Rješavanje zadataka 20 osnovna razina. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike (razina profila): zadaci, rješenja i objašnjenja


Zadatak 20 Osnovna razina Jedinstvenog državnog ispita

1) Puž u jednom danu otpuže uz stablo 4 m, a noću se sklizne uz stablo 1 m. Visina stabla je 13 m. Koliko će dana pužu trebati da dopuže do vrha stablo po prvi put? (4-1 = 3, jutro 4. dana bit će na visini od 9m, a za dan će puzati 4m.Odgovor: 4 )

2) Puž u jednom danu otpuže uz stablo 4 m, a noću se sklizne uz stablo 3 m. Visina stabla je 10 m. Koliko će dana pužu trebati da dopuže do vrha stabla. stablo po prvi put? Odgovor: 7

3) Puž se danju popne na stablo 3 m, a noću spusti 2 m. Visina stabla je 10 m. Koliko će dana pužu trebati da se popne na vrh stabla? Odgovor:8

4) Štap ima poprečne crte crvene, žute i Zelena boja. Ako štapić prerežete po crvenim linijama, dobit ćete 15 komada, ako po žutim linijama - 5 komada, a ako po zelenim linijama - 7 komada. Koliko ćeš komada dobiti ako štapić prerežeš po linijama sve tri boje? ? (Ako štapić prerežete po crvenim linijama, dobit ćete 15 dijelova, dakle, linija je 14. Ako štapić prerežete po žutim linijama, dobit ćete 5 dijelova, dakle bit će 4 linije. Ako prerežete to duž zelenih linija, dobit ćete 7 komada, dakle, redaka će biti 6. Ukupno redaka: 14 + 4 + 6 = 24 redaka. Odgovor:25 )

5) Štap je označen poprečnim linijama crvene, žute i zelene boje. Ako štapić prerežete po crvenim linijama, dobit ćete 5 komada, ako po žutim linijama 7 dijelova, a ako po zelenim linijama 11 dijelova. Koliko ćeš komada dobiti ako štapić prerežeš po linijama sve tri boje? Odgovor : 21

6) Štap je označen poprečnim linijama crvene, žute i zelene boje. Ako režete štap po crvenim linijama, dobit ćete 10 komada, ako po žutim linijama - 8 komada, ako po zelenim - 8 komada. Koliko ćeš komada dobiti ako štapić prerežeš po linijama sve tri boje? Odgovor : 24

7) U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

Za 2 zlatnika dobivate 3 srebrna i jedan bakreni;

Za 5 srebrnjaka dobivate 3 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 50 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka? Odgovor: 10

8) U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

· za 2 zlatnika dobivate 3 srebrna i jedan bakreni;

· za 5 srebrnjaka dobivate 3 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 100 bakrenih novčića. Koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?? Odgovor: 20

9) U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

1) za 3 zlatnika dobiti 4 srebrna i jedan bakreni;

2) za 6 srebrnih novčića dobivate 4 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon posjeta mjenjačnici srebrnjaci su mu se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 35 bakrenjaka. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka? Odgovor: 10

10) U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

1) za 3 zlatnika dobiti 4 srebrna i jedan bakreni;

2) za 7 srebrnih novčića dobivate 4 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon posjeta mjenjačnici srebrnjaci su mu se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavila su se 42 bakrena novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka? Odgovor: 30

11) U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

1) za 4 zlatnika dobiti 5 srebrnih i jedan bakreni;

2) za 8 srebrnih novčića dobivate 5 zlatnih i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 45 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka? Odgovor: 35

12) U košarici je 50 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo koje 28 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo koje 24 gljive postoji barem jedan šampinjon. Koliko mliječnih gljiva ima u košari? ( (50-28)+1=23 - moraju postojati kapice od šafrana. (50-24)+1=27 - mora biti mliječnih gljiva. Odgovor: mliječne gljive u košari 27 .)

13) U košari je 40 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 17 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 25 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici? ( Prema uvjetima problema: (40-17)+1=24 - moraju postojati kapice od šafrana. (40-25)+1=16 24 .)

14) u korpi je 30 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 12 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 20 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici? (Prema izjavi problema: (30-12)+1=19 - moraju postojati kapice od šafrana. (30-20)+1=11 - mora biti mliječnih gljiva. Odgovor: kapice od šafrana u košarici 19 .)

15) U košarici je 45 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo koje 23 gljive nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo koje 24 gljive postoji barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici? ( Prema uvjetima problema: (45-23)+1=23 - moraju postojati kapice od šafrana. (45-24)+1=22 - mora biti mliječnih gljiva. Odgovor: kapice od šafrana u košarici 23 .)

16) U košarici je 25 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 11 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 16 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici? ( Budući da je među bilo kojih 11 gljiva barem jedna gljiva, onda nema više od 10 mliječnih gljiva. Budući da je među bilo kojih 16 gljiva barem jedna mliječna gljiva, onda nema više od 15 gljiva. A budući da ima 25 gljiva ukupno u košarici, onda je točno 10 mliječnih gljiva, a šafranika točnoOdgovor: 15.

17) Vlasnik se dogovorio s radnicima da će mu iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 4200 rubalja, a za svaki sljedeći 1300 rubalja više nego za prethodni. Koliko će vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 11 metara? ?(Odgovor: 117700)

18) Vlasnik se dogovorio s radnicima da će mu iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 3700 rubalja, a za svaki sljedeći metar - 1700 rubalja više nego za prethodni. Koliko će novca vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 8 metara? ( 77200 )

19) Vlasnik se dogovorio s radnicima da će iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 3500 rubalja, a za svaki sljedeći metar - 1600 rubalja više nego za prethodni. Koliko će novca vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 9 metara? ( 89100 )

20) Vlasnik se s radnicima dogovorio da će mu iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 3900 rubalja, a za svaki sljedeći 1200 rubalja više nego za prethodni. Koliko će rubalja vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 6 metara? (41400)

21) Trener je savjetovao Andreyu da provede 15 minuta na traci za trčanje prvog dana nastave, a na svakom sljedećem satu da poveća vrijeme provedeno na traci za 7 minuta. U koliko će treninga Andrey ukupno provesti 2 sata i 25 minuta na traci za trčanje ako se pridržava savjeta trenera? ( 5 )

22) Trener je savjetovao Andreyu da provede 22 minute na traci za trčanje prvog dana nastave, a na svakom sljedećem satu da poveća vrijeme provedeno na traci za 4 minute dok ne dosegne 60 minuta, a zatim nastavi trenirati 60 minuta svaki dan. U koliko će sesija, počevši od prve, Andrey ukupno provesti 4 sata i 48 minuta na traci za trčanje? ( 8 )

23) U prvom redu kina ima 24 sjedala, au svakom sljedećem redu su 2 sjedala više nego u prethodnom. Koliko je sjedala u osmom redu? ( 38 )

24) Liječnik je propisao pacijentu uzimanje lijeka prema sljedećem režimu: prvog dana treba uzeti 3 kapi, a svaki sljedeći dan - 3 kapi više nego prethodnog dana. Nakon uzimanja 30 kapi, pije se još 3 dana po 30 kapi lijeka, a zatim smanjuje unos za 3 kapi dnevno. Koliko bočica lijeka treba kupiti pacijent za cijeli ciklus liječenja, ako svaka bočica sadrži 20 ml lijeka (što je 250 kapi)? (2) zbroj aritmetičke progresije s prvim članom jednakim 3, razlikom jednakom 3 i posljednjim članom jednakim 30.; 165 + 90 + 135 = 390 kapi; 3+ 3(n-1)=30; n=10 i 27- 3(n-1)=3; n=9

25) Liječnik je propisao pacijentu da uzima lijek prema sljedećem režimu: prvi dan treba uzeti 20 kapi, a svaki sljedeći dan - 3 kapi više od prethodnog. Nakon 15 dana uzimanja, bolesnik pravi pauzu od 3 dana i nastavlja uzimati lijek po obrnutoj shemi: 19. dan uzima isti broj kapi kao i 15. dan, a zatim svakodnevno smanjuje dozu za 3 kapi dok doza ne postane manja od 3 kapi dnevno. Koliko bočica lijeka treba kupiti pacijent za cijeli ciklus liječenja, ako svaka bočica sadrži 200 kapi? ( 7 ) popit će 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26) U prodavaonici kućanskih aparata obujam prodaje hladnjaka je sezonskog karaktera. U siječnju je prodano 10 hladnjaka, au naredna tri mjeseca 10 hladnjaka. Od svibnja prodaja je porasla za 15 jedinica u odnosu na prethodni mjesec. Od rujna se obujam prodaje počeo smanjivati ​​za 15 hladnjaka svaki mjesec u odnosu na prethodni mjesec. Koliko je hladnjaka trgovina prodala u godini dana? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) Na površini globusa flomasterom je nacrtano 12 paralela i 22 meridijana. Na koliko su dijelova nacrtane linije podijelile površinu globusa?

Meridijan je kružni luk koji povezuje sjeverni i južni pol. Paralela je kružnica koja leži u ravnini paralelnoj s ravninom ekvatora. (13 22=286)

28) Na površini globusa flomasterom je iscrtano 17 paralela i 24 meridijana. Na koliko su dijelova nacrtane linije podijelile površinu globusa? Meridijan je kružni luk koji povezuje sjeverni i južni pol. Paralela je kružnica koja leži u ravnini paralelnoj s ravninom ekvatora. (18 24 =432)

29)Koji najmanji broj uzastopnih brojeva treba uzeti da bi njihov umnožak bio djeljiv sa 7? (2) Ako bi izjava problema zvučala ovako: “Koji je najmanji broj uzastopnih brojeva koji se moraju uzeti tako da njihov umnožak Zagarantiran bio djeljiv sa 7? Tada biste trebali uzeti sedam uzastopnih brojeva.

30)Koji najmanji broj uzastopnih brojeva treba uzeti da bi njihov umnožak bio djeljiv s 9? (2)

31) Umnožak deset uzastopnih brojeva dijeli se sa 7. Čemu može biti jednak ostatak? (0) Među 10 uzastopnih brojeva, jedan će sigurno biti djeljiv sa 7, pa je umnožak tih brojeva višekratnik broja sedam. Dakle, ostatak kada se podijeli sa 7 je nula.

32) Skakavac skače duž koordinatne crte u bilo kojem smjeru za jedinični segment po skoku. Koliko ima različitih točaka na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 6 skokova, počevši od ishodišta? ( skakavac može završiti na točkama: −6, −4, −2, 0, 2, 4 i 6; samo 7 bodova.)

33) Skakavac skače duž koordinatne crte u bilo kojem smjeru za jedinični segment po skoku. Koliko ima različitih točaka na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 12 skokova, počevši od ishodišta? ( skakavac može biti na točkama: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 i 12; samo 13 bodova.)

34) Skakavac skače duž koordinatne linije u bilo kojem smjeru za jedinični segment po skoku. Koliko ima različitih točaka na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 11 skokova, počevši od ishodišta? (može se pojaviti u točkama: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 i 11; ukupno 12 točaka.)

35) Skakavac skače duž koordinatne crte u bilo kojem smjeru za jedinični segment po skoku. Koliko ima različitih točaka na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 8 skokova, počevši od ishodišta?

Imajte na umu da skakavac može završiti samo na točkama s parnim koordinatama, budući da je broj skokova koje napravi paran. Maksimalni skakavac može biti u točkama čiji modul ne prelazi osam. Dakle, skakavac može završiti na točkama: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 za ukupno 9 bodova.

Srednje opće obrazovanje

Linija UMK G. K. Muravin. Algebra i počeci matematička analiza(10-11) (duboko)

Linija UMK Merzlyak. Algebra i počeci analize (10-11) (U)

Matematika

Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike (razina profila): zadaci, rješenja i objašnjenja

S učiteljem analiziramo zadatke i rješavamo primjere

Ispitni list razini profila traje 3 sata 55 minuta (235 minuta).

Minimalni prag- 27 bodova.

Ispitni rad sastoji se od dva dijela koji se razlikuju po sadržaju, složenosti i broju zadataka.

Definirajuće obilježje svakog dijela rada je oblik zadataka:

  • 1. dio sadrži 8 zadataka (zadaci 1-8) s kratkim odgovorom u obliku cijelog broja ili konačnog decimalnog razlomka;
  • 2. dio sadrži 4 zadatka (zadaci 9-12) s kratkim odgovorom u obliku cijelog broja ili konačnog decimalnog razlomka i 7 zadataka (zadaci 13-19) s detaljnim odgovorom (cjeloviti zapis rješenja s obrazloženjem za poduzete radnje).

Panova Svetlana Anatolevna, profesorica matematike najviše kategorije škole, radno iskustvo 20 godina:

“Da bi dobio školsku svjedodžbu, maturant mora položiti dva obvezna ispita u obliku jedinstvenog državnog ispita, od kojih je jedan matematika. Sukladno Koncepciji razvoja matematičkog obrazovanja u Ruska Federacija Jedinstveni državni ispit iz matematike podijeljen je na dvije razine: osnovnu i specijaliziranu. Danas ćemo pogledati opcije na razini profila.”

Zadatak br. 1- provjerava sposobnost sudionika jedinstvenog državnog ispita da primijene vještine stečene na tečaju za razrede 5 - 9 u elementarna matematika, u praktičnim aktivnostima. Sudionik mora imati računalne vještine, znati raditi s racionalnim brojevima, znati zaokruživati ​​decimale i moći pretvarati jednu mjernu jedinicu u drugu.

Primjer 1. U stan u kojem Petar živi ugrađen je mjerač protoka hladna voda(brojač). 1. svibnja brojilo je pokazalo potrošnju od 172 kubika. m vode, a prvog lipnja - 177 kubičnih metara. m. Koliko bi Petar trebao platiti za hladnu vodu u svibnju, ako je cijena 1 kubni metar? m hladne vode je 34 rublje 17 kopecks? Odgovorite u rubljima.

Riješenje:

1) Pronađite količinu vode potrošenu mjesečno:

177 - 172 = 5 (kubičnih m)

2) Nađimo koliko će novaca platiti za izgubljenu vodu:

34,17 5 = 170,85 (rub.)

Odgovor: 170,85.


Zadatak br. 2- jedan je od najjednostavnijih ispitnih zadataka. Većina diplomanata se s njime uspješno nosi, što ukazuje na poznavanje definicije pojma funkcije. Tip zadatka br. 2 prema šifrantu zahtjeva je zadatak o korištenju stečenih znanja i vještina u praktičnim aktivnostima i Svakidašnjica. Zadatak br. 2 sastoji se od opisa pomoću funkcija raznih stvarne ovisnosti između vrijednosti i interpretacije njihovih grafikona. Zadatkom br. 2 ispituje se sposobnost izdvajanja informacija prikazanih u tablicama, dijagramima i grafikonima. Diplomanti moraju znati odrediti vrijednost funkcije prema vrijednosti njezina argumenta kada na razne načine određivanje funkcije i opisivanje ponašanja i svojstava funkcije na temelju njezina grafa. Također morate biti u mogućnosti pronaći najveći ili najmanja vrijednost te graditi grafove proučavanih funkcija. Napravljene greške su slučajne u čitanju uvjeta problema, čitanju dijagrama.

#ADVERTISING_INSERT#

Primjer 2. Na slici je prikazana promjena tečajne vrijednosti jedne dionice rudarske kompanije u prvoj polovici travnja 2017. godine. Biznismen je 7. travnja kupio 1.000 dionica ove tvrtke. 10. travnja prodao je tri četvrtine dionica koje je kupio, a 13. travnja sve preostale dionice. Koliko je poduzetnik izgubio kao rezultat tih operacija?


Riješenje:

2) 1000 · 3/4 = 750 (dionica) - čine 3/4 svih kupljenih dionica.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - poduzetnik je dobio 1000 dionica nakon prodaje.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (rub) - poduzetnik je izgubio kao rezultat svih operacija.

Odgovor: 15000.

Zadatak br. 3- je zadatak osnovna razina prvi dio, provjerava sposobnost izvođenja radnji s geometrijski oblici o sadržaju predmeta “Planimetrija”. 3. zadatak provjerava sposobnost izračunavanja površine figure na kariranom papiru, sposobnost izračunavanja mjere stupnja kutove, izračunavanje opsega itd.

Primjer 3. Pronađite površinu pravokutnika nacrtanog na kariranom papiru s veličinom ćelije 1 cm x 1 cm (vidi sliku). Odgovor navedite u kvadratnim centimetrima.

Riješenje: Da biste izračunali površinu određene figure, možete koristiti formulu Peak:

Za izračunavanje površine zadanog pravokutnika koristimo Peakovu formulu:

S= B +

 G
2
gdje je B = 10, G = 6, dakle

S = 18 +

 6
2
Odgovor: 20.

Pročitajte također: Jedinstveni državni ispit iz fizike: rješavanje problema o oscilacijama
Zadatak br. 4- cilj predmeta Teorija vjerojatnosti i statistika. Provjerava se sposobnost izračuna vjerojatnosti događaja u najjednostavnijoj situaciji.

Primjer 4. Na krugu je označeno 5 crvenih i 1 plava točka. Odredite koji su poligoni veći: oni kojima su svi vrhovi crveni ili oni kojima je jedan od vrhova plavi. U svom odgovoru označite koliko je nekih više od drugih.

Riješenje: 1) Upotrijebimo formulu za broj kombinacija od n elementi po k:

čiji su vrhovi svi crveni.

3) Jedan peterokut sa svim vrhovima crvene boje.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligona sa svim crvenim vrhovima.

koji imaju crvene vrhove ili s jednim plavim vrhom.

koji imaju crvene vrhove ili s jednim plavim vrhom.

8) Jedan šesterokut s crvenim vrhovima i jednim plavim vrhom.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligona sa svim crvenim vrhovima ili jednim plavim vrhom.

10) 42 – 16 = 26 poligona koristeći plavu točku.

11) 26 – 16 = 10 poligona – koliko više ima poligona u kojima je jedan od vrhova plava točka nego poligona u kojima su svi vrhovi samo crveni.

Odgovor: 10.

Zadatak br. 5- osnovna razina prvog dijela provjerava sposobnost rješavanja jednostavnih jednadžbi (iracionalnih, eksponencijalnih, trigonometrijskih, logaritamskih).

Primjer 5. Riješite jednadžbu 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Riješenje. Podijelite obje strane ove jednadžbe s 5 3 + x≠ 0, dobivamo

2 3 + x = 0,4 ili 2 3 + x = 2 ,
5 3 + x 5 5

odakle slijedi da je 3 + x = 1, x = –2.

Odgovor: –2.

Zadatak br. 6 u planimetriji za pronalaženje geometrijskih veličina (duljine, kutovi, površine), modeliranje stvarnih situacija u jeziku geometrije. Proučavanje konstruiranih modela korištenjem geometrijskih koncepata i teorema. Izvor poteškoća je u pravilu neznanje ili pogrešna primjena potrebnih teorema planimetrije.

Površina trokuta ABC jednako 129. DE– srednja linija paralelna sa strane AB. Pronađite površinu trapeza KREVET.


Riješenje. Trokut CDE sličan trokutu TAKSI pod dva kuta, budući da kut pri tjemenu C općenito, kut SDE jednak kutu TAKSI kao odgovarajući kutovi na DE || AB sječna A.C.. Jer DE je srednja crta trokuta po uvjetu, zatim po svojstvu srednje crte | DE = (1/2)AB. To znači da je koeficijent sličnosti 0,5. Stoga se površine sličnih likova odnose kao kvadrat koeficijenta sličnosti

Stoga, S KREVET = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Zadatak br. 7- provjerava primjenu izvoda na proučavanje funkcije. Uspješna implementacija zahtijeva smisleno, neformalno poznavanje koncepta derivata.

Primjer 7. Na graf funkcije g = f(x) na točki apscise x 0 povučena je tangenta koja je okomita na pravac koji prolazi kroz točke (4; 3) i (3; –1) ovog grafikona. Pronaći f′( x 0).

Riješenje. 1) Upotrijebimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke i pronađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke (4; 3) i (3; –1).

(g – g 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(g 2 – g 1)

(g – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(g – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–g + 3 = –4x+ 16| · (-1)

g – 3 = 4x – 16

g = 4x– 13, gdje k 1 = 4.

2) Odredite nagib tangente k 2, koja je okomita na pravac g = 4x– 13, gdje k 1 = 4, prema formuli:

3) Kut tangente je derivacija funkcije u točki dodirivanja. Sredstva, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Odgovor: –0,25.

Zadatak br. 8- provjerava poznavanje polaznika ispita iz elementarne stereometrije, sposobnost primjene formula za određivanje površina i volumena likova, diedarskih kutova, uspoređivanje volumena sličnih likova, sposobnost izvođenja radnji s geometrijskim likovima, koordinatama i vektorima itd.

Volumen kocke opisane oko kugle je 216. Odredi polumjer kugle.


Riješenje. 1) V kocka = a 3 (gdje A– duljina brida kocke), dakle

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Budući da je kugla upisana u kocku, to znači da je duljina promjera kugle jednaka duljini ruba kocke, dakle d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Zadatak br. 9- zahtijeva od diplomanta da ima vještine transformacije i pojednostavljenja algebarskih izraza. Zadatak br. 9 viša razina Poteškoće s kratkim odgovorom. Zadaci iz odjeljka "Izračuni i transformacije" na Jedinstvenom državnom ispitu podijeljeni su u nekoliko vrsta:

    transformacija numeričkih racionalnih izraza;

    pretvaranje algebarskih izraza i razlomaka;

    pretvorba brojčanih/slovnih iracionalnih izraza;

    akcije sa stupnjevima;

    pretvaranje logaritamskih izraza;

  1. pretvaranje numeričkih/slovnih trigonometrijskih izraza.

Primjer 9. Izračunajte tanα ako je poznato da je cos2α = 0,6 i

3π < α < π.
4

Riješenje. 1) Upotrijebimo formulu dvostrukog argumenta: cos2α = 2 cos 2 α – 1 i pronađimo

tan 2 α = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25.
cos 2 α 0,8 8 4 4 4

To znači tan 2 α = ± 0,5.

3) Po stanju

3π < α < π,
4

to znači da je α kut druge četvrtine i tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Odgovor: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Zadatak br. 10- provjerava sposobnost učenika za korištenje rano stečenih znanja i vještina u praktičnim aktivnostima i svakodnevnom životu. Možemo reći da su to problemi iz fizike, a ne iz matematike, ali sve potrebne formule a vrijednosti su date u uvjetu. Problemi se svode na rješavanje linearnih odn kvadratna jednadžba, bilo linearno ili kvadratna nejednakost. Stoga je potrebno znati riješiti takve jednadžbe i nejednadžbe i odrediti odgovor. Odgovor mora biti dat kao cijeli broj ili konačni decimalni razlomak.

Dva tijela mase m= 2 kg svaki, krećući se istom brzinom v= 10 m/s pod kutom od 2α jedan prema drugom. Energija (u džulima) oslobođena tijekom njihovog apsolutno neelastičnog sudara određena je izrazom Q = mv 2 sin 2 α. Pod kojim se najmanjim kutom 2α (u stupnjevima) moraju kretati tijela da se pri sudaru oslobodi najmanje 50 džula?
Riješenje. Za rješavanje problema potrebno je riješiti nejednadžbu Q ≥ 50, na intervalu 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Kako je α ∈ (0°; 90°), samo ćemo riješiti

Rješenje nejednadžbe predstavimo grafički:


Budući da prema uvjetu α ∈ (0°; 90°), to znači 30° ≤ α< 90°. Получили, что najmanji kutα je 30°, tada je najmanji kut 2α = 60°.

Zadatak br. 11- tipično je, ali se pokazalo teškim za učenike. Glavni izvor poteškoća je konstrukcija matematičkog modela (sastavljanje jednadžbe). Zadatkom br. 11 provjerava se sposobnost rješavanja tekstualnih zadataka.

Primjer 11. Tijekom proljetnih praznika, učenik 11. razreda Vasya morao je riješiti 560 zadataka za vježbanje kako bi se pripremio za Jedinstveni državni ispit. 18. ožujka, zadnjeg dana škole, Vasja je riješio 5 zadataka. Zatim je svaki dan rješavao isti broj zadataka više nego prethodnog dana. Odredite koliko je zadataka Vasja riješio 2. travnja, zadnjeg dana praznika.

Riješenje: Označimo a 1 = 5 – broj zadataka koje je Vasja riješio 18. ožujka, d– dnevni broj zadataka koje rješava Vasya, n= 16 – broj dana od 18. ožujka do uključivo 2. travnja, S 16 = 560 – ukupan broj zadataka, a 16 – broj problema koje je Vasya riješio 2. travnja. Znajući da je svaki dan Vasja riješio isti broj zadataka više u odnosu na prethodni dan, možemo koristiti formule za pronalaženje zbroja aritmetičke progresije:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Odgovor: 65.

Zadatak br.12- provjeravaju sposobnost učenika za izvođenje operacija s funkcijama i sposobnost primjene izvoda na proučavanje funkcije.

Pronađite točku maksimuma funkcije g= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Riješenje: 1) Pronađite domenu definicije funkcije: x + 9 > 0, x> –9, odnosno x ∈ (–9; ∞).

2) Pronađite izvod funkcije:

4) Nađena točka pripada intervalu (–9; ∞). Odredimo predznake derivacije funkcije i prikažimo ponašanje funkcije na slici:


Željena maksimalna točka x = –8.

Besplatno preuzmite program rada iz matematike za liniju nastavnih materijala G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Preuzmite besplatna nastavna pomagala iz algebre

Zadatak br.13-povećani stupanj složenosti s detaljnim odgovorom, provjera sposobnosti rješavanja jednadžbi, najuspješnije riješen među zadacima s detaljnim odgovorom povišenog stupnja složenosti.

a) Riješite jednadžbu 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu.

Riješenje: a) Neka je log 3 (2cos x) = t, zatim 2 t 2 – 5t + 2 = 0,


 log 3(2co x) = 2 ⇔
2cos x = 9 ⇔
cos x = 4,5 ⇔ jer |cos x| ≤ 1,
log 3(2co x) = 1 2cos x = √3 cos x = √3
2 2
zatim cos x = √3
2

x = π + 2π k
6
x = – π + 2π k, k ∈ Z
6

b) Pronađite korijene koji leže na segmentu .


Slika pokazuje da korijeni zadanog segmenta pripadaju

11π I 13π .
6 6
Odgovor: A) π + 2π k; – π + 2π k, k ∈ Z; b) 11π ; 13π .
6 6 6 6
Zadatak br.14-napredna razina odnosi se na zadatke u drugom dijelu s detaljnim odgovorom. Zadatkom se provjerava sposobnost izvođenja radnji s geometrijskim oblicima. Zadatak sadrži dvije točke. U prvoj točki zadatak se mora dokazati, a u drugoj točki izračunati.

Promjer kružnice baze valjka je 20, generatrisa valjka je 28. Ravnina siječe njegovu osnovicu po tetivama duljine 12 i 16. Udaljenost između tetiva je 2√197.

a) Dokažite da središta osnovica valjka leže s jedne strane te ravnine.

b) Odredite kut između te ravnine i ravnine baze valjka.

Riješenje: a) Tetiva duljine 12 udaljena je = 8 od središta osnovne kružnice, a tetiva duljine 16, slično tome, udaljena je 6. Dakle, udaljenost njihovih projekcija na ravninu paralelnu s osnovica cilindara je ili 8 + 6 = 14, ili 8 − 6 = 2.

Tada je razmak između tetiva ili

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Prema uvjetu realiziran je drugi slučaj u kojem projekcije tetiva leže s jedne strane osi cilindra. To znači da os ne siječe ovu ravninu unutar valjka, odnosno da baze leže s njegove jedne strane. Što je trebalo dokazati.

b) Označimo središta baza s O 1 i O 2. Povucimo iz središta baze s tetivom duljine 12 okomitu simetralu na tu tetivu (ima duljinu 8, kao što je već navedeno) i iz središta druge osnovice na drugu tetivu. Leže u istoj ravnini β, okomitoj na te tetive. Nazovimo središte manje tetive B, veće tetive A i projekciju A na drugu bazu - H (H ∈ β). Tada su AB,AH ∈ β i prema tome AB,AH okomite na tetivu, odnosno presječnu ravninu baze sa zadanom ravninom.

To znači da je traženi kut jednak

∠ABH = arktan AH. = arktan 28 = arctg14.
B.H. 8 – 6

Zadatak br.15- povećana razina složenosti s detaljnim odgovorom, provjerava sposobnost rješavanja nejednadžbi, koja se najuspješnije rješava među zadacima s detaljnim odgovorom povećane razine složenosti.

Primjer 15. Riješite nejednadžbu | x 2 – 3x| dnevnik 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Riješenje: Područje definiranja ove nejednakosti je interval (–1; +∞). Razmotrite tri slučaja odvojeno:

1) Neka x 2 – 3x= 0, tj. x= 0 ili x= 3. U ovom slučaju ova nejednakost postaje istinita, stoga su te vrijednosti uključene u rješenje.

2) Neka sada x 2 – 3x> 0, tj. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Štoviše, ova se nejednakost može prepisati kao ( x 2 – 3x) zapisnik 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 i podijeli s pozitivnim izrazom x 2 – 3x. Dobivamo dnevnik 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 ili x≤ –0,5. Uzimajući u obzir domenu definicije, imamo x ∈ (–1; –0,5].

3) Na kraju, razmislite x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). U tom će slučaju izvorna nejednakost biti prepisana u obliku (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Nakon dijeljenja s pozitivnim 3 x – x 2, dobivamo log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Uzimajući u obzir regiju, imamo x ∈ (0; 1].

Kombiniranjem dobivenih rješenja dobivamo x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Odgovor: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Zadatak br.16- napredna razina odnosi se na zadatke u drugom dijelu s detaljnim odgovorom. Zadatkom se provjerava sposobnost izvođenja radnji s geometrijskim oblicima, koordinatama i vektorima. Zadatak sadrži dvije točke. U prvoj točki zadatak se mora dokazati, a u drugoj točki izračunati.

U jednakokračnom trokutu ABC s kutom od 120° u vrhu A povučena je simetrala BD. U trokut ABC upisan je pravokutnik DEFH tako da stranica FH leži na duži BC, a vrh E na duži AB. a) Dokažite da je FH = 2DH. b) Odredite površinu pravokutnika DEFH ako je AB = 4.

Riješenje: A)


1) ΔBEF – pravokutnik, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, tada je EF = BE po svojstvu kraka koji leži nasuprot kutu od 30°.

2) Neka je EF = DH = x, tada je BE = 2 x, BF = x√3 prema Pitagorinom teoremu.

3) Kako je ΔABC jednakokračan, to znači ∠B = ∠C = 30˚.

BD je simetrala ∠B, što znači ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Smatrajmo ΔDBH – pravokutnim, jer DH⊥BC.

2x = 4 – 2x
2x(√3 + 1) 4
1 = 2 – x
√3 + 1 2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Odgovor: 24 – 12√3.


Zadatak br.17- zadatak s detaljnim odgovorom, ovim se zadatkom provjerava primjena znanja i vještina u praktičnim aktivnostima i svakodnevnom životu, sposobnost izgradnje i istraživanja matematičkih modela. Ovaj zadatak je tekstualni problem ekonomskog sadržaja.

Primjer 17. Depozit od 20 milijuna rubalja planira se otvoriti na četiri godine. Banka na kraju svake godine povećava depozit za 10% u odnosu na iznos na početku godine. Osim toga, na početku treće i četvrte godine, investitor godišnje nadopunjuje depozit do x milijuna rubalja, gdje x - cijeli broj. Pronaći najveća vrijednost x, u kojem će banka prikupiti manje od 17 milijuna rubalja na depozit tijekom četiri godine.

Riješenje: Na kraju prve godine doprinos će biti 20 + 20 · 0,1 = 22 milijuna rubalja, a na kraju druge - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milijuna rubalja. Na početku treće godine doprinos (u milijunima rubalja) bit će (24,2 + x), a na kraju - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 x). Na početku četvrte godine doprinos će biti (26,62 + 2,1 X), a na kraju - (26,62 + 2,1 x) + (26,62 + 2,1x) · 0,1 = (29,282 + 2,31 x). Prema uvjetu, trebate pronaći najveći cijeli broj x za koji nejednakost vrijedi

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x < 7718
310
x < 3859
155
x < 24 139
155

Najveće cjelobrojno rješenje ove nejednadžbe je broj 24.

Odgovor: 24.


Zadatak br.18- zadatak povećanog stupnja složenosti s detaljnim odgovorom. Ovaj je zadatak namijenjen natjecateljskom odabiru na sveučilišta s povećanim zahtjevima za matematičku pripremljenost pristupnika. Vježbajte visoka razina složenost - ovaj zadatak se ne odnosi na korištenje jedne metode rješenja, već na kombinaciju razne metode. Za uspješno rješavanje zadatka 18, osim solidnog matematičkog znanja, potrebna je i visoka razina matematičke kulture.

Na što a sustav nejednakosti

x 2 + g 2 ≤ 2da – a 2 + 1
g + a ≤ |x| – a

ima točno dva rješenja?

Riješenje: Ovaj sustav se može prepisati u obliku

x 2 + (g– a) 2 ≤ 1
g ≤ |x| – a

Ako na ravninu nacrtamo skup rješenja prve nejednadžbe, dobit ćemo unutrašnjost kružnice (s rubom) radijusa 1 sa središtem u točki (0, A). Skup rješenja druge nejednadžbe je dio ravnine koji leži ispod grafa funkcije g = | x| – a, a potonji je graf funkcije
g = | x| , pomaknut prema dolje za A. Rješenje ovog sustava je presjek skupova rješenja svake od nejednadžbi.

Dakle, dva rješenja ovaj sustav imat će samo u slučaju prikazanom na sl. 1.


Dodirne točke kružnice s pravcima bit će dva rješenja sustava. Svaka od pravaca nagnuta je prema osi pod kutom od 45°. Dakle, to je trokut PQR– pravokutni jednakokračni. Točka Q ima koordinate (0, A), i točka R– koordinate (0, – A). Osim toga, segmenti PR I PQ jednak polumjeru kruga jednakom 1. To znači

Qr= 2a = √2, a = √2 .
2
Odgovor: a = √2 .
2


Zadatak br.19- zadatak povećanog stupnja složenosti s detaljnim odgovorom. Ovaj je zadatak namijenjen natjecateljskom odabiru na sveučilišta s povećanim zahtjevima za matematičku pripremljenost pristupnika. Zadatak visoke složenosti je zadatak ne na korištenju jedne metode rješavanja, već na kombinaciji različitih metoda. Da biste uspješno dovršili zadatak 19, morate biti u stanju tražiti rješenje, birajući različite pristupe među poznatima i modificirajući proučene metode.

Neka S n iznos P uvjeti aritmetičke progresije ( a str). Poznato je da S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Navedite formulu P termin ove progresije.

b) Odredi najmanji apsolutni zbroj S n.

c) Pronađite najmanji P, na kojem S n bit će kvadrat cijelog broja.

Riješenje: a) Očito je da a n = S n – S n- 1 . Korištenje ovu formulu, dobivamo:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Sredstva, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Budući da S n = 2n 2 – 25n, zatim razmotrite funkciju S(x) = | 2x 2 – 25x|. Njegov graf se može vidjeti na slici.


Očito je da se najmanja vrijednost postiže u cjelobrojnim točkama koje se nalaze najbliže nulama funkcije. Očito su to bodovi x= 1, x= 12 i x= 13. Budući da, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, tada je najmanja vrijednost 12.

c) Iz prethodnog stavka proizlazi da S n pozitivno, počevši od n= 13. Budući da S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), onda se očiti slučaj, kada je ovaj izraz potpuni kvadrat, ostvaruje kada n = 2n– 25, odnosno na P= 25.

Ostaje provjeriti vrijednosti od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ispada da za manje vrijednosti P ne postiže se potpuni kvadrat.

Odgovor: A) a n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Od svibnja 2017. ujedinjena izdavačka grupa "DROFA-VENTANA" dio je korporacije Russian Textbook. U sastavu korporacije su i izdavačka kuća Astrel te digitalna obrazovna platforma LECTA. Generalni direktor Alexander Brychkin, diplomant Financijske akademije pri Vladi Ruske Federacije, kandidat ekonomskih znanosti, voditelj inovativnih projekata izdavačke kuće "DROFA" u području digitalnog obrazovanja (elektronički oblici udžbenika, "ruski jezik" e-škola“, digitalna obrazovna platforma LECTA). Prije dolaska u izdavačku kuću DROFA obnašao je dužnost potpredsjednika za strateški razvoj i ulaganja izdavačkog holdinga "EXMO-AST". Danas Ruska korporacija za izdavanje udžbenika ima najveći portfelj udžbenika uključenih u Savezna lista- 485 naslova (oko 40%, bez udžbenika za posebne škole). Izdavačke kuće korporacije posjeduju najpopularnije komplete udžbenika u ruskim školama iz fizike, crtanja, biologije, kemije, tehnologije, geografije, astronomije - područja znanja koja su potrebna za razvoj proizvodnog potencijala zemlje. Portfelj korporacije uključuje udžbenike i nastavna sredstva Za osnovna škola, nagrađen predsjedničkom nagradom u području obrazovanja. Riječ je o udžbenicima i priručnicima iz tematskih područja koja su potrebna za razvoj znanstvenog, tehničkog i proizvodnog potencijala Rusije.

Jedinstveni državni ispit iz matematike osnovne razine sastoji se od 20 zadataka. Zadatak 20 provjerava vještine rješavanja logičkih problema. Učenik mora biti sposoban primijeniti svoje znanje za rješavanje problema u praksi, uključujući aritmetičku i geometrijsku progresiju. Ovdje možete naučiti kako riješiti zadatak 20 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine, kao i proučiti primjere i rješenja temeljena na detaljnim zadacima.

Svi USE osnovni zadaci svi zadaci (263) USE osnovni zadatak 1 (5) USE osnovni zadatak 2 (6) USE osnovni zadatak 3 (45) USE osnovni zadatak 4 (33) USE osnovni zadatak 5 (2) USE osnovni zadatak 6 (44) ) Osnovni zadatak jedinstvenog državnog ispita 7 (1) Osnovni zadatak jedinstvenog državnog ispita 8 (12) Osnovni zadatak jedinstvenog državnog ispita 10 (22) Osnovni zadatak jedinstvenog državnog ispita 12 (5) Osnovni zadatak jedinstvenog državnog ispita 13 (20) Osnovni zadatak jedinstvenog državnog ispita zadatak 15 (13) Osnovni zadatak Jedinstvenog državnog ispita 19 (23) Osnovni zadatak Jedinstvenog državnog ispita 20 (32)

Na vrpci su na suprotnim stranama sredine označene dvije poprečne pruge.

Traka ima dvije poprečne trake na različitim stranama sredine: plavu i crvenu. Ako vrpcu prerežete uz plavu prugu, tada će jedan dio biti duži od drugog za A cm. Ako je prerežete uz crvenu prugu, tada će jedan dio biti duži od drugog za B cm. Pronađite udaljenost od vrpce. crvene do plave pruge.

Problem s vrpcom dio je jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Biolozi su otkrili različite vrste ameba

Biolozi su otkrili različite vrste ameba od kojih se svaka dijeli na dvije nakon točno jedne minute. Biolog stavi amebu u epruvetu, a nakon točno N sati epruveta se pokaže potpuno ispunjenom amebama. Za koliko minuta će se cijela epruveta napuniti amebama ako se u nju ne stavi jedna, nego K ameba?

Prilikom demonstracije ljetne odjeće, odjeća svakog modela

Prilikom demonstracije ljetne odjeće, odjeća svakog modela razlikuje se u najmanje jednom od tri elementa: bluzi, suknji i cipelama. Ukupno je modna dizajnerica za demonstraciju pripremila A vrste bluza, B vrste suknji i C vrste cipela. Koliko će različitih odjevnih kombinacija biti prikazano u ovoj demonstraciji?

Problem o odjeći dio je jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Grupa turista prešla je planinski prijevoj

Grupa turista prešla je planinski prijevoj. Prvi kilometar uspona prešli su za K minuta, a svaki sljedeći kilometar trajao je L minuta duže od prethodnog. Posljednji kilometar prije vrha prijeđen je za M minuta. Nakon N minuta odmora na vrhu, turisti su započeli spuštanje, koje je bilo postupnije. Prvi kilometar nakon vrha prijeđen je za P minuta, a svaki sljedeći kilometar bio je R minuta brži od prethodnog. Koliko je sati grupa potrošila na cijelu rutu ako je zadnji kilometar spusta prijeđen za S minuta?

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Liječnik je propisao pacijentu uzimanje lijeka prema ovom režimu

Liječnik je pacijentu propisao uzimanje lijeka prema sljedećoj shemi: prvi dan treba uzeti K kapi, a svaki sljedeći dan - N kapi više nego prethodnog dana. Koliko bočica lijeka treba kupiti pacijent za cijeli ciklus liječenja, ako svaka bočica sadrži M kapi?

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Prema Mooreovom empirijskom zakonu prosječan broj tranzistora na mikrosklopovima

Prema Mooreovom empirijskom zakonu, prosječan broj tranzistora na mikro krugovima povećava se N puta svake godine. Poznato je da je 2005. godine prosječan broj tranzistora na mikrosklopu bio K milijuna.Odredite koliko je milijuna tranzistora prosječno bilo na mikrosklopu 2003. godine.

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Naftna kompanija buši bušotinu za vađenje nafte.

Naftna tvrtka buši bušotinu za proizvodnju nafte, koja se prema podacima geoloških istraživanja nalazi na dubini od N km. Tijekom radnog dana bušači idu L metara u dubinu, ali tijekom noći bušotina se ponovno “zamuli”, odnosno napuni se zemljom do K metara. Koliko će radnih dana biti potrebno naftašima da izbuše bušotinu do dubine nafte?

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

U prodavaonici kućanskih aparata prodaja hladnjaka je sezonska.

U dućanu Kućanski aparati Obim prodaje hladnjaka je sezonski. U siječnju su prodani K hladnjaci, au naredna tri mjeseca prodani su L hladnjaci. Od svibnja prodaja je porasla za M jedinica u odnosu na prethodni mjesec. Od rujna se obujam prodaje počeo smanjivati ​​za N hladnjaka svaki mjesec u odnosu na prethodni mjesec. Koliko je hladnjaka trgovina prodala u godini dana?

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Trener je savjetovao Andreyu da prvi dan nastave provede na traci za trčanje

Trener je savjetovao Andreyu da provede L minuta na traci za trčanje prvog dana nastave, a na svakom sljedećem satu da poveća vrijeme provedeno na traci za M minuta. U koliko će sesija Andrey ukupno N sati K minuta provesti na traci za trčanje ako se pridržava savjeta trenera?

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Svake sekunde jedna se bakterija podijeli u dvije nove bakterije

Svake sekunde jedna se bakterija podijeli u dvije nove bakterije. Poznato je da bakterije ispune cijeli volumen jedne čaše za N sati. Za koliko sekundi će se čaša napuniti s 1/K dijela bakterija?

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Na obilaznici se nalaze četiri benzinske postaje: A, B, C i D

Na obilaznici su četiri benzinske postaje: A, B, C i D. Udaljenost između A i B je K km, između A i B je L km, između B i D je M km, između G i A je N km (sve udaljenosti mjerene duž obilaznica po najkraćem luku). Pronađite udaljenost (u kilometrima) između B i C.

Zadatak o benzinskim postajama dio je jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Sasha je pozvao Petyu u posjet, rekavši da je živio

Sasha je pozvao Petju u posjet, rekavši da živi na ulazu K u stanu br. M, ali je zaboravio reći kat. Približavajući se kući, Petja je otkrila da je kuća N-kata. Na kojem katu živi Sasha? (Na svim etažama broj stanova je isti; brojevi stanova u zgradi počinju s jedan.)

Zadatak o stanovima i kućama dio je jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovne razine za 11. razred, broj 20.

Zbirka za pripremu za Jedinstveni državni ispit (osnovna razina)

Prototip zadatka br.20

1. U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

Za 2 zlatnika dobivate 3 srebrna i jedan bakreni;

Za 5 srebrnjaka dobivate 3 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 50 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

2. Štap je označen poprečnim linijama crvene, žute i zelene boje. Ako štapić prerežete po crvenim linijama, dobit ćete 5 komada, ako po žutim linijama 7 dijelova, a ako po zelenim linijama 11 dijelova. Koliko ćeš komada dobiti ako štapić prerežeš po linijama sve tri boje?

3. U košarici je 40 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 17 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 25 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

4. U košarici je 40 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 17 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 25 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

5. Vlasnik se s radnicima dogovorio da će mu iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 4200 rubalja, a za svaki sljedeći 1300 rubalja više nego za prethodni. Koliko će vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 11 metara?

6. Puž se u danu popne na stablo 3 m, a u noći spusti 2 m. Visina stabla je 10 m. Koliko će dana pužu trebati da se popne na vrh stabla?

7. Na površini globusa flomasterom je nacrtano 12 paralela i 22 meridijana. Na koliko su dijelova nacrtane linije podijelile površinu globusa?

8. U košarici je 30 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 12 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 20 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

9.

1) za 2 zlatnika dobiti 3 srebrna i jedan bakreni;

2) za 5 srebrnjaka dobivate 3 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 50 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

10. U prodavaonici kućanskih aparata prodaja hladnjaka je sezonska. U siječnju je prodano 10 hladnjaka, au naredna tri mjeseca 10 hladnjaka. Od svibnja prodaja je porasla za 15 jedinica u odnosu na prethodni mjesec. Od rujna se obujam prodaje počeo smanjivati ​​za 15 hladnjaka svaki mjesec u odnosu na prethodni mjesec. Koliko je hladnjaka trgovina prodala u godini dana?

11. U košarici je 25 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 11 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 16 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

12. Popis zadataka kviza sastojao se od 25 pitanja. Za svaki točan odgovor učenik je dobivao 7 bodova, za netočan odgovor oduzimalo mu se 10 bodova, a za neodgovor 0 bodova. Koliko je točnih odgovora dao učenik koji je osvojio 42 boda ako se zna da je barem jednom pogriješio?

13. Skakavac skače duž koordinatne crte u bilo kojem smjeru jedinični segment u jednom skoku. Skakavac počinje skakati iz ishodišta. Koliko različitih točaka ima na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 11 skokova?

14. U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

· za 2 zlatnika dobivate 3 srebrna i jedan bakreni;

· za 5 srebrnjaka dobivate 3 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 100 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

15. U košarici je 45 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo koje 23 gljive nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo koje 24 gljive postoji barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

16. Vlasnik se s radnicima dogovorio da će mu iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 3700 rubalja, a za svaki sljedeći 1700 rubalja više nego za prethodni. Koliko će novca vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 8 metara?

17. Liječnik je propisao pacijentu da uzima lijek prema sljedećem režimu: prvi dan treba uzeti 20 kapi, a svaki sljedeći dan - 3 kapi više od prethodnog. Nakon 15 dana uzimanja, bolesnik pravi pauzu od 3 dana i nastavlja uzimati lijek po obrnutoj shemi: 19. dan uzima isti broj kapi kao i 15. dan, a zatim svakodnevno smanjuje dozu za 3 kapi dok doza ne postane manja od 3 kapi dnevno. Koliko bočica lijeka treba kupiti pacijent za cijeli ciklus liječenja, ako svaka bočica sadrži 200 kapi?

18. U košarici je 50 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo koje 28 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo koje 24 gljive postoji barem jedan šampinjon. Koliko mliječnih gljiva ima u košari?

19. Sasha je pozvao Petju u posjet, rekavši da živi na desetom ulazu u stanu broj 333, ali je zaboravio reći kat. Približavajući se kući, Petja je otkrila da je kuća visoka devet katova. Na kojem katu živi Sasha? (Na svim etažama broj stanova je isti; brojevi stanova u zgradi počinju s jedan.)

20. U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

1) za 5 zlatnika dobivate 6 srebrnih i jedan bakreni;

2) za 8 srebrnih novčića dobivate 6 zlatnih i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 55 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

21. Trener je savjetovao Andreju da provede 22 minute na traci za trčanje prvog dana nastave, a na svakom sljedećem satu da poveća vrijeme provedeno na traci za 4 minute dok ne dosegne 60 minuta, a zatim nastavi trenirati 60 minuta svaki dan . U koliko će sesija, počevši od prve, Andrey ukupno provesti 4 sata i 48 minuta na traci za trčanje?

22. Svake sekunde jedna se bakterija podijeli u dvije nove bakterije. Poznato je da bakterije za 1 sat ispune cijeli volumen jedne čaše. Za koliko će sekundi čaša biti do pola ispunjena bakterijama?

23. Jelovnik restorana ima 6 vrsta salata, 3 vrste prvih jela, 5 vrsta drugih jela i 4 vrste deserta. Koliko opcija za ručak od salate, prvog jela, drugog jela i deserta posjetitelji ovog restorana mogu odabrati?

24. Puž se u jednom danu popne uz stablo 4 m, a noću sklizne 3 m. Visina stabla je 10 m. Za koliko dana puž puže do vrha stabla prvi put?

25. Na koliko se načina mogu poredati dvije iste crvene kocke, tri iste zelene kocke i jedna plava kocka?

26. Umnožak deset uzastopnih brojeva dijeli se sa 7. Čemu može biti jednak ostatak?

27. U prvom redu kina ima 24 sjedala, a svaki sljedeći red ima 2 sjedala više od prethodnog. Koliko je sjedala u osmom redu?

28. Popis zadataka kviza sastojao se od 33 pitanja. Za svaki točan odgovor učenik je dobivao 7 bodova, za netočan odgovor oduzimalo mu se 11 bodova, a za neodgovor 0 bodova. Koliko je točnih odgovora dao učenik koji je osvojio 84 boda, ako se zna da je barem jednom pogriješio?

29. Na površini globusa flomasterom je iscrtano 13 paralela i 25 meridijana. Na koliko su dijelova nacrtane linije podijelile površinu globusa?

Meridijan je kružni luk koji povezuje sjeverni i južni pol. Paralela je kružnica koja leži u ravnini paralelnoj s ravninom ekvatora.

30. Na obilaznici su četiri benzinske postaje: A, B, C i D. Udaljenost između A i B je 35 km, između A i C je 20 km, između C i D je 20 km, između D i A je 30 km. km (sve udaljenosti mjerene duž obilaznice u najkraćem smjeru). Pronađite udaljenost između B i C. Odgovorite u kilometrima.

31. Sasha je pozvao Petyu u posjet, rekavši da živi u sedmom ulazu u stanu broj 462, ali je zaboravio reći kat. Približavajući se kući, Petja je otkrila da je kuća visoka sedam katova. Na kojem katu živi Sasha? (Na svim etažama broj stanova je isti; numeriranje stanova u zgradi počinje od jedan.)

32. U košarici je 30 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 12 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 20 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

33. Vlasnik se s radnicima dogovorio da će iskopati bunar pod sljedećim uvjetima: za prvi metar platit će im 3500 rubalja, a za svaki sljedeći 1600 rubalja više nego za prethodni. Koliko će novca vlasnik morati platiti radnicima ako iskopaju bunar dubok 9 metara?

34. Sasha je pozvao Petju u posjet, rekavši da živi na desetom ulazu u stanu broj 333, ali je zaboravio reći kat. Približavajući se kući, Petja je otkrila da je kuća visoka devet katova. Na kojem katu živi Sasha? (Na svakoj etaži broj stanova je isti; brojevi stanova u zgradi počinju s jedan.)

35. Liječnik je propisao pacijentu da uzima lijek prema sljedećem režimu: prvi dan treba uzeti 3 kapi, a svaki sljedeći dan - 3 kapi više nego prethodnog dana. Nakon uzimanja 30 kapi, pije se još 3 dana po 30 kapi lijeka, a zatim smanjuje unos za 3 kapi dnevno. Koliko bočica lijeka treba kupiti pacijent za cijeli ciklus liječenja, ako svaka bočica sadrži 20 ml lijeka (što je 250 kapi)?

36. Pravokutnik je s dva ravna reza podijeljen na četiri manja pravokutnika. Opseg tri od njih, počevši od gornjeg lijevog kuta i zatim u smjeru kazaljke na satu, iznosi 24, 28 i 16. Nađite opseg četvrtog pravokutnika.

37. Na obilaznici su četiri benzinske postaje: A, B, C i D. Udaljenost između A i B je 50 km, između A i B je 30 km, između B i D je 25 km, između G i A je 45 km. km (sve udaljenosti mjerene duž obilaznice duž najkraćeg luka).

Pronađite udaljenost (u kilometrima) između B i C.

38. Naftna kompanija radi bušotinu za proizvodnju nafte koja se, prema podacima geoloških istraživanja, nalazi na dubini od 3 km. Tijekom radnog dana bušači idu do 300 metara dubine, ali preko noći bušotina se ponovno “zamuli”, odnosno napuni se zemljom do dubine od 30 metara. Koliko će radnih dana biti potrebno naftašima da izbuše bušotinu do dubine nafte?

39. Grupa turista prešla je planinski prijevoj. Prvi kilometar uspona prevalili su za 50 minuta, a svaki naredni kilometar trajao je 15 minuta duže od prethodnog. Zadnji kilometar prije vrha prijeđen je za 95 minuta. Nakon desetominutnog odmora na vrhu, turisti su započeli spuštanje, koje je bilo postupnije. Prvi kilometar nakon vrha prijeđen je za sat vremena, a svaki sljedeći kilometar bio je 10 minuta brži od prethodnog. Koliko je sati grupa potrošila na cijelu rutu ako je zadnji kilometar spusta prešao za 10 minuta?

40. U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

Za 3 zlatnika dobivate 4 srebrna i jedan bakreni;

Za 7 srebrnjaka dobivate 4 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavila su se 42 bakrena novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

41. Štap je označen poprečnim linijama crvene, žute i zelene boje. Ako štapić prerežete po crvenim linijama, dobit ćete 15 komada, ako po žutim linijama - 5 komada, a ako po zelenim linijama - 7 komada. Koliko ćeš komada dobiti ako štapić prerežeš po linijama sve tri boje?

42. U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

1) za 4 zlatnika dobiti 5 srebrnih i jedan bakreni;

2) za 8 srebrnih novčića dobivate 5 zlatnih i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 45 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

43. Skakavac skače duž koordinatne crte u bilo kojem smjeru za jedinični segment po skoku. Koliko ima različitih točaka na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 12 skokova, počevši od ishodišta?

44. Svakih sat vremena, počevši od 12 sati, u rezervoar zapremine 38 litara ulijeva se puna kanta vode zapremine 8 litara. Ali na dnu spremnika postoji mali otvor, a iz njega istječe 3 litre za sat vremena. U kojem trenutku (u satima) će spremnik biti potpuno napunjen?

45. U košarici je 40 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 17 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 25 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

46. Koji je najmanji broj uzastopnih brojeva koje treba uzeti da njihov umnožak bude djeljiv sa 7?

47. Skakavac skače duž koordinatne crte u bilo kojem smjeru za jedinični segment po skoku. Koliko ima različitih točaka na koordinatnoj liniji na kojima skakavac može završiti nakon točno 11 skokova, počevši od ishodišta?

48. Puž se u jednom danu popne uz stablo 4 m, a noću sklizne 1 m. Visina stabla je 13 m. Za koliko dana puž puže do vrha stabla prvi put?

49. Na globusu je flomasterom nacrtano 17 paralela (uključujući i ekvator) i 24 meridijana. Na koliko dijelova nacrtane linije dijele površinu globusa?

50. Na površini globusa flomasterom je nacrtano 12 paralela i 22 meridijana. Na koliko su dijelova nacrtane linije podijelile površinu globusa?

Meridijan je kružni luk koji povezuje sjeverni i južni pol. Paralela je kružnica koja leži u ravnini paralelnoj s ravninom ekvatora.

Odgovori na prototip zadatka br.20

  4. Odgovor: 117700

  14. Odgovor: 77200

  19. Odgovor: 3599

  29. Odgovor: 89100

Zadatak br. 20 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sadrži zadatak inteligencije. Zadaci u ovom dijelu su intuitivniji nego u zadatku 19 jedinstvenog državnog ispita, ali su ipak prilično složeni za običnog učenika. Pa krenimo dalje s razmatranjem tipične opcije.

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 20 Jedinstvenog državnog ispita iz osnovne razine matematike

Prva verzija zadatka (demo verzija 2018.)

  • za 2 zlatnika dobivate 3 srebrna i jedan bakreni;
  • za 5 srebrnjaka dobivate 3 zlatna i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 50 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

Algoritam izvršenja:
  1. Unesite simbole.
  2. Zabilježite podatke o zadatku pomoću simboli.
  3. Odredite nepoznato logičkim zaključivanjem.
Riješenje:

Prema uvjetu, nisu se pojavili zlatnici, što znači da je Nikolaj zamijenio sve zlatnike dobivene nakon druge operacije koristeći prvu operaciju. Zlatnici se mogu zamijeniti samo u 2 komada, stoga je postojao paran broj drugih transakcija.

Uvedimo oznaku, neka ima 2n sekundnih operacija (broj je uvijek paran).

Ako primijenimo drugu operaciju dobivamo:

Svi zlatnici su razmijenjeni u prvoj transakciji. U jednoj operaciji možete razmijeniti 2 zlatnika odjednom, što znači da će ukupan broj operacija biti (3 · 2n)/2 = 3 n. To je

3 · 2n zlata zamijenjeno je za 3 · 3n srebra + 3n bakra.

Ili nakon konverzije:

Usporedimo rezultate prve i druge operacije:

5 · 2n srebra zamijenjeno je za 3 · 2n zlata + 2n bakra.

3 · 2n zlata zamijenjeno za 9n srebra + 3n bakra

5 · 2n srebra zamijenjeno za 9n srebra + 3n bakra + 2n bakra

10n srebro zamijenjeno za 9n srebro + 5n bakar

Ako nakon razmjene 10n srebrnjaka dobijemo 9n srebrnjaka, tada se broj srebrnjaka Nikole smanjio za n. Iz posljednjeg izraza jasno je da je Nikolaj dobio 5n bakrenih novčića, a prema uvjetu se pojavilo 50 bakrenih novčića, odnosno 5n = 50.

Druga verzija zadatka

Maša i medvjed su pojeli 100 kolačića i teglu džema, počevši i završivši u isto vrijeme. Prvo je Maša jela džem, a Medo kekse, ali u jednom trenutku su se zamijenili. Medvjed pojede oboje tri puta brže od Maše. Koliko je kolačića pojeo Medo ako su pojeli jednako pekmeza?

Algoritam izvršenja:
  1. Usporedite rezultate.
  2. Pronađite nepoznato.
Riješenje:
  1. Kako su i Maša i Medo podjednako pojeli džem, a Medo je džem pojeo 3 puta brže, onda je Maša 3 puta duže jela džem (svoju polovicu) od Medvjeda (istu polovicu).
  2. Tada ispada da je Medvjed kolačiće jeo 3 puta duže od Maše i također ih je pojeo 3 puta brže, odnosno na jedan kolačić koji je pojela Maša dolazi 3∙3=9 kolačića koje je pojeo Medvjed.
  3. Zbroj ovih kolačića je 1+9=10 i ima točno 100:10 = 10 takvih količina u 100 kolačića.
  4. To znači da je Maša pojela 10 kolačića, a Medo 9∙10=90.

Treća verzija zadatka

Maša i medvjed pojeli su 51 kolačić i teglu pekmeza, počevši i završivši u isto vrijeme. Prvo je Maša jela džem, a Medo kekse, ali u jednom trenutku su se zamijenili. Medvjed pojede oboje četiri puta brže od Maše. Koliko je kolačića pojeo Medo ako su pojeli jednako pekmeza?

Algoritam izvršenja:
  1. Odredite tko je jeo kolačiće i koliko puta duže.
  2. Utvrdite tko je jeo pekmez i koliko puta duže.
  3. Usporedite rezultate.
  4. Pronađite nepoznato.
Riješenje:
  1. Kako su i Maša i Medo podjednako pojeli pekmez, a istovremeno je Medo pojeo pekmez 4 puta brže, onda je Maša jela pekmez (svoju polovicu) 4 puta duže od Medvjeda (istu polovicu).
  2. Tada ispada da je Medvjed kolačiće jeo 4 puta duže od Maše i također ih je pojeo 4 puta brže, odnosno na jedan kolačić koji je pojela Maša dolazi 4∙4 = 16 kolačića koje je pojeo Medvjed.
  3. Zbroj ovih kolačića je 1+16=17 i ima točno 51:17 = 3 takva zbroja u 51 kolačiću.
  4. To znači da je Maša pojela 3 kolačića, a Medo 3∙16=48.

Četvrta verzija zadatka

Kad bi se svaki od ta dva faktora povećao za 1, njihov bi se umnožak povećao za 11. Zapravo, svaki od ta dva faktora povećao se za 2. Za koliko se umnožak povećao?

Algoritam izvršenja:
  1. Unesite simbole.
  2. Pretvorite dobiveni izraz.
  3. Pronađite nepoznato.
Riješenje:

Kad se ovi faktori povećaju za 1, njihov umnožak poraste za 11, tj.

Sada na sličan način izračunajmo koliko će se produkt povećati ako faktore povećamo za 2 i zamijenimo ono što već znamo a + b = 10:

Peta verzija zadatka

Kad bi se svaki od ta dva faktora povećao za 1, njihov bi se umnožak povećao za 3. Zapravo, svaki od ta dva faktora povećao se za 5. Za koliko se umnožak povećao?

Algoritam izvršenja:
  1. Unesite simbole.
  2. Zapiši prvi uvjet pomoću simbola.
  3. Pretvorite dobiveni izraz.
  4. Drugi uvjet zapišite simbolima.
  5. Pretvorite dobiveni izraz.
  6. Pronađite nepoznato.
Riješenje:

Neka je prvi faktor jednak a, a drugi faktor jednak b, njihov umnožak je jednak ab.

Kad se ti faktori povećaju za 1, njihov umnožak poraste za 3, tj.

Premjestimo proizvod ab na lijeva strana S suprotnog predznaka a otvorite zagrade množenjem.

Sada na sličan način izračunajmo koliko će se produkt povećati ako faktore povećamo za 5 i zamijenimo ono što već znamo a + b = 2:

Opcija za dvadeseti zadatak 2017

Pravokutnik je podijeljen na četiri manja pravokutnika s dva ravna odsječka. Opseg tri od njih, počevši od gornjeg lijevog kuta i zatim u smjeru kazaljke na satu, iznosi 24, 28 i 16. Nađite opseg četvrtog pravokutnika.

Nacrtajmo pravokutnik u obliku koji nam odgovara:

Kreirajmo sada jednadžbe pomoću formule za opseg pravokutnika:

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (1)

Popis zadataka kviza sastojao se od 25 pitanja. Za svaki točan odgovor učenik je dobivao 7 bodova, za netočan odgovor oduzimalo mu se 10 bodova, a za neodgovor 0 bodova. Koliko je točnih odgovora dao učenik koji je osvojio 42 boda ako se zna da je barem jednom pogriješio?

Algoritam izvršenja
  1. Pravimo kombinacije točnih i netočnih odgovora i u njima određujemo broj bodova, na primjer: 1) 1 točan + 1 netočan = 7–10 = –3 boda; 2) 2 točna + 1 netočan = 2 7–10 = 4 boda, itd.
  2. Iz bodova za točne odgovore i bodova za njihove kombinacije “osvojimo” 42 boda. Brojimo broj postavljenih pitanja.
  3. Preostala razlika između primljenog broja pitanja i zadanih 25 pitanja definirana je kao ona na koja nije odgovoreno.
  4. Provjeravamo dobiveni rezultat.
Riješenje:

Uvodimo sljedeće oznake: točan odgovor – 1P, netočan odgovor – 1H.

Postavljamo kombinacije i određujemo broj bodova koji će biti dodijeljeni:

1P=7 bodova

1P+1N=7–10=–3 b.

2P+1N=2·7–10=4 b.

3P+1N=3·7–10=11 b.

Zbrojimo bodove koje možete dobiti: 7+ (–3)+4+11=19. To očito nije dovoljno. I sigurno ćete dodati još 11: 19+11=30. Da biste “došli” do 42 boda, potrebno je dodati još 12 bodova koji se dobivaju trostrukim unosom 4 boda. Općenito dobivamo:

7+(–3)+4+11+11+3·4=42.

Napišimo dobivenu kombinaciju pojmova u obliku odgovora:

1P+(1P+1N)+(2P+1N)+(3P+1N)+(3P+1N)+3 (2P+1N)=1P+1P+1N+2P+1N+3P+1N+3P+ 1N+6P +3N=16P+7N (odgovori).

16+7=23 odgovora. 25–23=2 odgovora za koje je osvojeno 0 bodova, tj. to su pitanja bez odgovora.

Dakle, prema našem izračunu, dano je 16 točnih odgovora.

Provjerimo ovo:

16 odgovora, svaki po 7 bodova. + 7 odgovora za (–10) b. + 2 odgovora po 0 bodova. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (bodova).

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (2)

Tablica ima tri stupca i nekoliko redaka. U svakoj ćeliji tablice smo napisali prirodni broj tako da je zbroj svih brojeva u prvom stupcu 103, u drugom – 97, u trećem – 93, a zbroj brojeva u svakom retku veći je od 21, ali manji od 24. Koliko je redaka tamo u tablici?

Algoritam izvršenja
  1. Pronašli smo ukupni iznos za sve brojeve u tablici (zbrajanjem zbrojeva za svaki od 3 stupca).
  2. Određivanje raspona prihvatljive vrijednosti za zbrojeve brojeva u svakom retku.
  3. Dijeljenjem ukupnog iznosa prvo s najmanjim zbrojem brojeva u svakom retku, a zatim s najvećim, dobivamo traženi broj redaka.
Riješenje:

Ukupan zbroj brojeva u tablici je: 103+97+93=293.

Budući da je prema uvjetu zbroj brojeva u svakom retku >21, ali<24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (3)

U kući ima samo osamnaest apartmana s brojevima od 1 do 18. U svakom apartmanu živi najmanje jedna, a ne više od tri osobe. U stanovima od 1 do uključivo 13 živi ukupno 15 osoba, au stanovima od 11 do uključivo 18 ukupno 20 osoba. Koliko ljudi živi u ovoj kući?

Algoritam izvršenja
  1. Određujemo maksimalan broj ljudi koji žive u stanovima 11–13, koristeći podatke o tome koliko ljudi živi u stanovima 1–13.
  2. Pronalazimo minimalni broj stanovnika stanova 11–13, uzimajući u obzir podatke o onima koji žive u stanovima 11–18.
  3. Usporedbom podataka dobivenih u stavcima 1–2 dobivamo točan broj stanovnika ovih stanova br. 11–13.
  4. Nalazimo broj ljudi koji žive u stanovima 1–10 i 14–18.
  5. Izračunavamo ukupan broj stanovnika kuće.
Riješenje:

U prvih 13 apartmana (od 1. do 13.) živi 15 osoba. To znači da 1 osoba živi u 11 stanova, plus 2 osobe žive u 2 stana (11·1+2·2=15). Posljedično, u stanovima 11–13 (tj. 3) živi najmanje 3, a ne više od 5 (1+2+2) osoba.

Drugih 8 apartmana (od 11. do 18.) smjestilo je 20 osoba. U isto vrijeme, od 14. do 18. stanova (tj. 5 stanova) ne može živjeti više od 5·3=15 ljudi. Dakle, u stanovima 11-13 živi ne manje od 20–15 = 5 ljudi.

Oni. s jedne strane, u stanovima 11-13 ne smije živjeti više od 5 ljudi, a s druge strane, ne manje od 5. Zaključak: u ovim stanovima živi točno 5 ljudi, jer Nema drugih valjanih vrijednosti za oba slučaja.

Tada dobivamo: 15–5=10 ljudi živi u stanovima 1–10, 20–5=15 ljudi živi u stanovima 14–18. Ukupan broj osoba koje žive u kući: 10+5+15=30 osoba.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (4)

U mjenjačnici možete obaviti jednu od dvije operacije:

  • za 4 zlatnika dobivate 5 srebrnih i jedan bakreni;
  • za 7 srebrnjaka dobivate 5 zlatnih i jedan bakreni.

Nikola je imao samo srebrnjake. Nakon nekoliko posjeta mjenjačnici njegovi srebrnjaci su se smanjili, nisu se pojavili zlatnici, ali pojavilo se 45 bakrenih novčića. Za koliko se smanjio Nikolin broj srebrnjaka?

Algoritam izvršenja
  1. Određujemo broj srebrnjaka koji Nikolaju treba za dvostruku razmjenu kako ne bi imao zlatnika. Dvostruka zamjena je zamjena prvo srebrnjaka za zlato i bakar, a zatim zlata za srebro i bakar.
  2. Određujemo broj različitih novčića koje će Nikolaj imati kao rezultat 1 dvostruke razmjene.
  3. Izračunavamo broj dvostrukih zamjena koje je potrebno napraviti da bi se pojavilo 45 bakrenih novčića.
  4. Nalazimo broj srebrnjaka koje je Nikolaj u početku trebao imati da izvrši potreban broj zamjena, a koje je dobio kao rezultat svih zamjena.
  5. Određujemo željenu razliku.
Riješenje:

Nikolaj mora napraviti 1. razmjenu prema 2. shemi, jer ima samo srebrnjake. Kako bi završio bez zlatnika, mora pronaći minimalni višekratnik od 5 zlatnika koje će dobiti i 4 zlatnika koje može prihvatiti u cijelosti (bez ostatka) odjednom. Ovo je broj 20.

Prema tome, da bi dobio 20 zlatnika, Nikola mora imati 20:5 = 4 kompleta srebrnjaka od 7 komada. To znači da bi u početku trebao imati 4·7=28. A u isto vrijeme i Nikolaj dobiva 1·4=4 bakrena novčića.

Izvršavajući razmjenu, Nikolai daje 20:4 = 5 kompleta zlatnih medalja. Zauzvrat dobiva 5·5=25 srebrnih novčića i 1·5=5 bakrenih novčića.

Tako će Nikolaj kao rezultat jedne razmjene imati 25 srebrnih novčića i 4+5=9 bakrenih novčića. Budući da je Nikola završio s 45 bakrenih novčića, to znači da je napravljeno 45:9 = 5 dvostrukih razmjena.

Ako je, kao rezultat 1 dvostruke zamjene, Nikolaj završio s 25 srebrnjaka, tada će nakon 5 takvih zamjena imati 25·5=125 komada. I u početku je za to morao imati 28·5=140 srebrnjaka. Posljedično se njihov broj u Nikolaju smanjio za 140–125 = 15 komada.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (5)

Svi ulazi u kuću imaju isti broj etaža, a sve etaže imaju isti broj stanova. U ovom slučaju broj katova u kući veći je od broja stanova na katu, broj stanova na katu veći je od broja ulaza, a broj ulaza je veći od jednog. Koliko katova ima zgrada ako ima ukupno 357 stanova?

Algoritam izvršenja
  1. Definiramo jednadžbu za određivanje broja stanova u zgradi pomoću parametara navedenih u uvjetu (tj. kroz broj stanova na katu itd.).
  2. Rastavimo faktor 357.
  3. Pronalazimo podudarnost rezultirajućih množitelja s određenim parametrima, na temelju uvjeta koji je od parametara veći ili manji od ostalih.
Riješenje:

Jer na svim katovima je isti broj stanova (X), na svim ulazima isti je broj katova (Y), pa označavajući broj ulaza sa Z možemo napisati: 357 = X·Y·Z.

Rastavimo 357 na proste faktore. Dobivamo: 357=3·7·17·1. Štoviše, ovo je jedina opcija za izgled. Jer Y>X>Z>1, tada ne uzimamo u obzir jedinicu u rasporedu i utvrđujemo da je Z=3, X=7, Y=17.

Budući da je broj katova označen sa Y, traženi broj je 17.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (6)

Od deset zemalja, sedam je potpisalo ugovor o prijateljstvu s točno tri zemlje, a svaka od preostale tri potpisala je ugovor o prijateljstvu s točno sedam. Koliko je potpisano ugovora?

Algoritam izvršenja
  1. Brojimo sporazume koje je potpisalo 7 zemalja.
  2. Određujemo broj sporazuma koje su potpisale 3 preostale zemlje.
  3. Nalazimo ukupan broj potpisanih ugovora. Dijelimo ga sa 2, jer bilateralni sporazumi.
Riješenje:

Prvih 7 zemalja potpisalo je sporazume sa 3 zemlje, tj. Ovi ugovori imaju 7·3=21 potpisa. Slično, preostale 3 zemlje, prilikom sastavljanja sporazuma sa 7 zemalja, stavljaju 3·7=21 potpis. To znači da je ukupno 21+21=42 potpisa.

Jer Svi ugovori su dvostrani, što znači da svaki od njih ima 2 potpisa. Dakle, ugovora je upola manje nego potpisa, tj. 42:2=21 sporazuma.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (7)

Na površini globusa flomasterom je iscrtano 13 paralela i 25 meridijana. Na koliko su dijelova nacrtane linije podijelile površinu globusa?

Meridijan je kružni luk koji povezuje sjeverni i južni pol. Paralela je kružnica koja leži u ravnini paralelnoj s ravninom ekvatora.

Algoritam izvršenja
  1. Dokazujemo da paralele dijele globus na 13+1 dijelova.
  2. Dokazujemo da meridijani dijele zemaljsku kuglu na 25 dijelova.
  3. Broj dijelova na koje je kugla podijeljena kao cjelina određujemo kao umnožak pronađenih brojeva.
Riješenje:

Ako je svaka paralela krug, onda je to zatvorena linija. To znači da 1. paralela dijeli globus na 2 dijela. Nadalje, 2. paralela daje podjelu na 3 dijela, 3. - na 4, itd. Kao rezultat, 13 paralela će podijeliti globus na 13+1=14 dijelova.

Meridijan je kružni luk koji povezuje polove, tj. To nije zatvorena linija i ne dijeli globus na dijelove. Ali već se dijele 2 meridijana, t.j. 2 meridijana daju podjelu na 2 dijela, zatim 3. meridijan dodaje 3. dio, 4. – 5. dio itd. To znači da u konačnici 25 meridijana stvara 25 dijelova na kugli zemaljskoj.

Ukupan broj dijelova na globusu je: 14·25=350 dijelova.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (8)

U košarici je 30 gljiva: šafranike i mliječne gljive. Poznato je da se među bilo kojih 12 gljiva nalazi barem jedan šafranov klobuk, a među bilo kojih 20 gljiva barem jedan šampinjon. Koliko čepova šafranovog mlijeka ima u košarici?

Algoritam izvršenja
  1. Među 12 gljiva određujemo broj mliječnih gljiva, a među 20 šampinjona.
  2. Dokazujemo da postoji samo jedan točan broj koji predstavlja broj čepova šafranovog mlijeka. Bilježimo ga u odgovoru.
Riješenje:

Ako je među 12 gljiva barem 1 mliječna gljiva, onda ih nema više od 11. Ako je među 20 gljiva barem 1 mliječna gljiva, tada nema više od 19 gljiva.

To znači da ako ne može biti više od 11 mliječnih gljiva, onda ne može biti manje od 30 – 11 = 19 gljiva. Oni. na jednoj strani nema više od 19 čepova šafranika, a na drugoj ne manje od 19. Dakle, može biti samo točno 19 čepova šafranika.

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (9)

Kad bi se svaki od dva faktora povećao za 1, tada bi se njihov umnožak povećao za 3. Koliko bi se povećao umnožak ovih faktora ako bi se svaki od njih povećao za 5?

Algoritam izvršenja
  1. Uvodimo oznake za faktore. To će nam omogućiti da izrazimo izvorni proizvod (prije povećanja faktora).
  2. Sastavljamo jednadžbu za situaciju kada su faktori povećani za 1. Provodimo transformacije. Dobivamo novi izraz koji prikazuje odnos između izvornih faktora.
  3. Napravimo jednadžbu za situaciju kada su faktori povećani za 5. Izvršimo transformacije. Izraz dobiven u koraku 2 upisujemo u jednadžbu i nalazimo željenu razliku.
Riješenje:

Neka 1. faktor bude jednak x, 2. – y. Tada je njihov umnožak xy.

Nakon što se množitelji povećaju za 1, dobivamo:

(x+1)(y+1)=xy+3

xy +y+x+1= xy +3

Nakon povećanja množitelja za 5 imamo:

(x+5)(y+5)=xy+N, gdje je N željena razlika u produktima.

Izvodimo transformacije:

xy+5y+5x+25=xy+N

N= xy +5y+5x+25– xy

Jer Gore je već utvrđeno da je x + y = 2, tada dobivamo:

Opcija za dvadeseti zadatak 2019. (10)

Sasha je pozvao Petyu u posjet, rekavši da živi u sedmom ulazu u stanu broj 462, ali je zaboravio reći kat. Približavajući se kući, Petja je otkrila da je kuća visoka sedam katova. Na kojem katu živi Sasha? (Na svim etažama broj stanova je isti; numeriranje stanova u zgradi počinje od jedan.)

Algoritam izvršenja
  1. Koristeći metodu odabira, određujemo broj stanova na mjestu. Taj broj treba biti takav da broj stanova bude veći od broja stanova u 6 ulaza, ali manji od broja stanova u 7.
  2. Određujemo broj stanova u 6 ulaza. Ovaj broj oduzimamo od 462 i dijelimo ga s brojem stanova na mjestu. Na taj način saznajemo željeni kat. Napomena: 1) ako je primljen cijeli broj, tada je željeni broj kata za 1 veći od izračunate vrijednosti; 2) ako je primljen razlomački broj, tada će broj kata biti rezultat zaokružen naviše.
Riješenje:

Tražimo broj stanova na stranici, provjeravamo broj po broj.

Pretpostavimo da je taj broj 3. Tada dobivamo da u 7 ulaza na 6 katova ima 7 6 3 = 126 stanova,

a u 7 ulaza na 7 etaža nalazi se 7·7·3=147 stanova.

Stan br. 462 nikako ne spada u red stanova br. 126–147.

Slično, provjeravajući brojeve 4, 5 itd., dolazimo do broja 10. Dokažimo da je upravo on pravi:

u 7 ulaza na 6 katova nalazi se 7 6 10 = 420 stanova,

u 7 ulaza na 7 etaža: 7·7·10=490 stanova. Od 420<462<490, то условие задания выполнено.

Da biste došli do stana br. 462 potrebno je proći pored 462–420 = 42 stana. Jer Na svakom mjestu ima 10 stanova, tada je potrebno savladati 42:10 = 4,2 kata. 4.2 znači da trebate proći kroz 4 kata u potpunosti i popeti se na 5. Dakle, tražena etaža je 5. kat.