Таблиця значень тригонометричних функцій

Примітка. У цій таблиці значень тригонометричних функцій використовується знак для позначення квадратного кореня. Для позначення дробу – символ "/".

Див. такожкорисні матеріали:

Для визначення значення тригонометричної функції, знайдіть його на перетині рядка із зазначенням тригонометричної функції. Наприклад, синус 30 градусів - шукаємо колонку із заголовком sin (синус) і знаходимо перетин цієї колонки таблиці з рядком "30 градусів", на їх перетині зчитуємо результат - одна друга. Аналогічно знаходимо косинус 60градусів, синус 60градусів (ще раз, у перетині колонки sin (синус) та рядки 60 градусів знаходимо значення sin 60 = √3/2) тощо. Так само знаходяться значення синусів, косінусів і тангенсів інших "популярних" кутів.

Синус пі, косинус пі, тангенс пі та інших кутів у радіанах

Наведена нижче таблиця косінусів, синусів та тангенсів також підходить для знаходження значення тригонометричних функцій, аргумент яких заданий у радіанах. Для цього скористайтеся другою колонкою значень кута. Завдяки цьому можна перевести значення популярних кутів із градусів у радіани. Наприклад, знайдемо кут 60 градусів у першому рядку і під ним прочитаємо його значення у радіанах. 60 градусів дорівнює π/3 радіан.

Число пі однозначно виражає залежність довжини кола від градусної міри кута. Таким чином, пі радіан дорівнюють 180 градусам.

Будь-яке число, виражене через пі (радіан), можна легко перевести в градусну міру, замінивши число пі (π) на 180.

Приклади:
1. Сінус пі.
sin π = sin 180 = 0
таким чином, синус пі - це те саме, що синус 180 градусів і він дорівнює нулю.

2. Косинус пі.
cos π = cos 180 = -1
таким чином, косинус пі - це те саме, що косинус 180 градусів і він дорівнює мінус одиниці.

3. Тангенс пі
tg π = tg 180 = 0
таким чином, тангенс пі - це те саме, що тангенс 180 градусів і він дорівнює нулю.

Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса для кутів 0 - 360 градусів (часті значення)

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах (через число пі)	sin (синус)	cos (Косінус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (Косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Якщо в таблиці значень тригонометричних функцій замість значення функції вказано прочерк (тангенс (tg) 90 градусів, котангенс (ctg) 180 градусів) означає, що при даному значенні градусної міри кута функція не має певного значення. Якщо прочерку немає - клітина порожня, значить ми ще не внесли потрібне значення. Ми цікавимося, за якими запитами до нас приходять користувачі і доповнюємо таблицю новими значеннями, незважаючи на те, що поточних даних про значення косинусів, синусів і тангенсів значень кутів, що найчастіше зустрічаються, цілком достатньо для вирішення більшості завдань.

Таблиця значень тригонометричних функцій sin, cos, tg для найпопулярніших кутів
0, 15, 30, 45, 60, 90...360 градусів
(Цифрові значення "як за таблицями Брадіса")

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Конвертер довжини та відстані Конвертер маси Конвертер мір об'єму сипучих продуктівта продуктів харчування Конвертер площі Конвертер обсягу та одиниць вимірювання в кулінарних рецептахКонвертер температури Конвертер тиску, механічної напруги, модуля Юнга Конвертер енергії та роботи Конвертер потужності Конвертер сили Конвертер часу Конвертер лінійної швидкості Плоский кут Конвертер теплової ефективності та паливної економічності Конвертер чисел в різних системах числення Конвертер одиниць вимірювання кількості інформації Курси валют Розміри жіночого одягу чоловічого одягу та взуття Конвертер кутової швидкості та частоти обертання Конвертер прискорення Конвертер кутового прискорення Конвертер щільності Конвертер питомого обсягу Конвертер моменту сили Конвертер питомої теплоти згоряння (за масою) Конвертер питомої теплоти згоряння різниці температур Конвертер коефіцієнта теплового розширення Конвертер термічного опоруКонвертер питомої теплопровідностіКонвертер питомої теплоємностіКонвертер енергетичної експозиції та потужності теплового випромінювання Конвертер щільності теплового потокуКонвертер коефіцієнта тепловіддачі Конвертер об'ємної витрати Конвертер масової витрати Конвертер молярної витрати Конвертер щільності потоку маси Конвертер молярної концентрації Конвертер масової концентрації в розчині Конвертер динамічної (абсолютної) в'язкості Конвертер кінематичної в'язкості Конвертер поверхневого натягу Конвертер чутливості мікрофонів Конвертер рівня звукового тиску (SPL) Конвертер рівня звукового тиску з можливістю вибору опорного тиску Конвертер яскравості Конвертер сили світла Конвертер освітленості Конвертер роздільної здатності в комп'ютерній графіці Конвертер частоти та довжини хвилі Оптична сила в діоптріях та фокусна відстань Оптична сила в діоптріях та збільшення Конвертер електричного зарядуКонвертер лінійної щільності заряду Конвертер поверхневої щільності заряду Конвертер об'ємної щільностізаряду Конвертер електричного струмуКонвертер лінійної щільності струму Конвертер поверхневої щільності струму Конвертер напруженості електричного поляКонвертер електростатичного потенціалута напруги Конвертер електричного опору Конвертер питомого електричного опору Конвертер електричної провідностіКонвертер питомої електричної провідності Електрична ємність Конвертер індуктивності Конвертер Американського калібру проводів Рівні в dBm (дБм або дБмВт), dBV (дБВ), ватах та ін одиницях Конвертер магніторушійної сили магнітного поляКонвертер магнітного потоку Конвертер магнітної індукції Радіація. Конвертер потужності поглиненої дози іонізуючого випромінювання Радіоактивність. Конвертер радіоактивного розпаду Радіація. Конвертер експозиційної дози. Конвертер поглиненої дози Конвертер десяткових приставок Передача даних Конвертер одиниць типографіки та обробки зображень Конвертер одиниць вимірювання об'єму лісоматеріалів Обчислення молярної маси Періодична система хімічних елементівД. І. Менделєєва

1 радіан [рад] = 57,2957795130823 градусів [°]

Вихідна величина

Перетворена величина

градус радіан град гін хвилина секунда зодіакальний сектор тисячна оборот коло оборот квадрант прямий кут секстант

Електрична провідність

Детальніше про кути

Загальні відомості

Плоский кут - геометрична фігура утворена двома лініями, що перетинаються. Плоский кут складається з двох променів із загальним початком, і ця точка називається вершиною променя. Промені називаються сторонами кута. У кутів багато цікавих властивостей, наприклад, сума всіх кутів у паралелограмі – 360°, а у трикутнику – 180°.

Види кутів

Прямікути дорівнюють 90°, гострі- менше 90°, а тупі- Навпаки, більше 90 °. Кути, рівні 180° називаються розгорнутими, кути в 360° називаються повними, а кути більше розгорнутих але менше повних називаються невипуклими. Коли сума двох кутів дорівнює 90 °, тобто один кут доповнює інший до 90 °, вони називаються додатковими суміжними, а якщо до 360° - то пов'язаними

Коли сума двох кутів дорівнює 90 °, тобто один кут доповнює інший до 90 °, вони називаються додатковими. Якщо вони доповнюють один одного до 180°, вони називаються суміжними, а якщо до 360° - то пов'язаними. У багатокутниках кути всередині багатокутника називаються внутрішніми, а пов'язані із нею - зовнішніми.

Два кути, утворені при перетині двох прямих і не суміжних, називаються вертикальними. Вони рівні.

Вимірювання кутів

Кути вимірюють за допомогою транспортира або обчислюють за формулою, вимірявши сторони кута від вершини до дуги, і довжину дуги, яка ці сторони обмежує. Кути зазвичай вимірюють у радіанах та градусах, хоча існують і інші одиниці.

Можна вимірювати як кути, утворені між двома прямими, і між кривими лініями. Для вимірювання між кривими використовують дотичні у точці перетину кривих, тобто у вершині кута.

Транспортир

Транспортир – інструмент для вимірювання кутів. Більшість транспортірів мають форму півкола або кола і дозволяють виміряти кути до 180 ° і до 360 ° відповідно. У деяких транспортирах вбудована додаткова лінійка, що обертається для зручності у вимірі. Шкали на транспортирах наносять частіше в градусах, хоч іноді вони бувають і в радіанах. Транспортири найчастіше використовують у школі на уроках геометрії, але їх також застосовують в архітектурі та техніці, зокрема в інструментальному виробництві.

Використання кутів в архітектурі та мистецтві

Художники, дизайнери, майстри та архітектори здавна використовують кути для створення ілюзій, акцентів та інших ефектів. Чергування гострих і тупих кутів або геометричні візерунки з гострих кутів часто використовуються в архітектурі, мозаїці та вітражах, наприклад, у будові готичних соборів та в ісламській мозаїці.

Одна з відомих форм ісламського образотворчого мистецтва – прикраса за допомогою геометричного орнаменту гиріх. Цей малюнок застосовують у мозаїці, різьбленні по металу та дереву, на папері та на тканині. Малюнок створюється за допомогою чергування геометричних фігур. Традиційно використовують п'ять фігур зі строго певними кутами з комбінацій 72°, 108°, 144° та 216°. Всі ці кути поділяються на 36 °. Кожна фігура розділена лініями на кілька більш маленьких симетричних фігур, щоб створити тонший рисунок. Спочатку гиріхом називалися самі ці фігури або шматочки для мозаїки, звідси й почалася назва всього стилю. У Марокко існує схожий геометричний стиль мозаїки, зулляйдж чи зілідж. Форма теракотових кахлів, з яких складають цю мозаїку, не дотримується так строго, як у гиріху, і кахлі часто більш химерної форми, ніж суворі геометричні фігуриу гірихі. Незважаючи на це, майстри зулляйджу також використовують кути для створення контрастних та химерних візерунків.

В ісламському образотворчому мистецтвіта архітектурі часто використовується руб аль-хізб - символ у формі одного квадрата, накладеного на інший під кутом 45°, як на ілюстраціях. Він може бути зображений як суцільна фігура або у вигляді ліній - у цьому випадку цей символ називається зіркою Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хізб іноді прикрашають невеликими колами на перетині квадратів. Цей символ використовують у гербах та на прапорах мусульманських країн, наприклад на гербі Узбекистану та на прапорі Азербайджану. Підстави найвищих у світі на момент написання (весна 2013) веж близнюків, веж Петронас побудовані у формі руб аль-хізба. Ці вежі знаходяться в Куала-Лумпурі в Малайзії і в їхньому проектуванні взяв участь прем'єр-міністр країни.

Гострі кути часто використовують в архітектурі як декоративні елементи. Вони надають будівлі строгу елегантність. Тупі кути, навпаки, надають будинкам затишний вигляд. Так, наприклад, ми захоплюємося готичними соборами та замками, але вони виглядають трохи сумно і навіть жахливо. А ось будинок собі ми швидше за все виберемо з дахом з тупими кутамиміж схилами. Кути в архітектурі також використовують для зміцнення різних частинбудівлі. Архітектори проектують форму, розмір і кут нахилу в залежності від навантаження на стіни, що потребують зміцнення. Цей принцип зміцнення за допомогою нахилу використовували ще з давніх часів. Наприклад, античні будівельники навчилися будувати арки без цементу та інших сполучних матеріалів, укладаючи каміння під певним кутом.

Зазвичай будинки будують вертикально, але іноді бувають винятки. Деякі будівлі спеціально будують із нахилом, а деякі нахиляються через помилки. Один із прикладів похилих будівель - Тадж-Махал в Індії. Чотири мінарети, які оточують головну будову, збудовані з нахилом від центру, щоб у разі землетрусу вони впали не всередину, на мавзолей, а в інший бік, і не пошкодили основну будівлю. Іноді будинки будують під кутом до землі в декоративних цілях. Наприклад, Падаюча вежа Абу-Дабі або Capital Gate нахилена на 18° на захід. А одна з будівель у Світі Головоломок Стюарта Лендсборо у місті Ванка у Новій Зеландії нахиляється до землі на 53°. Ця будівля так і називається «Падає вежа».

Іноді нахил будівлі – результат помилки у проектуванні, як наприклад нахил Пізанської вежі. Будівельники не врахували структуру та якість ґрунту, на якому його зводили. Вежа мала стояти прямо, але поганий фундамент не зміг підтримувати її вагу і будівля осіла, покосившись на один бік. Башту багато разів реставрували; остання реставрація в 20-му столітті зупинила її поступове осідання і збільшується нахил. Її вдалося вирівняти з 5.5 ° до 4 °. Башта церкви СуурХусен у Німеччині також нахилена через те, що її дерев'яний фундаментпрогнив з одного боку після осушення болотистого ґрунту, де вона побудована. На даний момент ця вежа нахилена більше, ніж Пізанська – приблизно на 5°.

Ви вагаєтесь у перекладі одиниці виміру з однієї мови на іншу? Колеги готові допомогти вам. Опублікуйте питання у TCTermsі протягом кількох хвилин ви отримаєте відповідь.

Тригонометричні функціїє елементарними функціями, аргументом яких є кут. За допомогою тригонометричних функцій описуються співвідношення між сторонами та гострими кутами у прямокутному трикутнику. Області застосування тригонометричних функцій надзвичайно різноманітні. Так, наприклад, будь-які періодичні процеси можна подати у вигляді суми тригонометричних функцій (ряду Фур'є). Дані функції часто з'являються при вирішенні диференціальних і функціональних рівнянь.

До тригонометричних функцій відносяться такі 6 функцій: синус, косинус, тангенс, котангенс, секансі косеканс. Для кожної із зазначених функцій існує зворотна тригонометрична функція.

Геометричне визначення тригонометричних функцій зручно ввести за допомогою одиничного кола. На наведеному нижче малюнку зображено коло радіусом r= 1. На колі позначено точку M(x,y). Кут між радіус-вектором OMта позитивним напрямком осі Oxдорівнює α .

Синусомкута α yкрапки M(x,y) до радіусу r: sin α = y/r. Оскільки r= 1, то синус дорівнює ординаті точки M(x,y).

Косинусомкута α xкрапки M(x,y) до радіусу r: cos α = x/r = x

Тангенсомкута α називається відношення ординати yкрапки M(x,y) до її абсцисі x: tan α = y/x, x ≠ 0

Котангенсомкута α називається ставлення абсциси xкрапки M(x,y) до її ординати y: cot α = x/y, y ≠ 0

Секанскута α − це відношення радіуса rдо абсциси xкрапки M(x,y): sec α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Косеканскута α − це відношення радіуса rдо ординати yкрапки M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

У одиничному колі проекції x, yкрапки M(x,y) та радіус rутворюють прямокутний трикутник, у якому x, yє катетами, а r− гіпотенузою. Тому наведені вище визначення тригонометричних функцій у додатку до прямокутного трикутника формулюються таким чином: Синусомкута α називається відношення протилежного катета до гіпотенузи. Косинусомкута α називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Тангенсомкута α називається протилежного катета до прилеглого. Котангенсомкута α називається прилеглого катета до протилежного.

Графік функції синус y= sin x, область визначення: x ∈ ℜ , область значень: −1 ≤ sin x ≤ 1

Графік функції косинус y= cos x, область визначення: x ∈ ℜ , область значень: −1 ≤ cos x ≤ 1

Графік функції тангенс y= ttg x, область визначення: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, область значень: −∞< tg x < ∞

Графік функції котангенс y= ctg x, область визначення: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, область значень: −∞< ctg x < ∞

Кути вимірюються в градусах або радіанах. Важливо розуміти зв'язок між цими одиницями виміру. Розуміння цього зв'язку дозволяє оперувати кутами та здійснювати перехід від градусів до радіанів та назад. У цій статті виведемо формулу для переведення градусів у радіани та радіанів у градуси, а також розберемо кілька прикладів із практики.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Зв'язок між градусами та радіанами

Щоб встановити зв'язок між градусами і радіанами, необхідно дізнатися градусний і радіальний захід будь-якого кута. Наприклад, візьмемо центральний кут, що спирається на діаметр кола радіуса r. Щоб обчислити міру радіану цього кута необхідно довжину дуги розділити на довжину радіуса кола. Розглянутому куту відповідає довжина дуги, що дорівнює половині довжини кола π · r . Розділимо довжину дуги на радіус і отримаємо радіальну міру кута: π · r r = π рад.

Отже, розглянутий кут дорівнює π радіан. З іншого боку, це розгорнутий кут, що дорівнює 180°. Отже 180° = π рад.

Зв'язок градусів із радіанами

Зв'язок між радіанами та градусами виражається формулою

π радіан = 180°

Формули переведення радіанів у градуси і навпаки

З формули, отриманої вище, можна вивести інші формули для переведення кутів з радіанів у градуси і з граду в радіани.

Виразимо один радіан у градусах. Для цього розділимо ліву та праву частини радіусу на пі.

1 р а д = 180 π ° - градусна міра кута в 1 радіан дорівнює 180 π .

Також можна виразити один градус у радіанах.

1° = π 180 рад

Можна здійснити приблизні обчислення величин кута в радіанах і навпаки. Для цього візьмемо значення числа з точністю до десятитисячних і підставимо в отримані формули.

1 рад = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °

Отже, в одному радіані приблизно 57 градусів

1 ° = π 180 рад = 3, 1416 180 рад = 0, 0175 рад

Один градус містить 0,0175 радіану.

Формула переведення радіанів у градуси

x р а д = х · 180 π °

Щоб перевести кут із радіанів у градуси, потрібно значення кута в радіанах помножити на 180 і розділити на пі.

Приклади переведення градусів у радіани та радіанів у градуси

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Переведення з радіанів у градуси

Нехай α = 3, 2 рад. Потрібно дізнатися градусний захід цього кута.

Градусний захід кута. Радіанний захід кута. Переведення градусів у радіани та назад.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми опанували відлік кутів на тригонометричному колі. Дізналися, як відраховувати позитивні та негативні кути. Усвідомили, як намалювати кут понад 360 градусів. Настав час розібратися з виміром кутів. Особливо з числом "Пі", яке так і норовить заплутати нас у хитрих завданнях, та...

Стандартні завдання тригонометрії з числом "Пі" вирішуються непогано. Зорова пам'ять рятує. А ось будь-яке відхилення від шаблону – валить наповал! Щоб не впасти - розумітитреба. Що ми з успіхом зараз і зробимо. У сенсі – все зрозуміємо!

Отже, у чому вважаються кути? У шкільному курсі тригонометрії вживаються два заходи: градусний захід кутаі радіальний захід кута. Розберемо ці заходи. Без цього у тригонометрії – нікуди.

Градусний захід кута.

До градусів ми якось звикли. Геометрію сяк-так проходили... Та й у житті частенько зустрічаємося з фразою "повернув на 180 градусів", наприклад. Градус, коротше, штука проста...

Так? Дайте відповідь мені тоді, що таке градус? Що, не виходить із ходу? Отож...

Градуси придумали у Стародавньому Вавилоні. Давненько це було... Віків 40 тому... І придумали просто. Взяли та розбили коло на 360 рівних частин. 1 градус - це 1/360 частина кола. І все. Могли розбити на 100 частин. Або на 1000. Але розбили на 360. До речі, чому саме на 360? Чим 360 краще за 100? 100, начебто якось рівніше... Спробуйте відповісти на це питання. Або слабо проти Стародавнього Вавилону?

Десь у той же час, у Стародавньому Єгиптімучилися іншим питанням. У скільки разів довжина кола більша за довжину її діаметра? І так вимірювали, і так... Все виходило трохи більше трьох. Але якось кудлато виходило, нерівно... Але вони, єгиптяни не винні. Після них ще століть 35 мучилися. Поки що остаточно не довели, що як би дрібно не нарізати коло на рівні шматочки, з таких шматочків скласти рівнодовжину діаметра не можна... У принципі, не можна. Ну, скільки разів коло більше діаметра встановили, звичайно. Приблизно. У 3,1415926... разів.

Це і є число "Пі". Ось уже кудлате, так кудлате. Після коми - нескінченна кількість цифр без жодного порядку... Такі числа називаються ірраціональними. Це, до речі, і означає, що з рівних шматочків кола діаметр рівноне скласти. Ніколи.

Для практичного застосуванняприйнято запам'ятовувати лише дві цифри після коми. Запам'ятовуємо:

Раз ми зрозуміли, що довжина кола більше діаметра в "Пі" раз, має сенс запам'ятати формулу довжини кола:

Де L- Довжина кола, а d- Її діаметр.

У геометрії знадобиться.

Для загальної освіти додам, що число "Пі" сидить не тільки в геометрії ... У різних розділах математики, а особливо в теорії ймовірності, це число виникає постійно! Само по собі. Поза нашими бажаннями. Ось так.

Але повернемося до градусів. Ви зрозуміли, чому у Стародавньому Вавилоні коло розбили на 360 рівних частин? А чи не на 100, наприклад? Ні? Ну добре. Висловлю версію. У стародавніх вавилонян не спитаєш... Для будівництва, чи, скажімо, астрономії, коло зручно ділити на рівні частини. А тепер прикиньте, на які цифри ділиться націло 100, і на які – 360? І в якому варіанті цих дільників націло- Більше? Людям такий поділ дуже зручний. Але...

Як з'ясувалося набагато пізніше Стародавнього Вавилону, не всім подобаються градуси. Вищій математиці вони не подобаються ... Вища математика - жінка серйозна, за законами природи влаштована. І ця жінка заявляє: "Ви сьогодні на 360 частин коло розбили, завтра на 100 розіб'єте, післязавтра на 245... І що мені робити? Ні вже..." Довелося послухатися. Природу не обдуриш...

Довелося запровадити міру кута, що не залежить від людських вигадок. Знайомтесь - радіан!

Радіанний захід кута.

Що таке радіан? В основі визначення радіана – все одно коло. Кут в 1 радіан, це кут, який вирізує з кола дугу, довжина якої ( L) дорівнює довжині радіусу ( R). Дивимося картинки.

Маленький такий кут, майже немає його... Наводимо курсор на картинку (або торкнемося картинки на планшеті) і бачимо приблизно один радіан. L = R

Відчуваєте різницю?

Один радіан набагато більший за один градус. А скільки разів?

Дивимося таку картинку. На якій я намалював півколо. Розгорнутий кут розміром, звичайно, 180°.

А тепер я наріжу це півколо радіанами! Наводимо курсор на картинку і бачимо, що 180° укладається 3 з хвостиком радіана.

Хто вгадає, чому дорівнює цей хвостик!

Так! Цей хвостик - 0,1415926.... Здрастуйте, число "Пі", ми тебе ще не забули!

Справді, в 180 градусах укладається 3,1415926... радіан. Як ви самі розумієте, постійно писати 3,1415926... незручно. Тому замість цього нескінченного числа завжди пишуть просто:

А ось в Інтернеті число

писати незручно... Тому я в тексті пишу його на ім'я - "Пі". Не заплутаєтеся, мабуть?

Ось тепер цілком осмислено можна записати наближену рівність:

Або точну рівність:

Визначимо, скільки градусів в одному радіані. Як? Легко! Якщо в 3,14 радіанах 180 градусів, то в 1 радіані в 3,14 разів менше! Тобто ми ділимо перше рівняння (формула - це теж рівняння!) на 3,14:

Це співвідношення корисно запам'ятати В одному радіані приблизно 60 °. У тригонометрії дуже часто доводиться прикидати, оцінювати ситуацію. Ось тут це знання дуже допомагає.

Але головне вміння цієї теми – переведення градусів у радіани і назад.

Якщо кут заданий у радіанах із числом "Пі", все дуже просто. Ми знаємо, що "Пі" радіан = 180 °. Ось і підставляємо замість "Пі" радіан – 180°. Отримуємо кут у градусах. Скорочуємо, що скорочується, і відповідь готова. Наприклад, нам потрібно з'ясувати, скільки градусіву куті "Пі"/2 радіан? Ось і пишемо:

Або, більш екзотичний вираз:

Чи легко, так?

Зворотний переклад трохи складніший. Але не дуже. Якщо кут дано в градусах, ми повинні зрозуміти, чому дорівнює один градус у радіанах, і помножити це число на кількість градусів. Чому дорівнює 1° у радіанах?

Дивимося на формулу і розуміємо, що якщо 180 ° = "Пі" радіан, то 1 ° в 180 разів менше. Або, іншими словами, ділимо рівняння (формула - це теж рівняння!) на 180. Уявляти "Пі" як 3,14 ніякої потреби немає, його все одно завжди буквою пишуть. Отримуємо, що один градус дорівнює:

От і все. Помножуємо число градусів на це значення та отримуємо кут у радіанах. Наприклад:

Або, аналогічно:

Як бачите, у неспішній бесіді з ліричними відступами з'ясувалося, що радіани – це дуже просто. Та й переклад без проблем... І "Пі" - цілком толерантна штука... То звідки плутанина!?

Незабаром таємницю. Справа в тому, що в тригонометричних функціях значок градусів пишеться. Завжди. Наприклад, sin35 °. Це синус 35 градусів . А значок радіанів ( радий) – не пишеться! Він мається на увазі. Чи ліньки математиків охопила, чи ще що... Але вирішили не писати. Якщо всередині синуса – котангенса немає жодних значків, то кут – у радіанах ! Наприклад, cos3 - це косинус трьох радіанів .

Це і призводить до незрозумілих... Людина бачить "Пі" і вважає, що це 180°. Завжди і скрізь. Це, до речі, спрацьовує. До певного часу, поки приклади - стандартні. Але "Пі" – це число! Число 3,14, а ніякі не градуси! Це "Пі" радіан = 180 °!

Ще раз: "Пі" - це число! 3,14. Ірраціональне, але число. Таке саме, як 5 або 8. Можна, наприклад, зробити приблизно "Пі" кроків. Три кроки і ще трішки. Або купити "Пі" кілограмів цукерок. Якщо продавець освічений попадеться...

"Пі" – це число! Що, дістав я вас цією фразою? Ви вже давно зрозуміли? Ну добре. Перевіримо. Скажіть, яке число більше?

Або що менше?

Це із серії трохи нестандартних питань, які можуть і у ступор увігнати...

Якщо ви теж у ступор впали, згадуємо заклинання: "Пі" – це число! 3,14. У першому синусі чітко зазначено, що кут - у градусах! Отже, замінювати "Пі" на 180 ° - не можна! "Пі" градусів - це приблизно 3,14 °. Отже, можна записати:

У другому синусі позначень жодних немає. Значить, там - радіани! Ось тут заміна "Пі" на 180 ° цілком прокотить. Перекладаємо радіани в градуси, як написано вище, отримуємо:

Залишилося порівняти ці два синуси. Що. забули, як? За допомогою тригонометричного кола, звичайно! Малюємо коло, малюємо зразкові кути в 60 ° і 1,05 °. Дивимося, які синуси у цих кутів. Коротше, все, як наприкінці теми про тригонометричне коло розписано. На колі (навіть самому кривому!) буде чітко видно, що sin60°значно більше, ніж sin1,05°.

Абсолютно аналогічно зробимо і з косинусами. На колі намалюємо кути приблизно 4 градусита 4 радіана(Не забули, чому приблизно дорівнює 1 радіан?). Коло все й скаже! Звичайно, cos4 менше cos4 °.

Потренуємося у поводженні з заходами кута.

Переведіть ці кути із градусної міри в радіальну:

360 °; 30 °; 90 °; 270 °; 45 °; 0 °; 180 °; 60°

У вас мають вийти такі значення в радіанах (в іншому порядку!)

0

Я, між іншим, спеціально виділив відповіді у два рядки. Ану, зрозуміємо, що за кути в першому рядку? Хоч у градусах, хоч у радіанах?

Так! Це осі системи координат! Якщо дивитися по тригонометричному колу, то рухомий бік кута при цих значеннях точно потрапляє на осі. Ці значення слід знати залізно. І кут 0 градусів (0 радіан) я відзначив недаремно. А то деякі цей кут ніяк на колі знайти не можуть... І, відповідно, в тригонометричних функціях нуля плутаються... Інша річ, що положення рухомої сторони в нулі градусів збігається зі становищем в 360°, так збіги на колі - суцільно. поряд.

У другому рядку - теж кути спеціальні... Це 30 °, 45 ° і 60 °. І що у них такого спеціального? Особливо – нічого. Єдина відмінність цих кутів від решти - саме про ці кути ви повинні знати Усе. І де вони розташовуються, і які у цих кутів тригонометричні функції. Скажімо, значення sin100°ви знати не повинні. А sin45°- Будьте люб'язні! Це обов'язкові знання, без яких у тригонометрії нема чого робити... Але про це докладніше - у наступному уроці.

А поки що продовжимо тренування. Переведіть ці кути з радіанної міри в градусну:

У вас повинні вийти такі результати (безладно):

210 °; 150 °; 135 °; 120 °; 330 °; 315 °; 300 °; 240 °; 225 °.

Вийшло? Тоді можна вважати, що переведення градусів у радіани і назад- вже не ваша проблема.) Але переклад кутів - це перший крок до осягнення тригонометрії. Там же ще із синусами-косинусами працювати треба. Та й із тангенсами, котангенсами теж...

Другий потужний крок – це вміння визначати положення будь-якого кута на тригонометричному колі.І у градусах, і в радіанах. Про це вміння я буду вам у всій тригонометрії занудно натякати, так...) Якщо ви все знаєте (або думаєте, що все знаєте) про тригонометричне коло, і відлік кутів на тригонометричному колі, можете перевіритися. Розв'яжіть ці нескладні завдання:

1. У яку чверть потрапляють кути:

45 °, 175 °, 355 °, 91 °, 355 °?

Чи легко? Продовжуємо:

2. У яку чверть потрапляють кути:

402 °, 535 °, 3000 °, -45 °, -325 °, -3000 °?

Теж без проблем? Ну, дивіться...)

3. Чи зможете розмістити по чвертях кути:

Чи змогли? Ну ви даєте..)

4. На які осі потрапить куточок:

та куточок:

Теж легко? Хм...)

5. У яку чверть потрапляють кути:

І це вийшло!? Ну, тоді я прямо не знаю...)

6. Визначити, в яку чверть попадають кути:

1, 2, 3 та 20 радіанів.

Відповідь дам тільки на останнє запитання (він трохи хитрий) останнього завдання. Кут у 20 радіанів потрапить у першу чверть.

Інші відповіді не дам не з жадібності.) Просто, якщо ви не вирішиличогось, сумніваєтесяв результаті, або на завдання №4 витратили більше 10 секунд,ви слабо орієнтуєтесь у колі. Це буде вашою проблемою у всій тригонометрії. Краще її (проблеми, а не тригонометрії!)) позбутися відразу. Це можна зробити у темі: Практична робота з тригонометричним колом у розділі 555.

Там розказано, як просто та правильно вирішувати такі завдання. Та й ці завдання вирішені, зрозуміло. І четверте завдання вирішено за 10 секунд. Так вирішено, що будь-хто зможе!

Якщо ж ви абсолютно впевнені у своїх відповідях і вас не цікавлять прості та безвідмовні способи роботи з радіанами – можете не відвідувати 555. Не наполягаю.)

Хороше розуміння - досить вагома причина, щоб рухатися далі!)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.