Об'єм чотирикутної піраміди. Об'єм піраміди


Тут розберемо приклади, пов'язані з поняттям обсягу. Для вирішення подібних завдань обов'язково потрібно знати формулу обсягу піраміди:

S

h – висота піраміди

Підставою може бути будь-який багатокутник. Але в більшості завдань на ЄДІ мова в умові, як правило, йде про правильні піраміди. Нагадаю одну з її властивостей:

Вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування

Подивіться на проекцію правильної трикутної, чотирикутної та шестикутної пірамід (ВИД Зверху):


Можете на блозі, де розбиралися завдання, пов'язані зі знаходженням обсягу піраміди.Розглянемо завдання:

27087. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 1, а висота дорівнює кореню з трьох.

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Знайдемо площу основи піраміди, це правильний трикутник. Скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Відповідь: 0,25

27088. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 2, а об'єм дорівнює кореню з трьох.

Такі поняття як висота піраміди та характеристики її основи пов'язані формулою об'єму:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Сам обсяг нам відомий, площу основи можемо знайти, оскільки відомі сторони трикутника, який є основою. Знаючи зазначені величини легко знайдемо висоту.

Для знаходження площі основи скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Таким чином, підставивши дані значення формулу обсягу можемо обчислити висоту піраміди:

Висота дорівнює трьом.

Відповідь: 3

27109. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6, бічне ребро дорівнює 10. Знайдіть її об'єм.

Обсяг піраміди обчислюється за такою формулою:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Висота нам відома. Необхідно знайти площу основи. Нагадаю, що вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування. Підставою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Ми можемо знайти його діагональ. Розглянемо прямокутний трикутник (виділений синім):

Відрізок з'єднує центр квадрата з точкою Це катет, який дорівнює половині діагоналі квадрата. Цей катет можемо вирахувати за теоремою Піфагора:

Значить BD = 16. Обчислимо площу квадрата, скориставшись формулою площі чотирикутника:

Отже:

Таким чином, обсяг піраміди дорівнює:

Відповідь: 256

27178. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об'єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро цієї піраміди.

Висота піраміди та її та обсяг відомі, значить можемо знайти площу квадрата, який є основою. Знаючи площу квадрата, ми зможемо знайти його діагональ. Далі розглянувши прямокутний трикутник по теоремі Піфагора обчислимо бічне ребро:

Знайдемо площу квадрата (підстави піраміди):

Обчислимо діагональ квадрата. Так як його площа дорівнює 50, то сторона дорівнюватиме кореню з п'ятдесяти і за теоремою Піфагора:

Точка О поділяє діагональ BD навпіл, отже катет прямокутного трикутника ОВ = 5.

Таким чином, можемо обчислити чому одно бічне ребро піраміди:

Відповідь: 13

245353. Знайдіть об'єм піраміди, зображеної на малюнку. Її основою є багатокутник, сусідні сторони якого перпендикулярні, а одне з бічних ребер перпендикулярно площині основи і 3.

Як неодноразово було сказано – обсяг піраміди обчислюється по формуле:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Бокове ребро перпендикулярне до основи дорівнює трьом, це означає, що висота піраміди дорівнює трьом. Основи піраміди – це багатокутник, площа якого дорівнює:

Таким чином:

Відповідь: 27

27086. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 та 4. Її об'єм дорівнює 16. Знайдіть висоту цієї піраміди.

На цьому все. Успіху Вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Слово «піраміда» мимоволі асоціюється з величними велетнями в Єгипті, що вірно зберігають спокій фараонів. Можливо тому піраміду як безпомилково дізнаються всі, навіть діти.

Проте спробуємо дати їй геометричне визначення. Представимо на площині кілька точок (А1, А2, ..., Ап) і ще одну (Е), що не належала їй. Так от, якщо точку Е (вершину) з'єднати з вершинами багатокутника, утвореного точками А1, А2,..., Ап (основа), вийде багатогранник, який і називають пірамідою. Очевидно, що вершин у багатокутника в основі піраміди може бути скільки завгодно, і в залежності від їх кількості піраміду можна назвати трикутною та чотирикутною, п'ятикутною тощо.

Якщо уважно придивитися до піраміди, то стане зрозуміло, чому її визначають ще й по-іншому – як геометричну фігуру, що має в основі багатокутник, а як бічні грані - трикутники, об'єднані загальною вершиною.

Оскільки піраміда – просторова постать, то й у неї є така кількісна характеристика, як обчислюють за добре відомою рівною третиною твору підстави піраміди на її висоту:

Об'єм піраміди при виведенні формули спочатку розраховується для трикутної, взявши за основу постійне співвідношення, що зв'язує цю величину з обсягом трикутної призми, що має ту саму основу і висоту, яка, як виявляється, втричі перевищує цей обсяг.

А оскільки будь-яка піраміда розбивається на трикутні, і її обсяг не залежить від побудов, що виконуються при доказі, правомірність наведеної формули обсягу - очевидна.

Особняком серед усіх пірамід стоять правильні, у яких в основі лежить Що ж до , то вона повинна «закінчуватися» в центрі основи.

У разі неправильного багатокутника у підставі для обчислення площі основи потрібно:

  • розбити його на трикутники та квадрати;
  • підрахувати площу кожного з них;
  • скласти отримані дані.

У разі правильного багатокутника на основі піраміди, його площу розраховують за готовими формулами, тому обсяг правильної піраміди обчислюється дуже просто.

Наприклад, щоб обчислити об'єм чотирикутної піраміди, якщо вона правильна, зводять довжину сторони правильного чотирикутника (квадрату) в основі квадрат і, помноживши на висоту піраміди, ділять отриманий добуток на три.

Обсяг піраміди можна обчислити, використовуючи інші параметри:

  • як третина добутку радіусу кулі, вписаної в піраміду, на площу її повної поверхні;
  • як дві третини твору відстані між двома довільно взятими ребрами, що схрещуються, і площі паралелограма, який утворюють середини решти чотирьох ребер.

Об'єм піраміди обчислюється просто і у разі, коли його висота збігається з одним з бічних ребер, тобто у разі прямокутної піраміди.

Говорячи про піраміди, не можна залишити без уваги також усічені піраміди, отримані перетином піраміди паралельної основи площиною. Їх обсяг практично дорівнює різниці обсягів цілої піраміди та відсіченої вершини.

Першим обсяг піраміди, правда не зовсім у його сучасному виглядіПроте рівним 1/3 обсягу відомої нам призми знайшов Демокріт. Його метод підрахунку Архімед назвав «без доказу», оскільки Демокріт підходив до піраміди, як до фігури, складеної з нескінченно тонких, подібних до пластинок.

До питання знаходження обсягу піраміди «звернулась» і векторна алгебра, використовуючи при цьому координати її вершин. Піраміда, збудована на трійці векторів a, b, cдорівнює одній шостій від модуля змішаного добутку заданих векторів.

Прямокутною називається піраміда, одне з ребер якої перпендикулярно до її основи, тобто стоїть під кутом 90˚. Це ребро є одночасно висотою прямокутної піраміди. Формулу обсягу піраміди вперше вивів Архімед.

Вам знадобиться

  • - ручка;
  • - папір;
  • - Калькулятор.

Інструкція

  • У прямокутній піраміді висотою буде її ребро, яке стоїть під кутом 90˚ до основи. Як правило, площу основи прямокутної піраміди позначають як S, а висоту, яка одночасно є ребром піраміди, − h. Тоді, щоб знайти обсяг цієї піраміди, необхідно площу її основи помножити на висоту і розділити на 3. Таким чином, об'єм прямокутної піраміди обчислюється формулою: V=(S*h)/3.

    • Прочитайте умову завдання. Допустимо, дана прямокутна піраміда ABCDES. У її основі лежить п'ятикутник, площа якого 45 см ². Довжина висоти SE дорівнює 30 див.

  • Побудуйте піраміду, слідуючи заданим параметрам. Її основу позначте латинськими літерами ABCDE, а вершину піраміди - S. Оскільки креслення вийде на площині в проекції, то щоб не заплутатися, позначте вже відомі вам дані: SE=30см; S(ABCDE)=45 см².
  • Обчисліть об'єм прямокутної піраміди за допомогою формули. Підставивши дані та зробивши підрахунки, вийде, що обсяг прямокутної піраміди дорівнюватиме: V=(45*30)/3=см³.
  • Якщо в задачі немає даних про площу основи і висоту піраміди, то потрібно провести додаткові обчислення для отримання цих величин. Площа основи обчислюватиметься залежно від того, який багатокутник лежить у її основі.
  • Висоту піраміди дізнаєтеся, якщо відома гіпотенуза будь-якого прямокутних трикутників EDS або EAS та кут, під яким нахилена бічна грань SD або SA до її основи. Обчисліть катет SE за теоремою синусів. Він і буде висотою прямокутної піраміди.

h- Висота піраміди

S- площа основи ABCDE

V- обсяг піраміди

У геометрії пірамідою називають тіло, яке має в основі багатокутник, а всі його грані є трикутниками із загальною вершиною. Залежно від того, яка саме фігура лежить у основі, піраміди поділяються на трикутні, чотирикутні, п'ятикутні тощо. Крім того, розрізняють правильні, усічені, прямокутні та довільні піраміди. Формула для обчислення обсягуцього тіла не відрізняється складністю і всім відома зі шкільного курсу геометрії.

Класичним прикладом використання пірамід в архітектурі є єгипетські гробниці фараонів, багато з яких мають саме таку форму. Слід зазначити, що аналогічні споруди (хоча і дещо видозмінені) зустрічаються і в інших частинах світу та країнах, наприклад, у Мексиці та Китаї, причому характерно, що практично скрізь є або усипальницями, або культовими спорудами. Звичайно, при їх проектуванні стародавні архітектори навряд чи прагнули визначити обсяг своїх дітищ, а ось їхнім послідовникам робити це напевно доводиться.

Сучасні зодчі також часом створюють пірамідальні будівлі, в яких найчастіше розташовуються об'єкти соціально-культурного призначення (торгово-розважальні комплекси, виставкові галереї тощо), і при цьому розраховувати обсяг цих споруд необхідно для того, щоб вони відповідали прийнятим будівельним нормам, правилам та нормативам. Крім того, точне значення цієї величини потрібно для того, щоб найбільш раціонально розмістити в будові інженерні комунікації.

У Останніми рокамивсе більшу популярність завойовують теплиці, що мають форму піраміди. Найчастіше вони будуються з прозорого полікарбонату і, як стверджують їх розробники, мають суттєві переваги перед традиційними. Оскільки при одній і тій же загальній площі основи обсяг повітря, що міститься в них, приблизно в три рази менше, то і нагрівається він істотно швидше. До того ж, розподіляється він раціональніше, оскільки простору для найтеплішого газу, що накопичується вгорі, у пірамідальній теплиці також менше.

Пірамідичасто можна зустріти і в звичайних квартирах, заміських будинкахта котеджах. Їхню форму нерідко мають розтруби кухонних витяжок, що використовуються для ефективного відведення з приміщень гарячого повітря, диму та гару. У вигляді зрізаних пірамід часто виготовляються ті елементи вентиляційних систем, які застосовуються для зчленування повітроводів, що мають різний переріз.

Однією з найпопулярніших головоломок є так звана пірамідка Мефферта», яку нерідко називають « тетраедром Рубіка», хоча угорський архітектор та винахідник не має до неї жодного відношення. Кожна з її граней розділена на дев'ять різнокольорових правильних трикутників, і мета граючого полягає в тому, щоб привести іграшку в такий вигляд, щоб на кожній окремій грані всі її елементи мали однаковий колір.

Чотирикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить квадрат, а всі бічні грані є однаковими рівнобедреними трикутниками.

Цей багатогранник має безліч різних властивостей:

  • Його бічні ребра та прилеглі до них двогранні кути рівні між собою;
  • Площі бічних граней однакові;
  • В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат;
  • Висота, опущена з вершини піраміди, перетинається з точкою перетину діагоналей основи.

Всі ці властивості допомагають легко знаходити. Однак досить часто, крім неї, потрібно розрахувати обсяг багатогранника. Для цього застосовується формула об'єму чотирикутної піраміди:

Тобто обсяг піраміди дорівнює одній третій добутку висоти піраміди на площу основи. Оскільки дорівнює добутку його рівних сторін, ми відразу вписуємо у вираз обсягу формулу площі квадрата.
Розглянемо приклад розрахунку обсягу чотирикутної піраміди.

Нехай дана чотирикутна піраміда, в основі якої лежить квадрат зі стороною a = 6 см. Бічна грань піраміди дорівнює b = 8 см. Знайдіть об'єм піраміди.

Щоб знайти обсяг заданого багатогранника, нам знадобиться довжина його висоти. Тому ми знайдемо її, застосувавши теорему Піфагора. Спочатку розрахуємо довжину діагоналі. У синьому трикутнику вона буде гіпотенузою. Варто також пам'ятати, що діагоналі квадрата рівні між собою і в точці перетину діляться навпіл:


Тепер із червоного трикутника знайдемо необхідну нам висоту h . Вона дорівнюватиме:

Підставимо необхідні значення та знайдемо висоту піраміди:

Тепер, знаючи висоту, можемо підставляти всі значення формулу обсягу піраміди і розраховувати необхідну величину:

Ось таким чином, знаючи дещо простих формулМи змогли розрахувати обсяг правильної чотирикутної піраміди. Не забувайте, що ця величина вимірюється в кубічних одиницях.