Вирішення систем рівнянь з параметрами еге. "методи вирішення завдань із параметрами"

Доповідь на ГМО вчителя математики МБОУ ЗОШ №9

Молчанова Олена Володимирівна

«Підготовка до ЄДІ з математики: завдання з параметрами».

Оскільки в шкільних підручниках немає визначення параметра, я пропоную взяти за основу його найпростіший варіант.

Визначення . Параметром називається незалежна змінна, значення якої в задачі вважається заданим фіксованим або довільним дійсним числом, або числом, що належить заздалегідь обумовленої множини.

Що означає «вирішити завдання з параметром»?

Звичайно, це залежить від питання в задачі. Якщо, наприклад, потрібно вирішити рівняння, нерівність, їхню систему чи сукупність, це означає пред'явити обгрунтовану відповідь або для будь-якого значення параметра, або значення параметра, що належить заздалегідь обумовленому безлічі.

Якщо ж потрібно знайти значення параметра, за яких безліч розв'язків рівняння, нерівності тощо задовольняє оголошеній умові, то, очевидно, розв'язання задачі і полягає в пошуку вказаних значеньпараметра.

Більш прозоре розуміння того, що означає вирішити задачу з параметром, у читача сформується після ознайомлення з прикладами розв'язання задач на наступних сторінках.

Які основні типи завдань із параметрами?

Тип 1. Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, які необхідно вирішити або для будь-якого значення параметра (параметрів), або для значень параметра, що належать до обумовленої множини.

Цей тип завдань є базовим при оволодінні темою «Завдання з параметрами», оскільки вкладена праця визначає успіх і під час вирішення завдань всіх інших основних типів.

Тип 2. Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, для яких потрібно визначити кількість розв'язків залежно від значення параметра (параметрів).

Звертаю увагу на те, що при вирішенні завдань даного типунемає необхідності ні вирішувати задані рівняння, нерівності, їх системи та сукупності тощо, д., ні наводити ці рішення; така зайва здебільшого робота є тактичною помилкою, що призводить до невиправданих витрат часу. Однак не варто абсолютизувати сказане, оскільки іноді пряме рішення відповідно до типу 1 є єдиним розумним шляхом отримання відповіді під час вирішення задачі типу 2.

Тип 3. Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, для яких потрібно знайти всі значення параметра, при яких вказані рівняння, нерівності, їх системи та сукупності мають задану кількість рішень (зокрема, не мають або мають безліч рішень).

Легко побачити, що завдання типу 3 у сенсі зворотні завданням типу 2.

Тип 4. Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, для яких за значень параметра, що шукаються, безліч рішень задовольняє заданим умовам в області визначення.

Наприклад, знайти значення параметра, за яких:

1) рівняння виконується для будь-якого значення змінної із заданого проміжку;
2) безліч рішень першого рівняння є підмножиною безлічі рішень другого рівняння і т.д.

Коментар. Різноманітність завдань з параметром охоплює весь курс шкільної математики (і алгебри, і геометрії), але переважна частина їх на випускних і вступних іспитах належить до одного з чотирьох перелічених типів, які з цієї причини названі основними.

Найбільш масовий клас завдань із параметром - завдання з однією невідомою та одним параметром. Наступний пункт показує основні способи вирішення завдань саме цього класу.

Які основні способи (методи) розв'язання задач із параметром?

Спосіб I (Аналітичний). Це спосіб так званого прямого рішення, що повторює стандартні процедуризнаходження відповіді завдання без параметра. Іноді кажуть, що це спосіб силового, у хорошому розумінні «нахабного» рішення.

Коментар. Аналітичний спосіб вирішення завдань з параметром є найважчий спосіб, що вимагає високої грамотності та найбільших зусиль щодо оволодіння ним.

Спосіб II (графічний). Залежно від завдання (зі змінною x та параметромa ) розглядаються графіки або координатної площині (x; y), або координатної площині (x;a ).

Коментар. Виняткова наочність і краса графічного способу вирішення задач з параметром настільки захоплює тих, хто вивчає тему «Завдання з параметром», що вони починають ігнорувати інші способи вирішення, забуваючи загальновідомий факт: для будь-якого класу завдань їх автори можуть сформулювати таку, що блискуче вирішується даним способом і з колосальними. Проблемами іншими методами. Тому на початковій стадії вивчення небезпечно починати з графічних прийоміввирішення завдань із параметром.

Спосіб III (Рішення щодо параметра). При вирішенні цим способом змінні x і a приймаються рівноправними та вибирається та змінна, щодо якої аналітичне рішення визнається більш простим. Після природних спрощень повертаємося до вихідного змісту змінних x та a і закінчуємо рішення.

Перейду тепер до демонстрації вказаних способів розв'язання задач з параметром, оскільки це мій улюблений метод розв'язання завдань цього типу.

Проаналізувавши всі завдання з параметрами, які вирішуються графічним методом, я знайомство з параметрами починаю із завдань ЄДІ В7 2002 року:

При якому цілому значенні рівняння 45х – 3х 2 - х 3 + 3к = 0 має рівно два корені?

Ці завдання дозволяють, по-перше, згадати як будувати графіки з використанням похідної, а по-друге, пояснити сенс прямої у = к.

На наступних заняттях я користуюсь добіркою легких та середніх за рівнем конкурсних завдань із параметрами для підготовки до ЄДІ, рівнянь із модулем. Ці завдання можна рекомендувати вчителям з математики як стартовий комплект вправ навчання роботи з параметром, укладеним під знак модуля. Більшість номерів вирішуються графічним способом та надають вчителю готовий плануроку (або двох уроків) із сильним учнем. Початкова підготовка до ЄДІ з математики на вправах, близьких до реальних номерів С5. Багато із запропонованих завдань взято з матеріалів для підготовки до ЄДІ 2009 року, а деякі – з інтернету з досвіду колег.

1) Вкажіть усі значення параметраp , при яких рівняння має 4 корені?
Відповідь:

2) При яких значеннях параметраа рівняння не має рішень?
Відповідь:

3) Знайдіть усі значення а, при кожному з яких рівняння має рівно 3 корені?
Відповідь: а=2

4) При яких значеннях параметраb рівняння має єдине рішення? Відповідь:

5) Знайдіть усі значенняm , при яких рівняння немає рішень.
Відповідь:

6) Знайдіть усі значення а, при яких рівняння має рівно 3 різних кореня. (Якщо значень більше одного, то у відповіді запишіть їх суму.)

Відповідь: 3

7) При яких значенняхb рівняння має рівно 2 рішення?
Відповідь:

8) Вкажіть такі параметриk , при яких рівняння має щонайменше двох рішень.
Відповідь:

9) При яких значеннях параметраp рівняння має лише одне рішення?
Відповідь:

10) Знайдіть усі значення а, при кожному з яких рівняння (х + 1)має рівно 2 корені? Якщо значень виявиться кілька, то у відповідь запишіть їх суму.

Відповідь: - 3

11) Знайдіть усі значення а, при яких рівняння має рівно 3 корені? (Якщо значень більше одного, то у відповідь запишіть їх суму).

Відповідь: 4

12) При якому меншому натуральному значенні параметра а рівняння – = 11 має тільки позитивне коріння?

Відповідь: 19

13) Знайдіть усі значення а, при кожному з яких рівняння = 1 має рівно 3 корені? (Якщо значень більше одного, то у відповіді запишіть їх суму).

Відповідь: - 3

14) Вкажіть такі значення параметраt , при яких рівняння має 4 різних рішень. Відповідь:

15) Знайдіть такі параметриm , при яких рівняння має два різні рішення. Відповідь:

16) При яких значеннях параметраp рівняння має рівно 3 екстремуми? Відповідь:

17) Вкажіть усі можливі параметри n, за яких функція має рівно одну точку мінімуму. Відповідь:

Опублікований комплект регулярно використовується мною для роботи зі здібним, але не найсильнішим учнем, який претендує на високий бал ЄДІ за рахунок рішення номера С5. Підготовку такого учня вчитель проводить у кілька етапів, виділяючи для тренування окремих навичок, необхідні пошуку та реалізації довгих рішень, окремі уроки. Ця добірка підходить для стадії формування уявлень про плаваючі малюнки в залежності від параметра. Номери 16 та 17 складені за зразком реального рівняння з параметром на ЄДІ 2011р. Завдання побудовані на порядок зростання їх складності.

Завдання C5 з математики ЄДІ 2012

Тут ми маємо традиційне завдання з параметром, що вимагає помірного володіння матеріалом та застосування кількох властивостей та теорем. Це завдання є одним із найскладніших завдань Єдиного державного іспиту з математики. Воно розраховане насамперед на тих, хто збирається продовжувати освіту у вишах з підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Для успішного вирішення завдання важливо вільно оперувати вивченими визначеннями, властивостями, теоремами, застосовувати їх у різних ситуаціях, аналізувати умову та знаходити можливі шляхи вирішення.

На сайті підготовки до ЄДІ Олександра Ларіна з 11.05.2012 року було запропоновано тренувальні варіанти№1 – 22 із завданнями рівня «З», С5 деяких із них були аналогічні до тих завдань, які були на реальному іспиті. Наприклад, знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких графіки функційf(х) = іg(х) = а(х + 5) + 2 не мають спільних точок?

Розберемо рішення завдання С5 із іспиту 2012 року.

Завдання С5 з ЄДІ-2012

При яких значеннях параметра a рівняння має не менше двох коренів.

Вирішимо це завдання графічно. Побудуємо графік лівої частини рівняння: та графік правої частини:і сформулюємо питання задачі так: за яких значень параметра a графіки функцій імають дві або більше загальні точки.

У лівій частині вихідного рівняння параметр відсутній, тому ми можемо побудувати графік функції.

Будуватимемо цей графік за допомогою функції:

1. Зрушимо графік функціїна 3 одиниці вниз уздовж осі OY, отримаємо графік функції:

2. Побудуємо графік функції . Для цього частина графіка функції , розташовану нижче осі ОХ, відобразимо симетрично щодо цієї осі:

Отже, графік функціїмає вигляд:

Графік функції

МКОУ «Лодейнопільська середня загальноосвітня школа№ 68»

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Виступ на засіданні МО

Методи вирішення завдань

з параметрами

Прокушева Наталія Геннадіївна

м. Лодейне Поле

2013-2014

Завдання з параметрами

Завдання з параметрами відносяться до найбільш складних завдань, що пропонуються як на Єдиному державному іспиті, так і на додаткових конкурсних іспитах до ВНЗ.

Вони відіграють важливу роль у формуванні логічного мисленнята математичної культури. Труднощі, що виникають при їх вирішенні пов'язані з тим, що кожна задача з параметрами є цілим класом звичайних завдань, для кожної з яких має бути отримане рішення.

Якщо у рівнянні (нерівності) деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами, вони називаються параметрами, а рівняння (нерівність) параметричним.

Як правило, невідомі позначаються останніми літерами латинського алфавіту: x, y, z, …, а параметри – першими: a, b, c, …

Вирішити рівняння (нерівність) з параметрами – означає вказати, за яких значеннях параметрів існують рішення та які вони. Два рівняння (нерівності), що містять одні й самі параметри, називаються рівносильними, якщо:

а) вони мають сенс при тих самих значеннях параметрів;

б) кожне рішення першого рівняння (нерівності) є рішенням другого та навпаки.

Звичайно, такий невеликий клас завдань багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має подвійну природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, – ступінь свободи спілкування обмежується його невідомістю. Так, розподіл на вираз, що містить параметр, вилучення кореня парного ступеня з подібних виразів вимагають попередніх досліджень. Зазвичай, результати цих досліджень впливають і рішення, і відповідь.

Як розпочинати вирішувати такі завдання? Не треба боятися завдань із параметрами. Насамперед, треба зробити те, що робиться при вирішенні будь-якого рівняння або нерівності-привести задане рівняння (нерівність) до більш простому вигляду, якщо це можливо: розкласти раціональний вираз на множники, розкласти тригонометричний багаточлен на множники, позбутися модулів, логарифмів і т.д.. потім необхідно уважно ще прочитати завдання.

При розв'язанні задач, що містять параметр, зустрічаються завдання, які умовно можна розділити на два великі класи. До першого класу можна віднести завдання, у яких треба розв'язати нерівність чи рівняння за всіх можливих значеннях параметра. До другого класу віднесемо завдання, у яких треба знайти не всі можливі рішення, а лише ті з них, які задовольняють деяким додатковим умовам.

Найбільш зрозумілий для школярів спосіб вирішення таких завдань полягає в тому, що спочатку знаходять усі рішення, а потім відбирають ті, що задовольняють додаткові умови. Але це вдається не завжди. Зустрічаються велика кількістьзадач, у яких знайти безліч рішень неможливо, та нас про це й не просять. Тому доводиться шукати спосіб вирішити поставлене завдання, не маючи в розпорядженні всієї множини рішень даного рівняння або нерівності, наприклад, пошукати властивості функцій, що входять у рівняння, які дозволять судити про існування деякої множини рішень.

Основні типи завдань із параметрами

Тип 1.Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, які необхідно вирішити або для будь-якого значення параметра (параметрів), або для значень параметра, що належать до обумовленої множини.

Тип 2.Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, для яких потрібно визначити кількість розв'язків залежно від значення параметра (параметрів).

Звертаємо увагу на те, що при вирішенні завдань даного типу немає необхідності ні вирішувати задані рівняння, нерівності, їх системи та сукупності тощо, ні наводити ці рішення; така зайва здебільшого робота є тактичною помилкою, що призводить до невиправданих витрат часу. Однак не варто абсолютизувати сказане, оскільки іноді пряме рішення відповідно до типу 1 є єдиним розумним шляхом отримання відповіді під час вирішення задачі типу 2.

Тип 3.Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, для яких потрібно знайти всі ті значення параметра, при яких зазначені рівняння, нерівності, їх системи та сукупності мають задану кількість рішень (зокрема, не мають або мають безліч рішень).

Легко побачити, що завдання типу 3 у сенсі зворотні завданням типу 2.

Тип 4.Рівняння, нерівності, їх системи та сукупності, для яких за значень параметра, що шукаються, безліч рішень задовольняє заданим умовам в області визначення.

Наприклад, знайти значення параметра, за яких:

Коментар. Різноманітність завдань з параметром охоплює весь курс шкільної математики (і алгебри, і геометрії), але переважна частина їх на випускних і вступних іспитах належить до одного з чотирьох перелічених типів, які з цієї причини названі основними.

Основні методи вирішення завдань із параметром

Спосіб I(Аналітичний). Це спосіб так званого прямого рішення, що повторює стандартні процедури знаходження відповіді задач без параметра. Іноді кажуть, що це спосіб силового, у хорошому розумінні «нахабного» рішення.

Спосіб II(графічний). Залежно від завдання (зі змінною xта параметром a) розглядаються графіки або в координатній площині ( x; y), або в координатній площині ( x; a).

Коментар. Виняткова наочність і краса графічного способу вирішення задач з параметром настільки захоплює тих, хто вивчає тему «Завдання з параметром», що вони починають ігнорувати інші способи вирішення, забуваючи загальновідомий факт: для будь-якого класу завдань їх автори можуть сформулювати таку, що блискуче вирішується даним способом і з колосальними. Проблемами іншими методами. Тому на стадії вивчення небезпечно починати з графічних прийомів розв'язання задач з параметром.

Спосіб III(Рішення щодо параметра). При вирішенні цим способом змінні xі aприймаються рівноправними та вибирається та змінна, щодо якої аналітичне рішення визнається більш простим. Після природних спрощень повертаємося до вихідного змісту змінних xі aта закінчуємо рішення.

Перейдемо тепер до демонстрації вказаних способів розв'язання задач із параметром.

1. Лінійні рівняння та нерівності з параметрами

Лінійна функція: - Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом . Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу прямого до позитивного напрямку осі .

Лінійні рівняння з параметрами виду

Якщо , рівняння має єдине Рішення.

Якщо , торівняння не має рішень, коли , та рівняння має нескінченно багато рішень, коли.

приклад 1.Вирішити рівняння | x | = a .

Рішення:

a > 0, => x 1,2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>рішень немає.

Відповідь: x 1,2 = ± aпри a > 0; x= 0 при a= 0; рішень немає при a < 0.

приклад 2.Розв'язати рівняння |3 – x | = a .

Рішення:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>рішень немає.

Відповідь: x 1,2 = 3 ± aпри a > 0; x= 3 при a= 0; рішень немає при a < 0.

приклад 3.Вирішити рівняння m ² x – m = x + 1.

Рішення:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Відповідь:
при m ≠ ± 1; x Є Rпри m= -1; рішень немає при m = 1.

приклад 4. авирішити рівняння: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

Рішення:Розкладемо коефіцієнт при на множники. .

Якщо , рівняння має єдине Рішення: .

Якщо , рівняння немає рішень.

Якщо , торівняння має нескінченно багато рішень .

Приклад 6.При всіх значеннях параметра a вирішити рівняння:
.

Рішення:ОДЗ: . За цієї умови рівняння рівносильне наступному: . Перевіримо належність до ОДЗ: , якщо . Якщо ж , то рівняння немає рішень.

Приклад 7.При всіх значеннях параметра арозв'язати рівняння: | х + 3| – a | x – 1| = 4.

Рішення:Розіб'ємо числову пряму на 3 частини точками, в яких вирази під знаком модуля звертаються в нуль і вирішимо 3 системи:

1) , якщо . Знайдений буде рішенням, якщо .

2) , якщо . Знайдений задовольняє потрібну нерівність, отже, є рішенням при . Якщо ж , то рішенням є будь-який .

3) , якщо . Знайдений незадовольняє потрібну нерівність, отже, неє рішенням при . Якщо ж , то рішення є будь-який x > 1.

Відповідь: при; при ;

прі ; є також рішенням при всіх .

Приклад 8.Знайти все а, при кожному з яких хоча б одне з рішень рівняння 15 x – 7a = 2 – 3ax + 6a менше 2 .

Рішення:Знайдемо рішення рівняння при кожному . , якщо . Вирішимо нерівність: .

При рівнянні немає рішень.

Відповідь : аÎ (–5 , 4) .

Лінійні нерівностіз параметрами

Наприклад: Вирішити нерівність: kx < b .

Якщо k> 0, то
. Якщо k < 0, то
. Якщо k= 0, то при b> 0 рішенням є будь-який x Є R, а при
рішень немає.

Аналогічно вирішіть решту нерівностей у рамочці.

приклад 1.Для всіх значень параметра вирішити нерівність
.

Рішення:

. Якщо дужка перед xпозитивна, тобто. при
, то
. Якщо дужка перед xнегативна, тобто. при
, то
. Якщо ж a= 0 чи a = , то рішень немає.

Відповідь:
при
;
при
;

рішень немає при a= 0 або a =.

Приклад 2. Для всіх значень параметра арозв'язати нерівність | х– а| - | x + a| < 2a .

Рішення:

При a=0 маємо неправильну нерівність 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, тоді за x< –aобидва модулі розкриваються з мінусом і отримуємо неправильну нерівність 2 a < 2a, тобто. рішень немає. Якщо x Є [– a ; a] , то перший модуль розкривається з мінусом, а другий з плюсом і отримуємо нерівність –2 x < 2a, тобто. x > –a, тобто рішенням є будь-який x Є (– a ; a]. Якщо x > aобидва модулі розкриваються з плюсом і отримуємо правильну нерівність –2 a < 2a, тобто. , Рішенням є будь-який x Є ( a; +∞). Об'єднуючи обидві відповіді, отримаємо, що за a > 0 x Є (– a ; +∞).

Нехай a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Т.о., при a < 0 решений нет.

Відповідь: x Є (– a; +∞) при a> 0, рішень немає при
.

Зауваження.Вирішення цієї задачі виходить швидше і простіше, якщо використовувати геометричну інтерпретацію модуля різниці двох чисел, як відстань між точками. Тоді вираз у лівій частині можна інтерпретувати як різницю відстаней від точки хдо точок аі – а .

приклад 3.Знайти все а, при кожному з яких усі рішення нерівності
задовольняють нерівності 2 x – a² + 5< 0.

Рішення:

Рішенням нерівності | x | ≤ 2 є безліч A= [-2; 2], а розв'язанням нерівності 2 x – a² + 5< 0 является множество B = (–∞;
). Щоб задовольнити умові завдання, потрібно, щоб множина А входила до множини В (). Ця умова виконається і тоді, коли .

Відповідь: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

приклад 4.Знайти всі значення a , при яких нерівність
виконується для всіх xз відрізка.

Рішення:

Дріб – менше нуля між корінням, тому треба з'ясувати, яке коріння більше.

–3a + 2 < 2a + 4
і -3 a + 2 > 2a + 4
. Т.о., при
xЄ (–3 a + 2; 2a+ 4) і щоб нерівність виконувалася для всіх x з відрізка , потрібно, щоб

При
xЄ (2 a + 4; –3a+ 2) і щоб нерівність виконувалася для всіх xз відрізка , потрібно, щоб

При a = – (коли коріння збігаються) рішень немає, т.к. у разі нерівність набуває вигляду: .

Відповідь:
.

Приклад 5. анерівність справедлива при всіх негативних значеннях х?

Рішення:

Функція монотонно зростає, якщо коефіцієнт при x невід'ємний, і вона монотонно зменшується, якщо коефіцієнт при xнегативний.

З'ясуємо знак коефіцієнта при

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Нехай a≥ 1. Тоді функція f (x ) монотонно не зменшується, і умова завдання буде виконана, якщо f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Разом з умовами a≥ 1; отримаємо:

Нехай -3< a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно зменшується, і умова завдання будь-коли може бути виконано.

Відповідь:
.

2. Квадратні рівняннята нерівності з параметрами

Квадратична функція:
.

У багатьох дійсних чисел це рівняння досліджується за такою схемою.

Приклад 1. При яких значеннях a рівнянняx ² – ax + 1 = 0 не має дійсних коренів?

Рішення:

x ² – ax + 1 = 0

D = a ² - 4 · 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Відповідь: приa Є (–2; 2)

приклад 2.При яких значеннях а рівняння а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 має два різних дійсних кореня?

Рішення:

а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0

ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0

ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

D = 26² - 4 · 3 · (-9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Відповідь:приaЄ (–1/3; 0)U (0; 9)

Приклад 3. Розв'язати рівняння
.

Рішення:

ОДЗ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Відповідь:
приa Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

рішень немає приa = -1; 3.

приклад4 . Вирішити рівняння | x ²–2 x –3 | = a .

Рішення:

Розглянемо функції y = | x ²–2 x –3 | іy = a .

При a < 0 немає рішень;
при a = 0 та a> 4 два рішення;
при 0< a < 4 – четыре решения;
при a= 4 – три рішення.

Відповідь:

при a < 0 нет решений;
при a= 0 і a> 4 два рішення;
при 0< a < 4 – четыре решения;
при a= 4 – три рішення.

Приклад 5.Знайти всі значення a , при кожному з яких рівняння | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
має рівно два корені. Якщо таких значень a більше одного, у відповіді вкажіть їхній твір.

Рішення:

Розкладемо квадратний тричлен x ²–( a +2) x +2 a на множники.
;
;
;

Отримаємо | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Це рівняння рівносильне сукупності

Тому дане рівняння має рівно два корені, якщо a+ 3 = 2 та a – 3 = 2.
Звідси знаходимо, що шуканими значеннями aє a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Відповідь: –5.

Приклад 6.Знайти всі значення a , при яких корені рівняння ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 позитивні.

Рішення:

Контрольна точка a= 0, т.к. змінює суть рівняння.

1. a = 0 –2x + = 0;

Відповідь: a Є U.

Приклад 7.Прияких значеннях параметра a рівняння | x ² – 4 x + 3 | = ax має 3 корені.

Рішення:

Побудуємо графіки функцій y = | x ² – 4 x + 3 | і y = ax .

На відрізку побудовано графік функції
.
Дане рівняння матиме три корені, якщо графік функції y = axбуде дотичною до графіка y = x ²+ 4 x – 3 на
відрізку.

Рівняння дотичної має вигляд y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),

Т.к. рівняння дотичної y = a, отримаємо систему рівнянь

Т.к. x 0 Є ,

Відповідь:при a = 4 – 2
.

Квадратні нерівностіз параметрами

приклад.Знайдіть усі значення параметра a , при кожному з яких серед розв'язків нерівності
немає жодної точки відрізка.

Рішення:

Спочатку вирішимо нерівність за всіх значень параметра, а потім знайдемо ті з них, для яких серед рішень немає жодної точки відрізка .
Нехай
, ax = t ²

t ≥ 0

За такої заміни змінних ОДЗ нерівності виконується автоматично. xможна виразити через t, якщо a≠ 0. Тому випадок, коли a = 0, розглянемо окремо.
1.Нехай a = 0, тоді х> 0 і заданий відрізок є рішенням.
2.Нехай a≠ 0, тоді
і нерівність
набуде вигляду
,

Вирішення нерівності залежить від значень aтому доведеться розглянути два випадки.
1) Якщо a>0, то
при
, або у старих змінних,

Рішення не містить жодної точки заданого відрізка , тоді і лише тоді, коли виконані умови a ≤ 7,

16a≥ 96. Звідси, a Є .
2). Якщо а< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). Так як t≥ 0, то рішень немає.

Відповідь: .

Ірраціональні рівняння з параметрами

При вирішенні ірраціональних рівняньі нерівностей з параметром, по-перше, слід враховувати область допустимих значень. По-друге, якщо обидві частини нерівності – невід'ємні вирази, то таку нерівність можна будувати у квадрат із збереженням знака нерівності.
У багатьох випадках ірраціональні рівняння та нерівності після заміни змінних зводяться до квадратних.

приклад 1.Вирішити рівняння
.

Рішення:

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

Якщо x = a² – 1, то умова виконується.

Відповідь: x = a² – 1 при а≥ 0; рішень немає при a < 0.

Приклад 2. Розв'язати рівняння
.

Рішення:

ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a - x ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = a - x,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Відповідь:
при a≥ -3; рішень немає при a < –3.

приклад 3.Скільки коренів має рівняння
залежно від значень параметра а?

Рішення:

Область допустимих значень рівняння: x Є [-2; 2]

Побудуємо графіки функцій. Графік першої функції – це верхня половина кола x² + y² = 4. Графік другої функції – бісектриси першого та другого координатних кутів. З графіка першої функції віднімемо графік другий і отримаємо графік функції
. Якщо замінити уна а, то останній графік функції є безліч точок (х; а), що задовольняють вихідному рівнянню.

За графіком бачимо відповідь.

Відповідь:при аЄ (–∞; –2) U (1; +∞), коріння немає;

при аЄ [-2; 2), два корені;

при а= 1, один корінь.

приклад 4.При яких значеннях параметра арівняння
має єдине рішення?

Рішення:

1 спосіб (аналітичний):

Відповідь:

2 спосіб (графічний):

Відповідь:при а ≥ -2 рівняння має єдине рішення

Приклад 5.При яких значеннях параметра рівняння = 2 + х має єдине рішення.

Рішення:

Розглянемо графічний варіант розв'язання цього рівняння, тобто побудуємо дві функції:
у 1 = 2 + хі у 2 =

Перша функція є лінійною і проходить через точки (0; 2) та (-2; 0).
Графік другої функції містить параметр. Розглянемо спочатку графік цієї функції при а= 0 (рис.1). При зміні значення параметра графік пересуватиметься по осі ОХна відповідне значення вліво (при позитивних а) або вправо (при негативних а) (рис.2)

З малюнка видно, що при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Відповідь:при a≥ –2 рівняння має єдине рішення.

Тригонометричні рівнянняіз параметрами.

приклад 1.Розв'яжіть рівняння sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Рішення:

Враховуючи непарність функції
, дане рівняння зведемо до рівносильного
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Рішень немає.

5. bЄ(–1; 0)

6. bЄ(–2; –1)

приклад 2.Знайдіть усі значення параметра p, за яких рівняння
немає рішень.

Рішення:

Виразимо cos 2 xчерез sinx.

Нехай
тоді завдання звелося до знаходження всіх значень p, При яких рівняння не має рішень на [-1; 1]. Рівняння алгоритмічно не вирішується, тому розв'яжемо задачу, використовуючи графік. Запишемо рівняння у вигляді , і тепер ескіз графіка лівої частини
будується нескладно.
Рівняння не має рішень, якщо пряма y = p+ 9 не перетинає графік на відрізку [-1; 1], тобто.

Відповідь:p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Системи рівнянь із параметрами

Системи двох лінійних рівнянь із параметрами

Система рівнянь

Розв'язаннями системи двох лінійних рівнянь є точки перетину двох прямих: і .

Можливі 3 випадки:

1. Прямі не паралельні . Тоді та його нормальні вектори не паралельні, тобто. . У цьому випадку система має єдине рішення.

2. Прямі паралельні та не збігаються.Тоді та його нормальні вектори паралельні, але зрушення різні, тобто. .

В цьому випадку система рішень не має .

3. Прямі збігаються.Тоді їх нормальні вектори паралельні та зрушення збігаються, тобто. . У цьому випадку система має нескінченно багато рішень –всі точки прямий .

Мета цієї роботи – вивчення різних способіввирішення завдань із параметрами. Можливість та вміння вирішувати завдання з параметрами демонструють володіння методами розв'язання рівнянь та нерівностей, осмислене розуміння теоретичних відомостей, рівень логічного мислення, стимулюють пізнавальну діяльність. Для розвитку цих навичок необхідні триваліші зусилля, саме тому в профільних 10-11 класах з поглибленим вивченням точних наук запроваджено курс: “Математичний практикум”, частиною якого є вирішення рівнянь та нерівностей із параметрами. Курс входить до дисциплін, включених у компонент навчального плану школи.

Успішному вивченню методів розв'язання завдань із параметрами можуть допомогти елективний чи факультативний курси, або компонент за сіткою на тему: “Завдання з параметрами”.

Розглянемо чотири великі класи завдань із параметрами:

Рівняння, нерівності та їх системи, які необхідно вирішити для будь-якого значення параметра або для значень параметра, що належать певній множині.
Рівняння, нерівності та його системи, котрим потрібно визначити кількість рішень залежно від значення параметра.
Рівняння, нерівності та його системи, котрим потрібно знайти всі значення параметра, у яких зазначені рівняння (системи, нерівності) мають задане число рішень.
Рівняння, нерівності та його системи, котрим за шуканих значеннях параметра безліч рішень задовольняє заданим умовам області визначення.

Методи вирішення завдань із параметрами.

1. Аналітичний метод.

Це спосіб прямого рішення, що повторює стандартні процедури знаходження відповіді у завдання без параметра.

Приклад 1. Знайдіть усі параметри a, При яких рівняння:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 має трохи більше одного кореня.

При 2 a- 1 = 0 дане рівняння квадратним не є, тому випадок a=1/2 розбираємо окремо.

Якщо a= 1/2, то рівняння набуває вигляду 1/2 x- 2 = 0, воно має один корінь.

Якщо a≠ 1/2, то рівняння є квадратним; щоб воно мало не більше одного кореня, необхідно і достатньо, щоб дискримінант був непозитивний:

D= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Щоб записати остаточну відповідь, необхідно зрозуміти,

2. Графічний метод.

Залежно від завдання (зі змінною xта параметром a) розглядаються графіки в координатній площині ( x;y) або в площині ( x;a).

Приклад 2. Для кожного параметра aвизначте кількість розв'язків рівняння .

Зауважимо, що кількість рішень рівняння дорівнює кількості точок перетину графіків функцій і y = a.

Графік функції показаний на рис.1.

y = a- Це горизонтальна пряма. За графіком нескладно встановити кількість точок перетину залежно від a(наприклад, при a= 11 – дві точки перетину; при a= 2 – вісім точок перетину).

Відповідь: при a < 0 – решений нет; при a= 0 і a= 25/4 – чотири рішення; при 0< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – сім рішень; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 – два рішення.

3. Метод вирішення щодо параметра.

При вирішенні цим способом змінні хі априймаються рівноправними, і вибирається та змінна, щодо якої аналітичне рішення стає простішим. Після спрощень потрібно повернутися до вихідного змісту змінних хі ата закінчити рішення.

Приклад 3. Знайти всі параметри а, При кожному з яких рівняння = - ax +3a+2 має єдине рішення.

Вирішуватимемо це рівняння заміною змінних. Нехай = t , t≥ 0 тоді x = t 2 + 8 і рівняння набуде вигляду at 2 +t + 5a- 2 = 0 . Тепер завдання полягає в тому, щоб знайти все а, при яких рівняння at 2 +t + 5a- 2 = 0 має єдине невід'ємне рішення. Це має місце у таких випадках.

1) Якщо а= 0, то рівняння має єдине рішення t = 2.

Вирішення деяких типів рівнянь та нерівностей із параметрами.

Завдання з параметрами допомагають у формуванні логічного мислення, придбання навичок дослідницької діяльності.

Вирішення кожної задачі своєрідне і вимагає до себе індивідуального, нестандартного підходу, оскільки не існує єдиного способу вирішення таких завдань.

. Лінійні рівняння.

Завдання № 1. При яких значеннях параметра bрівняння немає коренів?

. Ступінні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання №2. Знайти всі значення параметра a, при яких безліч розв'язків нерівності:

містить число 6, а також містить два відрізки довжиною 6, які не мають загальних точок.

Перетворимо обидві частини нерівності.

Для того, щоб безліч розв'язків нерівності містило число 6, необхідне і достатньо виконання умови:

Рис.4

При a> 6 безліч розв'язків нерівності: .

Інтервал (0;5) не може містити жодного відрізка довжини 6. Отже, два відрізки, що не перетинаються, довжини 6 повинні утримуватися в інтервалі (5; a).

. Показові рівняння, нерівності та системи.

Завдання № 3. У сфері визначення функції взяли всі цілі позитивні числа та склали їх. Знайти всі значення, за яких така сума буде більше 5, але менше 10.

1) Графіком дробово-лінійної функції є гіпербола. За умовою x> 0. При необмеженому зростанні хдріб монотонно зменшується і наближається до нуля, а значення функції zзростають та наближаються до 5. Крім того, z(0) = 1.

2) За визначенням ступеня область визначення D(y)складається з розв'язків нерівності. При a= 1 отримуємо нерівність, яка має рішень немає. Тому функція уніде не визначено.

3) При 0< a< 1 показательная функция с основанием аспадає і нерівність рівносильна нерівності. Так як x> 0 то z(x) > z(0) = 1 . Отже, кожне позитивне значення хє рішенням нерівності. Тому для таких азазначену за умови суму не можна знайти.

4) При a> 1 показова функція з основою азростає і нерівність рівнозначно нерівності. Якщо a≥ 5, будь-яке позитивне число є його рішенням, і зазначену в умові суму не можна знайти. Якщо 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , де a = z(x 0) .

5) Цілі числа розташовані в цьому інтервалі поспіль, починаючи з 1. Обчислимо суми, що послідовно йдуть натуральних чисел, Починаючи з 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Тому зазначена сума буде більшою за 5 і меншою за 10, тільки якщо число 3 лежить в інтервалі (0; x 0), а число 4 не лежить у цьому інтервалі. Значить, 3< x 0 ≤ 4 . Оскільки зростає на , то z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

Розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей, а також рівнянь, нерівностей та систем, що містять модулі, розглянуті в Додаток 1.

Завдання з параметрами складні тому, що не існує єдиного алгоритму їх вирішення. Специфікою подібних завдань є те, що поряд з невідомими величинами в них фігурують параметри, чисельні значення яких не зазначені конкретно, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині. При цьому значення параметрів суттєво впливають на логічний та технічний перебіг розв'язання задачі та форму відповіді.

За статистикою багато випускників не приступають до вирішення завдань з параметрами на ЄДІ. За даними ФІПД всього 10% випускників приступають до вирішення таких завдань, і відсоток їх правильного вирішення невисокий: 2–3%, тому набуття навичок вирішення важких, нестандартних завдань, у тому числі завдань з параметрами, які навчаються шкіл, як і раніше, залишається актуальним.