Алгоритм рішення судоку. Про методи вирішення проблем – судоку повний курс


27 Лют, 2015

Судоку – це головоломка із цифрами. Сьогодні вона настільки популярна, що більшість людей добре з нею знайомі чи просто бачили у друкованих виданнях. У нашій статті ми розповімо, звідки з'явилася ця гра, і хто придумав судоку.

Незважаючи на японську назву, історія судоку починається аж ніяк не в Японії. Прообразом головоломки вважають латинські квадрати Леонарда Ейлера – знаменитого математика, який жив у XVIII столітті. Однак у такому вигляді, в якому вона відома сьогодні, її винайшов Ховард Гарнс. Будучи за освітою архітектором, Гарнс принагідно вигадував головоломки для журналів та газет. У 1979 році американське видання під назвою "Dell Pencil Puzzles and Word Games" вперше надрукувало на своїх сторінках судоку. Однак тоді головоломка не викликала у читачів інтерес.

Саме японці першими гідно оцінили ребус. 1984 року одне з японських друкованих видань вперше опублікувало головоломку. Вона відразу набула широкого поширення. Тоді ж головоломка і отримала свою назву – судоку. Японською «су» означає «число», «доку» - «що стоїть окремо». Через деякий час цей ребус з'явився в багатьох друкованих виданнях Японії. Окрім цього, випускали окремі збірки судоку. У 2004 році головоломку почали друкувати газети Великобританії, що започаткувало поширення гри за межами Японії.

Головоломка являє собою квадратне поле зі стороною з 9 клітин, поділене своєю чергою на квадрати розміром 3 на 3. Таким чином, великий квадрат поділений на 9 малих, загальна кількість осередків яких становить 81. У деяких клітинах спочатку проставлені цифри-підказки. Суть ребуса полягає в тому, щоб заповнити числами порожні осередки так, щоб ні в рядах, ні в колонках, ні квадратах вони не повторювалися. У судоку використовуються цифри лише від 1 до 9. Від розташування цифр-підказок залежить складність головоломки. Найскладнішою, звичайно ж, є та, яка має лише один варіант рішення.

Історія судоку в наш час продовжується, причому успішно. Гра стає все більш поширеною головоломкою через те, що тепер її можна знайти не тільки на сторінках газети, але і в телефоні або комп'ютері. Крім того, з'явилися різні варіації цієї ребуса – замість цифр використовують літери, змінюється кількість осередків та форма.

Виберіть тему, що вас цікавить:

Сумдоку

Сумдоку відома також як кілер-судоку або судоку-вбивця. У цьому різновиді головоломки цифри розставляються так само як і в класичній судоку. Але на полі додатково є кольорові блоки, для кожного з яких зазначена сума цифр. Зверніть увагу, що іноді ці блоки можуть повторюватися!

Як вирішувати сумдоку?

Розглянемо сумдоку (на малюнку праворуч). Для її вирішення слід пам'ятати, що сума цифр у будь-якому рядку, будь-якому стовпці та будь-якому маленькому прямокутнику однакова. Для нашого випадку це 1+2+3+…+9+10 = 55. Для сумдоку 9х9 було б 45.

Звернімо увагу на виділені сірим кольоромблоки. Вони майже повністю (крім однієї цифри) покривають два нижні прямокутники. Обчислимо суму цифр у всіх зазначених блоках: 13 + 8 + 13 + 15 + 13 + 7 + 14 + 12 + 5 = (13+13+14) + (13+7) + (12+8) + (15+5) ) = 40 + 20 + 20 + 20 = 100. Отже, сума цифр у зазначених блоках — 100. Але якщо взяти два нижні прямокутники повністю, то сума цифр у них повинна бути 55 + 55 = 110. Отже, в єдиній не зазначеній клітині коштує цифра 10.

Як бачите, постійно вирішуючи сумок, ви віртуозно оволодієте арифметикою. Можна, звичайно, скористатися калькулятором, але цей темний та слизький шлях не для справжніх самураїв

Розглянемо тепер блоки, виділені малюнку праворуч. Вони покривають одну передостанню горизонталь судоку та дві «зайві» клітини. Обчислимо суму цифр у блоках: 13 + 8 + 15 + 13 + 10 + 14 = (13+13+14) + (10+15) + 8 = 40 + 25 + 8 = 73. Але ми знаємо, що сума цифр у горизонталі 55, отже, можна дізнатися суму цифр у двох «зайвих» клітинах: 73 — 55 = 18.

Запишемо всі можливі комбінації цифр у цих «зайвих» клітинах: 10+8, 9+9, 8+10.

Історія судоку

9+9 - виключаємо, оскільки клітини розташовані на одній горизонталі, залишається 10+8 та 8+10. Але якщо поставити в першу «зайву» клітину 8, то передостанньої горизонталі вийдуть дві п'ятірки, а цифри в горизонталях не повинні повторюватися. Таким чином, отримуємо, що в першій «зайвій» клітині може стояти лише 10. Розставляємо одразу й інші очевидні цифри.

15.06.2013 Як вирішити Судоку, правила із прикладом.

Хочеться сказати, що Sudoku – це справді цікаве та захоплююче завдання, загадка, пазл, головоломка, цифровий кросворд, називати її можна як завгодно. Рішення якої, принесе не тільки справжнє задоволення для людей думаючих, а й дозволить у процесі захоплюючої гри розвивати та тренувати логічне мислення, пам'ять, посидючість.

Для тих, хто вже знайомий з грою у будь-яких її проявах, правила відомі та зрозумілі. А для тих, хто тільки думає розпочати, наша інформація може бути корисною.

Правила гри в Судоку не складні, вони зустрічаються на сторінках газет або досить легко, можна знайти в Internet.

Основні моменти укладаються в два рядки: головне завдання, що грає, заповнити всі осередки цифрами від 1 до 9. Зробити це потрібно таким чином, щоб у рядку стовпця і міні-квадраті 3х3 жодна з цифр не повторювалася двічі.

Сьогодні ми пропонуємо Вам кілька варіантів електронної гри Sudoku-4tune, які включають більше мільйона вбудованих варіантів головоломок у кожному ігровому плеєрі.

Для наочності та кращого розуміння процесу вирішення загадки, розглянемо один із простих варіантів, першого рівня складності Sudoku-4tune, 6** серії.

І так, дано ігрове поле, що складається з 81-го осередку, які у свою чергу складають: 9-ть рядків, 9-ть стовпців і 9-ть міні-квадратів розміром 3х3 осередки. (Рис.1.)


Нехай Вас не бентежить надалі згадка про електронну гру. Ви можете зустріти гру і на сторінках газет або журналів основний принцип зберігається.

Електронна версія гри, надає великі можливості, на вибір рівня складності головоломки, варіантів самої головоломки та їх кількості, за бажанням гравця, залежно від його підготовки.

При включенні електронної іграшки, в осередках ігрового поля будуть дані ключові цифри. Переносити або змінювати які не можна. Вибрати можна варіант, що більш підходить для вирішення, на Ваш погляд. Розмірковуючи логічно, відштовхуючись від наведених цифр, необхідно поступово заповнювати все ігрове поле цифрами від 1 до 9.

Приклад початкового розташування цифр наведено на рис.2. Ключові цифри, як правило, в електронній версії гри мають відповідні позначки накреслення або знак точки в комірці. Для того, щоб не плутати їх надалі з цифрами, які будуть встановлені Вами.


Подивившись на ігрове поле. Необхідно визначитися з чого потрібно розпочинати рішення. Як правило, потрібно визначити рядок, стовпець або міні квадрат, у яких є мінімальна кількість порожніх осередків. У наведеному нами варіанті відразу можна виділити два рядки, верхню і нижню. У цих рядках не вистачає лише по одній цифрі. Таким чином, приймається просте рішення, визначивши цифри, що не дістають -7 для першого рядка і 4 для останнього, вписуємо їх у вільні осередки рис.3.


Результат, що вийшов: два заповнені рядки, що мають цифри від 1 до 9 без повторень.

Наступний перебіг. Стовпець номер 5 (зліва направо) має лише два вільні осередки. Після недовгих роздумів визначаємо цифри, що бракують, - 5 і 8.

Для досягнення успішного результату в грі, необхідно зрозуміти, що орієнтуватися необхідно за трьома основними напрямками стовпець, рядок і міні-квадрат.

У даному прикладіскладно зорієнтуватися тільки по рядках, або стовпцям, але якщо звернути увагу на міні-квадрати стає зрозуміло. Вписати цифру 8 у другий (з верху) комірку стовпця, що розглядається, не можна, інакше в другому міні-квадраті буде дві вісімки. Аналогічно і з цифрою 5 для другого осередку (знизу) та другого нижнього міні-квадрату рис.4 (не правильне розташування).


Хоча і рішення здається правильним для стовпця, дев'ять цифр, у стовпці, без повторення, воно суперечить основному правилу. У міні-квадратах цифри не повинні повторюватися.

Відповідно для правильного рішення у другий (згори) комірку необхідно вписати 5, а в другу (знизу)-8. Це рішення повністю відповідає правилам.

Вірний варіант див. рис 5.

Подальше рішення, простий на вигляд, завдання, вимагає уважного розгляду ігрового поля та підключення логічного мислення.

Як вирішувати судоку - способи, методи та стратегія

Можна знову скористатися принципом мінімальної кількості вільних осередків та звернути увагу на третій та на сьомий стовпець (зліва направо). У них не заповненими залишилися по три осередки. Порахувавши цифри, що бракують, визначаємо їх значення - це 2,3 і 9 для третього стовпця і 1,3 і 6 для сьомого. Залишимо поки заповнення третього стовпця, оскільки з ним немає певної ясності на відміну від сьомого. У сьомому стовпці відразу можна визначити розташування цифри 6 - це другий знизу вільний осередок. З чого зроблено такий висновок?

При розгляді міні-квадрат, до складу якого, входить другий осередок, стає зрозуміло, що в ньому вже присутні цифри 1 і 3. З необхідної нам цифрової комбінації 1,3 та 6 іншої альтернативи немає. Заповнення двох вільних осередків сьомого стовпця, що залишилися, так само не викликає труднощів. Оскільки третій рядок, у своєму складі вже має заповнену 1, в третій з верху комірку сьомого стовпця вписується 3, а в єдину вільну другу комірку, що залишилася 1. Приклад див. рис 6.


Залишимо поки що третій стовпець для більш чіткого розуміння моменту. Хоча якщо є бажання, можна зробити для себе позначку, і внести гаданий варіант необхідних для встановлення цифр у ці комірки, які можна буде виправити у разі прояснення ситуації. Електронні ігри Sudoku-4tune, 6** серії дозволяють вписувати більше однієї цифри в комірки для пам'ятки.

Ми ж проаналізувавши ситуацію, звернемося до дев'ятого (нижнього правого) міні-квадрату, в якому після нашого рішення залишилося три вільні осередки.

Проаналізувавши ситуацію можна помітити (приклад заповнення міні-квадрата), що для повного його заповнення не вистачає наступних цифр 2,5 і 8. Розглянувши середню, вільну комірку можна помітити, що з необхідних цифр сюди підходить тільки 5. Оскільки 2 є у верхньому комірці стовпця, а 8 у рядку до складу якої, крім міні-квадрату входить даний осередок. Відповідно в середній комірці останнього міні-квадрата вписуємо цифру 2, (вона не входить ні в рядок, ні в стовпець), а у верхню комірку даного квадрата вписуємо 8. Таким чином, у нас повністю заповнений нижній правий (9-й) міні- квадрат цифрами від 1 до 9, причому цифри не повторюються і в стовпцях ні в рядках, рис.7.


У міру заповнення вільних осередків їх кількість зменшується, і ми поступово наближаємося до вирішення нашої головоломки. Але в той же час вирішення завдання може як спрощуватися, так і ускладнюватися. І перший спосіб заповнення мінімальної кількості осередків у рядках, стовпцях або міні-квадратах перестає ефективно діяти. Оскільки зменшується кількість явно визначених цифр у певному рядку, стовпці чи міні-квадраті. (Приклад: третій, залишений нами стовпець). У цьому випадку необхідно скористатися методом пошуку окремих осередків, встановлення цифр, які не викликає жодних сумнівів.

В електронних іграх Sudoku-4tune, 6** серії передбачено можливість використання підказки. Чотири рази за гру Ви можете задіяти цю функцію та комп'ютер сам, встановить правильну цифру у вибраному Вами осередку. У моделях серії 8** така функція відсутня, і використання другого методу стає найбільш актуальним.

Розглянемо другий метод у прикладі, що використовується нами.

Для наочності візьмемо четвертий стовпець. Незаповнена кількість осередків у ньому досить велика, шість. Прорахувавши цифри, що бракують, визначаємо їх - це 1,4,6,7,8 і 9. Скоротити кількість варіантів, можна взявши за основу середній міні-квадрат, в якому є достатньо велика кількістьпевних цифр і лише дві вільні осередки даного стовпця. Зіставивши їх із необхідними нам цифрами видно, що 1,6, і 4 можна виключити. Їх не повинно бути в цьому міні-квадраті, щоб уникнути повторень. Залишається 7,8 і 9. Звернемо увагу, що в рядку (четвертий з верху), до складу якого входить потрібний нам осередок вже є цифри 7 і 8 з тих трьох, що залишилися, які нам потрібні. Таким чином, залишається єдиний варіант для даного осередку - це цифра 9, рис.8 сумнівів у правильності даного варіанту рішення не викликає і той факт, що всі розглянуті та виключені нами цифри, були спочатку дані в завданні. Тобто, вони не підлягають будь-якій зміні або перенесенню, підтверджуючи однозначність обраної нами цифри для встановлення в конкретну комірку.


Використовуючи два методи одночасно в залежності від ситуації, аналізуючи та логічно розмірковуючи, Ви заповните всі вільні осередки та прийдете до правильного вирішення будь-якої головоломки Sudoku, та даної загадки зокрема. Спробуйте самостійно завершити рішення нашого прикладу рис.9 та порівняти його з остаточною відповіддю наведено на рис.10.


Можливо, Ви, для себе визначте якісь додаткові ключові моментиу вирішенні головоломок, та розробите власну систему. Або прийміть наші поради, і вони виявляться корисними для Вас, і дозволять приєднатися до великому числулюбителів та шанувальників цієї гри. Бажаємо успіху.

Судоку («Sudoku») - це головоломка з числами. У перекладі з японського "су" означає "цифра", а "доку" - "яка стоїть окремо". У традиційній головоломці судоку сітка є квадрат розміром 9 x 9, Розділений на менші квадрати зі стороною 3 клітини («регіони»). Таким чином, все поле налічує 81 клітину. У деяких із них вже стоять цифри (від 1 до 9). Залежно від того, скільки клітин вже заповнено, завдання головоломки можна зарахувати до легких чи складних.

У головоломки судоку лише одне правило. Необхідно заповнити вільні клітини так, щоб у кожному рядку, у кожному стовпці та у кожному малому квадраті 3 x 3кожна цифра від 1 до 9 зустрічалася лише один раз.

Програма Cross+Aвміє вирішувати велику кількість різновидів судоку.

Завдання може бути ускладнене: основні діагоналі квадрата також повинні містити цифри від 1 до 9. Таку головоломку називають судоку-діагоналі («Sudoku X»). Для вирішення цих завдань необхідно поставити «галочку» у пункті Діагоналі.

Судоку-аргайл («Argyle Sudoku») містить візерунок з ліній, розташованих по діагоналі.

Правила судоку

Візерунок "аргайл" (argyle), що складається з різнокольорових ромбів однакового розміру, був присутній на кілтах одного з шотландських кланів. Кожна з помічених діагоналей повинна містити цифри, що не повторюються.

Головоломка може мати регіони довільної форми; такі судоку називаються геометричнимиабо фігурними ("Jigsaw Sudoku", «Geometry Sudoku», «Irregular Sudoku», «Kikagaku Nanpure»).

Замість цифр у судоку можуть використовуватись літери; такі головоломки називаються Godoku ("Wordoku", "Alphabet Sudoku"). Після вирішення у будь-якому рядку чи стовпці можна прочитати ключове слово.

Судоку-астериск («Asterisk») - це різновид судоку, яка містить додаткову ділянку з 9 клітин. Ці клітини повинні містити числа від 1 до 9.

Судоку-жирандаль («Girandola») також містить додаткову ділянку з 9 клітин, з числами від 1 до 9 (жирандоль - це фонтан з кількох струменів у вигляді феєрверку, «вогняне колесо»).

Судоку із центральними точками ("Center Dot") - це варіант судоку, де центральні клітини кожного регіону 3 x 3утворюють додаткову ділянку.

Клітини цієї додаткової областіповинні містити числа від 1 до 9.

Судоку може містити чотири додаткові регіони 3 x 3. Такий різновид головоломки називається судоку-вікно ("Windoku", "Four-Box Sudoku", "Hyper Sudoku").

Судоку-мозаїка («Offset Sudoku», «Sudoku-DG») містить додаткові 9 груп по 9 клітин. Клітини всередині групи не стикаються один з одним і виділяються одним кольором. У кожній групі кожна цифра від 1 до 9 має зустрічатися лише один раз.

Ні кроку конем («Anti-Knight Sudoku») має додаткова умова: однакові цифри не можуть «бити» один одного ходом коня

У судоку-самітники («Anti-King Sudoku», "Touchless Sudoku", «Судоку без дотиків») однакові числа не можуть стояти в сусідніх клітинах (як по діагоналі, так і по горизонталі та вертикалі).

У судоку-антидіагональ ("Anti Diagonal Sudoku") Кожна діагональ квадрата містить трохи більше трьох різних цифр.

Судоку-вбивця ("Killer Sudoku", «Sums Sudoku», "Sums Number Place", «Samunamupure», «Kikagaku Nampure»; ще одна назва - Сум-до-ку) являє собою різновид звичайної судоку. Єдина відмінність: задані додаткові числа – суми значень у групах клітин. Числа, які у групі, що неспроможні повторюватися.

Судоку більш-менш ("Greater Than Sudoku") містить знаки порівняння («>» та «<«), которые показывают, как соотносятся между собой числа в соседних ячейках. Еще одно название — Compdoku.

Судоку чет-непар («Even-Odd Sudoku») містить інформацію про парність чи непарність чисел у осередках. Клітини, у яких стоять парні цифри, позначаються сірим кольором, клітини, де знаходяться непарні цифри, — білим кольором.

Судоку-сусіди («Consecutive Sudoku», «Судоку з перегородками») - це різновид звичайної судоку. У ній помічені кордони між сусідніми осередками, в яких стоять послідовні цифри (тобто цифри, що відрізняються одна від одної на одиницю).

У Non-Consecutive Sudokuцифри у сусідніх осередках (по горизонталі та вертикалі) мають відрізнятися більше, ніж на одиницю. Наприклад, якщо в клітці стоїть цифра 3, сусідні осередки не повинні містити цифри 2 або 4.

Судоку-точки ("Kropki Sudoku", «Dots Sudoku», «Судоку з точками») містить білі та чорні крапки на межах між клітинами. Якщо числа в сусідніх клітинах відрізняються на одиницю, між ними стоїть біла точка. Якщо в сусідніх клітинах одне число більше за інше в два рази, то клітини розділені чорною точкою. Між 1 та 2 може стояти точка будь-якого з цих кольорів.

Сукаку («Sukaku», «Suuji Kakure», «Pencilmark Sudoku») являє собою квадрат розміром 9 x 9, що містить 81 групу цифр. Необхідно залишити в кожній клітці лише одну цифру так, щоб у кожному рядку, у кожному стовпці та кожному малому квадраті 3 x 3кожне число від 1 до 9 зустрічалося лише один раз.

Судоку-ланцюжка (Chain Sudoku, «Strimko», «Судоку-звивини») являє собою квадрат, що складається із гуртків.

Необхідно розставити в гуртках цифри так, щоб у кожній горизонталі та кожній вертикалі всі цифри були різні. У ланках одного ланцюжка всі цифри також мають бути різними.

Програма може вирішувати та створювати головоломки розміром від 4 x 4до 9 x 9.

Судоку-рама ("Frame Sudoku", "Outside Sum Sudoku", «Судоку — суми збоку», «Судоку із сумами») є порожній квадрат розміром. Числа за межами ігрового поля позначають суми найближчих трьох цифр у рядку чи стовпці.

Судоку-хмарочос («Skyscraper Sudoku») містить ключові числа, що стоять вздовж сторін сітки. Необхідно розставити цифри у сітці; кожна цифра означає кількість поверхів у хмарочосі. Ключові числа поза сітки показують, скільки саме будинків видно у відповідному рядку або стовпці, якщо дивитися від цього числа.

Судоку-треногу («Tripod Sudoku») — різновид судоку, в якому межі між регіонами не вказані; натомість задані точки на перетинах ліній. Крапки позначають місця перетину кордонів регіонів. Від кожної точки можуть відходити лише три лінії. Необхідно відновити межі регіонів та заповнити сітку цифрами так, щоб у кожному рядку, кожному стовпці та кожному регіоні вони не повторювалися.

Судоку-міни («Sudoku Mine») поєднує в собі риси головоломок судоку та «сапер».

Завдання є квадрат розміром, розділений на менші квадрати зі стороною 3 клітини. Необхідно розмістити міни в сітці таким чином, щоб у кожному ряду, кожному стовпці та кожному малому квадраті розташовувалося по три міни. Числа показують, скільки мін знаходиться у сусідніх клітинах.

Судоку-половина ("Sujiken") була винайдена американцем Джорджем Хайнеманом (George Heineman). Головоломка є трикутною сіткою, що містить 45 клітин. У деяких клітинах є числа. Необхідно заповнити числами від 1 до 9 всі комірки сітки так, щоб у кожному рядку, у кожному стовпці та на кожній діагоналі числа не повторювалися. Також, те саме число не може зустрічатися двічі в кожному з регіонів, розділених товстими лініями.

Судоку XV («Sudoku XV») - різновид звичайної судоку. Якщо межа між сусідніми клітинами позначена римською цифрою «X», сума значень у цих двох клітинах дорівнює 10, якщо римською цифрою «V» — сума дорівнює 5. Якщо межа між двома клітинами не позначена, сума значень у цих клітинах не може дорівнювати 5 або 10.

Судоку-край («Outside Sudoku») є різновидом звичайної головоломки судоку. За межами сітки розташовуються цифри, які мають бути присутніми в перших трьох клітинах відповідного ряду або стовпця.);

  • 16 x 16(Розмір регіонів 4 x 4).

Cross+Aможе вирішувати та створювати різновиди судоку, що складаються з декількох квадратів 9 x 9.

Такі головоломки називають «Gattai»(у перекладі з японської: «з'єднаний», «пов'язаний»). Залежно від кількості квадратів головоломки позначають «Gattai-3», «Gattai-4», «Gattai-5»і так далі.

Судоку-самурай («Samurai Sudoku», «Gattai-5») - Різновид головоломки судоку. Ігрове поле складається із п'яти квадратів розміром 9 x 9. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені у всіх п'яти квадратах.

Судоку-квітку («Flower Sudoku», «Musketry Sudoku») схожа на судоку-самурай. Ігрове поле складається із п'яти квадратів розміром 9 x 9; центральний квадрат повністю покритий чотирма іншими. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені у всіх п'яти квадратах.

Судоку-сохей («Sohei Sudoku») названа на честь ченців-воїнів у середньовічній Японії. Ігрове поле містить чотири квадрати розміром 9 x 9

Судоку-млин («Казагурума», «Windmill Sudoku») складається з п'яти квадратів розміром 9 x 9: один у центрі, чотири інші квадрати майже повністю накривають центральний квадрат. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені у всіх п'яти квадратах.

Судоку-метелик («Butterfly Sudoku») містить чотири квадрати, що перетинаються, розміром 9 x 9, які утворюють єдиний квадрат розміром 12 x 12. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені у всіх чотирьох квадратах.

Судоку-хрест ("Cross Sudoku") Складається з п'яти квадратів. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені у всіх п'яти квадратах.

Судоку-три («Gattai-3») складається з трьох квадратів розміром 9 x 9.

Подвійні судоку ("Twodoku", «Sensei Sudoku», «DoubleDoku») складаються з двох квадратів розміром 9 x 9. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені в обох квадратах.

Програма вміє вирішувати подвійні судоку, у яких регіони мають довільну форму:

Потрійні судоку («Triple Doku») є головоломкою з трьох квадратів розміром 9 x 9. Цифри від 1 до 9 повинні бути правильно розставлені у всіх квадратах.

Судоку-близнюки ("Twin Corresponding Sudoku") являє собою пару звичайних головоломок судоку, у кожній з яких є кілька початкових цифр. Необхідно вирішити обидві головоломки; при цьому кожному виду цифр у першій сітці відповідає той самий вид цифр у другій сітці. Наприклад, якщо у лівому верхньому куті першої головоломки судоку стоїть цифра 9, а у лівому верхньому куті другої головоломки — цифра 4, то у всіх осередках, де у першій сітці стоїть 9, у другій сітці знаходиться цифра 4.

Хоші ("Hoshi") складається із шести великих трикутників; цифри від 1 до 9 мають бути розставлені у трикутних клітинах кожного великого трикутника. Кожна лінія (будь-який довжини, навіть переривчаста) містить неповторні цифри.

На відміну від хоші, судоку-зірці ("Star Sudoku") ряд на зовнішній грані сітки включає в себе комірку, розташовану на найближчому гострому кінці фігури.

Тридоку («Tridoku») була винайдена Яфетом Лайтом (Japheth Light) із США. Головоломка складається із дев'яти великих трикутників; кожен із них містить дев'ять маленьких трикутників. Цифри від 1 до 9 мають бути розставлені у клітинах кожного великого трикутника. Поле містить додаткові лінії, клітини яких також повинні містити цифри, що не повторюються. Дві трикутні клітини, що стикаються, не повинні містити однакових чисел (навіть якщо клітини торкаються один одного лише однією точкою).

Онлайн помічник у вирішенні судоку.

Якщо ви не можете вирішити важкий судоку, спробуйте це з помічником. Він підсвічуватиме вам можливі варіанти.

Всім привіт! У цій статті докладно розберемо рішення складних судок на конкретному прикладі. Перед початком розбору умовимося називати малі квадрати цифрами, нумеруючи їх ліворуч і зверху вниз. Усі основні засади рішення судоку розписано у цій статті.

Як завжди в першу чергу ми розглянемо відкриті одинаки. І таких виявилося лише дві b5-5, e6-3. Далі розставимо потенційних кандидатів на всі порожні поля.

Кандидатів розставлятимемо дрібним шрифтом зеленого кольору, щоб відрізняти від цифр, що вже стоять. Робимо ми це механічно, просто перебираючи всі порожні клітини і вписуючи в них цифри, які можуть стояти в них.

Плід наших праць можна побачити на малюнку 2. Звернемо свою увагу на клітину f2. Вона має двох кандидатів 5 і 9. Нам доведеться піти методом вгадування, і в разі помилки повернутися до цього вибору. Давайте поставимо п'ять цифр. Приберемо п'ятірку з кандидатів рядка f, стовпця 2 та квадрата чотири.

Прибирати можливих кандидатів після проставлення числа ми постійно і в цій статті акцентувати на тому увагу більше не будемо!

Дивимося далі на четвертий квадрат, у нас є трійник – це клітини e1, d2, e3, які мають кандидатів 2, 8 та 9. Приберемо їх із решти незаповнених клітин четвертого квадрата. Йдемо далі. У квадраті шість цифра п'ять може бути лише на е8.

Більше зараз не видно ні пар, ні трійників, ні тим більше четвірок. Тому підемо іншим шляхом. Пройдемося всіма вертикалями і горизонталями, щоб прибирати зайвих кандидатів.

І так на другій вертикалі цифра 8 може бути тільки на клітинах -h2 та i2, заберемо вісімку з інших незаповнених клітин сьомого квадрата. На третій вертикалі цифра вісім може перебувати лише на е3. Що в нас вийшло дивимось на малюнку 3.

Далі нічого за що можна зачепитися знайти не вдається. Нам попався досить міцний горішок, але ми його все одно розкусимо! Отже, розглянемо знову нашу пару е1 і d2, розставимо її в такий спосіб d2-9, e1 -2. І у разі нашої помилки повернемося знову до цієї пари.

Тепер у клітинку d9 сміливо можемо записати двійку! А у квадраті сім, дев'ятка може бути лише на h1. Після чого на вертикалі 1 п'ятірка може бути тільки на i1, що дає право на клітину h9 поставити п'ятірку.

На малюнку 4 зображено, що ми вийшло. Тепер розглянемо наступну пару, це d3 та f1. У них кандидати 7 і 6. Забігаючи наперед скажу, що варіант розміщення d3-7, f1 -6 помилковий і ми його розглядати в статті не будемо, щоб не гаяти час.

Малюнок 5 ілюструє нашу працю. Що нам залишається робити далі? Звичайно, знову перебирати варіанти проставлення цифр! Ставимо у клітину g1 трійку. Як завжди, зберігаємося, щоб можна було повернутися. На i3 ставиться одиниця. тепер у сьомому квадраті ми отримуємо пару h2 та i2, з цифрами 2 та 8. Це дає нам право виключити ці цифри з кандидатів по всій незаповненій вертикалі.

Виходячи з останньої тези, розставляємо. а2-четвірка, b2 - трійка. І після цього ми можемо проставити весь перший квадрат. с1 -шістка, а1 - одиниця, b3 - дев'ятка, с3 - двійка.

На малюнку 6 показано, що вийшло. На i5 у нас прихована одиначка – цифра три! А на i2 може стояти лише цифра 2! Відповідно, на h2 – 8.

Тепер звернемося до клітин е4 і е7, це пара з кандіатами 4 і 9. Розставимо їх так е4 четвірка, е7 дев'ятка. Тепер на f6 ставиться шістка, а на f5 дев'ятка! Далі на с4 отримуємо приховану одиначку - цифру дев'ять! І одразу можемо проставити з 8 чотири, а потім закрити горизонталь з: с6 вісімка.

Не розповідатиму про правила, а одразу перейду до методик.
Для вирішення головоломки, не важливо складної чи простої, спочатку шукаються осередки очевидні для заповнення.

1.1 "Останній герой"

Розглянемо сьомий квадрат. Усього чотири вільні клітини, отже, щось можна швидко заповнити.
"8 "на D3блокує заповнення H3і J3; так само " 8 "на G5закриває G1і G2
З чистою совістю ставимо " 8 "на H1

1.2 «Останній герой» у рядку

Після перегляду квадратів на очевидні рішення, переходимо до стовпців та рядків.
Розглянемо " 4 На полі. Зрозуміло, що вона буде десь у рядку A.
У нас є " 4 "на G3, що кричить A3, є " 4 "на F7, що прибирає A7. І ще одна " 4 " у другому квадраті забороняє її повторення A4і A6.
"Останній герой" для нашої " 4 " це A2

1.3 "Вибору немає"


Іноді є кілька причин для конкретного розташування. " 4 " J8буде чудовим прикладом.
Синістрілки показують, що це останнє можливе число у квадраті. Червоніі синістрілки дають нам останнє число у стовпці 8 . Зеленістрілки дають останнє можливе число у рядку J.
Як бачимо, вибору у нас немає, окрім як поставити цю 4 " на місце.

1.4 "А хто, як не я?"


Заповнення чисел простіше проводити вищеописаними методами. Однак перевірка числа як останнього можливого значення теж дає результати. Метод варто застосовувати, коли здається, що всі числа є, але чогось не вистачає.
"5 " B1ставиться виходячи з того, що всі числа від " 1 "до" 9 ", крім " 5 є в рядку, стовпці та квадраті (позначено зеленим).

На жаргоні це Гола одиначка". Якщо заповнювати поле можливими значеннями (кандидатами), то в осередку таке число буде єдиним можливим. Розвиваючи цю методику, можна шукати" Приховані одинаки- числа, унікальні для конкретного рядка, стовпця або квадрата.

2. «Гола миля»

2.1 «Голі» пари

"«Гола» пара- набір із двох кандидатів, розташованих у двох осередках, що належать одному загальному блоку: рядку, стовпцю, квадрату.
Зрозуміло, що правильні рішення головоломки будуть лише у цих осередках і лише з цими значеннями, тоді як всі інші кандидати із загального блоку можуть бути прибрані.


У цьому прикладі кілька голих пар.
Червонимв рядку Авиділені осередки А2і А3, що обидві містять " 1 "і" 6 ". Я поки не знаю, як саме вони розташовані тут, але я спокійно можу прибрати всі інші". 1 "і" 6 з рядка A(Позначено жовтим). Також А2і А3належать загальному квадрату, тому прибираємо " 1 " з C1.

2.2 «Threesome»

«Голі трійки»- Ускладнений варіант «голих пар».
Будь-яка група з трьох осередків в одному блоці містить в загальномутри кандидати є «голою трійкою». Коли така група знайшлася, ці три кандидати можуть бути прибрані з інших осередків блоку.

Комбінації кандидатів для «голої трійки»можуть бути такими:

// Три числа у трьох осередках.
// Будь-які комбінації.
// Будь-які комбінації.

У цьому прикладі все очевидно. У п'ятому квадраті комірки E4, E5, E6містять [ 5,8,9 ], [5,8 ], [5,9 ] відповідно. Виходить, що загалом у цих трьох осередків є [ 5,8,9 ], і лише ці числа там можуть бути. Це дозволяє нам прибрати їх із інших кандидатів блоку. Цей трюк дає нам рішення. 3 для комірки E7.

2.3 «Чудова четвірка»

"Гола" четвіркадуже рідкісне явище, особливо в повній формі, і все ж дає результати при виявленні. Логіка рішення така сама як і в «голих трійок».

У вказаному прикладі в першому квадраті комірки A1, B1, B2і C1загалом містять [ 1,5,6,8 ], тому ці числа займуть лише ці комірки та жодні інші. Забираємо підсвічених жовтим кандидатів.

3. "Все таємне стає явним"

3.1 Приховані пари

Відмінним способом розкрити поле буде пошук прихованих пар. Цей метод дозволяє прибрати зайвих кандидатів із осередку та дати розвиток більш цікавим стратегіям.

У цій головоломці ми бачимо, що 6 і 7 є у першому та другому квадратах. Крім цього 6 і 7 є в стовпці 7 . Комбінуючи ці умови, ми можемо стверджувати, що у осередках A8і A9будуть тільки ці значення та всі інші кандидати ми прибираємо.


Цікавіший і складніший приклад прихованих пар. Синім виділено пару [ 2,4 ] в D3і E3, що прибирає 3 , 5 , 6 , 7 з цих осередків. Червоним виділено дві приховані пари, що складаються з [ 3,7 ]. З одного боку, вони унікальні для двох осередків у 7 стовпці, з іншого боку - для рядка E. Виділені жовтим кандидати забираються.

3.1 Приховані трійки

Ми можемо розвинути приховані паридо прихованих трійокабо навіть прихованих четвірок. Прихована трійкаскладається із трьох пар чисел, розташованих в одному блоці. Такі як , і. Однак, як і у випадку з «голими трійками», у кожному із трьох осередків не обов'язково має бути по три числа. Спрацюють всьоготри числа у трьох осередках. Наприклад, , . Приховані трійкибудуть замасковані іншими кандидатами в осередках, тож спочатку треба переконатися, що трійказастосовна до конкретного блоку.


У цьому складному прикладі є дві приховані трійки. Перша, позначена червоним, у стовпці А. Комірка А4містить [ 2,5,6 ], A7 - [2,6 ] та осередок A9 -[2,5 ]. Ці три осередки єдині, де можуть бути 2, 5 або 6, тому тільки вони там і будуть. Відтак прибираємо зайвих кандидатів.

Друга, у стовпці 9 . [4,7,8 ] унікальні для осередків B9, C9і F9. Використовуючи ту ж логіку, прибираємо кандидатів.

3.1 Приховані четвірки


Чудовий приклад прихованих четвірок. [1,4,6,9 ] у п'ятому квадраті можуть бути лише у чотирьох осередках D4, D6, F4, F6. Дотримуючись нашої логіки, прибираємо всіх інших кандидатів (позначених жовтим).

4. «Негумова»

Якщо будь-яке з чисел з'являється двічі чи тричі в одному блоці (рядку, стовпці, квадраті), тоді ми можемо прибрати це число зі сполученого блоку. Є чотири види сполучення:

  1. Пара або Трійка у квадраті - якщо вони розташовані в одному рядку, то можна забрати всі інші такі ж значення з відповідного рядка.
  2. Пара або Трійка в квадраті - якщо вони розташовані в одному стовпці, то можна забрати всі інші такі самі значення з відповідного стовпця.
  3. Пара або Трійка у рядку - якщо вони розташовані в одному квадраті, то можна забрати всі інші такі ж значення з відповідного квадрата.
  4. Пара або Трійка в стовпці - якщо вони розташовані в одному квадраті, то можна забрати всі інші такі самі значення з відповідного квадрата.
4.1 Вказівні пари, трійки

Як приклад покажу цю головоломку. У третьому квадраті 3 "знаходиться тільки в B7і B9. Дотримуючись твердження №1 , ми прибираємо кандидатів з B1, B2, B3. Аналогічно, " 2 з восьмого квадрата прибирає можливе значення з G2.


Особлива головоломка. Дуже складна у вирішенні, але, якщо придивитися, можна помітити дещо вказівних пар. Зрозуміло, що не завжди обов'язково знаходити їх усі, щоб просунутися у рішенні, проте кожна така знахідка полегшує завдання.

4.2 Скорочуємо нескорочуване


Ця стратегія включає акуратний аналіз і порівняння рядків і стовпців із вмістом квадратів (правила №3 , №4 ).
Розглянемо рядок А. "2 можливі тільки в А4і А5. Дотримуючись правила №3 , прибираємо " 2 їх B5, C4, C5.


Продовжимо вирішувати головоломку. Маємо єдине розташування 4 в межах одного квадрата в 8 стовпці. Відповідно до правила №4 , прибираємо зайвих кандитатів і, на додачу, отримуємо рішення " 2 для C7.

Математична головоломка під назвою «» родом з Японії. Вона набула широкого поширення в усьому світі завдяки своїй захопливості. Для її вирішення потрібно буде сконцентрувати увагу, пам'ять, задіяти логічне мислення.

Головоломку друкують у газетах та журналах, існують комп'ютерні версії гри та мобільні програми. Суть та правила у будь-якій з них однакові.

Як грати

За основу головоломки взято латинський квадрат. Поле для гри виконано у формі цієї геометричної фігури, кожна сторона якої складається з 9 клітин. Великий квадрат заповнений маленькими квадратними блоками, підквадратами, зі стороною три клітини. На початку гри у певні з них уже вписано цифри-«підказки».

Необхідно заповнити всі порожні комірки, що залишилися, натуральними числами від 1 до 9.

Зробити це потрібно так, щоб цифри не повторювалися:

  • у кожному стовпці,
  • у кожному рядку,
  • у будь-якому з малих квадратів.

Таким чином, у кожному рядку і кожному стовпці великого квадрата будуть розташовані цифри від одного до десяти, будь-який малий квадрат також міститиме ці цифри без повторень.

Рівні складності

Гра має єдине правильне рішення. Є різні рівні складності: просту головоломку з великою кількістю заповнених клітин можна вирішити за кілька хвилин. На складну, де розставлено малу кількість цифр, можна витратити кілька годин.

Методики вирішення

Застосовуються різні підходи вирішення завдань. Розглянемо найпоширеніші.

Метод виключення

Це дедуктивний спосіб, він передбачає пошук однозначних варіантів – коли для запису в комірку підходить лише одна цифра.

Насамперед приймаємося за квадрат, найбільш заповнений цифрами, – лівий нижній. У ньому не вистачає одиниці, сімки, вісімки та дев'ятки. Щоб дізнатися, куди поставити одиницю, подивимося на стовпці та рядки, де є ця цифра: вона є у другому стовпці, тому наша порожня клітина (найнижча у другому стовпці) не може її утримувати. Залишається три можливі варіанти. Але нижній рядок і другий з самого низу рядок також містять одиничку - тому методом виключення у нас залишається права верхня порожня клітина в підквадраті, що розглядається.

Подібно заповнюємо всі порожні клітини.

Запис чисел-кандидатів у осередок

Для вирішення у лівому верхньому кутку клітини записуються варіанти – числа-кандидати. Потім невідповідні правила гри «кандидати» викреслюються. Таким чином, поступово заповнюється весь вільний простір.

Досвідчені гравці змагаються один з одним у майстерності, швидкості заповнення порожніх клітин, хоча цю головоломку найкраще вирішувати не поспішаючи - і тоді успішне завершення судоку принесе величезне задоволення.

Перше, з чим слід визначитися в методології вирішення проблем, це питання власне розуміння того, чого ми досягаємо і можемо досягти в питаннях вирішення проблем. Розуміння зазвичай мислиться як щось само собою зрозуміле, і ми не беремо до уваги той момент, що розуміння має певну початкову точку відліку розуміння, лише щодо якої ми можемо говорити про те, що розуміння дійсно має місце з певного нами конкретного моменту. Судоку тут, у нашому розгляді, зручна тим, що дозволяє на її прикладі певною мірою змоделювати питання розуміння та вирішення проблем. Однак почнемо ми з дещо інших і не менш важливих, ніж судоку, прикладів.

Фізик, що вивчає спеціальну теорію відносності, може говорити про "кришталево ясні" положення Ейнштейна. Таке словосполучення мені зустрілося на одному із сайтів в інтернеті. Але з чого починається це розуміння "кристальної ясності". Воно починається із засвоєння математичного запису постулатів, з яких можуть будуватися за відомими та зрозумілими правилами всі багатоповерхові математичні конструкції СТО. Але чого не розуміє фізик, як і я, це чомусь працюють постулати СТО саме так, а не інакше.

Насамперед, переважна більшість тих, хто обговорює це вчення, не розуміють, що саме полягає в постулаті сталості швидкості світла в перекладі з математичного його застосування на реальність. А цей постулат має на увазі постійність швидкості світла у всіх мислимих і не мислимих сенсах. Швидкість світла постійна щодо будь-яких покояться і рухомих об'єктів разом. Швидкість променя світла, згідно з постулатом, постійна навіть щодо зустрічного, поперечного і променя світла, що віддаляється. А при цьому реально ми маємо лише виміри, побічно пов'язані зі швидкістю світла, які інтерпретуються як її сталість.

Закони Ньютона для фізика і навіть для тих, хто просто вивчає фізику, настільки звичні, що видаються настільки зрозумілими, як щось само собою зрозуміле і іншого бути не може. Але, скажімо, застосування закону всесвітнього тяжіння починається з його математичного запису, яким можна розрахувати навіть траєкторії космічних об'єктів і характеристики орбіт. Але чомусь ці закони працюють саме так, а не інакше – такого розуміння у нас немає.

Аналогічно і судоку. В інтернеті можна знайти описи "базових" способів розв'язання задач судоку, що багато разів повторюються. Якщо запам'ятати ці правила, можна розуміти як вирішується те чи інша завдання судоку у вигляді застосування " базових " правил. Але в мене питання: а чи розуміємо ми, чому ці "базові" способи спрацьовують саме так, а чи не інакше.

Отже, ми переходимо до наступного ключового положення методології вирішення проблем. Розуміння можливе лише на основі якоїсь моделі, що надає базу для цього розуміння та можливість зробити деякий натурний чи уявний експеримент. Без цього ми можемо мати лише правила застосування завчених вихідних положень: постулатів СТО, законів Ньютона чи "базових" способів судоку.

У нас немає і в принципі не може бути моделей, що задовольняють постулату постійності швидкості світла, що нічим не обмежується. У нас немає, але можуть бути придумані недоведені моделі, що узгоджуються із законами Ньютона. І такі "ньютонівські" моделі є, але вони якось не вражають продуктивними можливостями для проведення натурного чи уявного експерименту. Натомість судоку надає нам такі можливості, які ми можемо використовувати і для розуміння власне задач судоку, і для ілюстрації моделювання як загального підходу у вирішенні проблем.

Одна з можливих моделей задач судоку – це робоча таблиця. Створюється вона простим заповненням всіх порожніх клітин (осередків) заданої в задачі таблиці числами 123456789. Далі завдання зводиться до послідовного видалення всіх зайвих цифр із осередків до тих пір, поки всі клітини таблиці будуть заповнені одиничними (ексклюзивними) цифрами, що задовольняють у.

Я створюю таку робочу таблицю в Excel. Спочатку виділяю всі порожні осередки (клітини) таблиці. Натискаю F5-"Виділити"-"Порожні комірки"-"OK". Більш загальний спосіб виділення потрібних осередків: утримую Ctrl і клацанням мишки виділяю ці осередки. Потім для виділених осередків встановлюю синій колір, розмір 10 (початковий – 12) та шрифт Arial Narrow. Це все для того, щоб добре переглядалися наступні зміни у таблиці. Далі я вводжу в порожні клітини числа 123456789. Роблю це так: записую і зберігаю це число в окремому осередку. Потім натискаю на F2, виділяю та копіюю це число операцією Ctrl+C. Далі переходжу до осередків таблиці і, послідовно обходячи всі порожні осередки, вводжу до них число 123456789 операцією Ctrl+V, і робоча таблиця готова.

Зайві цифри, про які буде далі, я видаляю наступним чином. Операцією Ctrl+клик мишкою - виділяю комірки із зайвою цифрою. Потім натискаю Ctrl+H і у верхнє поле вікна, що відкрилося, вводжу цифру, що видаляється, а нижнє поле має бути абсолютно порожнім. Далі залишається клацнути на опції "Замінити все" і зайва цифра видалена.

Зважаючи на те, що мені зазвичай вдається зробити більш просунуту обробку таблиць звичайними "базовими" способами, ніж у прикладах, що наводяться в інтернеті, робоча таблиця є найпростішим інструментом у вирішенні завдань судоку. Більше того, багато ситуацій, що стосуються застосування найскладніших із так званих "базових" правил, у мене в робочій таблиці просто не виникали.

У той же час, робоча таблиця - це і модель, на якій можна провести експерименти з подальшим виявленням всіх базових правил і різних нюансів їх застосування, що випливає з експериментів.

Отже, перед вами фрагмент робочої таблиці з дев'ятьма блоками, що нумеруються зліва-направо та зверху-вниз. У цьому випадку у нас заповнений цифрами 123 456 789 четвертий блок. Це наша модель. Поза блоком червоним кольором ми виділили "активовані" (остаточно визначені) цифри, в даному випадку четвірки, які мають намір підставити в таблицю, що оформляється. Блакитні п'ятірки – це поки що не визначені щодо їхньої подальшої ролі цифри, про які потім поговоримо. Призначені нами активовані цифри хіба що викреслюють, виштовхують, видаляють – загалом, витісняють однойменні цифри у блоці, тому вони представлені блідим кольором, символізуючим те що, що ці бліді цифри видалені. Хотів було зробити цей колір ще блідішим, але тоді вони могли б стати взагалі непомітними при перегляді в інтернеті.

У результаті в четвертому блоці в осередку E5 виявилася одна, теж активована, але прихована четвірка. "Активована" тому, що вона, у свою чергу, теж може видаляти зайві цифри, якщо такі виявляться на її шляху, а "прихована" тому, що вона знаходиться серед інших цифр. Якщо осередок E5 атакувати рештою, крім 4, активованими цифрами 12356789, то в E5 виникне "гола" одинак ​​- 4.

Тепер приберемо одну активовану четвірку, наприклад, з F7. Тоді четвірка в заповненому блоці може виявитися вже і тільки в осередку E5 або F5, залишаючись при цьому активованим у рядку 5. Якщо до цієї ситуації залучити активовані п'ятірки, без F7=4 і F8=5, то в осередках E5 і F5 виникне гола або прихована активована пара 45.

Після того як ви достатньо відпрацюєте і осмислите різні варіанти з голими і прихованими одинаками, двійками, трійками і т.д. не тільки в блоках, а й у рядках та стовпцях, ми можемо перейти до ще одного експерименту. Створимо голу пару 45, як було зроблено раніше, а потім підключимо активовані F7 = 4 і F8 = 5. Через війну виникне ситуація E5=45. Подібна ситуація дуже часто виникає у процесі обробки робочої таблиці. Така ситуація означає, що одна з цих цифр, в даному випадку 4 або 5, обов'язково повинна знаходитися в блоці, рядку і стовпці, що включають клітинку E5, тому що у всіх цих випадках повинні бути дві цифри, а не одна з них.

А головне, ми тепер уже знаємо, яким чином виникають ситуації, що часто зустрічаються, подібні E5=45. Подібним чином визначимося з ситуаціями, коли в одному осередку виникає трійка цифр і т.п. І коли ми доведемо ступінь осмислення та сприйняття цих ситуацій до стану самоочевидності та простоти, тоді наступний крок – це вже, так би мовити, наукове осмислення ситуацій: ми тоді зможемо робити статистичний аналіз таблиць судоку, виявляти закономірності та використовувати напрацьований матеріал для вирішення найскладніших завдань .

Таким чином, експериментуючи на моделі, ми отримуємо наочне і навіть "наукове" уявлення щодо прихованих або відкритих одинаків, пар, трійок і т.д. Якщо ви обмежитеся тільки операціями з описаною простою моделлю, деякі ваші уявлення виявляться неточними або навіть помилковими. Однак як тільки ви перейдете до вирішення конкретних завдань, то неточності початкових уявлень швидко виявляться, а моделі, на яких проводилися експерименти, доведеться переосмислити і уточнити. Такий неминучий шлях гіпотез та уточнень у вирішенні будь-яких проблем.

Треба сказати, що приховані та відкриті одинаки, а також відкриті пари, трійки і навіть четвірки – це звичайні ситуації, що виникають при вирішенні завдань судоку з робочою таблицею. Приховані пари траплялися рідко. А ось приховані трійки, четвірки тощо. мені при обробці робочих таблиць якось не траплялися, так само, як і багаторазово описані в інтернеті методи обходу контурів "x-wing" і "риба-меч", при яких виникають "кандидати" на видалення за будь-якого з двох альтернативних способів обходу контурів. Сенс цих способів: якщо знищуємо "кандидата" х1, то залишається ексклюзивний кандидат х2 і при цьому видаляється кандидат х3, а якщо знищуємо х2, то залишається ексклюзивний х1, але і в цьому випадку видаляється кандидат х3, тож у будь-якому випадку слід видалити х3 , не торкаючись поки що кандидатів х1 і х2. У більш загальному плані, це окремий випадок ситуації: якщо два альтернативні способи призводять до того самого результату, то цей результат може використовуватися для вирішення завдання судоку. У такому, більш загальному плані ситуації мені зустрічалися, але не у варіанті "x-wing" і "риба-меч" і не при вирішенні завдань судоку, для яких достатньо знання лише "базових" підходів.

Особливості застосування робочої таблиці можна показати наступному нетривіальному прикладі. На одному з форумів вирішувачів судоку http://zforum.net/index.php?topic=3955.25;wap2 мені зустрілося завдання, представлене як одне з найскладніших завдань судоку, яке не розв'язується звичайними способами, без застосування перебору з припущеннями щодо цифр, що підставляються в клітинки. . Покажемо, що з робочою таблицею можна вирішити це завдання без такого перебору:

Справа вихідне завдання, ліворуч робоча таблиця після "викреслення", тобто. рутинної операції видалення зайвих цифр.

Спочатку домовимося про позначення. ABC4=689 означає, що у осередках A4, B4 і C4 перебувають цифри 6, 8 і 9 – однієї чи кілька цифр на осередок. З рядками аналогічно. Так, B56=24 означає, що у осередках В5 і В6 перебувають цифри 2 і 4. Знак ">" – це знак обумовленої дії. Так, D4=5>I4-37 означає, що внаслідок повідомлення D4=5 слід помістити число 37 в комірку I4. Повідомлення може бути явним – "голим" – та прихованим, яке слід виявити. Вплив повідомлення може бути послідовним (передатися опосередковано) по ланцюжку та паралельним (впливати безпосередньо на інші осередки). Наприклад:

D3 = 2; D8 = 1> A9-1> A2-2> A3-4, G9-3; (D8 = 1) + (G9 = 3)> G8-7> G7-1> G5-5

Цей запис означає, що D3=2, але це потрібно виявити. D8=1 передає A3 свій вплив по ланцюжку і A3 слід записати 4; одночасно D3=2 впливає безпосередньо на G9, що призводить до результату G9-3. (D8=1)+(G9=3)>G8-7 – спільний вплив факторів (D8=1) та (G9=3) призводить до результату G8-7. І т.п.

У записах може зустрітися поєднання типу H56/68. Воно означає, що у осередках H5 і H6 заборонені цифри 6 і 8, тобто. їх слід із цих осередків видалити.

Отже, починаємо роботу з таблицею і спочатку застосовуємо добре виявлену, помітну умову ABC4=689. Це означає, що у всіх інших (крім A4, B4 і C4) осередках блоку 4 (середній, лівий) і 4-го рядка повинні бути видалені цифри 6, 8 та 9:

Аналогічно застосовуємо B56=24. У сукупності маємо D4=5 та (після D4=5>I4-37) HI4=37, а також (після B56=24>C6-1) C6=1. Застосуємо це до робочої таблиці:

У I89=68прихована>I56/68>H56-68: тобто. в осередках I8 і I9 знаходиться прихована пара цифр 5 і 6, яка забороняє знаходження цих цифр I56, що призводить до результату H56-68. Цей фрагмент ми можемо розглянути інакше, подібно до того, як це робили в експериментах на моделі робочої таблиці: (G23=68)+(AD7=68)>I89-68; (I89 = 68) + (ABC4 = 689)> H56-68. Тобто, двостороння "атака" (G23=68) і (AD7=68) призводить до того, що в I8 та I9 можуть знаходитися тільки цифри 6 і 8. Далі (I89=68) підключається до "атаки" на H56 спільно з попередніми умовами, що призводить до H56-68. Додатково до цієї "атаки" підключається (ABC4=689), що в даному прикладі виглядає зайвим, проте якби ми працювали без робочої таблиці, то фактор впливу (ABC4=689) виявився б прихованим, і цілком доречним було б звернути на нього увагу спеціально.

Наступна дія: I5 = 2> G1-2, G6-9, B6-4, B5-2.

Сподіваюся, воно вже зрозуміло без коментарів: підставляйте цифри, які стоять після тире, не помилитеся:

H7=9>I7-4; D6 = 8> D1-4, H6-6> H5-8:

Наступна серія дій:

D3 = 2; D8 = 1> A9-1> A2-2> A3-4, G9-3;

(D8 = 1) + (G9 = 3)> G8-7> G7-1> G5-5;

D5=9>E5-6>F5-4:

I=4>C9-4>C7-2>E9-2>EF7-35>B7-7,F89-89,

тобто, в результаті "викреслення" - видалення зайвих цифр - в комірках F8 і F9 виникає відкрита, "гола" пара 89, яку разом з іншими результатами, зазначеними в записі, застосовуємо до таблиці:

H2=4>H3-1>F2-1>F1-6>A1-3>B8-3,C8-5,H1-7>I2-5>I3-3>I4-7>H4-3

Їх результат:

Потім слідують досить рутинні, очевидні дії:

H1=7>C1-8>E1-5>F3-7>E2-9>E3-8,C3-9>B3-5>B2-6>C2-7>C4-6>A4-9>B4- 8;

B2=6>B9-9>A8-6>I8-8>F8-9>F9-8>I9-6;

E7 = 3> F7-5, E6-7> F6-3

Їх результат: остаточне розв'язання задачі:

Так чи інакше, вважатимемо, що з "базовими" способами в судоку або в інших галузях інтелектуального застосування ми розібралися на основі придатної для цього моделі і навіть навчилися їх застосовувати. Але це лише частина нашого поступу у методології вирішення проблем. Далі, повторюся, слід не завжди враховується, але неодмінний етап доведення попередньо засвоєних способів до простоти їх застосування. Рішення прикладів, осмислення результатів та способів цього рішення, переосмислення цього матеріалу на основі прийнятої моделі, знову продумування всіх варіантів з доведенням ступеня їхнього розуміння до автоматизму, коли рішення із застосуванням "базових" положень стає рутинним і зникає як проблема. Що це дає: це кожен має відчути на своєму досвіді. А суть у тому, що коли проблемна ситуація стає рутинною, то пошуковий механізм інтелекту прямує до освоєння все більш складних положень у галузі проблем, що вирішуються.

А що таке "складніші положення"? Це лише нові " базові " становища у вирішенні проблеми, розуміння яких, своєю чергою, також можна довести до стану простоти, якщо знайти з цією метою відповідну модель.

У статті Василенко С.Л. "Числова гармонія Судоку" я знаходжу приклад задачі з 18 симетричними ключами:

Щодо цього завдання стверджується, що вона може бути вирішена із застосуванням "базових" прийомів тільки до деякого стану, після досягнення якого залишається лише застосувати простий перебір із пробною підстановкою в комірки деяких передбачуваних ексклюзивних (поодиноких, одиночних) цифр. Цей стан (просунуте трохи далі, ніж у прикладі Василенка) має вигляд:

Така модель є. Це своєрідний механізм обертання виявлених та не виявлених ексклюзивних (поодиноких) цифр. У найпростішому випадку деяка трійка ексклюзивних цифр обертається в правому або лівому напрямку, переходячи цією групою від рядка до рядка або від стовпця до стовпця. Загалом, при цьому обертаються в якомусь одному напрямку три групи трійок цифр. У більш складних випадках три пари ексклюзивних цифр обертаються в одному напрямку, а трійка одинаків обертається в протилежному напрямку. Так, наприклад, відбувається обертання ексклюзивних цифр у перших трьох рядках завдання, що розглядається. І, що найважливіше, це своєрідне обертання можна побачити, розглядаючи розташування цифр у обробленої робочої таблиці. Цих відомостей поки що достатньо, а інші нюанси моделі обертання ми зрозуміємо у процесі розв'язання задачі.

Отже, у перших (верхніх) трьох рядках (1, 2 і 3) ми можемо помітити обертання пар (3+8) та (7+9), а також (2+х1) з невідомим х1 та трійка одинаків (х2+4+ 1) з невідомим х2. При цьому ми можемо виявити, що кожне з х1 і х2 можуть бути або 5, або 6.

У рядках 4, 5 та 6 проглядаються пари (2+4) та (1+3). Повинна бути також 3 невідома пара і трійка одинаків з яких відома лише одна цифра 5.

Аналогічно переглядаємо рядки 789, потім трійки стовпців ABC, DEF і GHI. Зібрану інформацію ми запишемо у символічному і, сподіваюся, досить зрозумілому вигляді:

Поки що нам ця інформація потрібна лише для розуміння загальної ситуації. Ретельно продумайте її і тоді ми зможемо далі просунутися вперед до наступної спеціально підготовленої таблиці:

Квітами я виділив альтернативні варіанти. Блакитний колір означає "дозволено", а жовтий - "заборонено". Якщо, скажімо, дозволено A2=79 дозволено A2=7, то C2=7 – заборонено. Або навпаки - дозволено A2 = 9, заборонено C2 = 9. А далі дозволи та заборони передаються по логічному ланцюжку. Таке забарвлення зроблено для того, щоб було простіше переглядати різні альтернативні варіанти. Загалом це деяка аналогія згаданим раніше способів "x-wing" і "риба-меч" при обробці таблиць.

Переглядаючи варіант B6=7 і, відповідно, B7=9, ми можемо виявити відразу два моменти, несумісних із цим варіантом. Якщо B7=9, то в рядках 789 виникає трійка, що синхронно обертається, що неприпустимо, так як синхронно (в одному напрямку) можуть обертатися або тільки три пари (і три одиночки асинхронно їм), або три трійки (без одинаків). Крім цього, якщо B7=9, через кілька кроків обробки робочої таблиці в 7-му рядку виявимо несумісність: B7=D7=9. Отже підставляємо єдино прийнятний із двох альтернативних варіант B6=9, і далі завдання вирішується простими засобами звичайної обробкибез жодного сліпого перебору:

Далі, у мене є готовий прикладіз застосуванням моделі обертання для вирішення завдання з чемпіонату світу з судоку, але цей приклад я опускаю, щоб надто вже не розтягувати цю статтю. До того ж, як виявилося, це завдання має три варіанти розв'язання, що погано підходить для початкового освоєння моделі обертання цифр. Ще я добряче "попихкав" над витягнутим з інтернету завданням Гері МакГайра з 17 ключами для вирішення його головоломки, поки з ще більшим роздратуванням не з'ясував, що ця "головоломка" має більше 9 тисяч варіантів рішення.

Отже, мимоволі, доводиться переходити до розробленої Арто Інкала "найскладнішої у світі" задачі судоку, що має, як відомо, єдине рішення.

Після внесення двох цілком очевидних ексклюзивних цифр та обробки робочої таблиці, завдання має такий вигляд:

Чорним і більшим шрифтом виділено ключі, задані вихідному завданню. Щоб просунутися у вирішенні цього завдання, ми знову маємо спертися на адекватну, придатну для цієї мети модель. Модель ця – своєрідний механізм обертання цифр. Вона вже неодноразово обговорювалася в цій та попередніх статтях, але щоб зрозуміти подальший матеріал статті, цей механізм слід продумати та опрацювати в деталях. Приблизно так, якби ви попрацювали з таким механізмом десь із десяток років. Але ви все одно зможете зрозуміти цей матеріал якщо не з першого читання, то з другого чи третього тощо. Більше того, якщо виявите наполегливість, то і цей "складний для розуміння" матеріал ви доведете до стану його рутинності та простоти. Нового в цьому плані тут нічого немає: те, що спочатку дуже складно, поступово стає не так вже й складним, а при подальшому безперервному опрацюванні все самим очевидним і не вимагають розумових зусиль стає на свої відповідні місця, після чого ви можете звільнити свій розумовий потенціал для подальшого просування вперед з даної проблеми або щодо інших проблем.

При уважному аналізі структури завдання Арто Інкала можна помітити, що вся вона побудована за принципом трьох пар, що синхронно обертаються, і трійки обертових асинхронно парам одинаків: (х1+х2)+(х3+х4)+(х5+х6)+(х7+х8+ х9). Порядок обертання може бути, наприклад, такий: у перших трьох рядках 123 перша пара (х1+х2) переходить з першого рядка першого блоку до другого рядка другого блоку, потім до третього рядка третього блоку. Друга пара переходить з другого рядка першого блоку до третього рядка другого блоку, потім, в цьому обертанні, перестрибує в перший рядок третього блоку. Третя пара з третього рядка першого блоку перестрибує в перший рядок другого блоку і далі в цьому напрямку обертання переходить у другий рядок третього блоку. Трійка одинаків рухається у подібному режимі обертання, але у протилежному обертанню пар. Ситуація зі стовпцями виглядає аналогічно: якщо таблицю подумки (чи реально) повернути на 90 градусів, то рядки стануть стовпцями, з тим самим, як раніше для рядків, характером руху одинаків і пар.

Провертаючи в розумі ці обертання стосовно завдання Арто Інкала, ми поступово доходимо до розуміння очевидних обмежень на вибір варіантів цього обертання для обраної трійки рядків або стовпців:

Не повинно бути синхронно (в одному напрямку) трійок і пар, що обертаються - такі трійки, на відміну від трійки одинаків, будемо надалі називати триплетами;

Не має бути асинхронних між собою пар чи асинхронних між собою одинаків;

Не повинно бути обертається в одному (наприклад, у правому) напрямку і пар і одинаків – це повторення попередніх обмежень, але може бути воно зрозуміліше.

Крім цього є й інші обмеження:

Не повинно бути жодної пари в 9-ти рядках, що збігається з парою в якомусь зі стовпців і те саме щодо стовпців і рядків. Це має бути очевидним: тому що сам факт розташування двох цифр в одному рядку свідчить про те, що вони знаходяться у різних стовпцях.

Ще можна сказати, що дуже рідко бувають збіги пар у різних трійках рядків або подібний збіг у трійках стовпців, а також рідко бувають збіги трійок одинаків у рядках та/або стовпцях, але це вже, так би мовити, ймовірні закономірності.

Вивчення блоків 4,5,6.

У блоках 4-6 можливі пари (3+7) та (3+9). Якщо прийняти (3+9), то вийде синхронне неприпустиме обертання триплета (3+7+9), так що маємо пару (7+3). Після підстановки цієї пари та подальшої обробки таблиці звичайними засобами отримаємо:

При цьому ми можемо сказати, що 5 B6=5 може бути лише одиночкою, асинхронної (7+3), а 6 I5=6 є параобразующей, так як вона знаходиться в одному рядку H5=5 в шостому блоці і, отже, вона може бути одиночкою і може рухатися лише синхронно з (7+3.

і розташував кандидатів наодинці за кількістю появи їх у цій ролі у цій таблиці:

Якщо прийняти, що найбільш частотні 2, 4 і 5 є одинаками, то за правилами обертання з ними можуть поєднуватися тільки пари: (7+3), (9+6) і (1+8) - пара (1+9) відкинута, оскільки вона заперечує пару (9+6). Далі після підстановки цих пар і одинаків та подальшої обробки таблиці звичайними методами отримаємо:

Ось така непокірна таблиця виявилася - не хоче оброблятися до кінця.

Доведеться піднатужитися і помітити, що в стовпцях ABC є пара (7+4) і що 6 синхронно переміщається 7 в цих стовпцях, тому 6 - параобразующая, так що в стовпці "C" 4-го блоку можливе лише поєднання (6+3) +8 чи (6+8)+3. Перше з цих поєднань не проходить, тому що тоді в 7-му блоці в стовпці "B" виникне неприпустима синхронна трійка – триплет (6+3+8). Ну а далі, після підстановки варіанта (6+8)+3 та обробки таблиці звичайним способом приходимо до успішного завершення завдання.

Другий варіант: повернемося до таблиці, отриманої після виявлення поєднання (7+3)+5 у рядках 456 і перейдемо до дослідження шпальт ABC.

Тут ми можемо помітити, що пара (2+9) не може бути в ABC. Інші комбінації (2+4), (2+7), (9+4) та (9+7) дають синхронну трійку - триплет в A4+A5+A6 та B1+B2+B3, що неприйнятно. Залишається одна прийнятна пара (7+4). Причому 6 і 5 рухаються синхронно 7, отже параобразующие, тобто. утворюють якісь пари, але не 5+6.

Складемо список можливих пар та їх поєднань з одиночками:

Поєднання (6+3)+8 не минає, т.к. інакше утворюється неприпустима трійка-триплет в одному стовпці (6+3+8), про що вже говорили і в чому можемо ще раз переконатися, перевіривши всі варіанти. З кандидатів наодинці найбільше очок набирає цифра 3, а найімовірніше з усіх наведених поєднань: (6+8)+3, тобто. (С4 = 6 + C5 = 8) + C6 = 3, що дає:

Далі найімовірніший кандидат наодинці або 2, або 9 (по 6 балів), однак у кожному з цих випадків залишається чинним кандидат 1 (4 бали). Почнемо з (5+29)+1 де 1 асинхронно 5, тобто. поставимо 1 з В5=1 як асинхронну одиначку у всі стовпці ABC:

У блоці 7, стовпець A, можливі лише варіанти (5+9)+3 та (5+2)+3. Але ми краще звернемо увагу на те, що в рядках 1-3 тепер виявилися пари (4+5) та (8+9). Їх підстановка призводить до швидкого результату, тобто. до завершення завдання після опрацювання таблиці звичайними засобами.

А тепер, потренувавшись на попередніх варіантах, ми можемо спробувати вирішити завдання Арто Інкала без залучення статистичних оцінок.

Знову повертаємось у вихідне положення:

У блоках 4-6 можливі пари (3+7) та (3+9). Якщо прийняти (3+9), то вийде синхронне неприпустиме обертання триплета (3+7+9), так що для підстановки в таблицю маємо тільки варіант (7+3):

5 тут, як бачимо, одинак, 6 – параобразующая. Допустимі варіанти в ABC5: (2+1)+8, (2+1)+9, (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1) +2. Але (2+1) асинхронна (7+3), тому залишаються (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2. У будь-якому випадку 1 є синхронною (7+3) і, отже, параутворюючою. Підставимо 1 у цій якості в таблицю:

Цифра 6 є параобразующей в бл. 4-6, але пари (6+4), що кидається в очі, немає в списку допустимих пар. Отже четвірка A4=4 асинхронна 6:

Так як D4+E4=(8+1) і згідно з аналізом обертання утворює цю пару, то отримуємо:

Якщо комірки C456=(6+3)+8, то B789=683, тобто. вийде синхронна трійка-триплет, так що залишається варіант (6+8)+3 і результат його підстановки:

B2=3 тут одинак, С1=5 (асинхронна 3) - параобразующая, A2=8 - також параобразующая. В3=7 може бути синхронної і асинхронної. Тепер ми можемо проявити себе і на складніших прийомах. Натренованим поглядом (чи хоча б під час перевірки на комп'ютері) бачимо, що з будь-якому статусі В3=7 – синхронному чи асинхронному – ми отримуємо той самий результат A1=1. Отже, ми можемо підставити це значення в A1 і далі вже більш звичайними простими засобами завершити наше, вірніше Арто Інкала завдання:

Так чи інакше, ми змогли розглянути і навіть проілюструвати три загальні підходи на шляху вирішення проблем: визначити точку розуміння проблеми (не ймовірний чи сліпо декларований, а реальний момент, починаючи з якого ми можемо говорити про розуміння проблеми), вибрати модель, що дозволяє реалізувати розуміння за допомогою натурного чи уявного експерименту і – це по-третє – довести ступінь розуміння та сприйняття досягнутих при цьому результатів до стану самоочевидності та простоти. Є ще четвертий підхід, який застосовую особисто я.

У кожної людини трапляються стани, коли інтелектуальні завдання і проблеми, що стоять перед ним, і проблеми вирішуються легше, ніж це буває зазвичай. Ці стани цілком можна відтворювати. Для цього треба опанувати техніку відключення думок. Спочатку хоча б на частки секунди, потім, все більше розтягуючи цей момент, що відключає. Далі розповідати, вірніше рекомендувати, щось щодо цього не можу, тому що тривалість застосування цього методу справа суто особиста. Але я вдаюсь до цього способу часом надовго, коли переді мною постає проблема, до якої я не бачу варіантів того, як до неї можна підійти і вирішити. В результаті, раніше чи пізніше з комор пам'яті випливає відповідний прообраз моделі, яка прояснює суть того, що потрібно дозволити.

Завдання Інкалу я вирішив декількома способами, зокрема описаними в попередніх статтях. І завжди тією чи іншою мірою використовував цей четвертий підхід з відключенням та подальшою концентрацією розумових зусиль. Найшвидше вирішення завдання я отримав простим перебором – що називається "методом тику" – правда, з використанням лише "довгих" варіантів: тих, що могли швидко призвести до виходу на позитивний чи негативний результат. Інші варіанти забирали у мене більше часу, тому що основний час витрачався на хоча б чорнове відпрацювання технології застосування цих варіантів.

Хороший також варіант у дусі четвертого підходу: налаштовуватись на вирішення задач судоку, підставляючи лише за єдиною цифрою в комірку в процесі вирішення задачі. Тобто, більшість задачі та її даних "прокручуються" в умі. Саме так і відбувається основна частина процесу вирішення інтелектуальних проблем, і цю навичку слід тренувати заради розширення своїх можливостей у вирішенні проблем. Я, наприклад, не професійний вирішувач судоку. Я маю інші завдання. Проте хочу поставити перед собою таку мету: знайти вміння вирішувати завдання судоку підвищеної складності, без робочої таблиці і не вдаючись до підстановки більше однієї цифри в одну порожню клітку. При цьому допускається будь-який спосіб розв'язання судоку, включаючи простий перебір варіантів.

Про перебір варіантів я згадую тут невипадково. Будь-який підхід до вирішення завдань судоку передбачає у своєму арсеналі набір певних способів, включаючи той чи інший вид перебору. При цьому будь-який із способів, що застосовуються в судоку зокрема або при вирішенні будь-яких інших проблем, має свою сферу його ефективного застосування. Так, при вирішенні щодо простих завданьсудоку найбільш ефективні прості "базові" способи, описані в численних статтях з цієї теми в інтернеті, а складніший "метод обертання" виявляється тут найчастіше марним, тому що він лише ускладнює хід простого рішенняі при цьому якоїсь нової інформації, що виявляється в ході вирішення завдання, не дає. Але в найскладніших випадках, як завдання Арто Інкала, "метод обертання" може відігравати ключову роль.

Судоку в моїх статтях лише ілюстративний приклад підходів до вирішення проблем. Серед вирішених мною завдань є і на порядок складніше судоку. Наприклад, розташовані на нашому сайті комп'ютерні моделіроботи котлів та турбін. Про них я теж був би не проти розповісти. Але поки що я вибрав саме судоку, щоб досить наочно показати своїм молодим співгромадянам можливі шляхи та етапи просування до кінцевої мети вирішуваних проблем.

На сьогодні поки що все.