Як розв'язувати показові рівняння? Показові рівняння. Рішення

Показові рівняння. Як відомо, до складу ЄДІ входять прості рівняння. Деякі ми вже розглянули – це логарифмічні, тригонометричні, раціональні. Тут представлені показові рівняння.

У нещодавній статті ми попрацювали із показовими виразами, буде корисно. Самі рівняння вирішуються просто та швидко. Потрібно лише знати властивості показників ступеня і...далі.

Перерахуємо властивості показників ступеня:

Нульовий ступінь будь-якого числа дорівнює одиниці.

Наслідок з цієї властивості:

Ще трохи теорії.

Показовим рівнянням називається рівняння, що містить змінну в показнику, тобто це рівняння виду:

f(x) вираз, що містить змінну

Методи розв'язання показових рівнянь

1. В результаті перетворення рівняння можна привести до вигляду:

Тоді застосовуємо властивість:

2. При отриманні рівняння виду a f (x) = bвикористовується визначення логарифму, отримаємо:

3. Внаслідок перетворень можна отримати рівняння виду:

Застосовується логарифмування:

Висловлюємо та знаходимо х.

У завданнях варіантів ЄДІдостатньо буде використати перший спосіб.

Тобто, необхідно подати ліву та праву частини у вигляді ступенів з однаковою основою, а далі прирівнюємо показники та вирішуємо звичайне лінійне рівняння.

Розглянемо рівняння:

Знайдіть корінь рівняння 4 1-2х = 64.

Необхідно зробити так, щоб у лівій та правій частинах були показові вирази з однією основою. 64 ми можемо уявити як 4 у ступеню 3. Отримаємо:

4 1-2х = 4 3

1 - 2х = 3

- 2х = 2

х = - 1

Перевірка:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Відповідь: -1

Знайдіть корінь рівняння 3х-18 = 1/9.

Відомо що

Значить 3 х-18 = 3-2

Підстави рівні, можемо прирівняти показники:

х - 18 = - 2

х = 16

Перевірка:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Відповідь: 16

Знайдіть корінь рівняння:

Представимо дріб 1/64 як один четвертий третього ступеня:

2х - 19 = 3

2х = 22

х = 11

Перевірка:

Відповідь: 11

Знайдіть корінь рівняння:

Представимо 1/3 як 3 -1, а 9 як 3 у квадраті, отримаємо:

(3 –1) 8–2х = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2х = 3 2

Тепер можемо зрівняти показники:

- 8 + 2х = 2

2х = 10

х = 5

Перевірка:

Відповідь: 5

26654. Знайдіть корінь рівняння:

Рішення:

Відповідь: 8,75

Дійсно, в який би ступінь ми не звели позитивне число a ми не можемо отримати число негативне.

Будь-яке показове рівняння після відповідних перетворень зводиться до вирішення одного або кількох найпростіших.У цій рубриці ми ще розглянемо рішення деяких рівнянь, не пропустіть!На цьому все. Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Розв'язання показових рівнянь. приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться в показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади показових рівнянь:

3 х · 2 х = 8 х +3

Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньВ чистому вигляді.

Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.

Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:

Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:

Що ми зробили? Ми фактично викинули однакові підстави (трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!

Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)

Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:

2 х +2 х+1 = 2 3 або

двійки прибирати не можна!

Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.

"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"

Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.

Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У даному прикладічисло 6 є основою воно завжди стоїть унизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина дорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однаковим підставам. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

На етапі підготовки до заключному тестуваннюучням старших класів необхідно підтягнути знання на тему «Показові рівняння». Досвід минулих років свідчить про те, що подібні завдання викликають у школярів певні труднощі. Тому старшокласникам, незалежно від рівня їх підготовки, необхідно ретельно засвоїти теорію, запам'ятати формули та зрозуміти принцип розв'язання таких рівнянь. Навчившись справлятися з цим видом завдань, випускники зможуть розраховувати на високі бали під час здачі ЄДІ з математики.

Готуйтеся до екзаменаційного тестування разом із «Шкілковим»!

При повторенні пройдених матеріалів багато учнів стикаються з проблемою пошуку необхідних вирішення рівнянь формул. Шкільний підручник не завжди знаходиться під рукою, а відбір необхідної інформації на тему в Інтернеті займає довгий час.

Освітній портал «Школкове» пропонує учням скористатися нашою базою знань. Ми реалізуємо новий метод підготовки до підсумкового тестування. Займаючись на нашому сайті, ви зможете виявити прогалини у знаннях та приділити увагу саме тим завданням, які викликають найбільші труднощі.

Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали весь необхідний для успішної здачі ЄДІ матеріалу максимально простій та доступній формі.

Основні визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для кращого засвоєння матеріалу рекомендуємо попрактикуватися у виконанні завдань. Уважно перегляньте наведені на цій сторінці приклади показових рівнянь із рішенням, щоб зрозуміти алгоритм обчислення. Після цього починайте виконання завдань у розділі «Каталоги». Ви можете почати з найлегших завдань або одразу перейти до розв'язання складних показових рівнянь із кількома невідомими або . База вправ на нашому сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Ті приклади з показниками, які викликали у вас складнощі, можна додати до «Вибраного». Так ви можете швидко знайти їх та обговорити рішення з викладачем.

Щоб успішно здати ЄДІ, займайтесь на порталі «Школкове» щодня!

На цьому уроці ми розглянемо розв'язання складніших показових рівнянь, пригадаємо основні теоретичні положення щодо показової функції.

1. Визначення та властивості показової функції, методика вирішення найпростіших показових рівнянь

Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується розв'язання всіх показових рівнянь та нерівностей.

Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.

Мал. 1. Графік показової функції

На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.

Обидві криві проходять через точку (0; 1)

Властивості показової функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна, при зростає, при зменшується.

Монотонна функція набуває кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.

Коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності. При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно.

2. Вирішення типових показових рівнянь

Нагадаємо, як вирішувати найпростіші показові рівняння. Їхнє рішення ґрунтується на монотонності показової функції. До таких рівнянь зводяться практично всі складні показові рівняння.

Рівність показників ступеня за рівних підстав зумовлено властивістю показової функції, саме її монотонністю.

Методика розв'язання:

Зрівняти основи ступенів;

Зрівняти показники ступенів.

Перейдемо до розгляду складніших показових рівнянь, наша мета – звести кожне з них до найпростішого.

Звільнимось від кореня в лівій частині і наведемо ступеня до однакової основи:

Для того, щоб звести складне показове рівняння до найпростіших, часто використовується заміна змінних.

Скористаємося властивістю ступеня:

Вводимо заміну. Нехай тоді. При такій заміні очевидно, що вона набуває строго позитивних значень. Отримуємо:

Помножимо отримане рівняння на два і перенесемо всі доданки в ліву частину:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень, відкидаємо його. Отримуємо:

Наведемо ступеня до однакового показника:

Вводимо заміну:

Нехай тоді . При такій заміні очевидно, що вона набуває строго позитивних значень. Отримуємо:

Вирішувати подібні квадратні рівняння ми вміємо, випишемо відповідь:

Щоб переконатися в правильності знаходження коренів, можна виконати перевірку за теоремою Вієта, тобто знайти суму коренів та їх добуток та звірити з відповідними коефіцієнтами рівняння.

Отримуємо:

3. Методика вирішення однорідних показових рівнянь другого ступеня

Вивчимо наступний важливий тип показових рівнянь:

Рівняння такого типу називають однорідними другого ступеня щодо функцій f та g. У лівій його частині стоїть квадратний тричлен щодо f з параметром g або квадратний тричлен щодо g з параметром f.

Методика розв'язання:

Це рівняння можна вирішувати як квадратне, але легше вчинити по-іншому. Слід розглянути два випадки:

У першому випадку отримуємо

У другому випадку маємо право розділити на старший ступінь та отримуємо:

Слід ввести заміну змінних , отримаємо квадратне рівняння щодо:

Зауважимо, що функції f і g можуть бути будь-якими, але нас цікавить той випадок, коли це показові функції.

4. Приклади розв'язання однорідних рівнянь

Перенесемо всі складові в ліву частину рівняння:

Оскільки показові функції набувають строго позитивних значень, маємо право відразу ділити рівняння на , не розглядаючи випадок, коли :

Отримуємо:

Вводимо заміну: (згідно з властивостями показової функції)

Отримали квадратне рівняння:

Визначаємо коріння за теоремою Вієта:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень у, відкидаємо його, отримуємо:

Скористаємося властивостями ступеня та приведемо всі ступеня до простих підстав:

Неважко помітити функції f і g:

Оскільки показові функції набувають суворо позитивних значень, маємо право відразу ділити рівняння на , не розглядаючи випадок, коли .