Вирішення завдань 20 базового рівня. Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення


Завдання 20 Базовий рівень ЄДІ

1)Равлик за день заповзає вгору по дереву на 4 м, а за ніч сповзає на 1 м. Висота дерева 13 м. За скільки днів равлик вперше доповзе до вершини дерева? (4-1 = 3, ранок 4 дні виявиться на висоті 9м, і протягом дня проповзе 4м.Відповідь: 4 )

2)Равлик за день заповзає вгору по дереву на 4 м, а за ніч сповзає на 3 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик вперше доповзе до вершини дерева? Відповідь: 7

3)Равлик за день залазить вгору по дереву на 3 м, а за ніч спускається на 2 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик підніметься на вершину дерева? Відповідь:8

4) На палиці відмічені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 15 шматків, якщо по жовтих - 5 шматків, а якщо по зелених - 7 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях всіх трьох кольорів ? (Якщо розпиляти палицю по червоних лініях, то вийде 15 шматків, отже, ліній - 14. Якщо розпиляти палицю по жовтих - 5 шматків, отже, ліній - 4. Якщо розпиляти по зелених - 7 шматків, ліній - 6. Всього ліній: 14 + 4+6=24 лінії. Відповідь:25 )

5) На палиці відмічені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 5 шматків, якщо по жовтих - 7 шматків, а якщо по зелених - 11 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів? Відповідь : 21

6) На палиці відзначені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 10 шматків, якщо по жовтих - 8 шматків, якщо по зелених - 8 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів? Відповідь : 24

7) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 10

8) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

· За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

· За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 100 мідних. На скільки зменшилася кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 20

9) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 3 золоті монети отримати 4 срібні та одну мідну;

2) за 6 срібних монет отримати 4 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 35 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 10

10) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 3 золоті монети отримати 4 срібні та одну мідну;

2) за 7 срібних монет отримати 4 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 42 мідні. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 30

11) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 4 золоті монети отримати 5 срібних та одну мідну;

2) за 8 срібних монет отримати 5 золотих та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 45 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 35

12) У кошику лежить 50 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 28 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 24 грибів хоча б один груздь. Скільки груздів у кошику? ( (50-28)+1=23 - Має бути рижиків. (50-24)+1=27 - Має бути груздів. Відповідь: груздів у кошику 27 .)

13) У кошику лежить 40 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 17 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 25 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику? ( Відповідно до умови завдання: (40-17)+1=24 - Має бути рижиків. (40-25)+1=16 24 .)

14) кошику лежить 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику? (Згідно з умовою завдання: (30-12)+1=19 - Має бути рижиків. (30-20)+1=11 - Має бути груздів. Відповідь: рижиків у кошику 19 .)

15) У кошику лежить 45 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 23 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 24 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику? ( Відповідно до умови завдання: (45-23)+1=23 - Має бути рижиків. (45-24)+1=22 - Має бути груздів. Відповідь: рижиків у кошику 23 .)

16) У кошику лежить 25 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 11 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 16 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику? ( Так як серед будь-яких 11 грибів хоча б один - рудик, то груздів не більше 10. Так як серед будь-яких 16 грибів хоча б один - груздь, то рижиків не більше 15. А так як всього в кошику 25 грибів, то груздів рівно 10, а рижиків рівноВідповідь:15.

17)Господар домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 4200 рублів, а за кожен наступний метр - на 1300 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 11 метрів ?(Відповідь: 117700)

18) Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3700 рублів, а за кожний наступний метр – на 1700 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 8 метрів? ( 77200 )

19) Хазяїн домовився з робітниками, що вони копають колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3500 рублів, а за кожен наступний метр – на 1600 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 9 метрів? ( 89100 )

20) Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3900 рублів, а за кожен наступний метр платитиме на 1200 рублів більше, ніж за попередній. Скільки рублів господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 6 метрів? (41400)

21) Тренер порадив Андрію у перший день занять провести на біговій доріжці 15 хвилин, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на 7 хвилин. За скільки занять Андрій проведе на біговій доріжці загалом 2 години 25 хвилин, якщо слідуватиме порадам тренера? ( 5 )

22) Тренер порадив Андрію у перший день занять провести на біговій доріжці 22 хвилини, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на 4 хвилини, поки воно не досягне 60 хвилин, а далі продовжуватиме тренуватися по 60 хвилин щодня. За скільки занять починаючи з першого Андрій проведе на біговій доріжці в сумі 4 години 48 хвилин? ( 8 )

23) У першому ряду кінозалу 24 місця, а в кожному наступному на 2 більше, ніж у попередньому. Скільки місць у восьмому ряду? ( 38 )

24) Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: у перший день він повинен прийняти 3 краплі, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Прийнявши 30 крапель, він ще 3 дні п'є по 30 крапель ліків, а потім щодня зменшує прийом на 3 краплі. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо в кожному міститься 20 мл ліків (що становить 250 крапель)? (2) суму арифметичної прогресії з першим членом, рівним 3, різницею, що дорівнює 3 і останнім членом, рівним 30; 165+90+135=390 крапель; 3+ 3(n-1)=30; n=10 і 27-3(n-1)=3; n=9

25) Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: першого дня він повинен прийняти 20 крапель, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Після 15 днів прийому пацієнт робить перерву в 3 дні і продовжує приймати ліки за зворотною схемою: в 19-й день він приймає стільки ж крапель, скільки і в 15-й день, а потім щодня зменшує дозу на 3 краплі, доки дозування не стане менше 3 крапель на день. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо у кожному міститься 200 крапель? ( 7 ) вип'є 615 + 615 + 55 = 1285; 1285: 200 = 6,4

26) У магазині побутової техніки обсяг продажу холодильників носить сезонний характер. У січні було продано 10 холодильників, і за три наступні місяці продавали по 10 холодильників. З травня продаж збільшувався на 15 одиниць порівняно з попереднім місяцем. З вересня обсяг продажів почав зменшуватися на 15 холодильників щомісяця щодо попереднього місяця. Скільки холодильників продав магазин за рік? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) На поверхні глобуса фломастером проведено 12 паралелей та 22 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

Меридіан - це дуга кола, що сполучає Північний і Південний полюси. Паралель - це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора. (13 · 22 =286)

28) На поверхні глобуса фломастером проведено 17 паралелей та 24 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса? Меридіан - це дуга кола, що сполучає Північний і Південний полюси. Паралель - це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора. (18 · 24 =432)

29) Яке найменше число чисел, що йдуть підряд, потрібно взяти, щоб їх добуток ділився на 7? (2) Якби умова завдання звучала так: «Яку найменшу кількість чисел, що йдуть поспіль, потрібно взяти, щоб їх твір гарантовано ділилося на 7?» То треба було б взяти сім поспіль чисел, що йдуть.

30) Яке найменше число чисел, що йдуть підряд, потрібно взяти, щоб їх добуток ділився на 9? (2)

31) Твір десяти чисел, що йдуть поспіль, розділили на 7. Чому може дорівнювати залишок? (0) Серед 10 поспіль чисел одне з них обов'язково буде ділитися на 7, тому добуток цих чисел кратно семи. Отже, залишок від розподілу на 7 дорівнює нулю.

32) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, у яких коник може опинитися, зробивши рівно 6 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? ( коник може опинитися в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 та 6; всього 7 точок.)

33) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 12 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? ( коник може опинитися в точках: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 та 12; всього 13 точок.)

34) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 11 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? (може опинитися в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 та 11; всього 12 точок.)

35) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 8 стрибків, починаючи стрибати з початку координат?

Зауважимо, що коник може опинитися тільки в точках з парними координатами, оскільки кількість стрибків, яку він робить, – парна. Максимально коник може опинитися в точках, модуль яких не перевищує восьми. Таким чином, коник може опинитися в точках: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 всього 9 точок.

Середня загальна освіта

Лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра та початки математичного аналізу(10-11) (поглиб.)

Лінія УМК Мерзляк. Алгебра та початки аналізу (10-11) (У)

Математика

Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення

Розбираємо завдання та вирішуємо приклади з учителем

Екзаменаційна робота профільного рівнятриває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

Мінімальний поріг– 27 балів.

Екзаменаційна робота складається з двох частин, які різняться за змістом, складністю та кількістю завдань.

Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

  • частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу;
  • частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу та 7 завдань (завдання 13–19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).

Панова Світлана Анатоліївна, вчитель математики вищої категорії школи, стаж роботи 20 років:

«Для того, щоб отримати шкільний атестат, випускнику необхідно скласти два обов'язкові іспити у формі ЄДІ, один з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освіти у Російської ФедераціїЄДІ з математики поділено на два рівні: базовий та профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня.

Завдання №1- перевіряє в учасників ЄДІ вміння застосовувати навички, отримані в курсі 5 - 9 класів елементарної математики, у практичній діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці виміру до інших.

приклад 1.У квартирі, де мешкає Петро, ​​встановили прилад обліку витрати холодної води(лічильник). Першого травня лічильник показував витрати 172 куб. м води, а першого червня – 177 куб. м. Яку суму має заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп. Відповідь дайте у рублях.

Рішення:

1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:

177 – 172 = 5 (куб м)

2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Відповідь: 170,85.


Завдання №2-є одним із найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 за кодифікатором вимог - це завдання на використання набутих знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою різних функцій реальних залежностейміж величинами та інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, подану у таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способахзавдання функції та описувати поведінку та властивості функції за її графіком. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше або найменше значеннята будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характер у читанні умови завдання, читанні діаграми.

#ADVERTISING_INSERT#

приклад 2.На малюнку показано зміну біржової вартості однієї акції видобувної компанії у першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав всі, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен унаслідок цих операцій?


Рішення:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акцій) - становлять 3/4 від усіх куплених акцій.

6) 247500 + 77500 = 325000 (крб) – бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.

7) 340000 – 325000 = 15000 (крб) - втратив підприємець у всіх операцій.

Відповідь: 15000.

Завдання №3- є завданням базового рівняпершої частини, перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурамиза змістом курсу "Планіметрія". У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на папері, вміння обчислювати градусні заходикутів, обчислювати периметри тощо.

приклад 3.Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Рішення:Для обчислення площі цієї фігури можна скористатися формулою Піка:

Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:

S= В +

 Г
2
де В = 10, Г = 6, тому

S = 18 +

 6
2
Відповідь: 20.

Читайте також: ЄДІ з фізики: розв'язання задач про коливання
Завдання №4- завдання курсу «Теорія ймовірностей та статистика». Перевіряється вміння обчислювати ймовірність події у найпростішій ситуації.

приклад 4.На колі відзначено 5 червоних та 1 синю крапку. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких усі вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, скільки одних більше, ніж інших.

Рішення: 1) Скористаємося формулою числа поєднань з nелементів по k:

у яких усі вершини червоні.

3) Один п'ятикутник, який має всі вершини червоні.

4) 10 + 5 + 1 = 16 багатокутників, у яких усі вершини червоні.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

8) Один шестикутник, у якого вершини червоні з однією синьою вершиною.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 багатокутники, у яких усі вершини червоні або з однією синьою вершиною.

10) 42 – 16 = 26 багатокутників, у яких використовується синя точка.

11) 26 - 16 = 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких всі вершини тільки червоні.

Відповідь: 10.

Завдання №5- базового рівня першої частини перевіряє вміння розв'язувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показові, тригонометричні, логарифмічні).

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2 3 + x= 0,4 · 5 3 + x .

Рішення.Розділимо обидві частини даного рівняння на 5 3 + х≠ 0, отримаємо

2 3 + x = 0,4 або 2 3 + х = 2 ,
5 3 + х 5 5

звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.

Відповідь: –2.

Завдання №6за планіметрією на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуацій мовою геометрії. Дослідження побудованих моделей з використанням геометричних понять та теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання чи неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.

Площа трикутника ABCдорівнює 129. DE- Середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.


Рішення.Трикутник CDEподібний до трикутника CABпо двох кутах, тому що кут при вершині Cзагальний, кут СDEдорівнює куту CABяк відповідні кути при DE || ABсічучої AC. Так як DE- Середня лінія трикутника за умовою, то за якістю середньої лінії | DE = (1/2)AB. Отже, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому

Отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Завдання №7- перевіряє застосування похідної для дослідження функції. Для успішного виконання необхідне змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.

Приклад 7.До графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна до прямої, що проходить через точки (4; 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).

Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4; 3) та (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, де k 1 = 4.

2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2 , яка перпендикулярна до прямої y = 4x- 13, де k 1 = 4, за формулою:

3) Кутовий коефіцієнт дотичної – похідна функції у точці дотику. Значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Відповідь: –0,25.

Завдання №8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, уміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь та обсягів фігур, двогранних кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами тощо.

Об'єм куба, описаного біля сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.


Рішення. 1) Vкуба = a 3 (де а- Довжина ребра куба), тому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Завдання №9- вимагає від випускника навичок перетворення та спрощення алгебраїчних виразів. Завдання №9 підвищеного рівняскладнощі з короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення та перетворення» в ЄДІ поділяються на декілька видів:

    перетворення числових раціональних виразів;

    перетворення алгебраїчних виразів та дробів;

    перетворення числових/літерних ірраціональних виразів;

    дії зі ступенями;

    перетворення логарифмічних виразів;

  1. перетворення числових/літерних тригонометричних виразів.

Приклад 9.Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α = 0,6 та

3π < α < π.
4

Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α = 2 cos 2 α – 1 та знайдемо

tg 2 α = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25.
cos 2 α 0,8 8 4 4 4

Отже, tg 2 α = ±0,5.

3) За умовою

3π < α < π,
4

значить, α – кут II чверті та tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Відповідь: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Завдання №10- перевіряє в учнів вміння використовувати набуті раннє знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не математики, але все необхідні формулита величини дано за умови. Завдання зводяться до рішення лінійного або квадратного рівняння, або лінійного або квадратної нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння та нерівності та визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу.

Два тіла масою m= 2 кг кожне рухаються з однаковою швидкістю v= 10 м/с під кутом 2 один до одного. Енергія (у джоулях), що виділяється при їх абсолютно непружному зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (у градусах) повинні рухатися тіла, щоб у результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення.Для розв'язання задачі необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Оскільки α ∈ (0°; 90°), то вирішуватимемо тільки

Зобразимо розв'язання нерівності графічно:


Оскільки за умовою α ∈ (0°; 90°), значить 30° ≤ α< 90°. Получили, что найменший кутα дорівнює 30°, тоді найменший кут 2α = 60°.

Завдання №11- є типовим, але виявляється непростим учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання №11 перевіряє вміння вирішувати текстові завдання.

Приклад 11.На весняних канікулах 11-класник Вася мав вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на те саме кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем. Визначте скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.

Рішення:Позначимо a 1 = 5 – кількість завдань, які Вася вирішив 18 березня, d– щоденна кількість завдань, які розв'язує Вася, n= 16 – кількість днів з 18 березня до 2 квітня включно, S 16 = 560 - загальна кількість завдань, a 16 – кількість завдань, які Вася вирішив 2 квітня. Знаючи, що щодня Вася вирішував на одну й ту саму кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем, можна використовувати формули знаходження суми арифметичної прогресії:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Відповідь: 65.

Завдання №12- перевіряють в учнів вміння виконувати події з функціями, вміти застосовувати похідну до вивчення функції.

Знайти точку максимуму функції y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x> –9, тобто x ∈ (–9; ∞).

2) Знайдемо похідну функції:

4) Знайдена точка належить проміжку (–9; ∞). Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції:


Шукана точка максимуму x = –8.

Скачати безкоштовно робочу програму з математики до лінії УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравиною 10-11 Скачати безкоштовно методичні посібники з алгебри

Завдання №13-Підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, що перевіряє вміння вирішувати рівняння, що найбільш успішно розв'язується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку .

Рішення:а) Нехай log 3 (2cos x) = tтоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,


 log 3 (2cos x) = 2 ⇔
2cos x = 9 ⇔
cos x = 4,5 ⇔ т.к. |cos x| ≤ 1,
log 3 (2cos x) = 1 2cos x = √3 cos x = √3
2 2
то cos x = √3
2

x = π + 2π k
6
x = – π + 2π k, k ∈ Z
6

б) Знайдемо коріння, що лежить на відрізку.


З малюнка видно, що заданому відрізку належить коріння

11π і 13π .
6 6
Відповідь:а) π + 2π k; – π + 2π k, k ∈ Z; б) 11π ; 13π .
6 6 6 6
Завдання №14-Підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати події з геометричними фігурами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.

Діаметр кола основи циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його основи по хордах довжини 12 і 16. Відстань між хордами дорівнює 2√197.

а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.

б) Знайдіть кут між цією площиною та площиною основи циліндра.

Рішення:а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані = 8 від центру кола основи, а хорда довжиною 16, аналогічно, – на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну основам циліндрів, становить або 8 + 6 = 14, або 8 − 6 = 2.

Тоді відстань між хордами складає або

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

За умовою реалізувався другий випадок, у ньому проекції хорд лежать з одного боку від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає цю площину в межах циліндра, тобто основи лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.

б) Позначимо центри підстав за О1 і О2. Проведемо з центру основи з хордою довжини 12 серединний перпендикуляр до цієї хорди (він має довжину 8, як зазначалося) і з центру іншого основи - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині, перпендикулярній цим хордам. Назвемо середину меншої хорди B, більшої A та проекцію A на другу основу – H (H ∈ β). Тоді AB,AH ∈ β і означає, AB,AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетин основи з даною площиною.

Отже, шуканий кут дорівнює

∠ABH = arctg AH = arctg 28 = arctg14.
BH 8 – 6

Завдання №15- підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, що найбільш успішно вирішується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

приклад 15.Розв'яжіть нерівність | x 2 – 3x| · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Рішення:Областю визначення цієї нерівності є інтервал (–1; +∞). Розглянь окремо три випадки:

1) Нехай x 2 – 3x= 0, тобто. х= 0 або х= 3. У цьому випадку ця нерівність перетворюється на правильну, отже, ці значення входять у розв'язання.

2) Нехай тепер x 2 – 3x> 0, тобто. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При цьому цю нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивний вираз x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 або x≤ -0,5. Враховуючи область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].

3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 . Після поділу на позитивний вираз 3 x – x 2 отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Враховуючи область, маємо x ∈ (0; 1].

Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Завдання №16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.

У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом 120° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABC вписано прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E – на відрізку AB. а) Доведіть, що FH = 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB = 4.

Рішення:а)


1) ΔBEF – прямокутний, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тоді EF = BE за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

2) Нехай EF = DH = xтоді BE = 2 x, BF = x√3 за теоремою Піфагора.

3) Оскільки ΔABC рівнобедрений, значить, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – бісектриса ∠B, значить ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Розглянемо ΔDBH – прямокутний, тому що. DH⊥BC.

2x = 4 – 2x
2x(√3 + 1) 4
1 = 2 – x
√3 + 1 2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3) · 2(3 – √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Відповідь: 24 – 12√3.


Завдання №17- завдання з розгорнутою відповіддю, це завдання перевіряє застосування знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті, уміння будувати та досліджувати математичні моделі. Це завдання - текстове завдання з економічним змістом.

Приклад 17Вклад у розмірі 20 млн. рублів планується відкрити на чотири роки. Наприкінці кожного року банк збільшує внесок на 10%, порівняно з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього та четвертого років вкладник щороку поповнює вклад на хмлн. рублів, де х - цілечисло. Знайдіть найбільше значення х, при якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн. рублів.

Рішення:Наприкінці першого року вклад складе 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублів, а наприкінці другого - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублів. На початку третього року вклад (у млн рублів) складе (24,2+) х), а наприкінці - (24,2+ х) + (24,2 + х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року вклад складе (26,62 + 2,1 х), а наприкінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле х, для якого виконано нерівність

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x < 7718
310
x < 3859
155
x < 24 139
155

Найбільше вирішення цієї нерівності - число 24.

Відповідь: 24.


Завдання №18- Завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів із підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівняскладності - це завдання не так на застосування одного методу рішення, але в комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 18 необхідний, крім міцних математичних знань, також високий рівень математичної культури.

При яких aсистема нерівностей

x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
y + a ≤ |x| – a

має рівно два рішення?

Рішення:Цю систему можна переписати у вигляді

x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
y ≤ |x| – a

Якщо намалювати на площині безліч розв'язків першої нерівності, вийде начинка кола (з кордоном) радіуса 1 з центром у точці (0, а). Безліч рішень другої нерівності – частина площини, що лежить під графіком функції y = | x| – a, причому останній є графік функції
y = | x| , зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетинання безлічі рішень кожної з нерівностей.

Отже, два рішення дана системаматиме лише у випадку, зображеному на рис. 1.


Крапки торкання кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна пряма нахилена до осей під кутом 45°. Отже, трикутник PQR- Прямокутний рівнобедрений. Крапка Qмає координати (0, а), а точка R– координати (0, – а). Крім того, відрізки PRі PQрівні радіусу кола, що дорівнює 1. Значить,

Qr= 2a = √2, a = √2 .
2
Відповідь: a = √2 .
2


Завдання №19- Завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів із підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівня складності - це завдання не так на застосування одного методу рішення, але в комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 19 необхідно вміти шукати рішення, вибираючи різні підходи з числа відомих, модифікуючи вивчені методи.

Нехай Snсума пчленів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії

б) Знайдіть найменшу за модулем суму S n.

в) Знайдіть найменше п, за якого S nбуде квадратом цілого числа.

Рішення: а) Очевидно, що a n = S n – S n- 1 . Використовуючи цю формулу, отримуємо:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, то розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x|. Її графік можна побачити малюнку.


Очевидно, що найменше значення досягається в цілих точках, розташованих найбільш близько до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х= 12 і х= 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 · 169 - 25 · 13 | = 13, то найменше значення дорівнює 12.

в) З попереднього пункту випливає, що Snпозитивно, починаючи з n= 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), то очевидний випадок, коли цей вираз є повним квадратом, реалізується при n = 2n- 25, тобто при п= 25.

Залишилось перевірити значення з 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Виходить, що при менших значеннях пПовний квадрат не досягається.

Відповідь:а) a n = 4n- 27; б) 12; в) 25.

________________

*З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить до корпорації «Російський підручник». До корпорації також увійшли видавництво «Астрель» та цифрова освітня платформа «LECTA». Генеральним директоромпризначений Олександр Бричкін, випускник Фінансової академії при Уряді РФ, кандидат економічних наук, керівник інноваційних проектів видавництва «ДРОФА» у сфері цифрової освіти (електронні форми підручників, «Російська електронна школа», Цифрова освітня платформа LECTA). До приходу у видавництво «ДРОФА» займав позицію віце-президента щодо стратегічного розвиткута інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» має найбільший портфель підручників, включених до Федеральний список- 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школами комплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - галузей знань, які необхідні розвитку виробничого потенціалу країни. У портфель корпорації входять підручники та навчальні посібникидля початкової школи, удостоєні Премії Президента в галузі освіти Це підручники та посібники з предметних областей, які необхідні розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.

Єдиний державний іспит з математики базового рівня складається із 20 завдань. У завданні 20 перевіряються навички розв'язання логічних завдань. Школяр повинен вміти застосовувати свої знання для вирішення завдань на практиці, у тому числі на арифметичну та геометричну прогресію. Тут ви можете дізнатися, як вирішувати завдання 20 ЄДІ з математики базового рівня, а також вивчити приклади та способи вирішення на основі детально розібраних завдань.

Всі завдання ЄДІ база всі завдання (263) ЄДІ база завдання 1 (5) ЄДІ база завдання 2 (6) ЄДІ база завдання 3 (45) ЄДІ база завдання 4 (33) ЄДІ база завдання 5 (2) ЄДІ база завдання 6 (44 ) ЄДІ база завдання 7 (1) ЄДІ база завдання 8 (12) ЄДІ база завдання 10 (22) ЄДІ база завдання 12 (5) ЄДІ база завдання 13 (20) ЄДІ база завдання 15 (13) ЄДІ база завдання 19 (23) ЄДІ база завдання 20 (32)

На стрічці з різних боків від середини відмічені дві поперечні смужки

На стрічці з різних боків від середини відмічені дві поперечні смужки: синя та червона. Якщо розрізати стрічку по синій смужці, то одна частина буде довшою за іншу на A см. Якщо розрізати по червоній, то одна частина буде довшою за іншу на B см. Знайдіть відстань від червоної до синьої смужки.

Завдання про стрічку входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Біологи відкрили різновид амеб

Біологи відкрили різновид амеб, кожна з яких рівно за хвилину ділиться на дві. Біолог кладе амебу в пробірку, і через N годин пробірка виявляється повністю заповненої амебами. Скільки хвилин потрібно, щоб вся пробірка заповнилася амебами, якщо в неї покласти не одну, а K амеб?

При демонстрації літнього одягу вбрання кожної манекенниці

При демонстрації літнього одягу вбрання кожної манекенниці відрізняються хоча б одним із трьох елементів: блузкою, спідницею та туфлями. Усього модельєр приготував для демонстрації A видів блуз, B виду спідниць та C виду туфель. Скільки різних нарядів буде показано на цій демонстрації?

Завдання про вбрання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Група туристів здолала гірський перевал

Група туристів здолала гірський перевал. Перший кілометр підйому вони подолали за K хвилин, а кожен наступний кілометр проходили на L хвилин довше за попередній. Останній кілометр перед вершиною було пройдено за M хвилин. Після відпочинку N хвилин на вершині туристи почали спуск, який був більш пологі. Перший кілометр після вершини був пройдений за P хвилин, а кожен наступний на R хвилин швидше за попередній. Скільки годин група витратила весь маршрут, якщо останній кілометр спуску було пройдено за S хвилин.

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою

Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: у перший день він повинен прийняти K крапель, а кожного наступного дня - на N крапель більше, ніж у попередній. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо в кожному міститься M крапель?

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

За емпіричним законом Мура середня кількість транзисторів на мікросхемах

За емпіричним законом Мура середня кількість транзисторів на мікросхемах щороку зростає в N разів. Відомо, що у 2005 році середня кількість транзисторів на мікросхемі дорівнювала K млн. Визначте, скільки в середньому мільйонів транзисторів було на мікросхемі у 2003 році.

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Нафтова компанія бурить свердловину для видобутку нафти

Нафтова компанія бурить свердловину для видобутку нафти, яка залягає, за даними геологорозвідки, на глибині N км. Протягом робочого дня бурильники проходять L метрів у глибину, але за ніч свердловина знову «замулюється», тобто заповнюється ґрунтом на K метрів. За скільки робочих днів нафтовики пробурять свердловину до глибини залягання нафти?

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

У магазині побутової техніки обсяг продажів холодильників має сезонний характер.

В магазині побутової технікиобсяг продажів холодильників має сезонний характер. У січні було продано K холодильників, і в наступні три місяці продавали по L холодильників. З травня продажі збільшувалися на M одиниць порівняно з попереднім місяцем. З вересня обсяг продажів почав зменшуватися на N холодильників щомісяця щодо попереднього місяця. Скільки холодильників продав магазин за рік?

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Тренер порадив Андрію у перший день занять провести на біговій доріжці

Тренер порадив Андрію у перший день занять провести на біговій доріжці L хвилин, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на M хвилин. За скільки занять Андрій проведе на біговій доріжці загалом N годин K хвилин, якщо слідуватиме порадам тренера?

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Кожну секунду бактерія поділяється на дві нові бактерії.

Щомиті бактерія ділиться на дві нові бактерії. Відомо, що весь обсяг однієї склянки бактерії заповнюють за N годин. За скільки секунд склянка буде заповнена бактеріями на 1/K частину?

Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

На кільцевій дорозі розташовано чотири бензоколонки: А, Б, В та Г

На кільцевій дорозі розташовано чотири бензоколонки: А, Б, В і Г. Відстань між А і Б - K км, між А і В - L км, між В і Г - M км, між Г і А - N км (всі відстані вимірюються вздовж кільцевої дорогипо найкоротшій дузі). Знайдіть відстань (у кілометрах) між Б та В.

Завдання про бензоколонки входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Сашко запросив Петю у гості, сказавши, що живе

Сашко запросив Петю у гості, сказавши, що живе у K під'їзді в квартирі № M, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що будинок N-поверховий. На якому поверсі живе Сашко? (На всіх поверхах кількість квартир однакова, номери квартир у будинку починаються з одиниці.)

Завдання про квартири та будинки входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 20.

Збірник для підготовки до ЄДІ (базовий рівень)

Прототип завдання №20

1. В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

2. На палиці відзначені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 5 шматків, якщо по жовтих - 7 шматків, а якщо по зелених - 11 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів?

3. У кошику лежить 40 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 17 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 25 грибів - хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

4. У кошику лежать 40 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 17 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 25 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

5. Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на наступних умовах: за перший метр він заплатить їм 4200 рублів, а за кожний наступний метр – на 1300 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 11 метрів?

6. Равлик за день залазить на дерево на 3 м, а за ніч спускається на 2 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик підніметься на вершину дерева?

7. На поверхні глобуса фломастером проведено 12 паралелей та 22 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

8. У кошику лежать 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

9.

1) за 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

2) за 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

10. У магазині побутової техніки обсяг продажу холодильників має сезонний характер. У січні було продано 10 холодильників, і за три наступні місяці продавали по 10 холодильників. З травня продаж збільшувався на 15 одиниць порівняно з попереднім місяцем. З вересня обсяг продажів почав зменшуватися на 15 холодильників щомісяця щодо попереднього місяця. Скільки холодильників продав магазин за рік?

11. У кошику лежить 25 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 11 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 16 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

12. Список завдань вікторини складався із 25 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 7 очок, за неправильну відповідь з неї списували 10 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 42 очки, якщо відомо, що принаймні один раз помилився?

13. Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за один стрибок. Коник починає стрибати з початку координат. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 11 стрибків?

14. В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

· За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

· За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 100 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

15. У кошику лежить 45 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 23 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 24 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

16. Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3700 рублів, а за кожен наступний метр – на 1700 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 8 метрів?

17. Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: першого дня він повинен прийняти 20 крапель, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Після 15 днів прийому пацієнт робить перерву в 3 дні і продовжує приймати ліки за зворотною схемою: в 19-й день він приймає стільки ж крапель, скільки і в 15-й день, а потім щодня зменшує дозу на 3 краплі, доки дозування не стане менше 3 крапель на день. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо у кожному міститься 200 крапель?

18. У кошику лежить 50 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 28 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 24 грибів хоча б один груздь. Скільки груздів у кошику?

19. Сашко запросив Петю в гості, сказавши, що живе у десятому під'їзді у квартирі №333, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що дім дев'ятиповерховий. На якому поверсі живе Сашко? (На всіх поверхах кількість квартир однакова, номери квартир у будинку починаються з одиниці.)

20. В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 5 золотих монети отримати 6 срібних та одну мідну;

2) за 8 срібних монет отримати 6 золотих та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 55 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

21. Тренер порадив Андрію в перший день занять провести на біговій доріжці 22 хвилини, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на 4 хвилини, поки воно не досягне 60 хвилин, а далі продовжуватиме тренуватися по 60 хвилин щодня. За скільки занять починаючи з першого Андрій проведе на біговій доріжці в сумі 4 години 48 хвилин?

22. Щомиті бактерія ділиться на дві нові бактерії. Відомо, що весь обсяг однієї склянки бактерії заповнюють за годину. За скільки секунд склянка буде заповнена бактеріями наполовину?

23. У меню ресторану є 6 видів салатів, 3 види перших страв, 5 видів других страв та 4 види десерту. Скільки варіантів обіду із салату, першого, другого та десерту можуть вибрати відвідувачі цього ресторану?

24. Равлик за день заповзає вгору деревом на 4 м, а за ніч сповзає на 3 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик вперше доповзе до вершини дерева?

25. Скільки способами можна поставити в ряд два однакові червоні кубики, три однакові зелені кубики і один синій кубик?

26. Твір десяти чисел, що йдуть поспіль, розділили на 7. Чому може дорівнювати залишок?

27. У першому ряді кінозалу 24 місця, а в кожному наступному на 2 більше, ніж у попередньому. Скільки місць у восьмому ряду?

28. Список завдань вікторини складався із 33 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 7 очок, за неправильну відповідь з неї списували 11 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 84 очки, якщо відомо, що, принаймні, один раз він помилився?

29. На поверхні глобуса фломастером проведено 13 паралелей та 25 меридіанів. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

Меридіан - це дуга кола, що сполучає Північний і Південний полюси. Паралель - це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора.

30. На кільцевій дорозі розташовані чотири бензоколонки: A, B, C і D. Відстань між A та B – 35 км, між A та C – 20 км, між C та D – 20 км, між D та A – 30 км (всі відстані вимірюються вздовж кільцевої дороги в найкоротший бік). Знайдіть відстань між B і C. Дайте відповідь в кілометрах.

31. Сашко запросив Петю у гості, сказавши, що живе у сьомому під'їзді у квартирі № 462, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що будинок семиповерховий. На якому поверсі живе Сашко? (На всіх поверхах кількість квартир однакова, нумерація квартир у будинку починається з одиниці.)

32. У кошику лежить 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів - хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

33. Хазяїн домовився з робітниками, що вони копають колодязь на наступних умовах: за перший метр він заплатить їм 3500 рублів, а за кожен наступний метр – на 1600 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 9 метрів?

34. Сашко запросив Петю в гості, сказавши, що живе у десятому під'їзді у квартирі №333, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що дім дев'ятиповерховий. На якому поверсі живе Сашко? (На кожному поверсі кількість квартир однакова, номери квартир у будинку починаються з одиниці.)

35. Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: першого дня він повинен прийняти 3 краплі, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Прийнявши 30 крапель, він ще 3 дні п'є по 30 крапель ліків, а потім щодня зменшує прийом на 3 краплі. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо в кожному міститься 20 мл ліків (що становить 250 крапель)?

36. Прямокутник розбитий на чотири менші прямокутники двома прямолінійними розрізами. Периметри трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі за годинниковою стрілкою, дорівнюють 24, 28 і 16. Знайдіть периметр четвертого прямокутника.

37. На кільцевій дорозі розташовано чотири бензоколонки: А, Б, В і Г. Відстань між А і Б - 50 км, між А і В - 30 км, між В і Г - 25 км, між Г і А - 45 км (всі відстані вимірюються вздовж кільцевої дороги найкоротшою дугою).

Знайдіть відстань (у кілометрах) між Б та В.

38. Нафтова компанія бурить свердловину для видобутку нафти, яка залягає, за даними геологорозвідки, на глибині 3 км. Протягом робочого дня бурильники проходять 300 метрів у глибину, але за ніч свердловина знову «замулюється», тобто заповнюється ґрунтом на 30 метрів. За скільки робочих днів нафтовики пробурять свердловину до глибини залягання нафти?

39. Група туристів здолала гірський перевал. Перший кілометр підйому вони подолали за 50 хвилин, а кожен наступний кілометр проходили на 15 хвилин довше за попередній. Останній кілометр перед вершиною було пройдено за 95 хвилин. Після десятихвилинного відпочинку на вершині туристи розпочали спуск, який був більш пологім. Перший кілометр після вершини був пройдений за годину, а кожен наступний на 10 хвилин швидше за попередній. Скільки годин група витратила на весь маршрут, якщо останній кілометр спуску було пройдено за 10 хвилин.

40. В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

За 3 золоті монети отримати 4 срібні та одну мідну;

За 7 срібних монет отримати 4 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 42 мідні. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

41. На палиці відзначені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 15 шматків, якщо по жовтих - 5 шматків, а якщо по зелених - 7 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів?

42. В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 4 золоті монети отримати 5 срібних та одну мідну;

2) за 8 срібних монет отримати 5 золотих та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 45 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

43. Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 12 стрибків, починаючи стрибати з початку координат?

44. У бак об'ємом 38 літрів щогодини, починаючи з 12 години, наливають повне відро води об'ємом 8 літрів. Але в дно бака є невелика щілина, і з неї за годину витікає 3 літри. У який час (в годинах) бак буде заповнений повністю.

45. У кошику лежить 40 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 17 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 25 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

46. Яку найменшу кількість чисел, що йдуть поспіль, потрібно взяти, щоб їх добуток ділився на 7?

47. Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 11 стрибків, починаючи стрибати з початку координат?

48. Равлик за день заповзає вгору деревом на 4 м, а за ніч сповзає на 1 м. Висота дерева 13 м. За скільки днів равлик вперше доповзе до вершини дерева?

49. На глобусі фломастером проведено 17 паралелей (включаючи екватор) та 24 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділяють поверхню глобуса?

50. На поверхні глобуса фломастером проведено 12 паралелей та 22 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

Меридіан - це дуга кола, що сполучає Північний і Південний полюси. Паралель - це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора.

Відповіді до прототипу завдання №20

  4. Відповідь: 117700

  14. Відповідь: 77200

  19. Відповідь: 3599

  29. Відповідь: 89100

Завдання №20 ЄДІ з математики містить завдання на кмітливість. Завдання у цьому розділі більш інтуїтивно зрозуміло, ніж у 19 завданні ЄДІ, проте досить складні для звичайного школяра. Отже, перейдемо до розгляду типових варіантів.

Розбір типових варіантів завдань №20 ЄДІ з математики базового рівня

Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)

  • за 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;
  • за 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

Алгоритм виконання:
  1. Ввести умовні позначення.
  2. Записати дані завдання за допомогою умовних позначень.
  3. Логічно міркуючи визначити невідоме.
Рішення:

За умовою золотих монет не з'явилося, отже, всі отримані після здійснення другої операції золоті монети Микола обміняв за допомогою першої операції. Золоті монети можна міняти лише по 2 штуки, отже, других операцій було парне число.

Введемо позначення, нехай других операцій було 2n (число завжди парне).

Якщо застосувати другу операцію отримаємо:

Усі золоті монети обміняли під час першої операції. За одну операцію можна обміняти відразу дві золоті монети, отже, всього операцій буде здійснено (3 · 2n)/2 = 3 n. Тобто

3 · 2n золотих обміняли на 3 · 3n срібних + 3n мідних.

Або після перетворення:

Порівняємо результати першої та другої операції:

5 · 2n срібних обміняли на 3 · 2n золотих + 2n мідних.

3 · 2n золотих обміняли на 9n срібних + 3n мідних

5 · 2n срібних обміняли на 9n срібних + 3n мідних+2n мідних

10 n срібних обміняли на 9n срібних + 5n мідних

Якщо обмінявши 10 n срібних монет отримаємо 9 n срібних монет, то кількість срібних монет у Миколи зменшилася на n. З останнього виразу видно, що Микола отримав 5n мідних монет, а за умовою з'явилося 50 мідних, тобто 5n = 50.

Другий варіант завдання

Маша та Ведмідь з'їли 100 печива та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печива, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть утричі швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли варення порівну?

Алгоритм виконання:
  1. Зіставити результати.
  2. Знайти невідоме.
Рішення:
  1. Так як варення і Маша, і Ведмідь з'їли порівну, і при цьому Ведмідь їв варення в 3 рази швидше, Маша їла варення (свою половину) в 3 рази довше, ніж Ведмідь (таку ж половину).
  2. Тоді виходить, що Ведмідь їв печива в 3 рази довше за Машу і до того ж їв їх у 3 рази швидше, тобто, на одне з'їдене Машею печиво припадало 3∙3=9 печива, з'їденого Ведмедем.
  3. У сумі ці печива становлять 1+9=10 і таких сум у 100 печивах 100:10 = 10.
  4. Значить, Маша з'їла 10 печива, а Ведмідь 9∙10=90.

Третій варіант завдання

Маша та Ведмідь з'їли 51 печиво та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печива, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть у чотири рази швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли варення порівну?

Алгоритм виконання:
  1. Визначити, хто й у скільки разів довше їв печиво.
  2. Визначити, хто й у скільки разів довше їв варення.
  3. Зіставити результати.
  4. Знайти невідоме.
Рішення:
  1. Так як варення і Маша, і Ведмідь, з'їли порівну, і при цьому Ведмідь їв варення в 4 рази швидше, Маша їла варення (свою половину) в 4 рази довше, ніж Ведмідь (таку ж половину).
  2. Тоді виходить, що Ведмідь їв печива в 4 рази довше за Машу і до того ж їв їх у 4 рази швидше, тобто, на одне з'їдене Машею печиво припадало 4∙4=16 печива, з'їденого Ведмедем.
  3. У сумі ці печива становлять 1+16=17 і таких сум у 51 печінці рівно 51:17 = 3.
  4. Значить, Маша з'їла 3 печива, а Ведмідь 3∙16=48.

Четвертий варіант завдання

Якби кожен із двох співмножників збільшили на 1, їхній твір збільшився б на 11. Насправді кожен із двох співмножників збільшили на 2. На скільки збільшився твір?

Алгоритм виконання:
  1. Ввести умовні позначення.
  2. Перетворити набутий вираз.
  3. Знайти невідоме.
Рішення:

При збільшенні цих співмножників на 1 їх добуток зростає на 11, тобто,

Тепер аналогічно обчислимо, на скільки збільшиться добуток, якщо співмножники збільшити на 2 і підставимо вже відоме нам a + b = 10:

П'ятий варіант завдання

Якби кожен із двох співмножників збільшили на 1, їхній твір збільшився б на 3. Насправді кожен із двох співмножників збільшили б на 5. На скільки збільшився твір?

Алгоритм виконання:
  1. Ввести умовні позначення.
  2. Записати першу умову за допомогою умовних позначень.
  3. Перетворити набутий вираз.
  4. Записати за умовними позначеннями друга умова.
  5. Перетворити набутий вираз.
  6. Знайти невідоме.
Рішення:

Нехай перший співмножник дорівнює a, а другий b, їх добуток дорівнює ab.

При збільшенні цих співмножників на 1 їх твір зростає на 3, тобто,

Перенесемо твір ab в ліву частинуз протилежним знакомі розкриємо дужки перемноживши.

Тепер аналогічно обчислимо, на скільки збільшиться твір, якщо співмножники збільшити на 5 і підставимо вже відоме нам a + b = 2:

Варіант двадцятого завдання 2017

Прямокутник розбитий на чотири менші прямокутники двома прямолінійними відрізками. Периметри трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі за годинниковою стрілкою, дорівнюють 24, 28 і 16. Знайдіть периметр четвертого прямокутника.

Перемалюємо прямокутник у зручному для нас вигляді:

Тепер складемо рівняння за допомогою формули периметра прямокутника:

Варіант двадцятого завдання 2019 року (1)

Список завдань вікторини складався із 25 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 7 очок, за неправильну відповідь з неї списували 10 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 42 очки, якщо відомо, що принаймні один раз помилився?

Алгоритм виконання
  1. Складаємо комбінації правильних і неправильних відповідей і визначаємо кількість балів у них, наприклад: 1) 1 прав+1 неправ=7–10=–3 бали; 2) 2 прав +1 неправ = 2 · 7-10 = 4 бали і т.д.
  2. З балів за прав. відповіді та балів за їх комбінації «набираємо» 42 бали. Підраховуємо кількість питань, які при цьому були задані.
  3. Різницю, що залишилася, між отриманим числом питань і даними 25-ма питаннями визначаємо як ті, на які не було дано відповіді.
  4. Робимо перевірку одержаного результату.
Рішення:

Введемо позначення: прав.відповідь - 1П, неправ.відповідь - 1Н.

Задаємо комбінації та визначаємо кількість балів, яка при цьому буде нарахована:

1П=7 балів

1П + 1Н = 7-10 = -3 б.

2П + 1Н = 2 · 7-10 = 4 б.

3П + 1Н = 3 · 7-10 = 11 б.

Підсумовуємо бали, які можна отримати: 7+ (–3)+4+11=19. Це вочевидь мало. І гарантовано можна додати ще 11:19+11=30. Щоб "добрати" до 42 балів, потрібно далі додати 12 балів, які набираються потрійним входженням 4-х балів. Загалом отримуємо:

7+(-3)+4+11+11+3·4=42.

Розпишемо отриману комбінацію доданків у вигляді відповідей:

1П+(1П+1Н)+(2П+1Н)+(3П+1Н)+(3П+1Н)+3·(2П+1Н)=1П+1П+1Н+2П+1Н+3П+1Н+3П+ 1Н+6П+3Н=16П+7Н (відповідей).

16 +7 = 23 відповіді. 25–23=2 відповіді, які було отримано по 0 балів, тобто. це питання, що залишилися без відповідей.

Отже, за нашими підрахунками відповідей було дано 16.

Перевіримо це:

16 відповідей за 7 б. + 7 відповідей за (-10) б. + 2 відповіді за 0 б. = 16 · 7-7 · 10 +2 · 0 = 112-70 + 0 = 42 (балла).

Варіант двадцятого завдання 2019 року (2)

У таблиці три стовпці та кілька рядків. У кожну клітинку таблиці вписали по натуральному числутак, що сума всіх чисел у першому стовпці дорівнює 103, у другому – 97, у третьому – 93, а сума чисел у кожному рядку більша за 21, але менша за 24. Скільки всього рядків у таблиці?

Алгоритм виконання
  1. Знаходимо загальну сумувсім чисел у таблиці (складивши суми кожного з 3-х стовпців).
  2. Визначаємо діапазон допустимих значеньдля сум чисел у кожному рядку.
  3. Розділивши загальну суму спочатку на найменшу суму чисел у кожному рядку, а потім на найбільшу, отримуємо шукану кількість рядків.
Рішення:

Загальна сума чисел у таблиці дорівнює: 103+97+93=293.

Оскільки за умовою суми чисел у кожному рядку становлять >21, але<24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (3)

У будинку всього вісімнадцять квартир з номерами від 1 до 18. У кожній квартирі живе щонайменше одна і не більше трьох осіб. У квартирах з 1-ї по 13-у включно мешкає сумарно 15 осіб, а в квартирах з 11-ї по 18-у включно мешкає сумарно 20 осіб. Скільки всього людина живе у цьому будинку?

Алгоритм виконання
  1. Визначаємо максимальну кількість проживаючих в 11-13-й квартирах, використовуючи дані про те, скільки людей живе в 1-13-й квартирах.
  2. Знаходимо мінімальну кількість мешканців 11–13-ї квартир, враховуючи дані про 11–18-ї квартири, що живуть.
  3. Зіставляє дані, отримані в пп.1–2, отримуємо точну кількість мешканців цих квартир №№11–13.
  4. Знаходимо у живуть у квартирах 1–10-й і 14–18-й.
  5. Обчислюємо загальну кількість мешканців будинку.
Рішення:

У перших 13 квартирах (з 1-ї по 13-ту) мешкає 15 осіб. Це означає, що в 11 квартирах живе по 1 людині плюс у 2 квартирах по 2 особи (11 · 1 +2 · 2 = 15). Отже, в 11–13-й (тобто у 3-х) квартирах проживає не менше 3-х та не більше 5 (1+2+2) осіб.

У других 8 квартирах (11-й по 18-му) проживає 20 осіб. При цьому з 14 по 18 квартири (тобто в 5 квартирах) не може проживати більш ніж 5 · 3 = 15 осіб. А отже, в 11-13 квартирах живе не менше, ніж 20-15 = 5 осіб.

Тобто. з одного боку в 11-13-й квартирах має жити трохи більше 5 людина, з другого – щонайменше 5. Висновок: у цих квартирах живе рівно 5 людина, т.к. інших допустимих обох випадків значень тут немає.

Тоді отримуємо: у 1–10-й квартирах мешкає 15–5=10 осіб, у 14–18-й – 20–5=15 осіб. Загалом у будинку проживає: 10+5+15=30 осіб.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (4)

В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

  • за 4 золоті монети отримати 5 срібних та одну мідну;
  • за 7 срібних монет отримати 5 золотих та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 45 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

Алгоритм виконання
  1. Визначаємо кількість срібних монет, які необхідні Миколі для здійснення подвійного обміну так, щоб у нього не з'явилися золоті монети. Подвійний обмін – це обмін спочатку срібних монет на золоті та мідні, а потім золоті на срібні та мідні.
  2. Визначаємо кількість різних монет, які з'являться у Миколи в результаті 1 подвійного обміну.
  3. Обчислюємо кількість подвійних обмінів, які необхідно зробити, щоб з'явилося 45 мідних монет.
  4. Знаходимо кількість срібних монет, які повинен був мати Микола спочатку, щоб здійснити потрібну кількість обмінів, і які отримав у результаті всіх обмінів.
  5. Визначаємо потрібну різницю.
Рішення:

Здійснити 1-й обмін Микола має за 2-ї схемою, т.к. він має тільки срібні монети. Для того, щоб в результаті у нього не виявилося золотих монет, потрібно знайти мінімальне кратне для 5 золотих, які він отримає, і 4 золоті, які у нього за 1 раз можуть прийняти в повному обсязі (без залишку). Це число 20.

Відповідно, щоб здобути 20 золотих монет, у Миколи має бути 20:5=4 комплекти срібних монет по 7 штук. Отже, спочатку їх має бути 4·7=28. І при цьому Микола отримує ще й 1 · 4 = 4 мідні монети.

Здійснюючи обмін, Микола віддає 20:4 = 5 комплектів золотих медалей. Натомість він отримує 5 · 5 = 25 срібних монет і 1 · 5 = 5 мідних монет.

Т.ч., в результаті одного обміну у Миколи з'явиться 25 срібних монет та 4+5=9 мідних монет. Оскільки в результаті у Миколи виявилося 45 мідних монет, отже, було здійснено 45:9 = 5 подвійних обмінів.

Якщо в результаті 1 подвійного обміну у Миколи виявилося 25 срібних монет, то після 5 таких обмінів у нього виявиться 25 · 5 = 125 штук. А спочатку він мав для цього мати 28 5 = 140 срібних монет. Отже, їхня кількість у Миколи зменшилася на 140–125=15 штук.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (5)

У всіх під'їздах будинку однакова кількість поверхів і на всіх поверхах однакова кількість квартир. При цьому кількість поверхів у будинку більша за кількість квартир на поверсі, кількість квартир на поверсі більша за кількість під'їздів, а кількість під'їздів більша за один. Скільки поверхів у будинку, якщо всього у ньому 357 квартир?

Алгоритм виконання
  1. Визначаємо рівняння для визначення кількості квартир у будинку всього через параметри, заявлені в умові (тобто через кількість квартир на поверсі і т.д.).
  2. Розкладаємо 357 на множники.
  3. Знаходимо відповідність отриманих множників конкретним параметрам, з умови про те, який із параметрів більше чи менше інших.
Рішення:

Т.к. на всіх поверхах однакова кількість квартир (Х), по всіх під'їздах однакова кількість поверхів (Y), то позначивши кількість під'їздів через Z, можемо записати: 357=X·Y·Z.

Розкладемо 357 на прості множники. Отримаємо: 357 = 3 · 7 · 17 · 1. І це єдиний варіант розкладу. Т.к. Y>X>Z>1, то одиницю в розкладі не враховуємо та визначаємо, що Z=3, X=7, Y=17.

Оскільки кількість поверхів було позначено через Y, то шукане число – 17.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (6)

З десяти країн сім підписали договір про дружбу рівно з трьома країнами, а кожна з трьох – рівно з сімома. Скільки було підписано договорів?

Алгоритм виконання
  1. Підраховуємо кількість договорів, підписаних 7-ма країнами.
  2. Визначаємо кількість договорів, які підписали 3 країни, що залишилися.
  3. Знаходимо загальну кількість підписаних договорів. Ділимо його на 2, т.к. договори двосторонні.
Рішення:

Перші 7 країн підписали договори із 3 країнами, тобто. цих договорах поставлено 7·3=21 підпис. Аналогічно інші 3 країни під час оформлення договорів із 7-ма країнами поставили 3·7=21 підпис. Отже, всього поставлено 21+21=42 підписи.

Т.к. всі договори двосторонні, це означає, що у кожному їх зафіксовано 2 підписи. Отже, договорів удвічі менше, ніж підписів, тобто. 42: 2 = 21 договір.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (7)

На поверхні глобуса фломастером проведено 13 паралелей та 25 меридіанів. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

Меридіан – це дуга кола, що з'єднує Північний та Південний полюси. Паралель – це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора.

Алгоритм виконання
  1. Доводимо, що паралелі ділять глобус на 13+1 частину.
  2. Доводимо, що меридіани ділять глобус на 25 частин.
  3. Визначаємо кількість частин, на які в цілому розділений глобус, як добуток знайдених чисел.
Рішення:

Якщо будь-яка паралель – це коло, вона є замкненою лінією. А це означає, що 1 паралель ділить глобус на 2 частини. Далі 2-а паралель забезпечує розподіл на 3 частини, 3-я - на 4 і т.д. Через війну 13 паралелей розділять глобус на 13+1=14 елементів.

Меридіан є дугою кола, що з'єднує полюси, тобто. замкненою лінією вона не є і глобус на частини не ділить. І це 2 меридіана вже ділять, тобто. 2 меридіану забезпечують розподіл на 2 частини, далі 3-й меридіан додає 3-ю частину, 4-й - 5-ю частину і т.д. Значить, зрештою, 25 меридіанів створює на глобусі 25 частин.

Усього частин на глобусі виходить: 14 · 25 = 350 частин.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (8)

У кошику лежить 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів – хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

Алгоритм виконання
  1. Визначаємо кількість груздів серед 12 грибів і рудиків серед 20 грибів.
  2. Доводимо, що є єдино правильне число, що відображає кількість рудиків. Фіксуємо його у відповіді.
Рішення:

Якщо серед 12 грибів є як мінімум 1 рудик, значить, груздів тут не більше 11. Якщо серед 20 грибів є не менше 1 груздя, то не більше 19 рудиків.

Це означає, що якщо груздів не може бути більше 11, то рижиків не може бути менше 30-11 = 19 штук. Тобто. рудиків з одного боку не більше 19, а з іншого – не менше 19. Отже, рудиків може бути лише рівно 19.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (9)

Якби кожен із двох множників збільшили на 1, то їхній твір збільшився б на 3. На скільки збільшиться добуток цих множників, якщо кожен з них збільшити на 5?

Алгоритм виконання
  1. Вводимо позначення для множників. Це дозволить висловити і початковий твір (до збільшення множників).
  2. Складаємо рівняння для ситуації, коли множники збільшено на 1. Виконуємо перетворення. Отримуємо новий вираз, що відображає зв'язок між початковими множниками.
  3. Складаємо рівняння для ситуації, коли множники збільшено на 5. Виконуємо перетворення. Вводимо в рівняння вираз, отриманий у п.2, знаходимо потрібну різницю.
Рішення:

Нехай 1-й множник дорівнює х, 2-й – у. Тоді їхній твір – ху.

Після того, як множники збільшено на 1, отримуємо:

(х+1)(у+1)=ху+3

ху+у+х+1=ху+3

Після збільшення множників на 5 маємо:

(х+5)(у+5)=ху+N, де N – шукана різниця творів.

Виконуємо перетворення:

ху+5у+5х+25=ху+N

N=ху +5у+5х+25-ху

Т.к. вище визначено, що х+у=2, то отримаємо:

Варіант двадцятого завдання 2019 року (10)

Сашко запросив Петю у гості, сказавши, що живе у сьомому під'їзді у квартирі № 462, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що будинок семиповерховий. На якому поверсі мешкає Сашко? (На всіх поверхах кількість квартир однакова, нумерація квартир у будинку починається з одиниці.)

Алгоритм виконання
  1. Способом підбору визначаємо кількість квартир на майданчику. Це має бути таке число, щоб номер квартири виявився більшим, ніж у квартирах у 6-ти під'їздах, проте меншим, ніж у квартирах у 7-ми.
  2. Визначаємо кількість квартир у 6-ти під'їздах. Від 462 віднімаємо цю кількість і ділимо на кількість квартир на майданчику. Так дізнаємося номер поверху. Примітка: 1) якщо отримано ціле число, то номер поверху, що шукається, на 1 більше, ніж обчислене значення; 2) якщо отримано дробове число, то номером поверху буде заокруглений у більшу сторону результат.
Рішення:

Шукаємо кількість квартир на майданчику, перевіряючи число за числом.

Припустимо, що це кількість дорівнює 3. Тоді отримаємо, що в 7 під'їздах на 6 поверхах є 7 · 6 · 3 = 126 квартир,

а в 7 під'їздах на 7 поверхах 7 · 7 · 3 = 147 квартир.

Квартира №462 точно не потрапляє до діапазону квартир №№126–147.

Аналогічно перевіряючи числа 4, 5 і т.д., прийдемо до 10. Доведемо, що саме воно підходить:

у 7 під'їздах на 6 поверхах знаходиться 7 · 6 · 10 = 420 квартир,

у 7 під'їздах на 7 поверхах: 7 · 7 · 10 = 490 квартир. Оскільки 420<462<490, то условие задания выполнено.

Для того щоб потрапити до квартири №462, потрібно пройти повз 462–420=42 квартири. Т.к. на кожному майданчику знаходиться 10 квартир, то 42:10 = 4,2 поверхів для цього потрібно подолати. 4,2 означає, що 4 поверхи потрібно пройти повністю та піднятися на 5-й. Т.ч., шуканий поверх – 5-й.