Закони кірхгофа 1 і 2 для ланцюга. Перший закон кірхгофа


Велика кількістьЕлектричні ланцюги на практиці складні. Однак у ланцюг будь-якого рівня складності має елементи двох найпростіших видів. Це вузли та замкнуті контури. Вузол - це будь-яка точка розгалуження ланцюга, в якій зійшлося три або більше провідників, якими течуть струми.

Друге правило (закон) Кірхгофа є наслідком узагальненого закону Ома. Так, якщо в ізольованому замкнутому ланцюзі є одне джерело ЕРС, то сила струму в ланцюзі буде такою, що сума падіння напруги на зовнішньому опорі і внутрішньому опорі джерела дорівнюватиме сторонній ЕРС джерела. Якщо джерел ЕРС кілька, то беруть їхню алгебраїчну суму. Знак ЕРС вибирається позитивним, якщо під час руху по контуру в позитивному напрямку першим зустрічається негативний полюс джерела. (За позитивний напрямок обходу контуру приймають напрямок обходу ланцюга або за годинниковою стрілкою або проти неї).

Формулювання другого закону Кірхгофа

Добуток величини алгебри сили струму (I) на суму весняних і внутрішніх опорів усіх ділянок замкнутого контуру дорівнює сумі алгебраїчних значень сторонніх ЕРС () контуру, що розглядається:

Кожен твір визначає різницю потенціалів, яка існувала б між кінцями відповідної ділянки, якби ЕРС у ньому дорівнювала нулю. Величину називають падінням напруги, що викликається струмом.

Другий закон Кірхгофа іноді формулюють так:

Для замкнутого контуру сума падінь напруги є сума ЕРС в контурі, що розглядається.

Правила Кірхгофа служать у тому, щоб скласти систему рівнянь, дозволяють знайти силу струму для складної ланцюга. Напрямок позитивного обходу вибирають всім контурів однаковим. При складанні рівнянь, використовуючи правила Кірхгофа, необхідно уважно стежити за розстановкою знаків струмів і ЕРС.

Система рівнянь, яка виходить при використанні першого та другого закону Кірхгофа є повною і дає змогу знайти всі струми. При складанні рівнянь, використовуючи правила Кірхгофа, треба стежити за тим, щоб нове рівняння мало хоча б одну величину, яка ще не увійшла до попередніх рівнянь. Крім того, необхідно, щоб система рівнянь мала число рівнянь, що дорівнює кількості невідомих.

Другий закон Кірхгофа випливає з того, що електрична напругапо замкнутому контуру дорівнює нулю, тобто це правило є наслідком основної властивості електростатичного поля, Яке полягає в тому, що робота поля при русі заряду по замкнутій траєкторії дорівнює нулю.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання Застосуйте друге правило Кірхгофа для рис.1 і запишіть рівняння розглянувши контури: ABDCA; ABFEA

Рішення Напрямок обходу контуру задамо за допомогою послідовності літер у його позначенні. Так для контуру маємо напрямок обходу за годинниковою стрілкою. Розглядаючи цей ланцюг надалі напрями обходу контурів змінювати не можна. Позитивними вважатимемо струми, які збігаються з напрямом обходу контуру. Для контуру зі знаком плюс будуть до другого правила Кірхгофа входити струм: , зі знаком мінус струм. Відповідно до правила вибору знака ЕРС, сформульованому в теоретичній частині, в аналізований контур і будуть позитивними. Рівняння, яке відповідає другому правилу Кірхгофа для контуру запишемо як:

де і - внутрішні опірджерел ЕРС; і - Зовнішні опори.

Розглянемо контур. Струм згідно з обраними нами напрямками буде позитивним у другому законі Кірхгофа, то - негативним. ЕРС увійде до рівняння зі знаком мінус. Отримаємо:
Відповідь Для контуру. Для контуру отримали:

ПРИКЛАД 2

Завдання Нехай n однакових джерел ЕРС з'єднані послідовно та замкнуті на зовнішній ланцюг (рис.2). Чому дорівнює ЕРС даного ланцюга, якщо ЕРС кожного джерела дорівнює, внутрішній опір кожного джерела? Опір зовнішнього ланцюга R.

У ланцюгах, що складаються з послідовно з'єднаних джерела і приймача енергії, співвідношення між струмом, ЕРС і опором всього ланцюга або між напругою і опором на якійсь ділянці ланцюга визначається законом Ома .

На практиці в ланцюгах, струми, від будь-якої точки, йдуть різними шляхами.
Крапки, де сходяться кілька провідників, називаються вузлами, а ділянки ланцюга, що з'єднують два сусідні вузли, гілками.

У замкненому електричному ланцюзі в жодному її точці не можуть накопичуватися електричні зарядитак, як це викликало б зміну потенціалів точок ланцюга. Тому електричні заряди, що припливають до якого-небудь вузла в одиницю часу, дорівнюють зарядам, що витікають від цього вузла за ту саму одиницю.
Розгалужена ланцюг.
У вузлі Аланцюг розгалужується на чотири гілки, які сходяться у вузол У .

Позначимо струми в нерозгалуженій частині ланцюга - I, а у гілках відповідно

I1 , I2, I3, I4.

У цих струмів у такому ланцюгу буде співвідношення:

I = I1+I2+I3+I4;

Сума струмів, що підходять до вузлової точки електричного ланцюга,
дорівнює сумі струмів, що від цього вузла.



При паралельному з'єднаннірезисторів струм проходить за чотирма напрямками, що зменшує загальний опір або збільшує загальну провідністьланцюга, що дорівнює сумі провідностей гілок.

Позначимо силу струму в нерозгалуженій гілці буквою I.
Силу струму в окремих гілках відповідно I1 , I2, I3і I4 .
Напруга між точками Aі B - U.
Загальний опір між цими точками - R.

За законом Ома напишемо:

I = U/R; I1 = U/R1; I2 = U/R2; I3 = U/R3; I4 = U/R4 ;

Відповідно до першого закону Кірхгофа:

I = I1+I2+I3+I4 ; або U/R = U/R1+U/R2+U/R3+U/R4 .

Скоротивши обидві частини одержаного виразу на U отримаємо:

1/R = 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4 , що й потрібно було довести.

Співвідношення будь-якого числа паралельно з'єднаних резисторів.
У випадку, якщо в ланцюзі міститься два паралельно з'єднані резистори
R1і R2, то можна написати рівність:

1/R =1/R1+1/R2 ;

З цієї рівності знайдемо опір R, Яким можна замінити два паралельно з'єднаних резистора:

Отримане вираз має велике практичне застосування.
Завдяки цьому закону здійснюються розрахунки електричних кіл.

Другий закон Кірхгофа

У замкнутому контурі електричного ланцюга сума всіх ОДС дорівнює
сумі падіння напруги в опорах того самого контуру.


E1 + E2 + E3 + ... + En = I1R1 + I2R2 + I3R3 + ... + InRn . При складанні рівнянь вибирають напрямок обходу ланцюга і довільно задаються напрямками струмів.

Якщо в електричному ланцюзі включені два джерела енергії, ОДС яких збігаються у напрямку, тобто згідно з ізо1, то ОДС всього ланцюга дорівнює сумі ЕДС цих джерел,
тобто.
E = E1+E2 .

Якщо ж у ланцюг включено два джерела, ОДС яких мають протилежні напрямки, тобто включені зустрічно з2, то загальна ОДС ланцюга дорівнює різниці ЕДС цих джерел
Е = Е1-Е2.

При послідовному включенні в електричний ланцюгкількох джерел енергії з різним напрямомЕДС загальна ЕДС дорівнює сумі ЕДС всіх джерел.

Складаючи ЕДС одного напрямку, беруть зі знаком плюс, а ЕДС протилежного напрямку - зі знаком мінус.

У нашому випадку, при зустрічному включенні положення щупів припали на протилежну полярність джерела більшої напруги, тому на приладі негативний знак.

Завдяки цим законам здійснюються розрахунки електричних кіл.
Існує кілька методів розрахунку, один із них "Метод вузлових напруг"

Два прийоми, які застосовують для спрощення процесу складання рівнянь, необхідних при розрахунках складних розгалужених ланцюгів постійного струму, називають законами (вірніше було б сказати правилами) Кірхгофа. Перш ніж перейти до самих правил Кірхгофа введемо два необхідні визначення.

Розгалуженими ланцюгами названо ланцюги, які мають кілька замкнутих контурів, кілька джерел електрорушійної сили(ЕРС).

Вузлом розгалуженого ланцюга називають точку, в якій сходяться три або більше провідників із струмами.

Перший закон (правило) Кірхгофа, простими словами

Перше правило Кірхгофа називають правилом вузлів, оскільки воно стосується сил струмів у кайданах ланцюга. Словесно перший закон Кірхгофа формулюють так: Алгебраїчна сума сил струмів у вузлі дорівнює нулю. У вигляді формули це правило запишемо як:

З яким знаком сила струму входитиме у суму (1), залежить від довільного вибору. Але при цьому слід вважати, що всі струми, що входять у вузол, мають однакові знаки, а всі струми, що виходять з вузла, мають протилежні вхідним, знаки. Нехай всі вхідні струми ми приймемо за позитивні, тоді всі струми, що їх виходять цього вузла, будуть негативними. Якщо напрями струмів спочатку не задані, їх задають довільно. Якщо під час розрахунків отримано, що сила струму негативна, отже, правильний напрямок струму є протилежним тому, яке припускали.

Перший закон Кірхгофа є наслідком закону збереження заряду. Якщо в ланцюзі течуть тільки постійні струми, то немає в цьому ланцюгу точок, які б накопичували заряд. Інакше струми були б постійними.

Перший закон Кірхгофа дає можливість скласти незалежне рівняння, за наявності ланцюга k вузлів.

Другий закон (правило) Кірхгофа, простими словами

Другий закон Кірхгофа відносять до замкнутих контурів, тому його називають правилом контурів. Згідно з цим правилом суми творів алгебраїчних величин сил струму на зовнішні і внутрішні опори всіх ділянок замкнутого контуру дорівнюють сумі алгебри величин сторонніх ЕРС (), що входять в аналізований контур. У вигляді формули другий закон Кірхгофа запишемо як:

де величину часто називають падінням напруги; N - кількість ділянок обраного контуру. При використанні другого правила Кірхгофа важливо пам'ятати про напрям обходу контуру. Як це робиться? Довільно виберемо напрямок обходу контуру, що розглядається в задачі (за годинниковою стрілкою або проти неї). У разі збігу напрямку обходу контуру з напрямом сили струму в аналізованому елементі величина входить у (2) зі знаком плюс. ЕРС увійде у суму правої частини виразу (2) зі знаком плюс, якщо при русі вздовж контуру, відповідно до обраного напряму обходу першим ми зустрічаємо негативний полюс джерела ЕРС.

Використовуючи друге правило Кірхгофа можна отримати незалежні рівняння тих контурів ланцюга, які отримані накладенням вже описаних контурів. Кількість незалежних контурів (n) дорівнює:

де p - кількість гілок у ланцюзі; k – число вузлів.

Кількість незалежних рівнянь, які дадуть обидва правила Кірхгофа, дорівнює (s):

Робимо висновок у тому, що кількість незалежних рівнянь дорівнюватиме кількості різних струмів у досліджуваної ланцюга.

Друге правило Кірхгофа - наслідок закону Ома. У принципі будь-який ланцюг можна розрахувати, застосовуючи лише закон Ома та закон збереження заряду. Правила Кірхгофа є лише спрощуючими прийомами для вирішення завдань, що розглядають ланцюги постійного струму.

Використовуючи правила Кірхгофа для складання рівнянь, необхідно уважно стежити за розстановкою знаків струмів та ЕРС.

Перше і друге правила Кірхгофа дають метод розрахунку ланцюга, тобто використовуючи їх можна знайти всі струми в ланцюзі, якщо відомі всі ЕРС та опори, у тому числі внутрішні опори джерел.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання Як слід записати рівняння струмів, використовуючи перше правило Кірхгофа для вузла А, зображеного на рис.1

Рішення Перш ніж застосовувати перше правило Кірхгофа визначимо для себе, що позитивними будуть струми, які входять у вузол А, тоді струми, що виходять з цього вузла, ми повинні будемо записати в першому правилі Кірхгофа зі знаком мінус. З рис. 1 у вузол А входять струми:

З вузла А виходять струми:

Тоді згідно з правилом вузлів маємо:
Відповідь

ПРИКЛАД 2

Завдання Складіть систему незалежних рівнянь, використовуючи правила Кірхгофа, яка дозволить знайти всі струми в ланцюзі, представленому на рис.2, якщо відомі всі ЕРС та всі опори (вони вказані на малюнку)?

Рішення Напрями струмів виберемо довільно, позначимо їх у рис.1. Нехай через опір тече струм. На рис.2 видно, що у нашому ланцюгу два вузли. Це точки A та С. Запишемо перше правило Кірхгофа для вузла А: