Приклади:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Як вирішувати показові рівняння

При розв'язанні будь-яке показове рівняння ми прагнемо привести до вигляду \(a^(f(x))=a^(g(x))\), а потім зробити перехід до рівності показників, тобто:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Наприклад:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Важливо! З тієї ж логіки випливають дві вимоги для такого переходу:
- число в ліворуч і праворуч має бути однаковим;
- ступеня ліворуч і праворуч мають бути «чистими»тобто не повинно бути ніяких множень, поділів і т.д.

Наприклад:

Для привиду рівняння до виду (a (f (x)) = a (g (x))) застосовуються і .

приклад . Розв'язати показове рівняння \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Рішення:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Ми знаємо, що (27 = 3^3). З огляду на це перетворимо рівняння.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		За якістю кореня \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) отримаємо, що \(\sqrt(3^3)=((3^3))^( \frac(1)(2))\). Далі, використовуючи властивість ступеня \((a^b)^c=a^(bc)\), отримуємо \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^(3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Також ми знаємо, що \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Застосувавши це до лівої частини, отримаємо: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3^ (1,5 + x-1) = 3 (x + 0,5) \).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Тепер згадаємо, що: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Цю формулу можна використовувати і в зворотний бік: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Тоді \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Застосувавши властивість \((a^b)^c=a^(bc)\) до правої частини, отримаємо: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1)·2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		І ось тепер у нас підстави рівні і немає ніяких коефіцієнтів, що заважають, і т.д. Отже, можемо робити перехід.
		приклад . Розв'язати показове рівняння \(4^(x+0,5)-5·2^x+2=0\) Рішення: \(4^(x+0,5)-5·2^x+2=0\) Знов користуємося властивістю ступеня \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) у зворотному напрямку. \(4^x·4^(0,5)-5·2^x+2=0\) Тепер згадуємо, що (4 = 2 2). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Використовуючи властивості ступеня, перетворюємо: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x·2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2·0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Дивимося уважно на рівняння, і, бачимо, що тут напрошується заміна \(t=2^x\). \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Однак ми знайшли значення (t), а нам потрібні (x). Повертаємось до іксів, роблячи зворотну заміну. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Перетворюємо друге рівняння, використовуючи властивість негативного ступеня. \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) …і дорішуємо до відповіді. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Відповідь : \(-1; 1\). Залишається питання - як зрозуміти, коли якийсь метод застосовувати? Це приходить із досвідом. А доки ви його не напрацювали, користуйтесь загальною рекомендацієюна вирішення складних завдань – «не знаєш, що робити – роби, що можеш». Тобто, шукайте, як ви можете перетворити рівняння в принципі, і пробуйте це робити - раптом чого і вийде? Головне у своїй робити лише математично обгрунтовані перетворення. Показові рівняння, які не мають рішень Розберемо ще дві ситуації, які часто ставлять у глухий кут учнів: - Позитивне число в ступені дорівнює нулю, наприклад, \ (2 ^ x = 0 \); - Позитивне число в ступені дорівнює від'ємному числу, наприклад, \(2^x=-4\). Спробуймо вирішити перебором. Якщо ікс - позитивне число, то зі зростанням ікса весь ступінь \(2^x\) буде тільки рости: \ (x = 1 \); \ (2 ^ 1 = 2 \) \ (x = 2 \); \ (2 ^ 2 = 4 \) \ (x = 3 \); \ (2 ^ 3 = 8 \). \ (x = 0 \); \(2^0=1\) Теж повз. Залишаються негативні ікси. Згадавши властивість \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), перевіряємо: \ (x = -1 \); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \ (x = -2 \); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \ (x = -3 \); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Незважаючи на те, що число з кожним кроком стає меншим, до нуля воно не дійде ніколи. Тож і негативний ступінь нас не врятував. Приходимо до логічного висновку: Позитивне число будь-якою мірою залишиться позитивним числом. Таким чином, обидва рівняння не мають вище рішень. Показові рівняння з різними підставами У практиці часом зустрічаються показові рівняння з різними підставами, які не зводяться один до одного, і при цьому з однаковими показниками ступеня. Виглядають вони так: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), де \(a\) та \(b\) - позитивні числа. Наприклад: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Такі рівняння легко можна вирішити розподілом на будь-яку частину рівняння (зазвичай ділять на праву частину, тобто на \(b^(f(x))\). Так ділити можна, тому що позитивне число в будь-якій мірі позитивно (тобто, ми не ділимо на нуль). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) приклад . Розв'язати показове рівняння \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Рішення: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Тут у нас не вийде ні п'ятірку перетворити на трійку, ні навпаки (принаймні, без використання). А значить ми не можемо прийти до вигляду (a (f (x)) = a (g (x))). У цьому показники однакові. Давайте поділимо рівняння на праву частину, тобто на \(3^(x+7)\) (ми можемо це робити, оскільки знаємо, що трійка в жодному разі не буде нулем). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Тепер згадуємо властивість \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) і використовуємо його зліва у зворотному напрямку. Справа ж просто скорочуємо дріб. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Здавалося б, краще не стало. Але згадайте ще одну властивість ступеня: \(a^0=1\), інакше кажучи: «будь-яке число в нульовому ступені дорівнює \(1\)». Правильне й протилежне: «одиниця може бути як будь-яке число в нульової степени». Використовуємо це, роблячи основу праворуч так само як зліва. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Вуаль! Позбавляємося підстав. Пишемо відповідь. Відповідь : \(-7\). Іноді «однаковість» показників ступеня не очевидна, але вміле використання властивостей ступеня вирішує це питання. приклад . Розв'язати показове рівняння \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Рішення: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Рівняння виглядає зовсім сумно ... Мало того, що підстави не можна звести до однакового числа (сімка ні в якій мірі не буде дорівнює \(\frac(1)(3)\)), так ще й показники різні ... Однак давайте в показнику лівого ступеня двійку. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Пам'ятаючи властивість \((a^b)^c=a^(b·c)\) , перетворюємо зліва: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Тепер, згадуючи властивість негативного ступеня \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), перетворюємо праворуч: \((\frac(1)(3))^(-x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Алілуйя! Показники стали однакові! Діючи за вже знайомою нам схемою, вирішуємо до відповіді. Відповідь : \(2\).

білгородський державний університет

КАФЕДРА алгебри, теорії чисел та геометрії

Тема роботи: Показово-ступеневі рівняння та нерівності.

Дипломна роботастудента фізико-математичного факультету

Науковий керівник:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Білгород. 2006 р.

Вступ			3
Тема I.	Аналіз літератури на тему дослідження.
Тема ІІ.	Функції та їх властивості, що використовуються при вирішенні показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.
	I.1.	Ступінна функція та її властивості.
	I.2.	Показова функція та її властивості.
Тема ІІІ.	Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритм та приклади.
Тема IV.	Вирішення показово-ступеневих нерівностей, план розв'язання та приклади.
Тема V.	Досвід проведення занять зі школярами на тему: «Рішення показово-ступеневих рівнянь і нерівностей».
V. 1.	Навчальний матеріал.
V. 2.	Завдання для самостійного вирішення.
Висновок.	Висновки та пропозиції.
Список використаної літератури.
Програми

Вступ.

«…радість бачити та розуміти…»

А. Ейнштейн.

У цій роботі я спробувала передати свій досвід роботи вчителем математики, передати хоч якоюсь мірою своє ставлення до її викладання - людської справи, в якій дивовижно переплітаються і математична наука, і педагогіка, і дидактика, і психологія, і навіть філософія.

Мені довелося працювати з малюками та випускниками, з дітьми, що стоять на полюсах інтелектуального розвитку: тими, хто перебував на обліку у психіатра та хто справді цікавився математикою

Мені довелося вирішувати багато методичних завдань. Я спробую розповісти про тих, які мені вдалося вирішити. Але ще більше - не вдалося, та й у тих, що начебто вирішені, постають нові питання.

Але ще важливіше самого досвіду - вчительські роздуми та сумніви: а чому він саме такий, цей досвід?

І літо нині на дворі інше, і розворот освіти став цікавішим. «Під юпітерами» нині не пошуки міфічної оптимальної системинавчання «всіх і всьому», а сама дитина. Але тоді – з необхідністю – і вчитель.

У шкільному курсі алгебри та почав аналізу, 10 – 11 клас, при здачі ЄДІза курс середньої школи та на вступних іспитах до ВНЗ зустрічаються рівняння та нерівності, що містить невідоме на підставі та показники ступеня – це показово-статечні рівняння та нерівності.

У школі їм мало приділяється уваги, у підручниках практично немає завдань на цю тему. Однак, оволодіння методикою їх вирішення, мені здається, дуже корисним: воно підвищує розумові та творчі здібностіучнів, перед нами відкриваються нові горизонти. При вирішенні завдань учні набувають перших навичок дослідницької роботи, збагачується їх математична культура, розвиваються здібності до логічного мислення. У школярів формуються такі якості особистості як цілеспрямованість, цілепокладання, самостійність, які будуть корисні їм у подальшому житті. А також відбувається повторення, розширення та глибоке засвоєння навчального матеріалу.

Працювати над цією темою дипломного дослідження я почала ще з написання курсової. У ході, якою я глибше вивчила та проаналізувала математичну літературу з цієї теми, виявила найбільш підходящий метод розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Він полягає в тому, що крім загальноприйнятого підходу при вирішенні показово-ступеневих рівнянь (підстава береться більше 0) і при вирішенні тих же нерівностей (підстава береться більше 1 або більше 0, але менше 1), розглядаються ще й випадки, коли основи негативні, рівні 0 та 1.

Аналіз письмових екзаменаційних робіт учнів показує, що неосвітленість питання негативному значенні аргументу показово-степеневой функції у шкільних підручниках, викликає вони ряд труднощів і веде до появи помилок. А також у них виникають проблеми на етапі систематизації отриманих результатів, де в силу переходу до рівняння – слідства або нерівності – слідства, з'явиться стороннє коріння. З метою усунення помилок ми використовуємо перевірку за вихідним рівнянням або нерівністю та алгоритм розв'язання показово-ступеневих рівнянь, або план розв'язання показово-ступеневих нерівностей.

Щоб учні змогли успішно скласти випускні та вступні іспити, я вважаю, необхідно приділяти більше уваги рішенню показово-ступеневих рівнянь та нерівностей на навчальних заняттях або додатково на факультативах та гуртках.

Таким чином тема , моєї дипломної роботи визначено наступним чином: «Показово-ступеневі рівняння та нерівності».

Цілями справжньої роботиє:

1. Проаналізувати літературу на цю тему.

2. Дати повний аналіз розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Навести достатню кількість прикладів з цієї теми різноманітних типів.

4. Перевірити на урочних, факультативних і гурткових заняттях як сприйматиметься запропоновані прийоми розв'язання показово-ступеневих рівнянь і нерівностей. Дати відповідні рекомендації щодо вивчення цієї теми.

Предметом нашого дослідження є розробка методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Мета та предмет дослідження зажадали вирішення наступних завдань:

1. Вивчити літературу на тему: «Показово-ступеневі рівняння та нерівності».

2. Опанувати методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Підібрати навчальний матеріал і розробити систему вправ різних рівнів на тему: «Рішення показово-ступеневих рівнянь і нерівностей».

У ході дипломного дослідження було проаналізовано понад 20 робіт, присвячених застосуванню різних методіврозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей. Звідси одержуємо.

План дипломної роботи:

Вступ.

Глава I. Аналіз літератури на тему дослідження.

Розділ II. Функції та їх властивості, що використовуються при вирішенні показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

ІІ.1. Ступінна функція та її властивості.

ІІ.2. Показова функція та її властивості.

Розділ III. Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритм та приклади.

Розділ IV. Вирішення показово-ступеневих нерівностей, план розв'язання та приклади.

Глава V. Досвід проведення занять зі школярами на цю тему.

1.Навчальний матеріал.

2.Завдання для самостійного рішення.

Висновок. Висновки та пропозиції.

Список використаної литературы.

У І главі проаналізовано літературу

Розв'язання показових рівнянь. приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться в показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади показових рівнянь :

3 х · 2 х = 8 х +3

Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньВ чистому вигляді.

Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.

Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:

Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:

Що ми зробили? Ми фактично викинули однакові підстави (трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!

Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)

Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:

2 х +2 х+1 = 2 3 або

двійки прибирати не можна!

Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.

"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"

Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.

Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.

Вирішення простих показових рівнянь. приклади.

При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знання цих дій нічого не вийде.

До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.

Подивимося, як це робиться на практиці?

Нехай нам дано приклад:

2 2х - 8 х +1 = 0

Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але засмучуватися - рано. Саме час згадати, що

Двійка і вісімка - родички за рівнем.) Цілком можна записати:

8 х+1 = (2 3) х+1

Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:

(а n) m = a nm ,

то взагалі добре виходить:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Вихідний приклад став виглядати так:

2 2х - 2 3(х +1) = 0

Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:

2 2х = 2 3(х+1)

Ось практично і все. Прибираємо підстави:

Вирішуємо цього монстра та отримуємо

Це правильна відповідь.

У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Потрібно вміти дізнаватися в числі інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.

Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й годі. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... яке число якою міроюховається за числом 243, або, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.

Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Відповіді (безладно, природно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.

Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі з молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)

Наприклад, при вирішенні показових рівнянь часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:

3 2х +4 -11 · 9 х = 210

І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоби були – однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:

9 х = (3 2) х = 3 2х

За тими ж правилами дій зі ступенями:

3 2х +4 = 3 2х · 3 4

Ось і добре, можна записати:

3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210

Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі!? Трійки не можна викидати... Тупик?

Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і найпотужніше правило рішення всіхматематичних завдань:

Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!

Дивишся, все й утворюється.

Що в цьому показовому рівнянні можна, можливозробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3-х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Приклад стає все краще та краще!

Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:

Оп-па! Все налагодилося!

Це остаточна відповідь.

Трапляється, однак, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.

Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.

Розв'яжемо рівняння:

4 х - 3 · 2 х +2 = 0

Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Отримуємо рівняння:

2 2х - 3 · 2 х +2 = 0

А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.

Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає зрозумілим!

Отже, нехай

Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Замінюємо в нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:

Ну що, осяює?) Квадратні рівняння не забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:

Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібен ікс, а не t. Повертаємося до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:

Стало бути,

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:

Гм... Зліва 2 х, праворуч 1... Проблема? Та ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульовому ступені. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:

Ось тепер все. Отримали 2 корені:

Це відповідь.

При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:

З сімки двійка через простий ступінь не виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може, й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , тільки скупо посміхнеться та запише твердою рукоюабсолютно вірна відповідь:

Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. Там конкретне число потрібне. А ось у завданнях "С" – запросто.

У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.

Практичні поради:

1. Насамперед дивимося на основиступенів. Розуміємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!

2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.

3. Якщо друга рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може вийти рівняння, яке легко розв'язується. Найчастіше – квадратне. Або дробове, яке також зводиться до квадратного.

4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".

Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішити.) Самостійно. Від простого – до складного.

Розв'язати показові рівняння:

Складніше:

2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48

9 х - 8 · 3 х = 9

2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0

Знайти твір коріння:

2 3-х + 2 х = 9

Вийшло?

Ну тоді найскладніший приклад(вирішується, щоправда, в умі...):

7 0.13х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3

Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Приклад простіше, для відпочинку):

9 · 2 х - 4 · 3 х = 0

І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Так Так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І хай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).

Відповіді (безладно, через точку з комою):

1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.

Все вдало? Чудово.

Є проблеми? Не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються з докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з усілякими показовими рівняннями. Не лише з цими.)

Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Початковий рівень

Показові рівняння. Вичерпне керівництво (2019)

Вітання! Сьогодні ми обговоримо з тобою, як вирішувати рівняння, які можуть бути як елементарними (а я сподіваюся, що після прочитання цієї статті майже всі вони і будуть для тебе такими), так і такими, які зазвичай дають на засипку. Мабуть, щоби засипати остаточно. Але я постараюся зробити все можливе, щоб тепер ти не потрапив в халепу, зіткнувшись з таким типом рівнянь. Я не буду більше ходити навкруги, а відразу відкрию маленький секрет: сьогодні ми будемо займатися показовими рівняннями.

Перш ніж переходити до розбору способів їх вирішення, я одразу змалюю перед тобою коло питань (досить невелике), яке тобі варто повторити, перш ніж кидатися на штурм цієї теми. Отже, для отримання найкращого результату, будь ласка, повтори:

1. Властивості та
2. Рішення та рівнянь

Повторив? Чудово! Тоді тобі не важко помітити, що коренем рівняння є число. Ти зрозумів, як я це зробив? Правда? Тоді продовжуємо. Тепер дай відповідь мені на запитання, чому дорівнює в третьому ступені? Ти абсолютно правий: . А вісімка – це якийсь ступінь двійки? Правильно – третя! Тому що. Ну ось, тепер давай спробуємо вирішити таке завдання: Нехай я раз множу саме на себе число і отримую в результаті. Питається, скільки разів я помножив сам на себе? Ти, звичайно, можеш перевірити це безпосередньо:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( align)

Тоді ти можеш зробити висновок, що я сам на себе множив рази. Як це ще можна перевірити? А ось як: безпосередньо за визначенням ступеня: . Але, погодься, якби я питав, скільки разів два треба помножити саме на себе, щоб отримати, скажімо, ти сказав би мені: я не морочитиму собі голову і множитиму сам на себе до посиніння. І був би абсолютно правий. Бо ти можеш записати всі дії коротко(а стислість - сестра таланту)

де - це і є ті самі «рази»коли ти множиш сам на себе.

Я думаю, що ти знаєш (а якщо не знаєш, терміново, дуже терміново повторюй ступеня!), що, тоді моє завдання запишеться у вигляді:

Звідки ти можеш зробити цілком виправданий висновок, що:

Ось так непомітно я записав найпростіше показове рівняння:

І навіть знайшов його корінь. Тобі не здається, що все зовсім очевидно? Ось і я думаю саме так само. Ось тобі ще один приклад:

Але що робити? Адже не можна записати у вигляді ступеня (розумного) числа. Давай не будемо впадати у відчай і зауважимо, що обидва ці числа чудово виражаються через ступінь одного і того ж числа. Якого? Правильно: . Тоді вихідне рівняння перетворюється на вид:

Звідки, як ти зрозумів, . Давай більше не тягтимемо і запишемо визначення:

У нашому випадку: .

Вирішуються ці рівняння зведенням їх до вигляду:

з наступним рішенням рівняння

Ми власне в попередньому прикладі це й робили: у нас вийшло, що. І ми вирішували з тобою найпростіше рівняння.

Начебто нічого складного, правда? Давай спочатку потренуємося на найпростіших приклади:

Ми знову бачимо, що праву та ліву частину рівняння потрібно подати у вигляді ступеня одного числа. Правда ліворуч це вже зроблено, а ось справа стоїть число. Але, нічого страшного, адже, і моє рівняння чудовим чином перетвориться на таке:

Чим мені довелося скористатися тут? Яким правилом? Правило «ступеня ступеня», Що говорить:

А що якщо:

Перш ніж відповісти на це питання, давай ми з тобою заповнимо таку табличку:

Нам не важко помітити, що чим менше, тим менше менше значення, Але тим не менш, всі ці значення більше нуля. І ТАК БУДЕ ЗАВЖДИ!!! Це ж властивість справедливо ДЛЯ БУДЬ-ЯКОГО ПІДСТАВИ З БУДЬ-ЯКИМ ПОКАЗНИКОМ!! (для будь-яких та). Тоді який ми можемо зробити висновок про рівняння? А ось який: воно коріння не має! Як не має коріння і будь-яке рівняння. Тепер давай потренуємось і вирішуємо прості приклади:

Давай звірятися:

1. Тут від тебе нічого не потрібно, крім знання властивостей ступенів (які, до речі, я просив тебе повторити!) Як правило, всі призводять до найменшої основи: , . Тоді вихідне рівняння буде рівносильним наступному: Все, що мені потрібно - це скористатися властивостями ступенів: при множенні чисел з однаковими основами ступеня складаються, а при розподілі - віднімаються.Тоді я отримаю: Ну, а тепер зі спокійною совістю перейду від показового рівняння до лінійного: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x = 0. \\
\end(align)

2. У другому прикладі треба бути уважнішими: біда вся в тому, що в лівій частині у нас ну ніяк не вийде уявити і у вигляді ступеня одного й того ж числа. У такому разі іноді корисно представляти числа у вигляді добутку ступенів з різними підставами, але однаковими показниками:

Ліва частина рівняння набуде вигляду: Що ж нам це дало? А ось що: Числа з різними основами, але однаковими показниками можна перемножувати.При цьому основи перемножуються, а показник не змінюється:

Щодо моєї ситуації це дасть:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\end(align)

Непогано, правда?

3. Я не люблю, коли у мене без особливої ​​потреби з одного боку рівняння стоять два доданки, а з іншого - жодного (іноді, звичайно, це виправдано, але зараз не такий випадок). Перенесу доданок з мінусом праворуч:

Тепер, як і раніше, запишу все через ступені трійки:

Складу ступеня зліва та отримаю рівносильне рівняння

Ти легко знайдеш його корінь:

4. Як і в прикладі три, складові з мінусом - місце у правій частині!

Зліва у мене майже все добре, крім чого? Так, мені заважає «неправильний ступінь» у двійки. Але я можу легко це виправити, записавши: . Еврика - зліва всі підстави різні, але всі ступені - однакові! Терміново перемножуємо!

Тут знову-таки все ясно: (якщо ти не зрозумів, яким чарівним чином я отримав останню рівність, відірвись на хвилину, перепочни і прочитай властивості ступеня ще раз дуже уважно. Хто казав, що можна пропускати ступінь з негативним показником? Ну от і я про те, що ніхто). Тепер я отримаю:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Ось тобі завдання для тренування, до яких я лише наведу відповіді (але у «перемішаному» вигляді). Виріш їх, звірись, і ми з тобою продовжимо наші пошуки!

Готовий? Відповідіось такі:

1. будь-яке число

Ну гаразд, гаразд, я пожартував! Ось вам нариси рішень (деякі - дуже короткі!)

Тобі не здається невипадковим, що один дріб зліва - це «перевернутий» інший? Гріх цим не скористатиметься:

Це правило дуже часто використовується при вирішенні показових рівнянь, запам'ятай його добре!

Тоді вихідне рівняння стане таким:

Вирішивши це квадратне рівняння, ти отримаєш ось таке коріння:

2. Ще один прийом рішення: розподіл обох частин рівняння на вираз, що стоїть ліворуч (або праворуч). Розділю на те, що праворуч, тоді отримаю:

Звідки (чому?!)

3. навіть не хочу повторятися, настільки все вже «розжовано».

4. рівносильно квадратному рівнянню, коріння

5. Потрібно скористатися формулою, наведеною в першому завданні, тоді отримаєш, що:

Рівняння перетворилося на тривіальну тотожність, яка вірна за будь-якого. Тоді відповідь – це будь-яке дійсне число.

Ну що ж, ось ти й потренувався вирішувати найпростіші показові рівняння.Тепер я хочу тобі навести кілька прикладів життя, які допоможуть тобі зрозуміти, а для чого вони потрібні в принципі. Тут я наведу два приклади. Один з них цілком повсякденний, ну а інший - радше має науковий, ніж практичний інтерес.

Приклад 1 (меркантильний)Нехай у тебе є карбованців, а тобі хочеться перетворити його на карбованців. Банк пропонує тобі взяти у тебе ці гроші під річні з щомісячною капіталізацією відсотків (щомісячним нарахуванням). Постає питання, на скільки місяців потрібно відкрити вклад, щоб набрати потрібну кінцеву суму? Цілком приземлене завдання, чи не так? Проте її рішення пов'язане із побудовою відповідного показового рівняння: Нехай – початкова сума, – кінцева сума, – процентна ставка за період, – кількість періодів. Тоді:

У нашому випадку (якщо ставка річних, то за місяць нараховують). А чому ділиться на? Якщо не знаєш відповіді на це запитання, згадуй тему «»! Тоді ми отримаємо таке рівняння:

Це показникове рівняння вже можна вирішити тільки за допомогою калькулятора (його зовнішній виглядна це натякає, причому для цього потрібне знання логарифмів, з якими ми познайомимося трохи пізніше), що я і зроблю: … Таким чином, для отримання млн. нам потрібно зробити внесок на місяць (не дуже швидко, чи не так?).

Приклад 2 (скоріше науковий).Незважаючи на його, деяку «відірваність», рекомендую тобі звернути на нього увагу: він регулярно «прослизає в ЄДІ!! (Завдання взято з «реального» варіанта) У ході розпаду радіоактивного ізотопу його маса зменшується за законом, де (мг) - початкова маса ізотопу, (мін.) - Час, що пройшов від початкового моменту, (мін.) - період напіврозпаду. У початковий час маса ізотопу мг. Період його напіврозпаду мін. Через скільки хвилин маса ізотопу дорівнюватиме мг? Нічого страшного: просто беремо і підставляємо всі дані у запропоновану нам формулу:

Розділимо обидві частини на, «в надії», що зліва ми отримаємо що-небудь зручне:

Ну що ж, нам дуже пощастило! Ліворуч стоїть, тоді перейдемо до рівносильного рівняння:

Звідки хв.

Як бачиш, показові рівняння мають цілком реальний додаток на практиці. Тепер я хочу розібрати з тобою ще один (нехитрий) спосіб розв'язання показових рівнянь, який ґрунтується на винесенні загального множника за дужки з наступним угрупованням доданків. Не лякайся моїх слів, ти вже стикався з цим методом у 7 класі, коли вивчав багаточлени. Наприклад, якщо тобі потрібно було розкласти на множники вираз:

Давай згрупуємо: перший і третій доданок, а також другий і четвертий. Зрозуміло, що перше і третє - це різниця квадратів:

а друге та четверте мають загальний множник трійку:

Тоді вихідний вираз рівносильний такому:

Звідки винести загальний множник вже не важко:

Отже,

Ось приблизно таким чином ми й чинитимемо при вирішенні показових рівнянь: шукати «спільність» серед доданків і виносити її за дужки, ну а потім - будь що буде, я вірю, що нам везти =)) Наприклад:

Праворуч стоїть далеко не ступінь сімки (я перевіряв!) Та й ліворуч – трохи краще, можна, звичайно, «відтяпати» від першого доданку множник а від другого, а потім уже розбиратися з отриманим, але давай з тобою вчинимо розумніше. Я не хочу мати справу з дробами, які неминуче утворюються при «виділенні», то чи не краще мені винести? Тоді дробів у мене не буде: як то кажуть, і вовки ситі, і вівці цілі:

Порахуй вираз у дужках. Чарівним, магічним чином виходить, що (дивно, хоч чого нам ще чекати?).

Тоді скоротимо обидві частини рівняння цей множник. Отримаємо: , звідки.

Ось приклад складніший (зовсім небагато, щоправда):

Ось біда! У нас тут немає однієї спільної підстави! Не зовсім ясно, що тепер робити. А давай зробимо, що зможемо: по-перше, перенесемо «четвірки» в один бік, а «п'ятірки» в інший:

Тепер давай винесемо «загальне» ліворуч і праворуч:

Ну і що тепер? У чому вигода від такого безглуздого угруповання? На перший погляд вона зовсім не видно, проте давай глянемо глибше:

Ну а тепер зробимо так, щоб ліворуч у нас був тільки вираз с, а праворуч – все інше. Як це зробити? А ось як: Розділити обидві частини рівняння спочатку на (так ми позбудемося ступеня праворуч), а потім розділимо обидві частини на (так ми позбудемося числового множника зліва). Остаточно отримаємо:

Неймовірно! Зліва у нас стоїть вираз, а праворуч – просто. Тоді відразу робимо висновок, що

Ось тобі ще один приклад на закріплення:

Я наведу його коротке рішення (не особливо обтяжуючи себе поясненнями), постарайся сам розібратися у всіх тонкощах рішення.

Тепер підсумкове закріплення пройденого матеріалу. Постарайся самостійно вирішити такі завдання. Я лише наведу короткі рекомендації та поради до їх вирішення:

1. Винесемо загальний множник за дужки:
2. Перше вираз представимо у вигляді: , Розділимо обидві частини на і отримаємо, що
3. , Тоді вихідне рівняння перетворюється на вигляд: Ну а тепер підказка - шукай, де ми з тобою вже вирішували це рівняння!
4. Уяви як, як, а, ну а потім поділи обидві частини на, так ти отримаєш найпростіше показове рівняння.
5. Винеси за дужки.
6. Винеси за дужки.

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Я припускаю, що після ознайомлення з першою статтею, в якій розповідалося що таке показові рівняння та як їх вирішувати, ти опанував необхідним мінімумомзнань, необхідні вирішення найпростіших прикладів.

Тепер я розберу ще один метод розв'язання показових рівнянь, це

метод введення нової змінної (або заміни).Їм вирішується більшість «важких» завдань, на тему показові рівняння (і не лише рівняння). Цей метод - одне із найчастіше вживаних практично. Спочатку рекомендую ознайомитися з темою.

Як ти вже зрозумів з назви, суть цього методу – запровадити таку заміну змінної, що твоє показове рівняння чудовим чином перетвориться на таке, яке ти вже легко можеш вирішити. Все що тобі залишиться після вирішення цього «спрощеного рівняння» - це зробити «зворотну заміну»: тобто повернутися від заміненого до замінного. Давай проілюструємо щойно сказане дуже простому прикладі:

Приклад 1:

Це рівняння вирішується за допомогою «простої заміни», як її зневажливо називають математикою. Справді, заміна тут – найочевидніша. Варто лише побачити, що

Тоді вихідне рівняння перетвориться на таке:

Якщо ж додатково уявити як, то цілком ясно, що треба замінювати: звичайно ж, . На що тоді перетвориться вихідне рівняння? А ось у що:

Ти без проблем самостійно знайдеш його коріння: . Що нам робити тепер? Настав час повертатися до вихідної змінної. А що я забув вказати? Саме: при заміні деякою мірою на нову змінну (тобто при заміні виду) мене цікавитимуть тільки позитивне коріння!Ти й сам легко відповиш, чому. Таким чином, нас з тобою не цікавить, а ось друге коріння нам цілком підходить:

Тоді звідки.

Відповідь:

Як бачиш, у попередньому прикладі заміна так і просилася до нас у руки. На жаль, так буває далеко не завжди. Однак, давай не переходитимемо відразу до сумного, а потренуємося ще на одному прикладі з досить простою заміною

приклад 2.

Ясно, що швидше за все замінювати доведеться (це найменша зі ступенів, що входить до нашого рівняння), проте перш ніж вводити заміну, наше рівняння потрібно до неї «підготувати», а саме: , . Тоді можна замінювати, в результаті я отримаю наступний вираз:

Про жах: кубічне рівняння з абсолютно моторошними формулами його розв'язання (якщо говорити в загальному вигляді). Але давай не будемо відразу зневірятися, а подумаємо, що нам робити. Я запропоную шахрайство: ми знаємо, що для отримання «красивої» відповіді, нам потрібно отримати у вигляді певної міри трійки (з чого б це, а?). А давай спробуємо вгадати хоча б один корінь нашого рівняння (я почну гадати зі ступенів трійки).

Перше припущення. Не є коренем. На жаль і ах...

.
Ліва частина дорівнює.
Права частина: !
Є! Вгадали перший корінь. Тепер справа піде легше!

Ти знаєш про схему поділу «куточком»? Звичайно, знаєш, ти застосовуєш її, коли ділиш одне число на інше. Але мало хто знає, що те саме можна робити і з багаточленами. Є одна чудова теорема:

Стосовно моєї ситуації це говорить мені про те, що ділиться без залишку на. Як же здійснюється поділ? А ось як:

Я дивлюся, на який одночлен я повинен примножити, щоб отримати Ясно, що на, тоді:

Віднімаю отриманий вираз, отримаю:

Тепер на що мені потрібно примножити, щоб отримати? Ясно, що на, тоді отримаю:

і знову відніму отриманий вираз із того, що залишилося:

Ну і останній крок, домножу на, і відніму з виразу, що залишився:

Ура, розподіл закінчено! Що ми накопичили у приватному? Само собою: .

Тоді отримали таке розкладання вихідного многочлена:

Розв'яжемо друге рівняння:

Воно має коріння:

Тоді вихідне рівняння:

має три корені:

Останній корінь ми, звичайно, відкинемо, оскільки він менший за нуль. А перші два після зворотної заміни дадуть нам два корені:

Відповідь: ..

Цим прикладом я аж ніяк не хотів налякати тебе, скоріше я ставив за мету показати, що хоч у нас була досить проста заміна, проте вона призвела до досить складного рівняння, рішення якого зажадало від нас деяких особливих навичок. Що ж, від цього ніхто не застрахований. Проте заміна в даному випадку була досить очевидною.

Ось приклад із дещо менш очевидною заміною:

Цілком не ясно, що нам робити: проблема в тому, що в нашому рівнянні два різних підставі одна підстава не виходить з іншого зведенням в жодну (розумну, природно) ступінь. Однак що ми бачимо? Обидва підстави - відрізняються лише знаком, які твір - є різниця квадратів, рівна одиниці:

Визначення:

Таким чином, числа, що є підставами в нашому прикладі, - пов'язані.

У такому разі розумним кроком буде домножити обидві частини рівняння на сполучене число.

Наприклад, тоді ліва частина рівняння стане рівна, а права. Якщо зробити заміну, то наше з тобою вихідне рівняння стане таким:

його коріння, тоді, а пам'ятаючи, що отримаємо, що.

Відповідь: , .

Як правило, методу заміни виявляється достатньо для вирішення більшості «шкільних» показових рівнянь. Наступні завдання взяті з ЄДІ С1 ( підвищений рівеньскладності). Ти вже досить грамотний для того, щоб самостійно вирішувати ці приклади. Я лише наведу необхідну заміну.

1. Розв'яжіть рівняння:
2. Знайдіть коріння рівняння:
3. Розв'яжіть рівняння: . Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку:

А тепер короткі пояснення та відповіді:

1. Тут нам достатньо помітити, що в. Тоді вихідне рівняння буде еквівалентне ось такому: Дане рівняння вирішується заміною Подальші викладки зроби самостійно. Наприкінці твоє завдання зведеться до вирішення найпростіших тригонометричних (залежних від синуса чи косинуса). Вирішення подібних прикладів ми розберемо в інших розділах.
2. Тут навіть можна обійтися без заміни: достатньо перенести віднімається вправо і уявити обидва підстави через ступені двійки: , а потім відразу перейти до квадратного рівняння.
3. Третє рівняння теж вирішується досить стандартно: уявімо як. Тоді замінивши отримаємо квадратне рівняння: тоді,

   Адже ти вже знаєш, що таке логарифм? Ні? Тоді терміново читай тему!

   Перший корінь, очевидно, не належить відрізку, а другий - незрозуміло! Але ми це дуже скоро дізнаємось! Так, то (це властивість логарифму!) Порівняємо:

   Віднімемо з обох частин, тоді отримаємо:

   Ліву частинуможна уявити у вигляді:

   домножимо обидві частини на:

   можна примножити на, тоді

   Тоді порівняємо:

   оскільки, то:

   Тоді друге коріння належить шуканому проміжку

   Відповідь:

Як бачиш, відбір коренів показових рівнянь потребує досить глибокого знання властивостей логарифмівтак що я раджу тобі бути якомога уважніше, коли вирішуєш показові рівняння. Як ти розумієш, у математиці все взаємопов'язане! Як казала моя вчителька з математики: «математику, як історію, за ніч не прочитаєш».

Як правило, всю складність під час вирішення завдань С1 становить саме відбір коренів рівняння.Давай потренуємося ще на одному прикладі:

Зрозуміло, що саме рівняння вирішується досить легко. Зробивши заміну ми зведемо наше вихідне рівняння до наступного:

Спочатку давай розглянемо перший корінь. Порівняємо і: оскільки, то. (Властивість логарифмічної функції, за умови). Тоді ясно, що перший корінь не належить нашому проміжку. Тепер другий корінь: . Зрозуміло, що (оскільки функція при - зростаюча). Залишилося порівняти в.

тому що, то, в той же час. Таким чином, я можу «вбити кілочок» між і. Цим кілочком є ​​число. Перше вираз менше, а друге – більше. Тоді друге вираз більше першого і корінь належить проміжку.

Відповідь: .

На завершення давай розглянемо ще один приклад рівняння, де заміна досить нестандартна:

Давай одразу почнемо з того, що робити можна, а що – в принципі можна, але краще не робити. Можна - уявити все через ступені трійки, двійки та шістки. До чого це призведе? Та ні до чого і не приведе: мішанина ступенів, причому деяких буде досить складно позбутися. А що ж тоді потрібне? І що нам це дасть? А те, що ми можемо звести рішення даного прикладудо вирішення досить простого показового рівняння! Спочатку давай перепишемо наше рівняння у вигляді:

Тепер розділимо обидві частини рівняння на:

Евріка! Тепер можна замінювати, отримаємо:

Ну що тепер твоя черга вирішувати завдання на показові, а я приведу до них лише короткі коментарі, щоб ти не збився з вірного шляху! Успіхів!

1. Найважча! Заміну тут побачити ох як негелко! Проте цей приклад цілком вирішуємо за допомогою виділення повного квадрата. Для його вирішення достатньо зауважити, що:

Тоді ось тобі і заміна:

(Зверни увагу, що тут за нашої заміни ми не можемо відкидати негативний корінь!!! А чому, як ти думаєш?)

Тепер для вирішення прикладу тобі залишилося вирішити два рівняння:

Обидва вони вирішуються стандартною заміною»(зате другий в одному прикладі!)

2. Зауваж, що й зроби заміну.

3. Розклади число на взаємно-прості співмножники і спрости отриманий вираз.

4. Поділи чисельник і знаменник дробу на (або, якщо тобі так більше до душі) і зроби заміну або.

5. Зауваж, що числа і - сполучені.

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

На додаток давай розглянемо ще один спосіб - розв'язання показових рівнянь методом логарифмування. Не можу сказати, що вирішення показових рівнянь цим методом дуже популярне, проте в деяких випадках тільки він здатний привести нас до правильного вирішення нашого рівняння. Особливо часто він використовується для вирішення так званих « змішаних рівнянь»: тобто таких, де трапляються функції різного виду.

Наприклад, рівняння виду:

у загальному випадку можна вирішити лише логарифмуванням обох частин (наприклад на підставі), при якому вихідне рівняння перетвориться на наступне:

Давай розглянемо наступний приклад:

Ясно, що за ОДЗ логарифмічної функції нас цікавлять тільки. Проте, це випливає не лише з ОДЗ логарифму, а ще з однієї причини. Я думаю, що тобі не буде важко вгадати, за якою саме.

Давай прологарифмуємо обидві частини нашого рівняння на підставі:

Як бачиш, логарифмування нашого вихідного рівняння досить швидко призвело до правильної (і красивої!) відповіді. Давай потренуємося ще на одному прикладі:

Тут теж немає нічого страшного: прологарифмуємо обидві сторони рівняння на підставі, тоді отримаємо:

Зробимо заміну:

Однак, ми дещо пропустили! Ти помітив, де я промахнувся? Адже тоді:

що не задовольняє вимогу (подумай, звідки вона взялася!)

Відповідь:

Спробуй самостійно записати рішення показових рівнянь наведених нижче:

А тепер звір своє рішення з цим:

1. Логарифмуємо обидві частини на підставі, враховуючи, що:

(другий корінь нам не підходить через заміну)

2. Логарифмуємо на підставі:

Перетворимо отриманий вираз до такого виду:

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКИЙ ОПИС І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Показове рівняння

Рівняння виду:

називається найпростішим показовим рівнянням.

Властивості ступенів

Підходи до вирішення

• Приведення до однаковій підставі
• Приведення до однакового показника ступеня
• Заміна змінної
• Спрощення виразу та застосування одного з вищеназваних.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Ступінні чи показові рівняння називають рівняння, у яких змінні перебувають у ступенях, а основою є число. Наприклад:

Рішення показового рівняння зводиться до 2 досить простим діям:

1. Потрібно перевірити чи однакові підстави у рівняння справа і зліва. Якщо підстави неоднакові, шукаємо варіанти на вирішення цього прикладу.

2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємо ступені та вирішуємо отримане нове рівняння.

Допустимо, дано показове рівняння наступного виду:

Починати розв'язання цього рівняння слід з аналізу підстави. Підстави різні - 2 і 4, а для вирішення нам потрібно, щоб були однакові, тому перетворимо 4 за такою формулою -\[(a^n)^m = a^(nm):\]

Додаємо до вихідного рівняння:

Винесемо за дужки \

Виразимо \

Оскільки ступені однакові, відкидаємо їх:

Відповідь: \

Де можна вирішити показове рівняння онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якийскладності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.