Розв'язання рівнянь із заміною змінної онлайн. Розв'язання рівнянь за допомогою заміни

Заміна змінної у невизначеному інтегралі. Формула перетворення диференціалів. Приклади інтегрування. Приклади лінійних підстановок.

Метод заміни змінної

За допомогою заміни змінної можна обчислити прості інтеграли і, у деяких випадках, спростити обчислення складніших.

Метод заміни змінної у тому, що ми від вихідної змінної інтегрування, Нехай це буде x, переходимо до іншої змінної, яку позначимо як t. При цьому ми вважаємо, що змінні x та t пов'язані деяким співвідношенням x = x (t), або t = t (x). Наприклад, x = ln t, x = sin t, t = 2 x + 1, і т.п. Нашим завданням є підібрати таку залежність між x і t, щоб вихідний інтеграл або звівся до табличного, або став більш простим.

Основна формула заміни змінної

Розглянемо вираз, що стоїть під знаком інтеграла. Воно складається з твору підінтегральної функції, яку ми позначимо як f (x)та диференціала dx: . Нехай ми переходимо до нової змінної t, вибравши деяке співвідношення x = x (t). Тоді ми маємо висловити функцію f (x)і диференціал dx через змінну t.

Щоб виразити підінтегральну функцію f (x)через змінну t потрібно просто підставити замість змінної x вибране співвідношення x = x (t).

Перетворення диференціала виконується так:
.
Тобто диференціал dx дорівнює добутку похідної x по t на диференціал dt.

Тоді
.

Насправді, найчастіше зустрічається випадок, у якому виконуємо заміну, вибираючи нову змінну як функцію від старої: t = t (x). Якщо ми здогадалися, що підінтегральну функцію можна у вигляді
,
де t′ (x)- це похідна t x , то
.

Отже, основну формулу заміни змінної можна у двох видах.
(1) ,
де x - це функція від t.
(2) ,
де t - це функція від x.

Важливе зауваження

У таблицях інтегралів змінна інтегрування найчастіше позначається як x . Проте варто врахувати, що змінна інтегрування може бути позначена будь-якою літерою. І більше, як змінної інтегрування може бути якесь вираз.

Як приклад розглянемо табличний інтеграл
.

Тут x можна замінити будь-якою іншою змінною або функцією від змінної. Ось приклади можливих варіантів:
;
;
.

В останньому прикладі слід враховувати, що при переході до змінної інтегрування x , диференціал перетворюється так:
.
Тоді
.

У цьому прикладі полягає суть інтегрування підстановкою. Тобто ми маємо здогадатися, що
.
Після цього інтеграл зводиться до табличного.
.

Можна обчислити цей інтеграл за допомогою заміни змінної, застосовуючи формулу (2) . Покладемо t = x 2+x. Тоді
;
;

.

Приклади інтегрування заміною змінної

1) Обчислимо інтеграл
.
Помічаємо, що (sin x)′ = cos x. Тоді

.
Тут ми застосували підстановку t = sin x.

2) Обчислимо інтеграл
.
Помічаємо, що . Тоді

.
Тут ми виконали інтегрування заміною змінної t = arctg x.

3) Проінтегруємо
.
Помічаємо, що . Тоді

. Тут, при інтегруванні, здійснено заміну змінної t = x 2 + 1 .

Лінійні підстановки

Мабуть, найпоширенішими є лінійні підстановки. Це заміна змінного вигляду
t = ax + b,
де a та b - постійні. За такої заміни диференціали пов'язані співвідношенням
.

Приклади інтегрування лінійними підстановками

A)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
.

B)Знайти інтеграл
.
Рішення.
Скористаємося властивостями показової функції.
.
ln 2– це постійна. Обчислюємо інтеграл.

.

C)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
Наведемо квадратний багаточлен у знаменнику дробу до суми квадратів.
.
Обчислюємо інтеграл.

.

D)Знайти інтеграл
.
Рішення.
Перетворимо багаточлен під коренем.

.
Інтегруємо, застосовуючи метод заміни змінної.

.
Раніше ми отримали формулу
.
Звідси
.
Підставивши цей вислів, отримаємо остаточну відповідь.

Математика – це свердловина, якою логічний розум може підглядати за ідеальним світом.

Кротов Віктор

У школі чільне місце у курсі алгебри займають раціональні рівняння. Саме на їх вивчення часу приділяється більше, ніж на будь-які інші теми. Пов'язано це насамперед із тим, що рівняння мають як важливе теоретичне значення, а й служать багатьом практичним цілям. Величезна кількість завдань реального світузводяться саме до розв'язання різних рівнянь, і тільки після того, як ви опануєте способи їх вирішення, ви знайдете відповіді на різні питання науки і техніки.

Для формування вміння вирішувати раціональні рівняння самостійна робота учня має величезне значення. Однак перед тим як переходити саме до самостійної роботи, необхідно чітко знати та вміти застосовувати на практиці все можливі методирозв'язання раціональних рівнянь.

Розглянемо докладно на прикладах метод заміни зміннихдля розв'язання раціональних рівнянь.

приклад 1.

Розв'язати рівняння (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.

Рішення.

Перепишемо рівняння у вигляді

(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Зробимо заміну. Нехай 2x 2 – 3x = t, тоді рівняння набуде вигляду:

(t + 1) 2 = 11t + 1.

Тепер розкриємо дужки та наведемо подібні, отримаємо:

t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;

У неповному квадратному рівнянні винесемо загальний множник за дужки, матимемо:

t = 0 чи t = 9.

Тепер необхідно зробити зворотну заміну та вирішити кожне з отриманих рівнянь:

2x 2 – 3x = 0 або 2x 2 – 3x = 9

x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0

x = 0 або x = 3/2 x = 3 або x = -3/2

Відповідь: -1,5; 0; 1,5; 3.

приклад 2.

Розв'язати рівняння (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.

Рішення.

Застосуємо формулу квадрата різниці (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Запишемо вихідне рівняння у вигляді

(x 2 - 6x) 2 - 2 (x 2 - 6x + 9) = 81. Тепер можна зробити заміну.

Нехай x 2 – 6x = t, тоді рівняння матиме вигляд:

t 2 - 2 (t + 9) = 81.

t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;

t 2 - 2t - 99 = 0.

По теоремі Вієта корінням отриманого рівняння будуть числа -9 та 11.

Зробимо зворотну заміну:

x 2 - 6x = -9 або x 2 - 6x = 11

x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0

(x - 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 - 2√5.

Відповідь: 3 – 2√5; 3; 3+2√5.

приклад 3.

Розв'язати рівняння (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 і знайти добуток його коріння.

Рішення.

Знайдемо «вигідний» спосіб угруповання множників і розкриємо пари дужок:

((x - 1) (x + 5)) ((x - 3) (x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;

(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.

Зробимо заміну x 2 + 4x = t, тоді рівняння виглядатиме так:

(t - 5) (t - 21) = 297.

Розкриємо дужки, наведемо такі складові:

t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;

t 2 - 26t - 192 = 0.

За теоремою Вієта визначаємо, що корінням отриманого рівняння будуть числа -6 та 32.

Після зворотної заміни матимемо:

x 2 + 4x = -6 або x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0

D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0

Немає коріння x 1 = -8; x 2 = 4

Знайдемо добуток коріння: -8 · 4 = -32.

Відповідь: -32.

приклад 4.

Знайти суму коренів рівняння (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x2.

Рішення.

Нехай x 2 – 2x + 2 = t, тоді рівняння набуде вигляду:

t 2 + 3xt - 10x 2 = 0.

Розглянемо отримане рівняння як квадратне щодо t.

D = (3x) 2 - 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2; ≥≤

t 1 = (-3x - 7x) / 2 і t 2 = (-3x + 7x) / 2;

t 1 = -5x та t 2 = 2x.

Так як t = x 2 - 2x + 2, то

x 2 - 2x + 2 = -5x або x 2 - 2x + 2 = 2x. Вирішимо кожне з отриманих рівнянь.

x 2 + 3x + 2 = 0 або x 2 - 4x + 2 = 0.

Обидва рівняння мають коріння, т.к. D> 0.

За допомогою теореми Вієта можна дійти невтішного висновку, що сума коренів першого рівняння дорівнює -3, а другого рівняння 4. Отримуємо, що сума коренів вихідного рівняння дорівнює -3 + 4 = 1

Відповідь: 1.

Приклад 5.

Знайти корінь рівняння (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, що належить проміжку [-5; 10].

Рішення.

Нехай x = t - 3, тоді x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 і вихідне рівняння набуває вигляду:

(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Для зведення виразів у четвертий ступінь можна скористатися трикутником Паскаля (рис. 1);

(t - 2) 4 = t 4 - 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 - 4t · 2 3 + 2 4;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 + 4t · 2 3 + 2 4 .

Після приведення подібних доданків отримаємо:

2t 4 - 2 · 6t 2 · 2 2 + 2 · 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t 4 + 24t 2 = 0;

t 2 (t 2 + 24) = 0;

t = 0 або t 2 = -24.

Друге рівняння немає коренів, отже t = 0 і після зворотної заміни

x = t - 3 = 0 - 3 = -3. Корінь рівняння -3 належить проміжку [-5; 10].

Відповідь: -3.

Як бачимо, при вирішенні раціональних рівнянь необхідно знати наведені вище формули та вміти правильно рахувати. Помилки ж найчастіше виникають при виборі заміни та при зворотній підстановці. Щоб цього уникнути, потрібно докладно розписувати кожну дію, тоді помилок у ваших рішеннях не буде.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розв'язання рівнянь методом заміни змінних

Більшість життєвих завдань

вирішуються як рівняння алгебри:

приведенням їх до найпростішого вигляду.

Л.Н.Толстой.

Мета уроку: організувати навчальну діяльність учнів з освоєння ними способів вирішення цілих рівнянь вищих ступенів шляхом заміни змінної; познайомити учнів із поняттями, прийомами розв'язання поворотних і симетричних рівнянь.

Завдання:освітня:продовжувати розвивати вміння застосовувати метод заміни

змінної під час вирішення рівнянь; формування вміння бачити той самий метод розв'язання рівнянь у різних ситуаціях; сформувати уявлення про методи та способи вирішення нестандартних завдань та рівнянь алгебри на рівні, що перевищує рівень державних освітніх стандартів;

розвиваюча:розвиток мислення учнів; розвиток пам'яті; розвиток

логічного мислення, здатність чітко формулювати свої думки; розвиток уяви учнів; розвиток мовлення.

виховна:виховання спостережливості; виховання акуратності

при виконанні записів на дошці та у зошиті; виховання самостійності і під час практичних работ.

Хід уроку

Організаційний момент.

Актуалізація та систематизація знань.

Завдання №1. Розгадайте кросворд. Відповіді записуйте тільки в називному відмінку.

По горизонталі:

4.Чим є вираз для квадратного рівняння? (дискримінант)

6.Значення змінної, коли він рівняння звертається у правильне рівність. (корінь)

8.Рівняння виду
, де
. (біквадратне)

9.Французький математик, що має відношення до квадратних рівнянь. (Вієт)

10.Рівняння, в якому ліва і права частини є цілими виразами. (ціле)

11. Рівняння з однією змінною, що мають однакову кількість коренів. (рівносильні)

По вертикалі:

1.Багато коренів рівняння. (Рішення)

2.Рішення рівняння
. (нуль)

3.Рівність, що містить змінну. (Рівняння)

5.Квадратне рівняння, в якому один з коефіцієнтів b або дорівнює 0. (Неповне)

7. Квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює одиниці. (наведене)

Чому ми сьогодні присвятимо наше заняття? (Вирішення рівнянь )

Завдання №2. Яким чином ви б вирішували рівняння кожної з груп?

ВІДПОВІДІ:Приклади групи 1) краще вирішувати розкладанням на множники за допомогою винесення загального множника за дужки або формул скороченого множення.

Приклади групи 2) краще вирішувати способом угруповання та розкладання на множники.

Приклади групи 3) краще вирішувати введенням нової змінної та переходом до квадратного рівняння.

1 Який множник ви винесли б за дужки у прикладах групи 1?

ВІДПОВІДІ:

Як ви згрупували б доданки в прикладах групи 2?

ВІДПОВІДІ:

Що ви позначили б через нову змінну в прикладах групи 3?

ВІДПОВІДІ:

Як можна розкласти на множники багаточленів
?

ВІДПОВІДІ: .

Сьогодні на уроці ви покажете свої знання на тему «Рішення рівнянь методом заміни змінної»

Запишіть у зошитах тему уроку.

Сьогодні на занятті ми розглянемо один із способів розв'язання рівнянь вищих ступенів – метод заміни змінної; познайомимося з поняттями, прийомами розв'язання поворотних та симетричних рівнянь.

Мистецтво проводити заміну змінних полягає в тому, щоб побачити, яка заміна буде раціональніша і швидше призведе до успіху.

Завдання №3.

Розв'яжіть рівняння.(Завдання біля дошки одночасно вирішують 2 учні.)

а) (Перший учень вирішує біля дошки з поясненням.)

б) (Другий учень вирішує рівняння мовчки, потім пояснює рішення, клас слухає і запитує, якщо щось незрозуміло.)

1 ученьЗаміна:
.

2 ученьЗаміна:
.

(Додатково для тих, хто раніше впорався з попередніми рівняннями).

. .

3 учень

(Хід рішення учнями коментується з місця.)

РІШЕННЯ: Винесемо загальний множник: ,

звідки
або
, тобто.

Відповідь:

Поглиблення та розширення знань

Продовжуємо роботу. Ви бачите на слайді рівняння: х 4-5х3+6х2-5х+1=0.

Яким чином ви запропонуєте його вирішити? Як нам бути?

Чи можливо вирішити його в рамках шкільних програмз математики? Можна відповісти ні. Адже стандартні методирішення рівнянь у школі передбачають розв'язання рівнянь не вище другого ступеня. Але можна згадати, що окремі рівняння більш високих ступеніву школі таки вирішувалися. Щоправда, способи їх вирішення є творчим застосуванням. відомих способів, зведення їх до вирішення одного або декількох рівнянь ступеня не вище за другий.

Подивіться дуже уважно це рівняння? Що ви помітили ?(у цьому рівнянні коефіцієнти рівновіддалені від кінців рівні)

Діти, рівняння такого виду, коли коефіцієнти, рівновіддалені від кінців збігаються, називаються зворотними. Це рівняння зводиться до квадратного за допомогою підстановки.

Пропоную вам наступний алгоритм їх вирішення:

Алгоритм розв'язання поворотних рівнянь.

1. Розділити обидві частини рівняння на х 2 .

2. Згрупувати доданки (перший з останнім, другий з четвертим).

Привести рівняння до вигляду а + с = 0

3.Ввести нову змінну t = , Тоді виконано t 2 = , тобто. = t 2 - 2.

4. Виконати підстановку та розв'язати квадратне рівняння.

5. Повернутися до заміни і розв'язати рівняння.

6. Записати відповідь.

Діти вивчають алгоритм.

Учень біля дошки за алгоритмом та за допомогою вчителя вирішує рівняння, решта пишуть у зошитах.

6х 4 - 5х 3 - 38x 2 - 5х + 6 = 0.

Рішення.

6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6 (х 2 + 1 / х 2) - 5 (х + 1 / х) - 38 = 0.

Вводимо t: підстановка (x+1/x) = t. Заміна: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, маємо:

6t 2 - 5t - 50 = 0.

t = -5/2 чи t = 10/3.

Повернемося до змінної х. Після зворотної заміни вирішимо два отримані рівняння:

1) x + 1/x = -5/2;

х 2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 чи х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х 2 - 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 чи х = 1/3.

Відповідь: -2; -1/2; 1/3; 3.

У проблему рівнянь 3-го і 4-го ступенів великий внесок зробили італійські математики 16 століття Н.Тарталья, А.Фіоре, Д.Кардано та ін. останній здобув перемогу. Він за 2 години вирішив 30 завдань, запропонованих Фіоре, а сам Фіоре не зміг вирішити жодної, заданої йому Тарталля.

Хлопці, і ще одне рівняння, я хочу вам сьогодні запропонувати, я його взяла зі збірки завдань для підготовки до ОДЕ.

. ((х + 1) (x + 4)) ((х + 2) (x + 3)) = 24,

(Х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х + 6) = 24.

Зробивши заміну х 2 + 5х + 4 = t, маємо рівняння

t(t + 2) = 24, воно є квадратним:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 чи t = 4.

Після виконання зворотної заміни легко знаходимо коріння вихідного рівняння.

Відповідь: -5; 0.

Творче перенесення знань та навичок у нові умови.

На початку уроку говорили про те, що якщо в рівнянні є елементи, що повторюються, то можна застосовувати метод заміни змінної. Ми ще не вміємо вирішувати тригонометричні та ірраціональні рівняння. Давайте подивимося, чи зможемо ми застосовувати до них цей метод, якщо знатимемо, як вирішувати найпростіші тригонометричні та ірраціональні рівняння.

Завдання 1:Назвати заміну змінної у наступних рівняннях.

Завдання 2:Скласти кілька рівнянь, основу розв'язання яких лежить метод заміни змінної.

Підбиття підсумків.

Отже, хлопці, наш урок добіг кінця. Давайте підіб'ємо підсумки нашого уроку.

Яку мету ми ставили на початку уроку?

Наших цілей досягнуто?

Що нового ми дізналися на уроці?

Домашнє завдання.

4х 4 - 8х 3 + 3х 2 - 8х + 4 = 0

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

. (Рівняння італійських математиків)

А закінчити урок мені хочеться словами великого вченого Ейнштейна А.:

«Мені доводиться ділити свій час між політикою та рівняннями. Проте рівняння, на мою думку, набагато важливіше, тому що політика існує тільки для цього моменту, а рівняння існуватиме вічно».

Дякую за урок! До побачення!

Вступ

Математичне освіту, отримуване в загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освіти та загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасну людину – це так чи інакше пов'язані з математикою. А останні досягнення у фізиці, техніці та інформаційних технологіях не залишають жодного сумніву, що й у майбутньому стан речей залишиться незмінним. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видіврівнянь, які потрібно навчитися вирішувати.

В елементарній математиці виділяють два види рівнянь: алгебраїчні та трансцендентні. До алгебраїчних рівнянь відносяться:

лінійне; квадратне; кубічний; біквадратне; рівняння четвертого ступеня загального вигляду; двочленне алгебраїчне рівняння n-йступеня; статечне алгебраїчне; - Поворотне (алгебраїчне); - Алгебраїчне рівняння ой ступеня загального виду;

10. дробові рівняння алгебри, тобто. рівняння, що містять багаточлени та алгебраїчні дроби (дроби виду

де і - багаточлени);

11. ірраціональні рівняння, тобто. рівняння, що містять радикали, під якими розташовуються багаточлени та алгебраїчні дроби;

12. рівняння, що містять модуль, під модулем яких містяться багаточлени та алгебраїчні дроби.

Рівняння, що містять трансцендентні функції, такі як логарифмічна, показова або тригонометрична функція, називаються трансцендентними. У нашій роботі розглянемо докладніше рівняння алгебри.

У навчальній та методичній літературіЗазвичай розглядаються спеціальні прийоми розв'язання рівнянь. Тим часом специфіка вирішення рівнянь кожного розділу – справа другорядна. По суті, застосовуються чотири основні методи:

Заміна рівняння h(f(x))=h(g(x)) рівнянням f(x)=g(x);

Метод заміни змінної;

Метод розкладання на множники;

Функціонально-графічний метод та їх різні модифікації.

Найпоширеніший із них – метод заміни змінної.

Виходячи з цього, ми формулюємо мету своєї роботи: вивчити можливості методу заміни невідомого при вирішенні рівнянь алгебри та продемонструвати їх застосування в стандартних і нестандартних ситуаціях. Для того, щоб досягти поставленої мети, необхідно вирішити наступні завдання:

1. Розкрити зміст основних понять та тверджень, що відносяться до теорії розв'язання рівнянь: розв'язання рівняння, рівносильність і слідство, загальні методи розв'язання рівнянь.

2. Виявити можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні рівнянь алгебри в стандартних і нестандартних ситуаціях.

3. Здійснити типізацію прийомів введення нових невідомих при вирішенні рівнянь алгебри та виявити критерії їх застосовності

4. Скласти комплект типових завдань, що зводяться до застосування методу заміни під час вирішення рівнянь, та продемонструвати їх вирішення.

1. Основні поняття та твердження, що відносяться до теорії розв'язування рівнянь

У першому розділі нашої роботи розкриємо зміст основних понять та тверджень, що належать до теорії розв'язання рівнянь.

З поняттям «рівняння» на уроках математики ми знайомимося вже в початковій школі, а завдання «розв'язати рівняння», ймовірно, завдання, що найчастіше зустрічається. Проте дати точне визначення поняття «рівняння», точно визначити, що означає «вирішити рівняння», не виходячи далеко за межі курсу елементарної математики, ми не можемо. Для цього необхідно залучати дуже серйозні логічні та навіть філософські категорії. Нам цілком достатньо знайомства з цими поняттями на рівні здорового глузду.

Розглянемо два рівняння А і В з одним і тим самим невідомим. Ми говоритимемо, що рівняння В є наслідкомрівняння А, якщо будь-який корінь рівняння А є коренем рівняння.

Рівняння називаються рівносильними,якщо будь-який корінь одного з них є коренем іншого та навпаки. Таким чином, рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком іншого.

З даних визначень випливає, наприклад, що дві рівняння, які мають рішень, рівносильні. Якщо А не має рішень, то В є наслідкомА, хоч би яке було рівняння Ст.

Визначимо поняття «вирішити рівняння». Вирішити рівняння- означає знайти всі такі значення невідомих, які входять до нього, які звертають рівняння в тотожність. Ці значення називаються корінням рівняння.

Процес розв'язання рівнянь полягає переважно у заміні даного рівняння іншим, йому рівносильним.

Як було раніше сказано, виділяють чотири найбільш загальних методу, що використовуються під час вирішення рівнянь будь-яких видів. Зупинимося докладніше кожному методі.

Метод заміни рівняння h(f(x))=h(g(x)) рівнянням f(x)=g(x) можна застосовувати лише в тому випадку, коли

- монотонна функція, яка кожне своє значення набуває одного разу. Якщо дана функціянемонотонна, то зазначений метод застосовувати не можна, оскільки можлива втрата коріння.

Суть методу розкладання на множники полягає у наступному: рівняння

можна замінити:

Вирішивши рівняння цієї сукупності, потрібно взяти те їхнє коріння, яке належить області визначення вихідного рівняння, а решту відкинути як сторонні. графічного методурішення рівняння

така: потрібно побудувати графіки функцій і знайти точки їх перетину. Корінням рівняння є абсциси цих точок. Цей метод дозволяє визначити число коренів рівняння, вгадати значення кореня, знайти наближені, інколи ж і точні значення коренів. У деяких випадках побудова графіків функцій можна замінити посиланням на якісь властивості функцій (тому ми говоримо не про графічний, а про функціонально-графічний метод розв'язання рівнянь). Якщо, наприклад, одна з функцій зростає, а інша - убуває, то рівняння або не має коріння, або має один корінь. Згадаємо ще один досить гарний різновид функціонально-графічного методу: якщо на проміжку найбільше значенняоднією з функцій, так само найменше значенняінший функції теж дорівнює , то рівняння рівносильне проміжку системі рівнянь.

Розкриємо суть методу заміни змінної: якщо рівняння