій та правій частинах, отримаємо:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Числа в дужках дорівнюють, отже, 4 = 5 або 2 2 = 5.

У міркуванні при переході від рівності (1) до рівності (2) створено ілюзію правдоподібності на основі хибної аналогії з розподільною властивістю множення щодо додавання.

б) Софізм із використанням «незаконних» узагальнень.

Є дві сім'ї - Іванових та Петрових. Кожна складається з 3 осіб - батька, матері та сина. Батько Іванов не знає отця Петрова. Мати Іванова не знає матері Петрової. Єдиний син Іванових не знає єдиного сина Петрових. Висновок: жоден член сім'ї Іванових не знає жодного члена сім'ї Петрових. Чи правильно це?

Якщо член сім'ї Іванових не знає рівного собі за сімейним статусом члена сім'ї Петрових, це значить, що не знає всю сім'ю. Наприклад, отець Іванов може знати матір та сина Петрових.

Метод міркувань можна використовувати і для вирішення логічних завдань. Під логічними завданнями зазвичай розуміють такі завдання, які вирішуються за допомогою лише логічних операцій. Іноді вирішення їх потребує тривалих міркувань, необхідне спрямування яких заздалегідь не можна передбачити.

Завдання. Кажуть, що Тортила віддала золотий ключик Буратіно не так просто, як розповів Толстой, а зовсім інакше. Вона винесла три коробочки: червону, синю та зелену. На червоній коробочці було написано: "Тут лежить золотий ключик", а на синій - "Зелена коробочка порожня", а на зеленій - "Тут сидить змія". Тортила прочитала написи і сказала: «Справді, в одній коробочці лежить золотий ключик, в іншій - змія, а третя - порожня, але всі написи невірні. Якщо відгадаєш, у якій коробочці лежить золотий ключик, то він твій». Де лежить золотий ключик?

Так як всі написи на коробочках неправильні, то в червоній коробочці лежить не золотий ключик, зелена коробочка не порожня і в ній не змія, отже, в зеленій коробочці - ключик, в червоній - змія, а синя - порожня.

При вирішенні логічних завдань активізується логічне мислення, а це вміння виводити слідства з посилок, яке вкрай потрібне для успішного оволодіння математикою.

Ребус – це загадка, але загадка не зовсім проста. Слова та числа в математичних ребусах зображені за допомогою малюнків, зірочок, цифр та різних знаків. Щоб прочитати те, що зашифровано в ребусі, треба правильно назвати всі зображені предмети та зрозуміти, який знак що зображає. Ребусами люди користувалися ще тоді, коли не вміли писати. Свої листи вони складали із предметів. Наприклад, вожді одного племені послали одного разу своїм сусідам замість листа птаха, мишу, жабу та п'ять стріл. Це означало: «Чи вмієте літати як птахи і ховатись у землі як миші, стрибати по болотах як жаби? Якщо не вмієте, то не намагайтеся воювати з нами. Ми засипимо вас стрілами, як тільки ви вступите до нашої країни».

Судячи з першої літери суми 1) Д = 1 або 2.

Припустимо, що Д = 1. Тоді У? 5. У = 5 виключаємо, т.к. Р не може дорівнювати 0. У? 6, т.к. 6+6=12, тобто. Р = 2. Але таке значення Р за подальшої перевірки не підходить. Аналогічно, У? 7.

Припустимо, що У = 8. Тоді Р = 6, А = 2, К = 5, Д = 1.

Магічний (чарівний) квадрат - це квадрат, у якому сума чисел по вертикалі, горизонталі та діагоналі виходить однаковою.

Завдання. Розташуйте числа від 1 до 9 так, щоб по вертикалі, горизонталі та діагоналі вийшла однакова сума чисел, що дорівнює 15.

Хоча загальних правил для вирішення нестандартних завдань немає (тому ці завдання і називаються нестандартними), проте ми постаралися дати низку загальних вказівок- рекомендацій, якими слід керуватися під час вирішення нестандартних завдань різних видів.

Кожне нестандартне завдання оригінальне і неповторне у своєму рішенні. У зв'язку з цим розроблена методика навчання пошукової діяльності при вирішенні нестандартних завдань не формує навички вирішення нестандартних завдань, може йтися лише про відпрацювання певних умінь:

· Вміння розуміти завдання, виділяти головні (опорні) слова;
· вміння виявляти умову та питання, відоме та невідоме в завданні;
· Вміння знаходити зв'язок між даним та шуканим, тобто проводити аналіз тексту завдання, результатом якого є вибір арифметичної дії або логічної операції для вирішення нестандартного завдання;
· Вміння записувати хід рішення та відповідь завдання;
· Вміння проводити додаткову роботу над завданням;
· Вміння відбирати корисну інформацію, що міститься у самій задачі, у процесі її вирішення, систематизувати цю інформацію, співвідносячи з вже наявними знаннями.

Нестандартні завдання розвивають просторове мислення, що виявляється у здатності відтворювати в думці просторові образи об'єктів і виконувати над ними операції. Просторове мислення проявляється під час вирішення завдань типу: «Зверху на кромці круглого торта поставили 5 крапок з крему однаковій відстані друг від друга. Через усі пари точок зробили розрізи. Скільки всього вийшло шматочків торта?

Практичний методможна розглянути для нестандартних завдань на поділ.

Завдання. Палицю потрібно розпиляти на 6 частин. Скільки потрібно розпилювання?

Рішення: Розпилювання потрібно 5.

При вивченні нестандартних завдань на поділ треба зрозуміти: щоб розрізати відрізок на частин Р, слід зробити (Р - 1) розріз. Цей факт потрібно встановити з дітьми індуктивним шляхом, а потім використовувати під час вирішення завдань.

Завдання. У триметровому бруску – 300 см. Його треба розрізати на бруски завдовжки 50 см кожен. Скільки потрібно зробити розрізів?

Рішення: Отримуємо 6 брусків 300: 50 = 6 (брусків)

Міркуємо так: щоб розділити брусок навпіл, тобто на дві частини, треба зробити 1 розріз, на 3 частини - 2 розрізи і так далі, на 6 частин - 5 розрізів.

Отже, треба зробити 6 – 1 = 5 (розрізів).

Відповідь: 5 розрізів.

Отже, одним із основних мотивів, які спонукають школярів навчатися, є інтерес до предмета. Інтерес – це активна пізнавальна спрямованість людини на той чи інший предмет, явище та діяльність, створена з позитивним емоційним ставленням до них. Одним із засобів розвитку інтересу до математики є нестандартні завдання. Під нестандартним завданням розуміють такі завдання, котрим у курсі математики немає загальних правил і положень, визначальних точну програму їх вирішення. Вирішення таких завдань дозволяє учням активно включитися у навчальну діяльність. Існують різні класифікаціїзадач та методів їх вирішення. Найчастіше використовуваними є алгебраїчний, арифметичний, практичний методита метод перебору, міркування та припущення.

1 ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

2 РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ З ВИКОРИСТАННЯМ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЇ

2.1 Використання монотонності функції

2.2 Використання обмеженості функції

2.3 Використання періодичності функції

2.4 Використання парності функції

2.5 Використання ОДЗ функції

3 ДЕЯКІ МИСТЕЛЬНІ СПОСОБИ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ

3.1 Збільшення рівняння на функцію

3.2 Вгадування кореня рівняння

3.3 Використання симетричності рівняння

3.4 Дослідження рівняння на проміжках дійсної осі

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТОК

ВСТУП

Не всяке рівняння чи нерівність у результаті перетворень чи з допомогою вдалої заміни змінної може бути зведено до рівняння (нерівності) тієї чи іншої стандартного вигляду, котрій існує певний алгоритм решения. У таких випадках іноді виявляється корисним використовувати інші методи рішення, про які і піде в ході даної роботи. Вище сказане визначає актуальність курсової роботи. Об'єкт дослідження – рівняння та нерівності, що не піддаються вирішенню за допомогою стандартних методів, або які відрізняються громіздкістю стандартного рішення.

Метою даної є ознайомлення з нестандартними методами вирішення рівнянь і нерівностей.

Досягнення поставленої мети у цій роботі вирішувалися такі:

1.Зібрати відомості з історії математики про розв'язання рівнянь.

2.Розглянути і застосувати практично методи розв'язання рівнянь і нерівностей, засновані на використанні властивостей функції.

3.Розглянути та застосувати на практиці додаткові нестандартні методи вирішення рівнянь та нерівностей

Практична значимість роботи полягає в тому, що не завжди при розв'язанні складних рівнянь або нерівностей слід йти «накатаною колією», намагаючись знайти рішення «в лоб»: достатньо лише поглянути на нього і знайти зачіпку, що дозволяє уникнути складних обчислень і перетворень. Курсова робота складається із вступу, трьох розділів та списку використаних джерел. У першому розділі наведено деякі відомості з історії математики про розв'язання рівнянь. У другому розділі розглянуті методи рішення, що ґрунтуються на використанні властивостей функції. Третій розділ присвячено розгляду додаткових (штучних) методів рішення.

Рівняння та системи рівнянь математики вміли вирішувати дуже давно. У «Арифметиці» грецького математика з Олександрії Діофанта (III в.) ще був систематичного викладу алгебри, проте у ній містився ряд завдань, розв'язуваних з допомогою складання рівнянь. Є в ній таке завдання:

«Знайти два числа за їх сумою 20 та твором 96».

Щоб уникнути розв'язання квадратного рівняння загального виду, до якого наводить позначення одного з чисел буквою і яке тоді ще не вміли вирішувати, Діофант позначав невідомі числа 10 + х і 10-х (у сучасному записі) та отримував неповне квадратне рівняння 100-х 2 = 96, для якого вказував лише позитивний корінь 2.

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються у працях індійських математиків вже з V ст. н. е.

Квадратні рівняння класифікуються в трактаті «Коротка книга про обчислення алгебри та алмукабали» Мухаммеда аль-Хорезмі (787 – бл. 850). У ньому розглянуто та вирішено (у геометричній формі) 6 видів квадратних рівнянь, що містять в обох частинах лише члени з позитивними коефіцієнтами. При цьому розглядалося лише позитивне коріння рівнянь.

У працях європейських математиків XIII – XVI ст. даються окремі методи розв'язання різних видів квадратних рівнянь. Злиття цих методів у загальне правило зробив німецький математик Міхаель Штіфель (1487 - 1567), який розглядав вже й негативне коріння.

У найвідомішому російському підручнику «Арифметика» Леонтія Пилиповича Магницького (1669-1739) було чимало завдань на квадратні рівняння. Ось одна з них:

«Якийсь генерал хоче з 5000 чоловік баталію вчинити, і щоб та була в особі вдвічі, ніж осторонь. Коліко ця баталія матиме в особі і осторонь?», тобто скільки солдатів треба поставити по фронту і скільки їм у потилицю, щоб число солдатів по фронту було в 2 рази більше за кількість солдатів, розташованих ним «у потилицю»?

У давньовавилонських текстах (3000 - 2000 років до зв. е.) зустрічаються і завдання, розв'язувані тепер з допомогою систем рівнянь, містять і рівняння другого ступеня. Наведемо одну з них:

«Площі двох квадратів я склав: 25 . Сторона другого квадрата дорівнює стороні першого та ще 5».

Відповідна система у сучасному записі має вигляд:

У XVI ст. французький математик Франсуа Вієт (1540 - 1603), який служив шифрувальником при дворі французького короля, вперше ввів літерні позначенняяк для невідомих величин, але й даних, т. е. коефіцієнтів рівнянь. Ф. Вієт для позначення нерозшифрованих літер у повідомленнях противника використовував рідкісні літери латинського алфавіту х, у і z, що і започаткувало традицію позначати невідомі в рівняннях літерами х, у і z. Особливо цінував Вієт відкриті ним формули, які тепер називаються формулами Вієта. Проте сам Вієт визнавав лише позитивне коріння.

Лише у ХVII ст. після робіт Декарта, Ньютона та інших математиків рішення квадратних рівнянь набуло сучасного вигляду.

Повернемося на початок XVI ст. Тоді професор математики болонського університету Сципіон дель Ферро (1465-1526) вперше знайшов алгебраїчне рішення рівняння третього ступеня виду

де р та q – числа позитивні.

Це відкриття, за звичаями того часу, професор тримав у суворому секреті. Про нього знали лише два його учні, у тому числі якийсь Фіоре. Приховування математичних відкриттів було звичайним явищем, оскільки в Італії практикувалися математичні диспути-поєдинки. На багатолюдних зборах противники пропонували одне одному завдання на розв'язання дома чи визначений термін. Найчастіше це були завдання з алгебри, яку називали тоді великим мистецтвом. Перемагав той, хто вирішував більше завдань. Переможець не лише нагороджувався славою та призначеним грошовим призом, але й міг зайняти університетську кафедру, а той, хто зазнав поразки, часто втрачав займане місце. Ось чому учаснику диспуту було важливо мати невідомий інший алгоритм вирішення деяких завдань.

Після смерті професора дель Ферро його учень Фіоре, який сам не був глибоким математиком, викликав на публічний диспут одного з найвизначніших математиків на той час Нікколо Тарталья (1499-1557). Готуючись до диспуту, Тарталья відкрив формулу для знаходження коренів кубічних рівнянь у радикалах, оскільки припускав, що Фіоре вже мав цю формулу. Пізніше Тарталья писав: «Я доклав усю свою запопадливість, старанність і вміння, щоб знайти правило для вирішення кубічних рівнянь, і завдяки благословенній долі мені вдалося це зробити за 8 днів до терміну».

Диспут відбувся 20 лютого 1535 р. Тарталья протягом двох годин вирішив 30 завдань, запропонованих йому противником, а Фіоре не зміг вирішити жодного з 30 завдань, запропонованих Тарталля. Після диспуту Тарталья став відомим у всій Італії, але продовжував тримати відкриту формулу в секреті.

Інший італійський математик Джерол. але (1501 – 1576) дізнався від Тартальї правило розв'язання кубічного рівняння (1) і дав «священну клятву», що нікому не розкриє цієї таємниці. Правда, Тарталья лише частково розкрив свою таємницю, але Кардано, познайомившись із рукописами покійного професора дель Ферро, здобув повну ясність у цьому питанні. У 1545 р. Кардано опублікував знамениту свою працю «Про велике мистецтво, або про алгебраїчні речі, в одній книзі», де вперше опублікував формулу для вирішення рівняння (1), а кубічне рівняння загального виду пропонував звести до рівняння (1).

Після виходу друком цієї книги Кардано був звинувачений Тартальей у порушенні клятви, але формула, відкрита дель Ферро і Тартальей, і досі називається формулою Кардано.

Такою є повна драматизму історія відкриття формули коренів кубічного рівняння (1).

У тій же книзі Кардано навів рішення алгебри рівняння четвертого ступеня. Це відкриття зробив один із його учнів Лудовико Феррарі (1522 – 1565). Після цього почалися наполегливі пошуки формул, які б зводили рішення рівнянь вищих ступенівдо вилучення коренів («рішення в радикалах»). Ці пошуки тривали близько трьох століть, і лише на початку ХІХ ст. норвезький вчений Нільс Хенрік Абель (1802 -1829) і французький вчений Еваріст Галуа (1811 -1832) довели, що рівняння ступенів вище за четвертий у загальному випадку в радикалах не вирішуються.

Математик і філософ Рене Декарт (1596-1650) вперше сформулював у своїй книзі «Геометрія» основну теорему алгебри про кількість коренів рівняння n-йступеня. У цьому Декарт допускав існування як справжніх (позитивних) і хибних (менших, ніж нічого, т. е. менших нуля - негативних) коренів, а й уявних, уявних (у Декарта - imaginaires), т. е. комплексних коренів.

Ще в давнину математики в процесі розв'язання задач стикалися із вилученням кореня квадратного з негативного числа; у цьому випадку завдання вважалося нерозв'язним. Однак поступово з'ясовувалося, що розв'язання багатьох завдань, що задаються в дійсних числах, отримує просте пояснення за допомогою виразів a + bi, де i 2 = -1, які зрештою теж стали називати числами, але вже комплексними. Перше обґрунтування найпростіших дій над комплексними числами дав італійський математик Раффаеле Бомбеллі (бл. 1530 -1572) у 1572 р., хоча ще тривалий час до комплексних чисел ставилися як до чогось надприродного.

Академік Петербурзької академії наук Леонард Ейлер (1707 -1783) зробив істотний внесок у питання теорії комплексних чисел. Після його робіт комплексні числа одержали остаточне визнання як предмет та засіб вивчення. Сама назва «комплексне число» була запропонована в 1831 німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гауссом (1777 - 1855).

В даний час комплексні числа широко використовуються в багатьох питаннях фізики та техніки.

Вище йшлося про рівняння алгебри, тобто рівняннях f(x) = O, де f(x) - многочлен щодо х.

Крім алгебраїчних рівнянь, є ще й трансцендентні рівняння: показові, логарифмічні, тригонометричні та ін. Вирішення трансцендентних рівнянь, а також нерівностей суттєво спирається на властивості функцій, що вивчаються в математиці відносно недавно.

Особливе місце серед рівнянь алгебри займають так звані діофантові рівняння, тобто рівняння, в яких невідомих більше однієї.

Найбільш відомими з них є лінійні діофантові рівняння. Приклади завдань, що призводять до лінійних діофантових рівнянь, знаходимо в збірці завдань ченця Алькуїна, запрошеного в 795 Карлом Великим викладати в першу з відомих шкіл в Аахен. Ось це завдання:

«100 шеффелів (грошових одиниць) розділили між чоловіками, жінками та дітьми (число персон 100) і дали при цьому чоловікам по 3 шефелі, жінкам по 2 та дітям по шефелі. Скільки було чоловіків, жінок та дітей?

Позначивши кількість чоловіків за х, кількість жінок за у, ми прийдемо до рівняння

Зх + 2y+ (100-х-y) = 100

Загального рішення лінійних діофантових рівнянь на той час ще знали і задовольнялися лише кількома рішеннями, задовольняють умові завдання. У самого Алькуїна було наведено лише одне рішення цього завдання: чоловіків, жінок і дітей було 11, 15 і 74, а завдання має 784 рішення натуральних числах.

Завдання, що призводять до лінійних діофантових рівнянь, мали Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (1180 - 1240), в «Арифметиці» Л. Ф. Магницького.

Відоме діофантове рівняння Піфагора (VI ст. до н. е.) х 2 + у 2 = z 2 вирішують у натуральних числах. Його рішеннями служать трійки чисел (х; у; z):

x = (m 2 -n 2)l, y = 2mnl, z = (m 2 + n 2)l,

де т, п, l – будь-які натуральні числа (т>п). Ці формули допомагають знаходити прямокутні трикутники, довжини сторін яких є натуральними числами.

У 1630 р. французький математик П'єр Ферма (1601 – 1665) сформулював гіпотезу, яку називають великою (або великою) теоремою Ферма: «Рівняння хп+уп=zn для натурального п≥3 не має рішень у натуральних числах». Ферма не довів свою теорему в загальному випадку, але відомий його запис на полях «Арифметики» Діофанта: «...неможливо куб записати у вигляді суми двох кубів, або парний ступінь у вигляді суми таких же ступенів, або взагалі будь-яке число, яке є ступенем більшим, ніж другий, не можна записати у вигляді суми двох таких же ступенів. У мене є справді дивовижний доказ цього твердження, але ці поля занадто вузькі, щоб його вмістити». Пізніше у паперах Ферма було знайдено доказ його теореми для п=4. З того часу понад 300 років математики намагалися довести велику теорему Ферма. У 1770 р. Л.Ейлер довів теорему Ферма для п = 3, в 1825 р. Адрієн Лежандр (1752 1833) і Петер Діріхле (1805 - 1859) - для п = 5. Доказ великої теореми Ферма в загальному випадку не вдавалося . І лише 1995 р. Ендрю Вайлс довів цю теорему.

Не всяке рівняння f(x) = g(x) чи нерівність у результаті перетворень чи з допомогою вдалої заміни змінної може бути зведено до рівняння чи нерівності тієї чи іншої стандартного виду, котрій існує певний алгоритм решения. У разі іноді виявляється корисним використовувати деякі властивості функцій, такі як монотонність, періодичність, обмеженість, парність та інших.

Функція f (x) називається зростаючою на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x 1 і x 2 з проміжку D таких, що x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функція f (x) називається спадною на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x 1 і x 2 з проміжку D таких, що x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2).

На зображеному на малюнку 1 графіку

Малюнок 1

Функція y = f (x), , зростає кожному з проміжків і меншає проміжку (x 1 ; x 2). Зверніть увагу, що функція зростає кожному з проміжків , але з об'єднанні проміжків

Якщо функція зростає або зменшується на певному проміжку, то вона називається монотонною на цьому проміжку.

Зауважимо, що якщо f – монотонна функція на проміжку D(f(x)), то рівняння f(x) = const не може мати більше одного кореня на цьому проміжку.

Справді, якщо x 1< x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перерахуємо властивості монотонних функцій (передбачається, що це функції визначено деякому проміжку D).

· Сума кількох зростаючих функцій є зростаючою функцією.

· Твір невід'ємних функцій, що зростають, є зростаюча функція.

· Якщо функція f зростає, то функції cf (c > 0) та f + c також зростають, а функція cf (c< 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

· Якщо функція f зростає та зберігає знак, то функція зменшується.

· Якщо функція f зростає та невід'ємна, то f n де nN, також зростає.

· Якщо функція f зростає і n – непарне число, f також зростає.

· Композиція g (f (x)) зростаючих функцій f і g також зростає.

Аналогічні твердження можна сформулювати і для спадної функції.

Точка a називається точкою максимуму функції f, якщо існує така ε-околиця точки a, що для будь-якого x з цієї околиці виконується нерівність f(a) ≥ f(x).

Точка a називається точкою мінімуму функції f, якщо існує така ε-околиця точки a, що для будь-якого x з цієї околиці виконується нерівність f(a) ≤ f(x).

Точки, в яких досягається максимум або мінімум функції, називаються точками екстремуму.

У точці екстремуму відбувається зміна характеру монотонності функції. Так, ліворуч від точки екстремуму функція може зростати, а праворуч – зменшуватися. Згідно з визначенням, точка екстремуму має бути внутрішньою точкою області визначення.

Якщо для будь-якого (x ≠ a) виконується нерівність f (x) ≤ f (a) , то точка a називається точкою найбільшого значення функції на множині D:

Якщо будь-якого (x ≠ b) виконується нерівність f (x) > f (b) , то точка b називається точкою найменшого значення функції на множині D.

Точка найбільшого або найменшого значення функції на множині D може бути екстремумом функції, але не обов'язково є.

Точку найбільшого (найменшого) значення безперервної на відрізку функції слід шукати серед екстремумів цієї функції та її значень на кінцях відрізка.

Розв'язання рівнянь та нерівностей з використанням властивості монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.

1. Нехай f(х) - безперервна і строго монотонна функція на проміжку Т, тоді рівняння f(x) = С, де С - дана константа може мати не більше одного рішення на проміжку Т.

2. Нехай f(x) і g(х) - безперервні на проміжку T функції, f(x) строго зростає, а g(х) суворо зменшується на цьому проміжку, тоді рівняння f(х) = =g(х) може мати не більше одного рішення на проміжку Т. Зазначимо, що як проміжок T можуть бути нескінченний проміжок (-∞;+∞) , проміжки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], відрізки, інтервали та напівінтервали.

Приклад 2.1.1 Розв'яжіть рівняння

. (1)

Рішення. Вочевидь, що х ≤ 0 може бути рішенням цього рівняння, оскільки тоді . Для х > 0 функція безперервна і строго зростає, як добуток двох безперервних позитивних строго зростаючих для цих х функцій f(x) = х і . Отже, в області x > 0 функція приймає кожне своє значення у одній точці. Легко бачити, що х = 1 є розв'язком даного рівняння, отже це його єдине рішення.

Відповідь: (1).

Приклад 2.1.2 Розв'яжіть нерівність

. (2)

Рішення. Кожна з функцій у = 2 x у = 3 x у = 4 х безперервна і строго зростає на всій осі. Отже, такою самою є і вихідна функція . Легко бачити, що за х = 0 функція приймає значення 3. У силу безперервності та суворої монотонності цієї функції при х > 0 маємо , при х< 0 имеем . Отже, рішеннями даної нерівності є всі х< 0.

Відповідь: (-∞; 0).

Приклад 2.1.3 Розв'яжіть рівняння

. (3)

Рішення. Область допустимих значень рівняння (3) є проміжок . На ОДЗ функції і безперервні і суворо зменшуються, отже, безперервна і зменшується функція . Тому кожне значення функція h(x) приймає лише у одній точці. Оскільки х = 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.

При розв'язанні рівнянь та нерівностей властивість обмеженості знизу або зверху функції на деякій множині часто грає визначальну роль.

Якщо є число C таке, що з будь-якого виконується нерівність f (x) ≤ C, то функція f називається обмеженою зверху на множині D (рисунок 2).

Малюнок 2

Якщо існує число c таке, що для будь-якого виконується нерівність f(x) ≥ c, то функція f називається обмеженою знизу на множині D (рисунок 3).

Малюнок 3

Функція, обмежена і зверху, і знизу, називається обмеженою на множині D. Геометрично обмеженість функції f на множині D означає, що графік функції y = f (x) лежить у смузі c ≤ y ≤ C (рисунок 4).

Малюнок 4

Якщо функція не обмежена на безлічі, то кажуть, що вона не обмежена.

Прикладом функції, обмеженої знизу по всій числової осі, є функція y = x 2 . Прикладом функції, обмеженої зверху на множині (–∞; 0) є функція y = 1/x. Прикладом функції, обмеженої по всій числової осі, є функція y = sin x.

Приклад 2.2.1 Розв'яжіть рівняння

sin(x 3 + 2х 2 + 1) = х 2 + 2х + 2. (4)

Рішення. Для будь-якого дійсного числа х маємо sin(x 3 + 2х 2 + 1) ≤ 1, х 2 + 2х + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. Оскільки для будь-якого значення х ліва частинарівняння не перевищує одиниці, а права частина завжди не менше одиниці, то дане рівняння може мати рішення лише за .

При , , тобто. при рівнянні (4) так само коріння не має.

Приклад 2.2.2 Розв'яжіть рівняння

. (5)

Рішення. Вочевидь, що x = 0, x = 1, x = -1 є рішеннями цього рівняння. Для знаходження інших рішень через непарність функції f(х) = = x 3 - x - sinπx досить знайти його рішення в області х > 0, х ≠ 1, оскільки якщо x 0 > 0 є його рішенням, то і (-x 0 ) також є його рішенням.

Розіб'ємо множину х > 0, х ≠ 1, на два проміжки: (0; 1) і (1; +∞)

Перепишемо початкове рівняння у вигляді x 3 – x = sinπx. На проміжку (0; 1) функція g(х) = x 3 - x набуває лише негативних значень, оскільки х 3< < х, а функция h(x) = sinπx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Нехай х належить проміжку (1; +∞). Для кожного з таких значень х функція g(х) = х 3 - х набуває позитивних значень, функція h(x) = sinπx приймає значення різних знаків, причому на проміжку (1; 2) функція h(x) = sinπx непозитивна. на проміжку (1; 2] рівняння рішень немає.

Якщо х > 2, то |sinπx| ≤ 1, x 3 - x = x(x 2 - 1) > 2∙3 = 6, а це означає, що і на проміжку (1; +∞) рівняння також не має розв'язків.

Отже, x = 0, x = 1 і x = -1 і є рішеннями вихідного рівняння.

Відповідь: (-1; 0; 1).

Приклад 2.2.3 Розв'яжіть нерівність

Рішення. ОДЗ нерівності є всі дійсні x, крім x = -1. Розіб'ємо ОДЗ нерівності на три множини: -∞< x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Нехай -∞< x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2 x >0. Отже, всі ці є рішеннями нерівності.

Нехай -1< x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Нехай 0< x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

Відповідь: .

Функція f(x) називається періодичною з періодом T ≠ 0, якщо виконуються дві умови:

· якщо , то x + T і x - T також належать області визначення D(f(x));

· Для будь-якого виконано рівність

f(x+T) = f(x).

Оскільки те з наведеного визначення випливає, що

Якщо T – період функції f(x), то очевидно, що кожне число nT, де n ≠ 0 також є періодом цієї функції.

Найменшим позитивним періодом функції називається найменше з позитивних чисел T, які є періодом цієї функції.

Графік періодичної функції

Графік періодичної функції зазвичай будують на проміжку В) (0; 1] Г) одно:

А) -12 Б) 12 В) -6 Г) -9 Д) 8

2. Сума модулів коренів рівняння-(√(5- x)√(5+x))+2=-1

дорівнює:

А) 4 Б) 8 В) 7 Г) 5 Д) 9

3. Коріння рівняння x 4 =|(-|x|+1) 2 -1| належать безлічі:

А)(-1;1) Б) [-1;1] В)(4;11) Г)(-1;0;1) Д) (0;2]

4*.Значення а, при якому рівняння 2/ х= а- х має три корені, відноситься до проміжку:

А) (3; + ) Б) [-1; 12] В) (- ;1) Г) )