Тема «Вписані та описані кола в трикутниках» є однією з найскладніших у курсі геометрії. На уроках їй приділяється дуже мало часу.

Геометричні завдання цієї теми включаються до другої частини екзаменаційної роботи ЄДІза курс середньої школи Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів та деякий досвід у вирішенні геометричних завдань.
Для кожного трикутника існує тільки одне описане коло. Це таке коло, на якому лежать усі три вершини трикутника із заданими параметрами. Знайти її радіус може знадобитися як на уроці геометрії. З цим доводиться постійно стикатися з проектувальниками, закрійниками, слюсарями та представниками багатьох інших професій. Для того щоб знайти її радіус, необхідно знати параметри трикутника та його властивості. Центр описаного кола знаходиться у точці перетину серединних перпендикулярів трикутника.
Пропоную до вашої уваги всі формули знаходження радіуса описаного кола і не тільки трикутника. Формули для вписаного кола можна подивитися.

a, b. з -сторони трикутника,

α - кут, що лежить проти сторониa,
S -площа трикутника,

p -напівпериметр.

Тоді для знаходження радіусу ( R) описаного кола використовують формули:

У свою чергу площу трикутника можна обчислити за однією з наступних формул:

А ось ще кілька формул.

1. Радіус описаного кола біля правильного трикутника. Якщо aсторона трикутника, то

2. Радіус описаного кола біля рівнобедреного трикутника. Нехай a, b- Сторони трикутника, тоді

У сучасному машинобудуванні використовується маса елементів та запчастин, які мають у своїй структурі як зовнішні кола, так і внутрішні. Найяскравішим прикладом можуть бути корпус підшипника, деталі моторів, вузли маточини та багато іншого. При їх виготовленні застосовуються не тільки високотехнологічні пристрої, а й знання з геометрії, зокрема інформація про кола трикутника. Детальніше з подібними знаннями познайомимося нижче.

Вконтакте

Яке коло вписано, а яке описано

Насамперед згадаємо, що колом називається нескінченне безліч точок, віддалених на однаковій відстані від центру. Якщо всередині багатокутника допускається побудувати коло, яке з кожною стороною матиме лише одну загальну точку перетину, то вона називатиметься вписаною. Описаним колом (не коло, це різні поняття) називається таке геометричне місце точок, при якому у побудованої фігури із заданим багатокутником загальними точками будуть лише вершини багатокутника. Ознайомимося з цими двома поняттями на більш наочний приклад(Див. рис 1.).

Малюнок 1. Вписане та описане кола трикутника

На зображенні побудовано дві фігури великого і малого діаметрів, центри яких знаходяться G і I. Окружність більшого значення називається описаною окр-тью ABC, а малого – навпаки, вписаною в ABC.

Щоб описати навколо трикутника окр-ть, потрібно провести через середину кожної сторони перпендикулярну пряму(Тобто під кутом 90 °) - це точка перетину, вона грає ключову роль. Саме вона буде центром описаного кола. Перед тим як знайти коло, її центр у трикутнику, потрібно побудувати для кожного кута, після чого виділити точку перетину прямих. Вона у свою чергу буде центром вписаної окр-ти, а її радіус за будь-яких умов буде перпендикулярний будь-якій із сторін.

На запитання: «Яка кількість кіл вписаних може бути для багатокутника з трьома?» відповімо відразу, що в будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж тільки одну. Тому що існує тільки одна точка перетину всіх бісектрис і одна точка перетину перпендикулярів, що виходять із середин сторін.

Властивість кола, якому належать вершини трикутника

Описане коло, що залежить від довжин сторін на підставі, має свої властивості. Вкажемо властивості описаного кола:

Для того щоб наочніше зрозуміти принцип описаного кола, вирішимо просте завдання. Припустимо, що дано трикутник ΔABC, сторони якого дорівнюють 10, 15 і 8,5 см. Радіус описаного кола біля трикутника (FB) становить 7,9 см. Знайти значення градусної міри кожного кута і через них площу трикутника.

Малюнок 2. Пошук радіуса кола через відношення сторін та синусів кутів

Рішення: спираючись на вказану теорему синусів, знайдемо значення синуса кожного кута окремо. За умовою відомо, що сторона АВ дорівнює 10 см. Обчислимо значення С:

Використовуючи значення таблиці Брадіса, дізнаємося, що градусний західкута З дорівнює 39 °. Таким самим способом знайдемо й інші заходи кутів:

Звідки дізнаємось, що CAB = 33 °, а ABC = 108 °. Тепер, знаючи значення синусів кожного з кутів та радіус, знайдемо площу, підставляючи знайдені значення:

Відповідь: площа трикутника дорівнює 40,31 см², а кути рівні відповідно 33 °, 108 ° і 39 °.

Важливо!Вирішуючи завдання подібного плану, буде зайвим завжди мати таблиці Брадіса або відповідний додаток на смартфоні, тому що вручну процес може затягнутися на тривалий час. Також для більшої економії часу не потрібно обов'язково будувати всі три середини перпендикуляра або три бісектриси. Будь-яка третя завжди буде перетинатися в точці перетину перших двох. А для ортодоксальної побудови зазвичай третю домальовують. Може, це неправильно у питанні алгоритму, але на ЄДІ чи інших іспитах це дуже економить час.

Обчислення радіусу вписаного кола

Усі точки кола однаково віддалені від її центру однаковій відстані. Довжину цього відрізка (від і до) називають радіусом. Залежно від цього, яку окр-ть маємо, розрізняють два виду – внутрішній і зовнішній. Кожен їх обчислюється за власною формулою і має пряме відношення до обчислення таких параметрів, як:

• площа;
• градусний захід кожного кута;
• довжини сторін та периметр.

Малюнок 3. Розташування вписаного кола всередині трикутника

Обчислити довжину відстані від центру до точки зіткнення з будь-якою із сторін можна такими способами: ч через сторони, бічні сторони та кути(Для рівнобокого трикутника).

Використання напівпериметра

Напівпериметром називається половина суми довжин усіх сторін. Такий спосіб вважається найпопулярнішим і універсальним, оскільки незалежно від цього, який тип трикутника дано за умовою, він підходить всім. Порядок обчислення має такий вигляд:

Якщо дано «правильний»

Однією з малих переваг «ідеального» трикутника є те, що вписані та описані кола мають центр в одній точці. Це зручно при побудові фігур. Однак у 80% випадків відповідь виходить «негарною». Тут мається на увазі, що дуже рідко радіус вписаної окр-ти буде цілим, швидше навпаки. Для спрощеного обчислення використовується формула радіусу вписаного кола в трикутник:

Якщо боковини однакової довжини

Однією з підтипів завдань на держ. іспитах буде знаходження радіусу вписаного кола трикутника, дві сторони якого рівні між собою, а третя ні. У такому разі рекомендуємо використовувати цей алгоритм, який дасть відчутну економію часу на пошук діаметра вписаної окр-ти. Радіус вписаного кола в трикутник з рівними «бічними» обчислюється за такою формулою:

Наочніше застосування зазначених формул продемонструємо на наступному завданні. Нехай маємо трикутник (ΔHJI), в який вписано окр-ть у точці K. Довжина сторони HJ = 16 см, JI = 9,5 см і сторона HI дорівнює 19 см (рисунок 4). Знайти радіус вписаної окр-ти, знаючи сторони.

Малюнок 4. Пошук значення радіуса вписаного кола

Рішення: для знаходження радіусу вписаної окр-ти знайдемо напівпериметр:

Звідси, знаючи механізм обчислення, дізнаємося про таке значення. Для цього знадобляться довжини кожної із сторін (дано за умовою), а також половину периметра, виходить:

Звідси випливає, що радіус, що шукає, дорівнює 3,63 см. Відповідно до умови, всі сторони рівні, тоді шуканий радіус дорівнюватиме:

За умови, якщо багатокутник рівнобокий (наприклад, i = h = 10 см, j = 8 см), діаметр внутрішньої окр-ти з центром у точці K дорівнюватиме:

У разі завдання може даватися трикутник з кутом 90°, у разі запам'ятовувати формулу немає необхідності. Гіпотенуза трикутника дорівнюватиме діаметру. Наочно це виглядає так:

Важливо!Якщо задана задача на пошук внутрішнього радіусу, не рекомендуємо проводити обчислення через значення синусів та косинусів кутів, табличне значення яких точно не відомо. Якщо інакше дізнатися довжину неможливо, не намагайтеся «витягнути» значення з-під кореня. У 40% завдань отримане значення буде трансцендентним (тобто нескінченним), а комісія може не зарахувати відповідь (навіть якщо вона буде правильною) через її неточність або неправильної формиподання. Особливу увагуприділіть тому, як може змінюватись формула радіуса описаного кола трикутника в залежності від запропонованих даних. Такі «заготівлі» дозволяють заздалегідь «бачити» сценарій розв'язання задачі та вибрати найбільш економне рішення.

Радіус внутрішнього кола та площа

Для того щоб обчислити площу трикутника, вписаного в коло, використовують лише радіус та довжини сторін багатокутника:

Якщо за умови завдання безпосередньо немає значення радіуса, лише площа, то зазначена формула площі трансформується в следующую:

Розглянемо дію останньої формули більш конкретному прикладі. Припустимо, що дано трикутник, куди вписано окр-ть. Площа окр-ти становить 4π, а сторони рівні відповідно 4, 5 і 6 див. Обчислимо площу заданого багатокутника з допомогою обчислення полупериметра.

Використовуючи вищезазначений алгоритм, обчислимо площу трикутника через радіус вписаного кола:

Через те, що у будь-який трикутник можна вписати коло, кількість варіацій знаходження площі значно збільшується. Тобто. пошук площі трикутника, включає обов'язкове знання довжини кожної сторони, а також значення радіуса.

Трикутник, вписаний у коло геометрія 7 клас

Прямокутні трикутники, вписані в коло

Висновок

З зазначених формул можна переконатися, що складність будь-якої задачі з використанням вписаного та описаного кіл полягає тільки в додаткових дії з пошуку необхідних значень. Завдання подібного типу вимагають лише досконального розуміння суті формул, а також раціональності їх застосування. З практики рішення відзначимо, що в майбутньому центр описаного кола фігуруватиме і в подальших темах геометрії, тому запускати її не слід. В іншому випадку рішення може затягнутися з використанням зайвих ходів та логічних висновків.

Як знайти радіус кола? Це питання завжди актуальне для школярів, які вивчають планиметрію. Нижче ми розглянемо кілька прикладів того, як можна впоратися з поставленим завданням.

Залежно від умови завдання радіус кола ви можете знайти так.

Формула 1: R = Л / 2π, де Л - це а - константа, рівна 3,141 ...

Формула 2: R = √(S/π), де S – це величина площі кола.

Формула 1: R = В/2, де - гіпотенуза.

Формула 2: R = М * В, де - гіпотенуза, а М - медіана, проведена до неї.

Як знайти радіус кола, якщо вона описана навколо правильного багатокутника

Формула: R = А / (2 * sin (360 / (2 * n))), де А - довжина однієї зі сторін фігури, а n - кількість сторін у цій геометричній фігурі.

Як знайти радіус вписаного кола

Вписане коло називається тоді, коли воно стосується всіх сторін багатокутника. Розглянемо кілька прикладів.

Формула 1: R = S/(Р/2), де - S і Р - площа і периметр фігури відповідно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), де Р - периметр, А - довжина однієї зі сторін, а - кут, що протилежить цій стороні.

Як знайти радіус кола, якщо воно вписано в прямокутний трикутник

Формула 1:

Радіус кола, яке вписано в ромб

Коло можна вписати у будь-який ромб, як рівносторонній, і нерівносторонній.

Формула 1: R = 2 * Н, де Н – це висота геометричної фігури.

Формула 2: R = S / (А * 2), де S - це а А - Довжина його сторони.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), де S - це площа ромба, а sin А - синус гострого кута цієї геометричної фігури.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), де і Г - це довжини діагоналей геометричної фігури.

Формула 5: R = В * sin (А/2), де - діагональ ромба, а А - це кут у вершинах, що з'єднують діагональ.

Радіус кола, яке вписано в трикутник

У разі, якщо за умови завдання вам дано довжини всіх сторін фігури, спочатку вирахуйте (П), та був полупериметр (п):

П = А+Б+В де А, Б, В - довжин сторін геометричної фігури.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А якщо, знаючи ті самі три сторони, вам дана ще й то можете розрахувати радіус, що шукається, наступним чином.

Формула 2: R = S * 2 (А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S/(А+Б+В)/2), де - п - це напівпериметр геометричної фігури.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), де п - це напівпериметр трикутника, А - одна з його сторін, а tg (А/2) - тангенс половини кута, що протилежить цій стороні.

А нижче наведена формула допоможе відшукати радіус того кола, яке вписано в

Формула 5: R = А * √3/6.

Радіус кола, що вписано у прямокутний трикутник

Якщо завдання дано довжини катетів, і навіть гіпотенуза, то радіус вписаного кола дізнається так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2 де А, Б - катети, С - гіпотенуза.

У тому випадку, якщо вам дано лише два катети, саме час згадати теорему Піфагора, щоб гіпотенузу знайти і скористатися наведеною вище формулою.

С = √ (А + Б²).

Радіус кола, яке вписано в квадрат

Окружність, яка вписана в квадрат, ділить всі його 4 сторони рівно навпіл у точках торкання.

Формула 1: R = А/2, де А – довжина сторони квадрата.

Формула 2: R = S/(Р/2), де S та Р - площа і периметр квадрата відповідно.

Початковий рівень

Описане коло. Візуальний гід (2019)

Перше питання, яке може виникнути: описана – навколо чого?

Ну, взагалі-то іноді буває і навколо чого завгодно, а ми міркуватимемо про коло, описаного навколо (іноді ще кажуть «біля») трикутника. Що це таке?

І ось, уяви собі, має місце дивовижний факт:

Чому цей факт дивовижний?

Але ж трикутники – то бувають різні!

І для кожного знайдеться коло, яке пройде через усі три вершини, тобто описане коло.

Доказ цього дивовижного фактуможеш знайти в наступних рівнях теорії, а тут зауважимо тільки, що якщо взяти, наприклад, чотирикутник, то вже зовсім не для кожного знайдеться коло, що проходить через чотири вершини. Ось, скажімо, паралелограм - відмінний чотирикутник, а кола, що проходить через усі його чотири вершини - ні!

А є лише для прямокутника:

Ну ось, а трикутник кожен і завжди має власне описане коло!І навіть завжди досить просто знайти центр цього кола.

Чи знаєш ти, що таке серединний перпендикуляр?

А тепер подивимося, що вийде, якщо ми розглянемо цілих три серединні перпендикуляри до сторін трикутника.

Ось виявляється (і це якраз і треба доводити, хоч ми й не будемо), що всі три перпендикуляри перетнуться в одній точці.Дивись на малюнок - всі три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Як ти думаєш, чи завжди центр описаного кола лежить усередині трикутника? Уяви собі - зовсім не завжди!

А от якщо гострокутний, то - всередині:

Що робити з прямокутним трикутником?

Та ще з додатковим бонусом:

Раз вже заговорили про радіус описаного кола: чому він дорівнює довільному трикутнику? І є відповідь це питання: так звана .

А саме:

Ну і, звісно,

1. Існування та центр описаного кола

Тут виникає запитання: а чи для будь-якого трикутника існує таке коло? Ось виявляється, що так, для кожного. Більше того, ми зараз сформулюємо теорему, яка ще й відповідає на питання, де ж знаходиться центр описаного кола.

Дивись, ось так:

Давай наберемося мужності та доведемо цю теорему. Якщо ти вже читав тему « » розбирався в тому, чому ж три бісектриси перетинаються в одній точці, то тобі буде легше, але і якщо не читав - не переживай: зараз у всьому розберемося.

Доказ проводитимемо, використовуючи поняття геометричного місця точок (ГМТ).

Ну от, наприклад, чи є безліч м'ячів – «геометричним місцем» круглих предметів? Ні, звичайно, тому що бувають круглі кавуни. А чи є безліч людей, «геометричним місцем», які вміють говорити? Теж ні, бо є немовлята, які не вміють говорити. У житті взагалі складно знайти приклад справжнього геометричного місця точок. У геометрії простіше. Ось, наприклад, саме те, що нам потрібно:

Тут безліч - це серединний перпендикуляр, а властивість "" - це "бути рівновіддаленою (точкою) від кінців відрізка".

Перевіримо? Отже, потрібно впевнитись у двох речах:

1. Будь-яка точка, яка рівновіддалена від кінців відрізка - знаходиться на серединному перпендикулярі до нього.

З'єднаємо з і с. Тоді лінія є медіаною та висотою ст. Значить, рівнобедрений, переконалися, що будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, однаково віддалена від точок і.

Візьмемо – середину і з'єднаємо в. Вийшла медіана. Але – рівнобедрений за умовою не лише медіана, а й висота, тобто – серединний перпендикуляр. Значить, точка – точно лежить на серединному перпендикулярі.

Всі! Повністю перевірили той факт, що серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, що рівно віддалені від кінців відрізка.

Це все добре, але чи не забули ми про описане коло? Зовсім ні, ми якраз підготували собі «плацдарм для нападу».

Розглянемо трикутник. Проведемо два серединні перпендикуляри і, скажімо, до відрізків і. Вони перетнуться в якійсь точці, яку ми назвемо.

А тепер, увага!

Крапка лежить на серединному перпендикулярі;
точка лежить на серединному перпендикулярі.
Отже, в.

Звідси випливає відразу кілька речей:

По - перше , точка повинна лежати третьому серединному перпендикулярі, до відрізку.

Тобто серединний перпендикуляр теж повинен пройти через точку, і всі три серединні перпендикуляри перетнулися в одній точці.

По - друге: якщо ми проведемо коло з центром у точці і радіусом, то це коло також пройде і через точку, і через точку, тобто буде описаним колом. Значить, вже є, що перетин трьох серединних перпендикулярів - центр описаного кола для будь-якого трикутника.

І останнє: про єдиність. Ясно (майже), що точку можна отримати єдиним чином, тому й коло - єдине. Ну, а "майже" - залишимо на твоє роздуми. Ось і довели теорему. Можна кричати "Ура!".

А якщо в задачі стоїть питання «знайдіть радіус описаного кола»? Або навпаки, радіус дано, а потрібно знайти щось інше? Чи є формула, що зв'язує радіус описаного кола з іншими елементами трикутника?

Зверніть увагу: теорема синусів повідомляє, що для того щоб знайти радіус описаного кола, тобі потрібна одна сторона (будь-яка!) і протилежний їй кут. І все!

3. Центр кола - усередині чи зовні

А тепер питання: чи може центр описаного кола лежати зовні трикутника.
Відповідь: ще як може. Більше того, так завжди буває у тупокутному трикутнику.

І взагалі:

ОПИСАНА ОКРУЖНІСТЬ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Окружність, описана біля трикутника

Це коло, яке проходить через усі три вершини цього трикутника.

2. Існування та центр описаного кола

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Визначення 2

Багатокутник, що відповідає умові визначення 1, називається описаним біля кола.

Малюнок 1. Вписане коло

Теорема 1 (про коло, вписане в трикутник)

Теорема 1

У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж лише одну.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $O$ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Існування: Проведемо коло з центром у точці $O$ і радіусом $OK.\ $Оскільки точка $O$ лежить на трьох бісектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ABC$. Тобто $ OM = OK = OL $. Отже, побудоване коло також проходить через точки $M і L$. Так як $ OM, OK \ і OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичну до кола, побудована коло стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, через довільність трикутника, у будь-який трикутник можна вписати коло.

Єдиність: Припустимо, що в трикутник $ABC$ можна вписати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OK$ Але тоді це коло збігається з першим.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр вписаної в трикутник кола лежить у точці перетину його бісектрис.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних із поняттям вписаного кола:

Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.

У кожному описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють.

Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюють, то в нього можна вписати коло.

Визначення 3

Якщо на колі лежать усі вершини багатокутника, то коло називається описаним біля багатокутника (Рис. 3).

Визначення 4

Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним у коло.

Малюнок 3. Описане коло

Теорема 2 (про коло, описане біля трикутника)

Теорема 2

Біля будь-якого трикутника можна описати коло і лише одну.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, що перетинаються в точці $O$, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)

Рисунок 4. Ілюстрація теореми 2

Існування: Побудуємо коло з центром у точці $O$ та радіусом $OC$. Точка $O$ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $OA=OB=OC$. Отже, побудоване коло проходить через усі вершини даного трикутника, отже, воно є описаним біля цього трикутника.

Єдиність: Припустимо, що біля трикутника $ABC$ можна описати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OC. Але тоді це коло збігається з першою.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр описаного біля трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:

Біля чотирикутника не завжди можна описати коло.

У кожному вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $(180)^0$.

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $(180)^0$, то біля нього можна описати коло.

Приклад задачі на поняття вписаного та описаного кола

Приклад 1

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.

Рішення.

Розглянемо трикутник $ABC$. За наслідком 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис. Проведемо бісектриси $AK$ і $BM$, які перетинаються у точці $O$. Проведемо перпендикуляр $OH$ з точки $O$ убік $BC$. Зобразимо малюнок:

Малюнок 5.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BM$ і медіана та висота. За теоремою Піфагора $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\sqrt (25-16) = \ sqrt (9) = 3 $. $ OM = OH = r $ - шуканий радіус вписаного кола. Оскільки $MC$ і $CH$ відрізки дотичних, що перетинаються, то по теоремі про дотичних, що перетинаються, маємо $CH=MC=4\ см$. Отже, $ BH = 5-4 = 1 см $. $BO=3-r$. З трикутника $OHB$, за теоремою Піфагора, отримаємо:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Відповідь:$\frac(4)(3)$.